物理中的微积分思想
谈大学物理微积分思想和方法
谈大学物理微积分思想和方法作者：王娜来源：《江西教育C》2015年第05期大学物理是高等学校面向广大理工科生开设的一门公共基础课程，区别于高中物理，它要求学生更多地运用微积分思想和方法处理物理问题，从而体会物理思想以提高解决物理问题的能力。
对于中学阶段主要应用代数运算的大一学生而言，微积分思想和方法是他们在大学物理学习中面对的最困难的问题。
纵观整个教学内容，微积分思想和方法在力学、电磁学和热学部分都有应用，但是总结起来可以分为两类，一类是速度为代表的微分思想，另一类是功为代表的积分思想。
力学部分是学生接触微积分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。
本文通过描述速度、加速度、功和万有引力势场的定义以及计算中微观量的物理意义，给出大学物理中微积分思想和方法应用的特点。
一、速度和加速度1.历史和定义。
17世纪，工业和科技的发展向数学提出了许多问题，促使了微积分学科的诞生。
这些问题被称为“四类问题”，其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。
在变速直线运动中，路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。
若无限短路程用ds表示，对应的无限短时间用dt表示，则速度v=，其中微小量ds和dt被称为微分量，这种方法被称为微积分方法。
这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立，它的第一个应用就是给出速度的概念。
2.微分量的物理意义。
定义中无限短路程近似为无限小直线段，无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。
例如，直线运动（假设沿x轴），速度表示为v=。
推广到具有普遍意义的三维空间，情况又怎样呢？依据运动的叠加原理不难想象，在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds（直线段）可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果，即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。
我们用矢量来表示这个合效果，无线短路程ds对应的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三个正交分量的数值），dt时间内每一维均对应匀速直线运动，即速度的三个正交分量的数值分别为vx=，vy=，vz=.也可以写成矢量式.3.加速度。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分，是数学中的一个分支，是研究极限、导数、积分以及无限级数等概念和运算的一门学科。
微积分在物理学中有着广泛的应用。
物理学家们用微积分理论来解决很多物理问题，比如运动学、动力学、热力学、电磁学、光学、量子力学等等。
一、运动学在运动学中，微积分理论被用来推导出质点的速度和加速度，以及曲线上的切线、法线等。
例如，对于一个质点在直线上运动的问题，可以通过微积分求出质点的速度和加速度，进而得到其运动的规律。
对于曲线运动，则可以用微积分求解曲线上的切线和法线，以及曲率等物理量。
二、动力学在动力学中，微积分可以用来求解物体的运动方程和力学变量等。
例如，通过微积分求解牛顿第二定律的微分形式，可以推得物体的运动方程，并且可以求解出物体在不同时间点的位置、速度、加速度等，并且可以预测其未来的运动状态。
三、热力学在热力学中，微积分可以用来求解热力学变量。
例如，通过微积分求解热力学第一定律的微分形式，可以推得热量、内能等热力学变量的微分方程，并且可以利用这些微分方程进行各种热力学计算。
四、电磁学在电磁学中，微积分可以用来计算电场、磁场、电势等物理量。
通过微积分可以求出电场、磁场等物理量的微分、积分形式，并且可以从中得到电势、电势差等计算需要的物理量。
五、光学在光学中，微积分可以用来分析光的传播和折射、反射等现象。
通过微积分可以推导光线的传播路线、光线的折射和反射等现象，并且可以利用微积分的方法求解光学问题。
六、量子力学在量子力学中，微积分可以用来描述微观物理现象。
例如，通过微积分可以求解量子力学的薛定谔方程，进而得到量子态等物理量，并且可以对量子力学中的各种现象进行各种定量计算。
综上所述，微积分在物理学中扮演着重要的角色。
物理学家们用微积分来解决各种物理问题，并且在物理学的各个方面都发挥着重要的作用。
随着微积分理论的不断发展，将有更多的物理问题可以得到解决。
浅谈微积分的认识在物理教学中的应用
浅谈微积分的认识在物理教学中的应用
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学中不可或缺的工具。
在物理教学中，微积分的认识十分必要，以下是一些例子：
1. 运动学分析：微积分中的导数和积分可以应用到运动学分析中，以求得速度、加速度、位置等关键信息。
通过微积分的分析，可以帮助学生深入理解物体的运动规律，并进行更加精确的运动预测和控制。
2. 力学分析：运用微积分的概念，可以对物理学中的力学问题进行分析，如牛顿定律，重力，弹性力等。
通过微积分的工具和方法，可以更加深入地理解和应用物理学中的法则和理论。
3. 光学问题：微积分中的几何和微积分学概念可以应用到光学问题中，如光的传播原理，反射和折射现象等。
通过微积分的知识和工具，可以帮助学生深入理解光学的基础原理，并进行更加精确的预测和分析。
4. 热力学分析：热力学分析中的微积分概念，如微分和积分可以应用到物理学中的热力学分析中，如热容，温度，热传导等。
通过微积分的分析，可以更加深入地了解热力学的基本规律和特性。
总之，微积分的认识在物理教学中是不可或缺的，它可以帮助学生更好地理解和应用物理学中的基础概念和理论，以便更加轻松地掌握物理学的知识和应用。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用
