物理光学PPT课件02.球面波

1.3.1 球坐标系中的波动微分方程
球面波具有球对称性，在球坐标系中，球面波的波 函数只与 r 有关，与θ和φ 无关。所以：
1 E ( r, t ) E ( r, t ) 2 2 t
2 2
在球坐标系中，有：
2 1 [rE ( r, t )] 2 E ( r, t ) 2 r r
代入上式，有：
[rE ( r, t )] 1 [rE ( r, t )] 2 2 2 r t
2 2
其通解：
1 1 E ( r, t ) B1 ( r t ) B2 ( r t ) r r
从原点发散 向原点会聚
规定速度v的正负表示波的传播方向，球面波的波 函数可进一步简化为：
1.3.4简谐球面波在平面上的近似表达式
在光学中，通常要求解光波在某个平面上的复振幅分布。
x
S ( x0 , y0 , z0 )
P( x, y,0)
r0
O y
z
2 r ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 z0
A1 E ( r ) exp[i (kr 0 )] S ( x0 , y0 , z0 ) r
（2）相位
简谐球面波的相位是：
kr t 0
说明v是沿球面径向的位相传播速率。 当等相位面自球心向外传播时v>0,称为发散球面波， 当等相面向球心会聚时v<0，称为会聚球面波。 K仍为波数：
k 2

±代表发散和会聚球面波。 由于球面波振幅随r增大而减小，故严格说来： 球面波波函数不成现严格的空间周期性。
1.3.5简谐球面波的共轭光波
x 与平面波的共轭光波类似， S ( x0 , y0 , z0 ) 对位于点S的点光源发出 的球面波。
它在z=0平面上的复振幅 分布：
z
O
A1 E ( r ) exp{ikr} r 其中： r [( x x ) 2 ( y y ) 2 z 2 ]1 2 0 0 0
r xi yj
界面两侧，总电场：
E1 Ei Er
E2 Et
考虑到电场在界面两侧的边界条件：
n E1 n E2
n { Ar exp[i (ki r i t )] Ar exp[i(kr r r t )]} n At exp[i (kt r t t )]
其共轭：
A1 E ( r ) exp{ikr} r
即：
A1 2 E (r) exp{ik [( x x0 ) 2 2 2 12 [( x x0 ) ( y y0 ) z0 ]
2 12 ( y y 0 ) 2 z0 ] }
这显然是一束会聚的球面波， S ( x0 , y0 , z0 ) 会聚中心为：
1.6.1 折射和反射定律
光由一种介质入射到另一种介质，在界面上将产生反射和折射。 现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平 面， 入射、 反射和折射光均为平面光波，其电场表示式为 ：
El Ae l
i ( kl r l t )
l=i, r, t
式中，脚标i, r, t分别代表入射光、反射光和折射光；r是界面上 任意点的矢径，在如图所示的坐标情况下，有:
1.3 球面波 简谐平面波是描述光波的基本模型。虽然任意 复杂波可以用简谐平面波的叠加来描述，但有些 两种特殊波面（比如球面波）的光波可用更简洁 的数学式来描述。 波面为球面的波被称为球面波。 理想点光源发出的波为球面波。
一个在真空或各向同性介质中的 理想点光源，它向外发射的光波 是球面光波，等相位面是以点光 源为中心、随着距离的增大而逐 渐扩展的同心球面。
将r代入上式，并设光源的初相为0，
x
P( x, y,0)
r0
O y
z
A1 2 E (r) exp{ ik [( x x ) 0 2 2 2 12 [( x x0 ) ( y y0 ) z0 ]
2 12 ( y y 0 ) 2 z0 ] }
这个表达式含有根式，相当复杂，不便于分析，考虑到 光学研究的实际情况，常常对上式做适当简化。
xHale Waihona Puke Baidu
S '( x0 , y0 , z0 )
( x0 , y0 , z0 ),( x0 , y0 , z0 )
前者表示沿原路返回的球 面波，后者会聚中心S’与 原光源S对z=0平面镜像对 称。 O
z
1.5 电磁场的边界条件
将麦克斯韦方程组应用于两种介质的界面，可以得 到电磁场的边值关系： 在界面两侧，电场强度的切向分量连续：
1 E ( r, t ) B( r t ) r
1.3.2. 简谐球面波
当波函数为正弦或余弦形式时，对应的球面波称 为简谐球面波。
简谐球面波的波函数：
1 E ( r, t ) A1 cos[k ( r t ) 0 ] r
简谐球面波的复指数描述：
1 E ( r, t ) A1 exp[i (kr t 0 )] r
在界面两侧，磁感应强度的法向分量连续。
在界面两侧，电位移矢量的法向分量连续。 在界面两侧，磁场强度的切向分量连续。
n (D1 D2 ) 0 n (B1 B2 ) 0 n ( E1 E2 ) 0 n ( H H ) 0 1 2
1.6 光波在两种各向同性的均匀媒质界面 上的反射和折射 光波由一种媒质投射到与另一种媒质 的交界面时，将发生反射和折射（透射） 现象。根据麦克斯韦方程组和边界条件 讨论光在介质界面的上的反射和折射。 反射波、透射波与入射波传播方向之间 的关系由反射定律和折射定律描述，而 反射波、透射波与入射波之间的振幅和 相位关系由菲涅耳(Fresnel)公式描述。
简谐球面波的复振幅：
1 E ( r, t ) A1 exp[i ( kr 0 )] r
1 E ( r, t ) A1 cos[k ( r t ) 0 ] r
1.3.3简谐球面波参量的特点
（1）振幅
振幅不是一个常量，它随r 增加而减小；但在r相 同的球面上，振幅是均匀的。A1是一个常量，代表 r=1处的振幅，表征振动源的强弱，称为源强度。 简谐球面波振幅的这个特点是能量守恒定律所要求的。