板料冲压成形回弹的数值模拟
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直至 %）对于每一个加载增量都要进行迭代， 收敛为止 ! "）每一节点都要达到力平衡和力矩平衡 ! 4）每一节点都要满足接触条件 ! 位移校正量是很小 6）相对于位移增量来说， 的! 则可增大增量 7）如果所需的迭代步骤不多， 幅度； 反之如果不能收敛， 则减少增量幅度 ! !"! 接触与摩擦模型 在静力隐式算法的计算中， 接触判断是迭代 ! 为满足接 触条件， 算法中采用了罚方程 ! 为防止嵌入情况的 发生， 两接触体接触边界的位移必须是相容的 ! 无 嵌入情况的运动约束条件可表达为 （6） ・ ’" 5 " 9 ! 9 " &（ "% 3 "" ） 式中 "% 、 （ 称为 “从物体” ） 和物体 " "" 为物体 % 万方数据 （称为 “主物体” ） 在接触边界上的位移矢量； "9 为 的关键， 在计算中占有很大的工作量
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不同算法对回弹计算的影响
在板料成形过程中， 回弹量是零件最终形状
与冲头行程结束时零件形状之间的差值 , 回弹量 的大小是材料性质和凹模形状的函数 , 材料的刚 性越大， 弹性模量越低， 弯曲角越大， 凹模间隙越 大， 回弹量越大
［%］
, 回弹实际上是卸载过程中材料
收稿日期：!"""#!!#$% 基金项目：国家 “八六三” 高技术计划资助项目 （&’(#%!!#&)$#$)$） 万方数据 作者简介：徐丙坤 （!"*( + ） ， 男， 山东聊城人， 博士生， 北京 , !$$$&(，
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计算实例
采用以上的分析计算模型， 对几个冲压件的
图1
回弹后的零件截面线形状
回弹现象进行了模拟， 证明该算法还是比较稳定 可靠的 ( 图 ) 和图 * 给出了采用该算法对轨道件 拉深成形和回弹后形状的模 拟 结 果 ( 其 中， $" *+, -++ ./0， # " + ( - 22， % " + ( )， ! " + ( 1， ""
中图分类号：-. (&’ , (! 文献标识码：/ 文 章 编 号：!$$!#%"’% （)$$!） $)#$!"0#$0 回弹是板料冲压成形过程中不可避免的现 象 , 它的存在影响了零件成形的精度， 增加了试、 修模以及成形后校形的工作量， 故在生产实际中 迫切需要对此采取行之有效的措施 , 回弹问题的 数值模拟正是适应这一需要而产生的 , 目前， 国外 许多学者在回弹分析和工程控制方面做了大量研
+ (*), （)+ $ 5 %#） 314 ./0 ( 该 零 件 为 67.89:;;#’ ’, 标准考题 ( 图 1 为该标准考题给出的回弹后的零
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结束语
板料成形的数值模拟技术目前已经取得了很
大的进展， 进入了实际应用阶段 ( 但是需要指出的 是， 回弹问题是一个相当复杂的问题， 模拟结果的 准确与否不仅与回弹算法有关， 而且与回弹前成 形阶段的模拟结果直接相关 ( 本算法较为稳定， 且 与标准考题参考实验结果基本相符， 但还需要进 一步定量分析其准确性 ( 参 考 文 献
第"期
徐丙坤等： 板料冲压成形回弹的数值模拟
%A7
定性， 分析时间常常比模拟成形过程所要的时间 还要长 ! 质量加大技术虽然可以加速成形模拟过 程， 但它对回弹第 " 步计算是毫无帮助的， 因为加 大质量的同时也加大了达到静平衡的时间 ! 为预 测回弹后零件的形状， 大部分学者建议采用静力
［#］ 隐式方法 !
