D5_2 牛莱公式
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
牛莱公式
n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
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另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
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1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
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例4
求 lim n
牛二定律所有公式
牛顿第二定律所有公式牛顿第二定律是经典力学中的一个基本定律，它描述了力和加速度之间的关系。
牛顿第二定律可以用数学公式表达为：F=ma其中，F是作用在物体上的合外力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
这个公式说明，物体的加速度与合外力成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第二定律可以推导出许多其他的公式，用于解决不同情况下的力学问题。
下面我们介绍一些常见的牛顿第二定律的公式。
匀变速直线运动如果物体在直线上做匀变速运动，那么它的速度、位移和时间之间有如下关系：v=v0+ats=v0t+12at2v2=v20+2as其中，v是物体的末速度，v0是物体的初速度，s是物体在时间t内的位移，a是物体的加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
圆周运动如果物体在圆周上做匀速运动，那么它的线速度、角速度和半径之间有如下关系：v=ωr其中，v是物体的线速度，ω是物体的角速度，r是圆周的半径。
这个公式可以用几何关系推导出来。
如果物体在圆周上做非匀速运动，那么它受到两个方向的加速度：向心加速度和切向加速度。
向心加速度指向圆心，切向加速度沿着切线方向。
这两个加速度和线速度、角速度和半径之间有如下关系：a c=v2r=ω2ra t=dvdt=rdωdt其中，a c是向心加速度，a t是切向加速度。
这些公式可以用牛顿第二定律和微积分推导出来。
受力平衡如果物体处于静止状态或匀速运动状态，那么它受到的合外力为零，即：∑F=0这个条件称为受力平衡条件，它可以用于求解静力学问题。
例如，如果一个物体悬挂在两根绳子上，那么它受到三个力：重力、绳子1的拉力、绳子2的拉力。
如果物体不动，那么这三个力必须平衡，即：F g+F1+F2=0其中，F g是重力，F1是绳子1的拉力，F2是绳子2的拉力。
这个方程可以用矢量相加或分解为水平和垂直分量来求解。
动量定理如果物体受到一个变化的力，在一段时间内从初速度变为末速度，那么它的动量也发生了变化。
(十)牛莱公式
的面积 . 解: A= ∫ sin xdx
0
π
y
y =sin x
= −cos x
π
0
= − 1−1] = 2 o [−
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π x
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备用题
1. 设
1 2
求
解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
∫0
f (x)d x = a ,
∫0
f (x)d x = b , 则
定理2. 定理 函数 , 则
∫a f (x)dx = F(b) − F(a) ( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
故
x a
b
证: 根据定理 1,
F(x) = ∫ f (x)dx +C
因此 得
记作
∫a f (x)dx = F(x) − F(a)
x
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例1. 计算
3 dx = arctan x 解: ∫ = arctan 3−arctan(−1 ) 2 − 1+ x 1 −1 π π 7 = −(− ) = π 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
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例1. 计算 解: 令 x= asint , 则 dx = acost dt , 且
, 当x = 0时 t = 0; x = a 时 t = π . , 2
∴ 原式 =
2 2 2 a 0 cos tdt 2 π
∫πy源自y = a −x2
2
a 2 = ∫ (1+cos2t)dt 2 0
1 3 2 = ∫ (t +3)dt 21 3 1 13 = ( t +3t ) 2 3 1
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
高数D5_2变限积分导数、牛莱公式、定积分换元分布(1)
～
1. c ,得 2
例3.
证明
只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
2
0 f (t ) d t
而
I0
0
2
dx
, 2
I1 2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
0
I n (n 1) 2 sin n 2 x cos 2 x dx
0
(n 1) 2 sin n 2 x (1 sin 2 x) dx
(n 1) I n 2
1 I 由此得递推公式 I n nn n2
0
于是
m 1 I 2 m 3 I 3 1 I I 2 m 22 2 m 2 4 2 0 m 2 m 2 2 m4 m 2 m2 42 I I 2 m1 22 I I 2 m 3 m 1 m 1 22 m 1 5 3 1
d x , 因此
所以
其中
I n I n 1
备用题
3. 证明 是以 为周期的函数.