微积分在物理学中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 速度和加速度的计算：微积分可以用于计算物体的速度和加
速度。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
2. 曲线及面积的计算：微积分可以用于计算曲线和面积。
通过
对曲线进行积分，可以得到曲线下的面积；再通过对面积进行微分，可以得到曲线的长度。
同样地，对于曲面，可以通过对曲面进行积分，得到曲面下的体积。
3. 力学问题的求解：微积分可以用于求解力学问题，例如弹性
势能、动能和势能等。
通过对力学方程进行微分和积分，可以得到物体的运动状态和能量变化情况。
4. 电磁学问题的求解：微积分也可以用于求解电磁学问题。
例如，通过对带电粒子在电场中的运动轨迹进行微分和积分，可以得到带电粒子的加速度和速度等信息。
总之，微积分是物理学中非常重要的工具，可以帮助我们理解物理学中的许多现象和问题，同时也为我们提供了解决这些问题的方法。
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高中物理中微积分思想的应用
首先，导数和积分的最直观的表现：位置，速度，加速度三个物理量之间的关系。
以时间为自变量，则速度是位置和时间关系函数的导函数，也就是表示任意一点位置和时间关系图像的切线斜率的函数，加速度是速度时间函数关系的导函数。
同理，我们知道加速度时间图像中面积表示的是速度的变化量，也就是对加速度和时间的函数求积分可以得到速度时间关系;类似的速度时间图像中的面积表示位移，也就是对速度时间函数求积分得到位置时间关系。
其次，导数等于零时，则函数则有极值。
这个在物理中应用明显。
物理题目中经常出现有关于极值情况的描述，比如，“平衡”，“距离最大”或者“距离最小”，“能量最大”，“能量最小”，“速度最大”，“速度最小”等等情况。
这些都表示可以用某个函数的导数为零的方法来求。
例如我们最常见到的平衡问题，其实都是能量和位置的函数关系中的导数为零。
能量和位置关系的导数的相反数，就是这个能量对应的力的大小。
再次，用积分方法，可以求体积，面积，重心等等问题，这些问题在高考中涉及较少，但是通过这些问题的计算可以帮助同学们对于微积分，微元法，对于重心等物理概念有更深入的了解。
用类似的方法，可以求球体的表面积，球体体积等等。
除此之外，在高中所学知识中，可以用微积分帮助理解的内容还有很多。
通过这些内容的学习，既可以加强学生对物理概念的认识，也可以加深学生对微积分的领会。
毕竟微积分当时发明的目的就是为了解决物理问题。
高中物理中的微积分思想
高中物理中的微积分思想作者：李党飞来源：《新课程学习·下》2013年第08期在现阶段的高中物理教学中，虽然很少有涉及利用微积分直接进行运算的问题，但许多地方用到了“微分”与“积分”的思想，即我们常说的“微元法”。
这就是高等数学中的微积分，只不过在高中阶段我们巧妙利用微元思想避开微积分。
但只要仔细讲解，以高中学生的理解能力是完全可以掌握的，同时也可以使学生对其他物理知识的理解更加透彻。
使用微元法处理问题时，需将其分解为若干微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
下面将高考中体现微积分思想的三个试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为“化曲为直、化整为零，积零为整”解题法。
例1.如图所示，力F作用于半径为R的转盘边缘上一点，力F大小保持不变，方向始终沿作用点的切线方向，求转盘转动一周的过程中力F所做的功。
解析：力F为变力，不能直接用W=FS来求解，可采用微元法来求解。
将圆周分成无限个小段，可认为每小段为直线、力F为恒力，且力F方向与位移方向相同。
设每小段长度为Δs，则力F在每小段中做功为：ΔW=FΔs对一周中所有小元段内做功求和，可得转动一周过程中力F做功为：W=ΣΔW=FΣΔs=F2πR例2.电量Q均匀分布在半径为R的圆环上，求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P点的电场强度。
■解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。
选电荷元：它在P点产生的电场的场强的x分量为：由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例3.如图1所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，现给金属杆一个水平向右的初速度v0，导轨足够长，求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？■解析：水平地从a向b看，金属杆在运动过程中受力如图2所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的问题，可采用微元法来求解。
高中物理微积分应用(完美)
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
浅析大学物理微积分思想与矢量思想
浅析大学物理微积分思想与矢量思想大学物理中的微积分思想和矢量思想是非常重要的概念。
微积分思想是一种数学工具，用于处理变量的变化，而矢量思想则是一种数学工具，用于描述物理量在空间中的运动。
在物理学中，这两种思想通常是紧密结合在一起的，因此在研究物理现象时需要同时运用这两种思想。
本文将从微积分思想和矢量思想两个方面对大学物理的研究进行浅析。
微积分思想微积分思想是大学物理研究中最重要的数学思想之一，它是一种处理变量变化的工具。
在物理学中，物体的位置、速度、加速度等重要物理量都是随时间而变化的，微积分思想能够帮助我们描述这些变化。
以物体的运动为例，如果我们知道物体的速度随时间的变化率，就能够用微积分来计算物体在某个时间点的位置。
微积分思想可以用于研究大量的物理问题，如运动方程、牛顿定律、万有引力定律等。