（ !） （ !） （ !） （ !） （"） ! $ & % 3 & （ !） （ !） ! 为当前的切向刚度矩阵； $ 为位移纠
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回弹的过程模拟
作者自行开发的虚拟冲压软件 21((*>+=? 已初
具规模， 该软件采用静力隐式算法， 能较好地模拟 覆盖件的冲压成形的过程 ! 结合该软件实际， 计算 回弹时在开始阶段首先去掉冲头、 凹模、 压边圈等 工具， 恢复所有接触节点力 ! 然后用与拉深过程相
% 5 !% 为当前时间； & 0 为总的分析计算时
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（ ） 荷向量； * ! 为内应力向量 ! （ !） （ !） 内应力向量 * 由各单元内应力向量 * 组 ( （ !） 装而成 ! 单元内应力向量 * 可按如下公式计算： (
（ !） （ !） 正向量； 为外力向量； 为内力向量 ! % & 位移增量由 （4） 式得到 ! （ ! 5%） （ !） （ !） & !" 5 $ !" 算法中的要点如下：
（4）
同的增量方法将所有接触节点力按比例卸载， 直 到接触节点力消失 ! 具体的可总结如下： 首先给拉深结束后的板料一个假想的应力状 态! ， 该应力与拉深结束后板料的应力 !@ 相平
件截面线形状， 该截面线过图 * 所示 $ 、 & 点(对 比图 ) 和图 * 可以看出， 由于残余应力作用， 轨道 件拉深卸载后发生了较为明显的回弹现象 ( 轨道 底部与侧壁间弯曲角变大， 侧壁向外倾斜； 侧壁与 凸缘间弯曲角变小， 凸缘向下倾斜 ( 对比图 * 和 图 1 可知， 回弹模拟结果与标准考题参考结果基
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板料成形的过程模拟
基本方程 高效的有限元求解方法是开发实用板料成形
［$］ 模拟系统最基本、 最重要的条件 ! 如 % 节所述， 在回弹模拟过程中采用静力隐式算法是比较合适
的 ! 静力隐式时间积分算法假设板料冲压整个过 程均处于类似平衡状态， 其每一时间积分步均保 将所有 持平衡条件 ! 把物体离散为有限元单元后， 的节点方程集合起来就可以得到 （%） !" & # 式中 ! 为总刚度矩阵； 为位移向量； 为节 " # 点载荷向量 ! 在隐式算法中， 对于第 ! 个给定的加载增量， 用 ’()*+,-./012+, 迭代法， 需要求解下面的方程： 式中
" 个物体的初始间隙； ’" 为物体 " 的单位外法矢 ! 在方程 （6） 中， 当 " : 9 时， " 个物体处于分离 状态， 当 "&9 " 为 " 个接触物体间的当前间隙； 时， 当 " ; 9 时， " 个物体处于接触状态； " 个物体 处于相互嵌入状态， " 为嵌入量 ! 嵌入状态是不允 许的， 应该消除 ! 如果从物体的节点嵌入到了主物 体中， 则应为其增加一个接触面力向量 ( 2 ! ( 2 按 式计算： （7） ( 2 & 3 "#’" 式中 （7） 由用户根据允许的嵌入量视 # 为罚因子， 具体情况而定 ! 为考虑板料与工具间在接触点的摩擦力， 修 改后的库仑摩擦模型如下： ) " （#） ( & 3 ! < # ’ < */,3% = $ " 式中 ! 为库仑摩擦系数； ) = 为板料与工具间的 相对速度； < # ’ < 为工具表面的法向力； $ 为介于 其取值视具体情况而定 ! %9 3 " 和 %9 3 6 之间的常数，
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北京航空航天大学学报 :7;8<=> 76 ?4@A@<B C<@D482@5E 76 /487<=;5@F2 =<G /2587<=;5@F2
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板料冲压成形回弹的数值模拟
徐丙坤
摘百度文库
施法中
（北京航空航天大学 机械工程及自动化学院）
［8］
衡， 可以使变形板料在进行回弹分析的开始处于 静态平衡状态 ! 在分析过程中， 假想应力按照步长
［#］ 的线性函数逐渐减少， 直至完全去除 ， 保证采用
’()*+,-./012+, 迭代法每一增量步的静态平衡 ! 对 每一增量步：