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿莱布尼茨公式使用的条件
牛顿莱布尼茨公式使用的条件牛顿-莱布尼茨公式（或称牛莱公式）是微积分中的一个基本公式，描述了函数在一定区间上的积分和它的原函数之间的关系。
牛莱公式不仅可以简化微积分的计算，还被广泛应用于各种实际问题的解决中。
但是，牛莱公式在使用时也存在一些限制和条件，下面我们来一一分析。
首先，对于牛莱公式的应用，最基本的条件就是函数必须是连续的。
因为牛莱公式的本质是关于定积分和不定积分之间的关系，而连续函数在一定区间上存在原函数，从而满足积分中值定理的条件。
因此，在采用牛莱公式求解问题时，首先需要确定定义域，并对函数的连续性进行分析，确保函数在这一区间上是连续的。
其次，对于牛莱公式的使用，还需要满足一些其他条件。
例如，函数的积分区间必须是有限的并且是闭合的。
因为不定积分所描述的是函数在一定区间上的变化情况，如果积分区间不是有限的，或者不是闭合的，那么积分的结果就无法确定。
此外，如果积分区间上的点有间断，则需要进行分段处理，才能确保求出的积分结果正确。
另外，还需要满足函数的可微性与可导性。
这是因为牛莱公式需要利用一阶微分的概念，对积分的上下限进行微分，所以函数在积分区间上具有可微性或可导性，才能满足公式的使用条件。
最后，需要注意的是，对于非解析函数和多元函数的积分，牛莱公式并不一定适用。
这主要是因为这些函数的原函数极其复杂，难以找到，导致求积分的方法变得非常困难。
在使用牛莱公式求解实际问题时，以上几个条件是必须要注意到的。
当然，在一些特殊的情况下，还可能存在其他限制和条件，需要结合具体的问题进行分析和判断。
总之，牛莱公式是微积分中的一项重要工具，它的使用条件虽然有些苛刻，但只要在满足这些条件的前提下正确使用，就能有效地简化求解过程，并取得理想的结果。
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿莱布尼茨公式例题
牛顿-莱布尼茨公式（又称牛莱公式，Leibniz integral rule），是微积分中的重要公式之一。
该公式描述了求导与积分的关系，也称为积分运算中的链式法则。
以下是牛顿-莱布尼茨公式的例题。
例题：计算 $F(x)=\int_{x^2}^{1}\frac{\cos t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$ 在$x=1$ 处的导数。
解题步骤：
Step 1：根据牛顿-莱布尼茨公式，$F(x)$ 的导数为被积函数 $\frac{\cos t}{\sqrt{t}}$ 在积分区间 $[x^2,1]$ 上的值，乘以 $x$ 的导数 $2x$，即
$F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{x^2}^{1}\frac{\cos
t}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t=\frac{\cos 1}{\sqrt{1}}\cdot2x-\frac{\cos
x^2}{\sqrt{x^2}}\cdot2x$
Step 2：化简上式，得到
$F'(1)=\cos 1-2\cos 1=-\cos 1$
因此，$F(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $-\cos 1$。
注：此题需要注意整除问题，即 $\sqrt{t}$ 在该积分中必须作为分母，以避免 $\sqrt{t}$ 在积分下限处为零。
牛-莱公式(12)
∫
b
a b
kf (x)dx = k∫ f (x)dx
a b a
b
线 性 性 质
(
∫ [ f (x) ± g(x)]dx= ∫
a c
f (x)dx ± ∫ g(x)dx
a
b
)
说明 可推广到有限多个函数代数和的情形. 可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质3. 性质 有可 有可
b a c
性
∫
∫
b
a
b
f (x)dx =∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b a
求下列定积分． 求下列定积分．
1 2
例3
(1) ∫ ( x − 2 x + 3)dx
0
x (2) ∫ dx 0 1 + x2
1
2
(3) ∫
3 −1
2 − x dx
(1) 解：
∫
1 0
( x − 2 x + 3)dx
2
1 0
1 3 2 = ( x − x + 3 x) 3 1 =2 3
b
∫
a
f (x)dx ≤ ∫ g(x)dx
a
b b a
b
(不等性 不等性) 不等性
∫
a
f (x)dx ≤ ∫ f (x) dx (a < b).
3.4.2 牛顿－莱布尼兹公式 牛顿－ 在区间[ 上连续， 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，F(x)是f(x)的 任一原函数， 任一原函数，则
∫
b a
解：
( x + 1) − 1 x (2) ∫ dx = ∫ dx 2 2 0 1+ x 0 1+ x
高等数学课件--D5_2牛莱公式
洛
tan x 2 x
3
试证: 当
证：
lim
x 0
lim
x 0
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
sin x
2
1 2 x
Hale Waihona Puke limx 0x 2x
3
x
2
2
1 2 x
lim
x 0
2x
1 2
0
x
所以 = o( ) .
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3. 求
解: 由于 I n 1
π 0
的递推公式(n为正整数) .