这些问题的求解都需要用到微积分思想，因此掌握微积分思想是大学物理学习中非常重要的一步。
矢量思想矢量思想也是大学物理学习中必备的数学思想之一。
在大学物理中，我们经常需要描述物理量在空间中的运动，如力、速度、加速度等。
这些物理量都具有方向性，因此不能仅仅通过数值来描述。
这时，矢量思想就能够发挥非常重要的作用。
在矢量思想中，我们用带箭头的直线来表示一个矢量，箭头的方向表示该矢量的方向，线段的长度表示该矢量的大小。
矢量可以进行加、减、乘等运算，这些运算结果还是矢量。
在研究物理问题时，我们通常需要用到矢量的加法、减法、点乘、叉乘等运算。
矢量思想也是非常重要的一种工具，我们可以用它来研究大量的物理问题，如质点受力、牛顿第三定律、动量守恒定律等。
这些问题的求解都需要用到矢量思想，因此熟练掌握矢量思想对于学好大学物理非常重要。
微积分思想与矢量思想的结合微积分思想和矢量思想在物理学中通常是紧密结合在一起的。
我们常常需要用微积分思想来描述物体的运动状态，再用矢量思想来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当我们研究物体的运动状态时，通常需要用微积分思想来求解物体的速度、加速度等物理量。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
探索篇•方法展示微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。
一、高中物理教学中常见的微积分应用1.微元法定义瞬时速度在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。
2.微分与斜率在加速度的定义中a=ΔvΔt，当t→0时a=ΔvΔt=dv dt，与微积分中的微分即求导对应，也就是数学中的斜率，斜率的使用在高中物理中比较常见，如，加速度a=ΔvΔt对应v-t图像的斜率还有E=ΔϕΔt对应ϕ-t图像的斜率，此外借助斜率还可求出函数的最值。
3.积分与面积在匀变速直线运动位移的推导中，由于速度是变化的，采用微元法取非常短的时间，将变化的速度转化为不变的速度，然后用相加的方法，得出v-t图像所围的面积表示位移，即借助积分思想来完成。
该思想在计算变力做功中同样加以应用，通过微元法取一小段位移，将变力做功转化为恒力做功，并将各段做功相加的方法，得出F-S图像所围的面积代表力做功。
可见，微积分思想在高中物理中出现的并不少，主要采用无限接近思想解决瞬时值问题，通过化变量为恒量的方法来解决变量问题。
因此高中阶段的瞬时值问题、斜率问题、极值问题、面积问题大多由微积分思想得出。
二、高考中常见微积分思想应用实例分析高中物理教学中常见的微积分思想在高考试题中也有所体现。
例1.（2014年山东理综19题）如图，半径为R的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A。
已知壳内的场强处处为零；壳外空间的电场与将球壳上的全部电荷集中于球心O时在壳外产生的电场一样。
高中物理中微积分思想及方法
高中物理中微积分思想及方法微积分思想和方法毫无疑问是思考物理问题和解决物理问题的重要方法。
高中物理教材（人教版）中虽然没有直接应用导数、积分等数学公式解答问题的例题，但在教材中多个地方都介绍了极限方法、积分思想，也就是教师和资料中常说的“微元法”。
应用“微元法”这一重要思想解决问题，高考中也多次考到。
本文谈谈个人在教学中的一些体会。
首先要在教学实践中要像重视培养学生“列方程、求解”一样去培养学生的“微积分”思维，因为学生在高中阶段物理学习的过程当中，无论是从培养思维能力，还是训练应对高考答题，理解“微元法”并掌握应用“微元法”去解决问题都很有必要，而从学生进入大学后的学习远景来说，更是必要。
其次在教学时要讲清“微元法”的核心思想，“微元法”的核心思想就是通过针对时间和空间所进行的限制，采用“逐步逼近”的方法，将发生变化的事件或过程转变为稳定的时间和过程，达到“化曲为直”、“化变为恒”的目的。
即“增量无限趋近于零，则割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，如此就能以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分思想和方法的精髓所在。
再次要主动帮助学生梳理归纳常见的“微元”情景。
高中常见的微“元”有：元质量、元时间、元力、元位移元、元电荷、元电流、元冲量等，涉及到求瞬时速度、变力的功、变力的冲量等许多问题、近年高考中表现为更复杂综合问题的解决。
最后是要引导学生构建应用“微元法”的解题的一般思路。
使用“微元法”来解决高中物理问题的思路，就是从局部进行思考，再将自己所思考的答案放到问题的整体之中。
简单地说，第一步，就是先把所讨论的物理对象分解为若干个元，答题者选择其中具有代表性的部分进行分析，也就是人们常说的以小见大。
常见的解题步骤为：针对研究对象进行判定；分析“元”的运动过程；开展叠加并进行求解。
下面举几例应用“微元法”的解题的实例供参考。
例1、（2008上海）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，（g取10m/s2），试根据图像求：（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。
由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。
试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。
此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。
二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。
在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。
微积分思想在高中物理中的典型应用