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（ !） 中， 式中 ! 为当前应力 ( 在当前刚度矩阵 # （ !） " 初始应力刚度的计算基于等效应力 ! $ !# % !# (
当假想应力完全去除后， 计算完毕， 可得到回弹后 的板料形状及其相应的残余应力 (
［!］ ［0］ 1 究， 并取得了许多成果 ， 但由于问题本身的
的附加变形 , 回弹最终导致的零件缺陷包括尺寸 偏差、 侧壁卷曲以及内在的残留应力应变等缺陷 , 卸载过程基本上是弹性的 , 但是当板料经过 冲头和凹模圆角时， 会出现弯曲和拉直现象， 可能 发生再次屈服， 所以认为该过程也可能是一个弹 塑性过程 , 完整的回弹数值模拟分为 ) 步： 冲头落下板 料成形的过程模拟和去除冲头等工具板料回弹的 过程模拟 , 前 ! 步计算是回弹过程模拟的基础， 为 其提供应力、 应变等数据， 该步计算的准确与否将 直接影响回弹计算的精度 , ) 步计算可分别采用 不同的算法 , 数值模拟主要有 ) 种算法： 静力隐式算法和 动力显式算法 , ) 种算法的区别在于静力隐式算 法需要构造和求解刚度矩阵， 每一步迭代都要进 行接触判断， 往往会出现迭代不收敛的情况， 计算 速度慢， 但计算精度高； 而动力显示算法不需要构 造和求解刚度矩阵， 因此该算法的最大优势是计 算速度快 , 实践证明， 动力显式算法计算的应力是不准 确的， 而残余应力恰恰是造成回弹现象的关键所 在， 因此认为在回弹模拟的第 ! 步采用动力显式 算法是不合适的 , 虽然动力显式算法在计算以接 触为主的问题时速度相当快， 但是当用于不存在 接触并且以低频率方式变形的柔性结构时 （最典 型的是回弹模拟的第 ) 步计算） ， 为保证算法的稳
要：回弹是板料成形过程中不可避免的现象 , 回弹的数值模拟作为解
决回弹问题的有效方法， 越来越受到工业界和学术界的重视 , 完整的回弹数值模拟分 为 ) 步， 即冲头加载成形过程模拟和冲头卸载回弹过程模拟 , 本文比较了静力隐式和 动力显式 ) 种算法在计算回弹问题时的优劣， 采用静力隐式算法建立了计算冲头加 载成形过程模拟和冲头卸载回弹过程模拟的有限元模型， 并利用自行开发的软件给 出了计算实例 , 关 键 词：数值模拟；回弹；冲压；板料成形
复杂性， 目前仅能在一定程度上预测出近似的回 弹值， 再根据回弹值进行控制补偿 , 回弹模拟的精 由于商 度也因所采用的算法的不同而不同 , 另外， 业竞争等其它原因， 即使商业软件中已经成熟的 算法， 也很难从文献中发现， 这也是国外该类软件 垄断我国市场的主要原因之一 , 本文首先比较了板料成形过程数值模拟的静 力隐式算法和动力显式算法对回弹计算精度的影 响， 在此基础上采用静力隐式算法结合自行开发 的虚拟冲压软件 234456789， 建立了简单有效的回 弹问题计算模型， 并给出了计算实例 ,
直至 %）对于每一个加载增量都要进行迭代， 收敛为止 ! "）每一节点都要达到力平衡和力矩平衡 ! 4）每一节点都要满足接触条件 ! 位移校正量是很小 6）相对于位移增量来说， 的! 则可增大增量 7）如果所需的迭代步骤不多， 幅度； 反之如果不能收敛， 则减少增量幅度 ! !"! 接触与摩擦模型 在静力隐式算法的计算中， 接触判断是迭代 ! 为满足接 触条件， 算法中采用了罚方程 ! 为防止嵌入情况的 发生， 两接触体接触边界的位移必须是相容的 ! 无 嵌入情况的运动约束条件可表达为 （6） ・ ’" 5 " 9 ! 9 " &（ "% 3 "" ） 式中 "% 、 （ 称为 “从物体” ） 和物体 " "" 为物体 % 万方数据 （称为 “主物体” ） 在接触边界上的位移矢量； "9 为 的关键， 在计算中占有很大的工作量
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不同算法对回弹计算的影响
在板料成形过程中， 回弹量是零件最终形状
与冲头行程结束时零件形状之间的差值 , 回弹量 的大小是材料性质和凹模形状的函数 , 材料的刚 性越大， 弹性模量越低， 弯曲角越大， 凹模间隙越 大， 回弹量越大
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回弹后的零件截面线形状
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结束语
板料成形的数值模拟技术目前已经取得了很
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徐丙坤等： 板料冲压成形回弹的数值模拟
