2018届高三理科数学一轮复习 排列组合

[易错提醒]
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分 类标准要统一，不能遗漏． (2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须 属于某一类，不能重复．
分步乘法计数原理
能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法． (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事 的所有方法数．
两个计数原理的综合问题
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或 分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类 的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可 能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不 漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类， 准确分步．
[例 3]
第一节 排列组合
本节主要包括 2 个知识点： 1.两个计数原理； 2.排列、组合问题.
第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列
第一节 排列、组合
本节主要包括 2 个知识点： 1.两个计数原理； 2.排列、组合问题.

突破点(一)
基础联通
两个计数原理
抓主干知识的“源”与“流”
1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 N＝ m＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第 1 步有 m 种不同的方法，
m×n 做第 2 步有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝______
种不同的方法．
3．两个计数原理的比较
名称
相同点
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 分类完成一件事，并且每 类办法中的每种方法都能 运用乘法运算 分步完成一件事，并且只 有各个步骤都完成才算完 成这件事情，要注意“步” 与“步”之间的连续 性．分步计数原理可利用 “串联”电路来理解
[例 2]
(1)从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f(x)＝
ax2＋bx＋c 的系数，则可组成________个不同的二次函数，其 中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析]
一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a
的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法 计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数．若二次函数为偶函 数，则 b＝0，同理可知共有 3×2＝6 个偶函数． [答案] 18 6
不同点
独立完成这件事情，要注
意“类”与“类”之间的 独立性和并列性．分类计
数原理可利用“并联”电
路来理解
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
分类加法计数原理
能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成 n 类． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有 方法数．
(2)如图，某电子器件由Fra Baidu bibliotek3 个电阻串联 而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B， C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路 就会不通． 现发现电路不通， 那么焊接点脱 落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况， 而
只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况． [答案] 63
[例 1]
(1)在所有的两位数中， 个位数字大于十位数字的两
位数共有________个．
[解析]
(1) 法 一 ： 按 个 位 数 字 分 类 ， 个 位 可 为
2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分 别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个，7 个，8 个，则共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数． 法二：按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8 类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个， 5 个，4 个，3 个，2 个，1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2 ＋1＝36 个两位数． [答案] 36
[易错提醒]
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件 发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且 分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的， 只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相 独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
(2)如图，从 A 到 O 有________种不同的走 法(不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A→B→O 和 A→C→O 2 种不 同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A→B→C→O 和 A→C→B→O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法． [答案] 5
x2 y2 (3)若椭圆m＋ n ＝1 的焦点在 y 轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}， n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
[解析] 当 m＝1 时，n＝2,3,4,5,6,7，共 6 个；
当 m＝2 时，n＝3,4,5,6,7，共 5 个； 当 m＝3 时，n＝4,5,6,7，共 4 个； 当 m＝4 时，n＝5,6,7，共 3 个； 当 m＝5 时，n＝6,7，共 2 个． 故共有 6＋5＋4＋3＋2＝20 个满足条件的椭圆． [答案] 20
(1)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数， ( C．96 个 )
其中比 40 000 大的偶数共有 A．144 个
[解析]
B．120 个
D．72 个
由题意可知， 符合条件的五位数的万位数字是 4 或
5. 当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 2×4×3×2＝48 个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共有 3×4×3×2＝72 个偶数．故符合条件的偶数 共有 48＋72＝120(个)． [答案] B