微积分思想在高中物理中的典型应用任孝有 任雅群（北京市通州区潞河中学 北京 １０１１００）（收稿日期：２０１９－０４－１６）摘要：微积分思想是现代物理学中的重要思想，它将复杂变化的物理过程转化为定量可解，对学生物理思维和数学思维的提升十分有益．本文结合高中物理中的典型习题，实际说明了如何运用微积分思想解决物理问题．关键词：微积分 图像面积 物理方程 对如图１所示的匀加速直线运动过程，将其运动过程分为ｎ个运动间隔，如图２所示，每个间隔的时间为Δｔｉ，每个间隔的最小速度为ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则每个间隔的位移近似为ｘｉ＝ｖｉΔｔｉ，全程的总位移近似为Ｘ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＝∑ｘｉ，在几何上体现为如图２所示的Δｔｉ上的矩形面积和，此时的Ｘ小于真实总位移．增大ｎ从而减小Δｔｉ，ｖｉ更加接近全程的真实速度，则ｘｉ更加接近对应过程的真实位移，Ｘ也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令ｎ趋近于无穷，则ｘｉ和Ｘ趋近于真实值，即对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积，也就是图线与横纵轴所围成图形的面积，为真实的位移．因此直接求得梯形面积，就可算出对应的变速运动的位移．其他物理过程同理．图１ 匀加速直线运动ｖ－ｔ图像图２ 匀加速直线运动分割当然，如果ｖｉ表示的是每个间隔的最大速度，取和后Ｘ大于真实值，但取极限后，Ｘ转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积．分割，化变为恒获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值．以上过程是一种连续后的跳跃，突变．也就是说，在数学图像中，如果横纵轴两个物理量的乘积是个新物理量，而且这个物理量是个过程量，那么图像与横纵轴所围的面积就反映着这个过程量的具体数值．但如果是个状态量则对应的是矩形面积，不可累加，如图３所示电源的Ｕ－Ｉ图像．櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 （ｍｇ）２＋（ｑＥ）槡２ｍｇ＝ｖＭｖＮ（１２）设Ｍ和Ｎ离开电场的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，由题设条件可得Ｅｋ１＝１．５Ｅｋ２．即 １２ｍｖ２Ｍ＝１．５×１２ｍｖ２Ｎ（１３）联立式（１２）、（１３）可得 Ｅ＝ｍｇ槡２ｑ（１４）点评：在这道题中运用了运动的合成与分解、平均速度、动量定理、相似比等方法．巧妙的分别在水平方向和竖直方向来进行分析研究，一切问题迎刃而解．图３ Ｕ－Ｉ图像１ 数学图像的面积先微分再积分【例１】电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量Ｅ与电容器的电容Ｃ，电荷量Ｑ及电容器两极间电压Ｕ之间的关系．他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功．为此他做出电容器两极间的电压ｕ随电荷量ｑ变化的图像如图４所示．请按照他的想法，推导电容器储存的能量．图４ ｕ－ｑ图像解析：电容器两极板间电压为ｕ′时，从一个极板搬运Δｑ的电荷量到另一极板，克服电场力所做的功近似为Ｗ＝Δｑｕ′，图像上体现为Δｑ上方小矩形的面积，类似于ｖ－ｔ图像，图线与横轴所围的面积表示的就是充电过程中克服电场力做功即最终储存的电能Ｅ＝１２ｑＵ＝１２ＣＵ２＝１２ｑ２Ｃ小结：克服电场力做功的过程就是其他形式的能转化为电容器储存的能量的过程．【例２】利用图像分析问题是物理学中常用的方法，其中的斜率、面积通常具有明确的物理意义．（１）小明以６ｍ／ｓ的初速度将足球水平踢出，足球在草坪上滚动直到停下来的全过程中的速度－时间图像如图５所示．图５中图线与坐标轴所围的面积等于１２个小方格的面积．求足球滚动了多远才停下来？解析：图５中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，每个小格代表的距离为１ｍ，所以足球滚动了１２ｍ才停下来．图５ 足球在草坪滚动时的ｖ－ｔ图像（２）用如图６所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系．实验时将电阻箱Ｒ的阻值调至２ ０００Ω，将开关Ｓ拨到ａ端，电源向电容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关Ｓ拨到ｂ端，电容器通过电阻箱放电．以Ｓ拨到ｂ端时为ｔ＝０时刻，电压传感器测得的电压Ｕ随时间ｔ变化图像如图７所示．忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问题．求电容器所带电荷量的最大值．图６ 研究电容器放电过程电路图图７ 电阻箱两端Ｕ－ｔ图像解析：Ｕ－ｔ图像面积无物理意义，但改造成ＵＲ ｔ图像即Ｉ－ｔ图像，面积即最大电荷．在电容器放电过程中的极短时间内有ΔＱ＝ＩΔｔ根据欧姆定律有Ｉ＝ＵＲＵ ｔ图线与ｔ轴所围面积除以电阻Ｒ即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于１２个小方格的面积．因此电容器所带电荷量的最大值Ｑ＝６×１０－３ Ｃ小结：非规则图形如何求总面积？数格！对于不是整格的，将不足半格与超过半格凑成一个整格，但不好凑怎么办？舍去不足半个的，只数超过半个的就可以！不能恰好凑成一个呢？数格子也是一种测量方法，有误差不可避免！可以将格子分得尽可能小，以减小误差．计算时，注意横纵轴的物理单位．这种思想在“用油膜法估测分子大小”的实验中得到很好的体现．【例３】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如８所示．考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度ａ随时间ｔ变化．已知电梯在ｔ＝０时由静止开始上升，ａ－ｔ图像如图９所示．