2 sin 2( n
1) x
d x , 因此
sin x
2
I n I n1 2
2
π 0
π 2 0
cos(2n 1) x sin x sin x
dx
2( 1)
n 1
cos(2n 1) x d x
2n 1
所以
其中
2012-10-12
I n I n 1
同济高等数学课件
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2012-10-12
同济高等数学课件
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设 求 解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设
0
1
f ( x) d x a ,
0
2
f ( x) d x b , 则
2012-10-12
同济高等数学课件
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2. 设
牛莱公式及简单定积分计算
例12
计算
2 co5sxsinxd.x
0
解 tcox,sd tsix nd,x x t0, x0t1,
2
2
co5sxsinxdx
0t5dt
t6 1
1.
0
1
66
例13
计算
si3n xs0 i5n xd.x 0
解
3
f(x )s3 ix n s5 ix n coxssinx2
si3n xsi5n xdx
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意 当 a b 时 ， a b f(x ) d x F ( b ) F ( a )仍 成 立 .
例4
求 1 x2dx. 0
解
1 x 2dx
0
1 3
x3
1 0
1 3
例5
计算
2 1
1 x2
dx
.
解
21 1 x2dx
1 x
2 1
1 1 1 22
例 6 下列计算是否正确?
b a
e
x2 2
dx
=
_
_
_
_
__
_
.
2 、
xd (
f ( x )) dx _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
解
d 1 et2dt d coxset2d,t
dx cosx
dx1
eco2x s(cox)s six neco2x s,
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
(3) 利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定 义求和式极限
牛莱公式使用条件
牛莱公式使用条件
牛莱公式是一种用于计算正态分布的概率密度函数的公式。
它可以被用于许多不同的统计学应用中，例如用于假设检验、置信区间的计算以及回归分析等。
然而，要正确使用牛莱公式，需要遵守一些特定的条件。
首先，使用牛莱公式的前提是数据必须服从正态分布。
这意味着数据的分布应该是对称的，并且符合高斯分布的形式。
如果数据不服从正态分布，就不能使用牛莱公式进行计算。
其次，使用牛莱公式需要知道均值和标准差的值。
这些值可以通过样本数据的平均值和标准差来估计。
但是，在样本数据较少的情况下，这种估计可能会有偏差。
因此，为了保证牛莱公式的准确性，需要确保样本数据数量足够大。
最后，使用牛莱公式计算概率密度时，需要注意定积分的求解方法。
通常使用数值积分方法或表格查找方法进行计算。
确保选择适当的计算方法，以保证计算结果的准确性和可靠性。
总之，牛莱公式是一种非常有用的工具，可以帮助我们在统计学中进行各种计算。
但是，正确使用牛莱公式需要遵守一些特定的条件，以确保计算结果的准确性。
- 1 -。
高数微积分牛莱公式
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )
? ?
T2 v(t)dt ?
T1
s(T2 ) ?
s(T1 ).
其中 s?(t) ? v(t).
2
一、积分上限函数及其导数
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点， 考察定积分
x
x
?a f ( x)dx? ?a f (t)dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对 于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
记
?
(x) ?
x
?a
f (t)dt.
积分上限函数
3
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数?
(x)
?
x
?a
f (t)dt在[a, b]上具有导数，且它的导
的一个原函数，则
b
?a
f
( x)dx
?
F (b) ?
F (a).
证 ? 已知F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，
又?
x
? ( x) ? ?a f (t)dt也是 f ( x) 的一个原函数,
? F ( x) ? ? ( x) ? C x ? [a,b]
12
? F (x)? ? (x) ? C
b( x )
a( x)
? ?0 f (t)dt ? ?0 f (t)dt,
F ?( x) ? f ?b( x)?b?( x) ? f ?a( x)?a?( x)
7
?1e ? t2 dt
例1 求 lim cos x .