类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由ｖ－ｔ图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图９所示ａ－ｔ图像，求电梯在第１ｓ内的速度改变量Δｖ１和第２ｓ末的速率ｖ２．图８ 电梯简化模型图９ 电梯ａ－ｔ图像解析：Δｖ１＝１２×１×１ｍ／ｓ＝０．５ｍ／ｓｖ２＝Δｖ２＝１２（１＋２）×１ｍ／ｓ＝１．５ｍ／ｓ小结：面积是速度的变化量而不是速度，清楚乘积的物理意义才能正确解决问题．【例４】如图１０所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块（可视为质点）的质量为ｍ，在水平桌面上沿ｘ轴运动．以弹簧原长时物块的位置为坐标原点Ｏ，当弹簧的伸长量为ｘ时，物块所受弹簧弹力大小Ｆ＝κｘ，κ为常量．请画出Ｆ随ｘ变化的示意图，并根据Ｆ－ｘ图像求物块沿ｘ轴从Ｏ点运动到位置ｘ的过程中弹力所做的功．图１０ 例４情境图解析：根据胡克定律Ｆ＝κｘ，可以画出Ｆ－ｘ图像如图１１所示，有Ｗ＝－１２κｘ２图１１ Ｆ－ｘ图像小结：弹簧弹力的功写成－κｘ·ｘ则是以末状态的力充当了全程的力，忽视了弹簧弹力是变力的特点．【例５】如图１２所示的匀强磁场内有一光滑水平轨道，在外力作用下，金属杆从Ｏ点由静止开始向右做匀加速运动．加速度大小为ａ，磁感应强度大小为Ｂ，光滑轨道宽Ｌ，左侧电阻阻值为Ｒ，不计其他电阻．求在从静止开始的一段时间ｔ内安培力的冲量大小．图１２ 例５情境图解析：根据题意有Ｆ安＝ＢＩＬＩ＝ＢＬｖＲｖ＝ａｔ联立以上３式Ｆ安＝Ｂ２ Ｌ２ ａＲｔ画出安培力的冲量与时间关系的Ｆ安－ｔ图像，如图１３所示，由图像面积可得安培力的冲量Ｉ安＝１２ｔＢ２ Ｌ２ ａＲｔ＝Ｂ２ Ｌ２ ａ２Ｒｔ２图１３ Ｆ安－ｔ图像小结：可否不画图，直接根据安培力的平均值Ｆ安＝０＋Ｂ２ Ｌ２ ａｔＲ２计算冲量？不可以，因为需要体现Ｆ安与时间ｔ是线性关系．２ 物理方程的先微分再积分【例６】如图１４所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ，一个质量为ｍ，电荷量为＋ｑ的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现使圆环以初速度ｖ０向上运动，经时间ｔ圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为ｇ．求当圆环回到出发位置时速度ｖ的大小．图１４ 例６情境图解析：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力ｍｇ，水平方向的洛伦兹力ｑｖＢ，细杆的弹力Ｎ和摩擦力ｆ，其中ｆ一直与运动方向相反，且摩擦力的大小ｆ＝μＮ＝μｑｖＢ圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有Ｉｆ－ｍｇｔ＝－ｍｖ－ｍｖ０而Ｉｆ＝－∑ｆ上ｉｔ上ｉ＋∑ｆ下ｉｔ下ｉ＝－∑μｑｖ上ｉＢｔ上ｉ＋∑μｑｖ下ｉＢｔ下ｉ＝－μｑＢ∑ｖ上ｉｔ上ｉ＋μｑＢ∑ｖ下ｉｔ下ｉ＝μｑＢ（ｘ下－ｘ上）＝０所以ｖ＝ｇｔ－ｖ０小结：需要对上下两个过程分别使用微积分，因为向上运动的距离与返回运动的距离相等，最终求得滑动摩擦力的冲量为零．【例７】如图１５所示，在竖直向下的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ．一质量为ｍ的导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．若轨道左端Ｍ与Ｐ间接一电容器，电容器的电容为Ｃ，导体棒在水平向右恒力Ｆ的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中加速度的大小．图１５ 例７情境图解析：导体棒ａｂ向右加速运动，在极短时间Δｔ内，导体棒的速度变化Δｖ，根据加速度的定义ａ＝ΔｖΔｔ导体棒产生的电动势变化ΔＥ＝ＢＬΔｖ电容器增加的电荷Δｑ＝ＣΔＥ＝ＣＢＬΔｖ根据电流的定义Ｉ＝ΔｑΔｔ解得Ｉ＝ＣＢＬａ导体棒ａｂ受到的安培力Ｆ安＝ＢＩＬ＝Ｂ２ Ｌ２ Ｃａ根据牛顿第二定律Ｆ－Ｆ安＝ｍａ解得ａ＝Ｆｍ＋ＣＢ２ Ｌ２小结：加速度是恒定的吗？不清楚！为了求出加速度，分割后看成是匀变速运动，此处也是化变为恒，是化变加速为匀加速，即变化的ａ转化为恒定的ａ．从最终结果看出，ａ与时间无关，也就是说各段的ａ相同，即全程是匀加速直线运动．上什么山唱什么歌，具体问题要具体分析．【例８】在磁感应强度为Ｂ，方向如图１６所示的匀强磁场中，两根平行且光滑的金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ，电阻不计．轨道端点Ｍ和Ｐ间接有阻值为Ｒ的电阻．一个长为Ｌ，质量为ｍ，阻值为ｒ的金属导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．给导体棒ａｂ瞬时速度ｖ０，求：金属棒ａｂ向前运动的最大距离ｘ．图１６ 例８情境图解析：以金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δｔ内根据动量定理 ＢｉＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（１）在某时刻根据全电路欧姆定律ｉ＝ＢＬｖｉＲ＋ｒ（２）由式（１）、（２）得 ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（３）ａｂ经时间ｔ停下来，对式（３）在时间ｔ内求和 ∑ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝∑ｍΔｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬ∑ｖｉΔｔ＝ｍ∑Δｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬｘ＝ｍｖ０（４）解得ｘ＝ｍｖ０（Ｒ＋ｒ）Ｂ２ Ｌ２小结：安培力的冲量，用式（４）左侧计算出的结果是真实值还是近似值？式（１）左侧的匀速如何对应于右侧的变速？下面简要说明为什么是近似值．对于在一极短时间Δｔ内，初速度为ｖｉ的匀减速直线运动过程，结合Ｆ安－ｔ图像，如图１７所示，安培力的冲量ＩＦｉ＝１２Ｂ２ Ｌ２ｖｉＲ＋ｒ＋Ｂ２ Ｌ２（ｖｉ－ａΔｔ）Ｒ＋ｒ［］Δｔ＝Ｂ２ Ｌ２２（Ｒ＋ｒ）（２ｖｉΔｔ－ａΔｔ ２）图１７ Δｔ时间内Ｆ安－ｔ图像因为Δｔ为一极短时间，Δｔ ２相对于Δｔ来说可以忽略不计，所以ＩＦｉ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｖｉΔｔ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘｉ同样ａｂ经时间ｔ停下来，对上式在时间ｔ内求和ＩＦ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘ与式（４）左侧一致，因此近似在Δｔ ２的忽略上．物理结果是存在误差的，但这个误差是极小的，可以满足实际的需要．微积分思想与整体法和隔离法是一脉相承的，只是操作时，先分析可研究的局部，再获得整体，适当的练习有益于学生尤其是高三学生物理思维的提升．参考文献１ 程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社．２０１６２ 匡继昌．微积分和无穷小量的哲学思考．数学教育学报，２００７，１６（２）。
普通物理中的微积分
积分号
北京工业大学
f ( x )dx F ( x ) C
被积函数 积分变量 积分常数
应用数理学院
常见的积分方法-换元积分法
1
1 x
dx
1 x d x 1 ln
1 1 x
1
1
|1 x | C
1 1 x d x 1
1 x dx
1 x
2
4R 4R
0
2
sin d(cos ) - sin d
2
4 ab sin d(cos )
2
0
2
0
2
ab
d
2
4R
2
0
cos(2 ) - 1 2 -1 2
2
4R
2
0
2
d R
北京工业大学
应用数理学院
北京工业大学
或
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
x x0
应用数理学院
导数的几何意义
考虑一维情形，设随时间变化的位矢为x(t)
t 0
lim
x (t t 0 ) x (t ) t
x (t )
x t
dx dt
函数在某一点的 导数等于函数曲 线在此点的切线 的斜率。
北京工业大学
定积分应用举例
计算圆和椭圆的面积
R
b
x R cos y R sin
S
x a cos a y b sin
0
S
数学在物理学中的应用微积分与偏微分方程
数学在物理学中的应用微积分与偏微分方程引言：数学作为科学研究的基础，广泛应用于各个领域，其中物理学是数学应用最为深入的领域之一。
在物理学的研究过程中，微积分和偏微分方程是两个重要的数学工具，它们在解决物理问题、描述物理现象以及研究物理定律方面起着重要的作用。
本文将重点介绍微积分和偏微分方程在物理学中的应用，探讨这两个数学工具对于物理学的贡献。
一、微积分在物理学中的应用：1. 微积分的概念与性质：微积分研究的是函数的极限、导数、积分以及相关性质。
在物理学中，很多问题可以通过微积分的方法进行数学建模，并通过对函数的微分和积分运算求解得到实际问题所需要的结果。
2. 物理学中的速度、加速度与微积分：速度和加速度是物理学中研究物体运动的重要概念。
利用微积分的导数概念，可以精确地描述物体的速度和加速度变化。
通过对运动曲线进行微分，可以得到物体在不同时刻的速度；再对速度曲线进行微分，可以得到物体在不同时刻的加速度。
3. 微积分在牛顿力学中的应用：微积分在牛顿力学中有着广泛的应用。
其中包括质点运动的描述、力的计算、牛顿第二定律的证明等。
通过微积分的方法，可以建立起牛顿力学的数学模型，并通过求解微分方程得到运动的轨迹、速度和加速度等物理量。
4. 微积分在电磁学中的应用：在电磁学中，麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程。
通过将电磁场的各个物理量进行微分和积分运算，可以得到麦克斯韦方程组的解，从而描述电磁场的分布和变化。
二、偏微分方程在物理学中的应用：1. 偏微分方程的基本概念：偏微分方程是描述函数多个变量的变化关系的方程。
在物理学中，很多问题需要同时考虑多个变量之间的关系，例如空间分布、时间演化等。
因此，偏微分方程成为解决这类问题的重要工具。
2. 偏微分方程在热传导中的应用：热传导是物理学中研究物体温度分布和变化的现象。
通过建立热传导的数学模型，可以得到物体中温度的变化规律，进而解决一些与热传导相关的问题。
3. 偏微分方程在波动现象中的应用：波动现象是物理学中重要的研究对象，包括机械波、电磁波等。
微积分思想在高中物理中的应用
微积分思想在高中物理中的应用
高中物理中的微积分思想的应用可以有很多，大概有下面几个方面，都属于微积分思想的重要应用。
首先，在力学中，物理学家使用微积分的思想来探究任何物体的
运动情况，主要是通过计算加速度、速度和位置，也就是计算物体运
动的函数来求解。
例如，如何分析一个物体自由落体运动的轨迹和速度，就要用到微积分思想。
其次，牛顿第二定律中又引入了微积分思想，牛顿第二定律可以
用F=ma表示，其中F代表力，m代表质量，a代表加速度。
加速度的
变化就是微积分中的导数概念，用微积分的思想，可以很容易地计算
出速度的变化。
此外，在动能定理中也用到了微积分思想，动能定理可以用来计
算物体的动能，例如可以用它来计算物体下落时的动能和势能的大小，也可以用来求解物体的动量变化。
总之，微积分思想在高中物理学中应用十分广泛，不仅仅可以用
来计算物体的运动轨迹，还可以用来求解力学中的力和动量，对物理
学学习有着不可或缺的作用。
利用微积分解决物理问题
利用微积分解决物理问题微积分是数学中的一门重要工具，被广泛应用于各个领域，尤其在物理学中有着重要的作用。
利用微积分的方法可以解决许多与物理相关的问题，本文将通过介绍几个具体的例子，来说明微积分在物理问题中的应用。
1. 物体的运动分析假设有一个物体在直线上做匀速运动，我们想知道在任意一时刻物体的位置。