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿——莱布尼兹公式
牛顿——莱布尼兹公式是微积分学中最基本的公式之一，它描述了求导和积分之间的关系。
这个公式的发现归功于牛顿和莱布尼兹，他们独立地发现了这个公式，并且在17世纪末和18世纪初分别发表了相关的研究成果。
牛顿——莱布尼兹公式的一般形式是：
∫ab f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式的意义是，对于任意一个可积函数f(x)，它在某个区间[a,b]上的积分等于它的原函数在区间端点处的值之差。
牛顿和莱布尼兹独立地发现了这个公式的证明方法，他们都使用了微积分学中的极限概念来证明这个公式。
虽然他们的证明方法有所不同，但是他们的思想都是基于微积分的基本原理。
牛顿和莱布尼兹的贡献不仅仅是发现了这个公式，他们的工作也奠定了微积分学的基础，成为了现代科学中最重要的发现之一。
牛顿是英国的一位数学家和物理学家，莱布尼兹则是德国的一位数学家和哲学家。
虽然他们生活在同一时期，但他们却从不相遇，他们的工作也是独立进行的。
牛顿——莱布尼兹公式已经成为了微积分学的基本公式之一，它不仅在数学中有广泛的应用，也在物理、工程、经济等领域中起着重要的作用。
- 1 -。
牛顿莱布尼兹公式应用步骤
牛顿莱布尼兹公式应用步骤
牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一个重要定理，它用于计算函数的定积分值。
以下是牛顿-莱布尼兹公式的应用步骤：
1. 确定被积函数：找到需要计算定积分的函数f(x)。
2. 求导：对函数f(x)进行求导，得到其导函数F'(x)。
3. 确定积分上下限：确定定积分的积分上限a和积分下限b。
4. 计算差值：计算差值F(b) - F(a)。
5. 得出结果：差值F(b) - F(a)即为定积分的结果。
通过以上步骤，我们可以将牛顿-莱布尼兹公式应用到具体的函数上，求得其定积分的值。
需要注意的是，牛顿-莱布尼兹公式要求函数f(x)在积分区间上是连续的，并且存在一个原函数F(x)，即F'(x) = f(x)。
若这些条件不满足，则应使用数值积分等其他方法来计算定积分的结果。
牛-莱公式
， F′( x ) = f ( x ) （或 dF( x ) = f ( x )dx ）
则称 F( x ) 为 f ( x ) 在 I 上的一个原函数 原函数。 原函数
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的内 牛顿—莱布尼兹公式 公式 在联系，它把定积分的计算问题转化为求原函数的问题， 从而给定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。
也是 f ( x ) 的原函数。
另一方面，若 F( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，则
[G ( x ) − F( x )]′ = f ( x ) − f ( x ) = 0,
即 G ( x ) = F( x ) + C ，其中 C 是一个常数。由此可知，
，即 f ( x ) 的全体原函数可表示为 F( x ) + C （C 为任意常数）
（ 2） ∫ f ′( x ) dx = f ( x ) + C 或 ∫ df ( x ) = f ( x ) + C 。
（1）式表明，若先求积分，后求导数（或求微分） ，
则两者作用相互抵消。
（2）式表明，若先求导数（或求微分）后求积分，
则两者作用抵消后还留有积分常数 C。
性质 2
性质 3
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (K 为常数， k ≠ 0 )。 ∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g(x )dx 。
ax ( 6) d ( ) = a x dx, ln a
(1) ∫ 0dx = C ,
x α (2) ∫ x dx = + C (α ≠ −1), α +1 1 (3) ∫ dx = ln x + C , x
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3 4 12
例5. 计算正弦曲线
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
车到停车走了多少距离?
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
361000 3600
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
作业
P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
备用题
1. 设
求
解：定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 .
设
1
0 f (x)d x a ,
2
0
f
(x)
d
x
b
,
则
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式
洛
=
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
例3.
证明
只要证
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
Байду номын сангаас
(x
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
2. 设
时, = o( ) .
证：
lim
x0
洛
lim
x0
tan x
3
sin x 2
2x 1
2x
lim
x0
x 2x
3
x 2
1
2x
lim
x0
2x2
1 2
x
0
所以 = o( ) .
试证: 当
x 0时 tan x ~ x sin x ~ x
3. 求
的递推公式(n为正整数) .
解: 由于 In1
h0
h
h0
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
π2 sin 2(n 1)x d x , 因此 0 sin x
In
I n1
π
20 2
cos(2n 1)x sin x
sin
x
dx
2 π2 cos(2n 1)x dx 2(1)n1
0
2n 1
所以
In In1
其中
函数 , 则
b
f (x) dx F (b) F (a)
( 牛顿 - 莱布尼茨公式)
a
证: 根据定理 1,
故
x
F(x) a f (x)dx C
因此
x
a
f
(
x)
dx
F
(
x)
F
(a)
得
记作
或
例4. 计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π
(ms ) 10( ms
)
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
s
2
0 v(t) d t
2
0 (10
5t)dt
10t
5 2
t
2
2 0
10 (m)
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
第二节 微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
在
内为单调递增函数 .
F(x) 0
x
x
证:
x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
x
0
f
(t)
d
t
2
x
f
(x)0 (x t)
x
0
f
(t
)
d
t
f (t) d t
2
f
(x) (x ) f ( ) x
x
0
f
(t
)
d
t
2
(0
0 x)
三、牛顿 – 莱布尼茨公式
定理2.