根据微积分的思想，我们可以通过对速度函数进行积分，得到物体在不同时间的位置函数。
如果物体的速度函数是$v(t)$，其中$t$表示时间，那么物体的位置函数可表示为$s(t)=\int v(t)dt$。
通过计算速度函数积分的结果，我们可以准确地描述物体的位置随时间的变化规律。
2. 弹簧振子的运动弹簧振子是物理学中常见的系统之一。
我们可以用微积分来分析弹簧振子的运动情况。
假设有一个弹簧振子，其位移函数为$x(t)$，其中$t$表示时间。
根据牛顿第二定律，我们可以得到$x(t)$满足的微分方程$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$，其中$m$是质量，$k$是弹簧的劲度系数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到弹簧振子的位移随时间的变化规律。
3. 计算物体的质量在一些实验中，我们需要知道物体的质量。
我们可以利用微积分中积分的思想来解决这个问题。
假设我们测得一个物体在不同时间下的速度函数为$v(t)$，我们可以通过对速度函数进行积分，来得到物体在不同时间下的位移函数$x(t)$。
假设物体在时间$t_1$到$t_2$之间的位移为$\Delta x$，那么根据牛顿第二定律，物体所受合外力的大小等于物体质量乘以加速度，即$F=ma$。
根据牛顿第二定律可以得到力函数$F(t)$和加速度函数$a(t)$之间的关系$F(t)=ma(t)$。
利用最终的位移函数$x(t)$，我们可以求解出物体所受外力的大小。
4. 计算物体的密度物体的密度是物理学中的一个重要概念，用以描述物体单位体积内的质量。
对于一个具有均匀密度的物体，通过微积分的方法可以计算出其密度。
数学物理学中的微积分与偏微分方程
数学物理学中的微积分与偏微分方程微积分和偏微分方程是数学物理学中最基础、最重要的两个概念。
微积分研究的是函数的极限、导数、积分等基本概念，是数学分析的基础。
而偏微分方程则是描述物理学现象的重要工具，它涉及到空间和时间的变量，可以用来描述热传导、电磁场、流体力学等现象。
微积分是一门非常重要的数学学科，它是现代科学研究的基石，无论在物理学、工程学还是经济学等领域都有着广泛的应用。
微积分研究的主要内容包括极限、导数、积分等基本概念和理论。
极限是微积分中最基础的概念，它是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个值。
导数和积分则是极限的应用，它们分别描述了函数的变化率和累积效应。
在物理学中，偏微分方程是非常重要的工具。
它可以用来描述许多物理学现象，如热传导、电磁场、流体力学等。
在这些领域中，偏微分方程的应用包括计算机模拟、数据分析、图像处理等。
偏微分方程的求解方法有很多种，其中最常用的是分离变量法和特征线法。
分离变量法是指将未知函数拆分为几个已知函数的乘积，然后将方程化为每个函数独立的方程，再求解这些方程得到整个解。
而特征线法则是通过寻找方程中的特征线，将偏微分方程化为常微分方程，然后再求解得到整个解。
在物理学中，偏微分方程和微积分常常是同时应用的。
例如，在热传导的问题中，温度的变化可以用偏微分方程描述，而热量的传递则可以用微积分中的导数和积分来计算。
类似地，在电磁场问题中，电场和磁场的强度可以用偏微分方程表示，而电场力和磁场力则可以用微积分中的导数来计算。
总之，微积分和偏微分方程都是非常重要的数学工具，在物理学中有着广泛的应用。
它们为物理学研究提供了基础和支持，同时也为人们探索自然界带来了更多的可能性。
微积分思想在高中物理中应用赏析
微积分思想在高中物理中的应用赏析【摘要】微积分是微分学和积分学的总称。
以直代曲，以线性化方法解决非线性问题是其思想精髓所在。
【关键词】微积分思想变力做功电场强度电荷量等无限细分就是微分，无限求和就是积分，这种用极限思想处理问题的方法就是微积分。
思想丰富了我们处理问题的方法。
因此，我们有必要对其进行了解和学习。
本文将从以下几个方面就其在高中物理中的应用作赏析。
1.相关物理图象中面积的含义“研究匀变速直线运动的位移与时间的关系”一节，利用v-t图象把质点运动过程无限细分，继而把各微分段位移无限求和，得到v-t图象与坐标轴所围面积即质点在相应时间内所发生的位移。
通过面积计算导出了匀变速直线运动的位移公式：x=v0t+12at2。
——时间关系导出过程中，微积分思想得到了淋漓尽致地体现。
从该思想出发，我们还可以得到很多物理图象中面积的含义。
如：f-t图象与坐标轴所围面积表示相应的冲量； f-x图象与坐标轴所围面积表示相应的功；p-v图象与坐标轴所围面积表示气体状态变化过程中相应的功；i-t 图象与坐标轴所围面积表示相应的电荷量等。
利用’面积’解题有时会有事半功倍的效果，此点不再举例赘述。
2.研究变力做功问题w=fscosθ直接求出，变力做的功可由功能关系和能量关系来求解。
但借助微积分思想，我们也可直接去求变力的功。
其思路是：把质点发生的位移无限细分，在每一小段位移上，力的变化很小，可以视其为恒力，先求出力在各个小段的功，再把各个小段上的功无限求和，即可得到变力所做的功。
1 由胡克定律知，弹簧在拉伸过程中需要的力f（单位：n）与伸长量（单位：m）成正比，即f=kx（k是劲度系数）。
如果把弹簧由原长拉伸 m，计算所做的功。
2以弹簧原长处为原点建立x轴，把x平分为n段，则每一微分段的长度为△x=xn，各微分段到o点的距离为i(△x)=ixn（i=0、1、2、……、n）。
w i=(i△x)(△x)=ikx 2n 2弹性势能可表示为e p=12kx2，式中为弹簧的伸长量或压缩量。
普通物理中的微积分
温度和热容量之间存在密切的微积分关系，通过微积分可以描述温度的变化和热 容量的累积效应。
详细描述
在热学中，温度是描述物体热状态的重要参数，而热容量则反映了物体在温度变 化时吸收或释放能量的能力。通过微积分，我们可以分析温度的分布和变化规律 ，以及热容量对温度变化的响应。
热量与熵的微积分关系
总结词
普通物理中的微积分
contents
目录
• 引言 • 微积分在力学中的应用 • 微积分在电磁学中的应用 • 微积分在热学中的应用 • 微积分在光学中的应用 • 结论
01 引言
微积分在物理学中的重要性
解决物理问题
微积分是解决物理问题的重要工 具，它提供了描述物理现象变化 和运动的方法。
描述连续变化
重力是由于地球质量产生的吸引力，重力的微分可以用来计算物体在单位时间内受到的重力变化。
重力的积分
重力是位置对质量的积分，表示物体在空间中由于质量分布而产生的引力场。重力的积分可以用来计 算物体在空间中受到的引力大小。
03 微积分在电磁学中的应用
电场与电势的微积分关系
总结词
电场和电势之间存在密切的微积分关系，通过微积分可以描述电场的分布和变 化规律。
详细描述
根据安培环路定律，磁场与电流之间的关 系可以通过微积分运算来描述。在稳恒电 流情况下，磁场与电流密度矢量J存在密切 关系，即∮B·dl=μ₀∮J·dA。奥斯特-马科夫 斯基定律则表明电流产生磁场，电流的变 化也会引起磁场的变化。
电阻与电导的微积分关系
总结词
电阻和电导之间存在倒数关系，即电导G=1/R，通过电导可以描述导体中电流的传导 能力。
05 微积分在光学中的应用
光速与光程的微积分关系
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物理中的微积分思想
你们不要老提我，我算什么超人，是大家同心协力的结果。
我身边有300员虎将，其中100人是外国人，200人是年富力强的香港人。
高中物理中微积分思想
浙江省湖州中学物理组潘建峰
伟大的科学家牛顿
有很多伟大的成就
建立了经典物理理论
比如：牛顿三大定律
万有引力定律等；另外
在数学上也有伟大的成就
创立了微积分
微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"
好像一个事物始终在变化你很难研究
但通过微元分割成一小块一小块
那就可以认为是常量处理
最终加起来就行
微积分学是微分学和积分学的总称
它是一种数学思想
'无限细分'就是微分
'无限求和'就是积分
无限就是极限
极限的思想是微积分的基础
它是用一种运动的思想看待问题
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一
在高中物理中
微积分思想多次发挥了作用
1、解决变速直线运动位移问题
匀速直线运动
位移和速度之间的关系x=vt；但变速直线运动那么物体的位移如何求解呢？
例1、汽车以10m/s的速度行驶
到某处需要减速停车
设汽车以等减速2m/s2刹车
问从开始刹车到停车
汽车走了多少公里？
【解析】现在我们知道
根据匀减速直线运动速度位移公式就可以求得汽车走了0.025公里
但是
高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的
其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分
在每一份时间微元内
速度的变化量很小
可以忽略这种微小变化
认为物体在做匀速直线运动
因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加
即"无限求和"
则总的位移就可以知道
现在我们明白
物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的"面积"
即
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系从开始刹车到停车的时间t=5s
所以汽车由刹车到停车行驶的位移
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题
对一般的变速直线运动
只要结合物理知识求速度关于时间的函数
画出v－t图像
找"面积"就可以
或者
利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
恒力做功
我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功
我们如何求解呢？
例2：如图所示
质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动
已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为
求物体从轨道最低点运动到最高
点的过程中
摩擦力做了多少功
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中在不同位置与圆环间的正压力不同
故而摩擦力为一変力
本题不能简单的用来求
可由圆轨道的对称性
在圆轨道水平直径上、下各取两对称位置A和B
设OA、OB与水平直径的夹角为θ
在的足够短圆弧上
△S可看作直线
且摩擦力可视为恒力
则在A、B两点附近的△S内
摩擦力所做的功之和可表示为：
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动
所以：
综合以上各式得：
故摩擦力对车所做的功：
【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力
从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为
小结：这题是一个复杂的变力做功问题
利用公式直接求功是难以办到的
利用微积分思想
把物体的运动无限细分
在每一份位移微元内
力的变化量很小
可以忽略这种微小变化
认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加即"无限求和"
则总的功就可以知道
在高中物理中还有很多例子
比如我们讲过的瞬时速度
瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想所有这些例子都有它的共性
作为大学知识在高中的应用
虽然微积分高中不要求
但他的思想无不贯穿整个高中物理
"微积分思想"丰富了我们处理问题的手段拓展了我们的思维
我们在学习的时候
要学会这种研究问题的思想方法
只有这样
在紧张的学习中
我们才能做到事半功倍。