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（ !） （ !） （ !） （ !） （"） ! $ & % 3 & （ !） （ !） ! 为当前的切向刚度矩阵； $ 为位移纠
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回弹的过程模拟
作者自行开发的虚拟冲压软件 21((*>+=? 已初
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（ !） （ !） 正向量； 为外力向量； 为内力向量 ! % & 位移增量由 （4） 式得到 ! （ ! 5%） （ !） （ !） & !" 5 $ !" 算法中的要点如下：
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板料成形的过程模拟
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" 个物体的初始间隙； ’" 为物体 " 的单位外法矢 ! 在方程 （6） 中， 当 " : 9 时， " 个物体处于分离 状态， 当 "&9 " 为 " 个接触物体间的当前间隙； 时， 当 " ; 9 时， " 个物体处于接触状态； " 个物体 处于相互嵌入状态， " 为嵌入量 ! 嵌入状态是不允 许的， 应该消除 ! 如果从物体的节点嵌入到了主物 体中， 则应为其增加一个接触面力向量 ( 2 ! ( 2 按 式计算： （7） ( 2 & 3 "#’" 式中 （7） 由用户根据允许的嵌入量视 # 为罚因子， 具体情况而定 ! 为考虑板料与工具间在接触点的摩擦力， 修 改后的库仑摩擦模型如下： ) " （#） ( & 3 ! < # ’ < */,3% = $ " 式中 ! 为库仑摩擦系数； ) = 为板料与工具间的 相对速度； < # ’ < 为工具表面的法向力； $ 为介于 其取值视具体情况而定 ! %9 3 " 和 %9 3 6 之间的常数，
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板料冲压成形回弹的数值模拟
徐丙坤
摘百度文库
施法中
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［8］
衡， 可以使变形板料在进行回弹分析的开始处于 静态平衡状态 ! 在分析过程中， 假想应力按照步长
［#］ 的线性函数逐渐减少， 直至完全去除 ， 保证采用
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［!］ ［0］ 1 究， 并取得了许多成果 ， 但由于问题本身的
的附加变形 , 回弹最终导致的零件缺陷包括尺寸 偏差、 侧壁卷曲以及内在的残留应力应变等缺陷 , 卸载过程基本上是弹性的 , 但是当板料经过 冲头和凹模圆角时， 会出现弯曲和拉直现象， 可能 发生再次屈服， 所以认为该过程也可能是一个弹 塑性过程 , 完整的回弹数值模拟分为 ) 步： 冲头落下板 料成形的过程模拟和去除冲头等工具板料回弹的 过程模拟 , 前 ! 步计算是回弹过程模拟的基础， 为 其提供应力、 应变等数据， 该步计算的准确与否将 直接影响回弹计算的精度 , ) 步计算可分别采用 不同的算法 , 数值模拟主要有 ) 种算法： 静力隐式算法和 动力显式算法 , ) 种算法的区别在于静力隐式算 法需要构造和求解刚度矩阵， 每一步迭代都要进 行接触判断， 往往会出现迭代不收敛的情况， 计算 速度慢， 但计算精度高； 而动力显示算法不需要构 造和求解刚度矩阵， 因此该算法的最大优势是计 算速度快 , 实践证明， 动力显式算法计算的应力是不准 确的， 而残余应力恰恰是造成回弹现象的关键所 在， 因此认为在回弹模拟的第 ! 步采用动力显式 算法是不合适的 , 虽然动力显式算法在计算以接 触为主的问题时速度相当快， 但是当用于不存在 接触并且以低频率方式变形的柔性结构时 （最典 型的是回弹模拟的第 ) 步计算） ， 为保证算法的稳
要：回弹是板料成形过程中不可避免的现象 , 回弹的数值模拟作为解
决回弹问题的有效方法， 越来越受到工业界和学术界的重视 , 完整的回弹数值模拟分 为 ) 步， 即冲头加载成形过程模拟和冲头卸载回弹过程模拟 , 本文比较了静力隐式和 动力显式 ) 种算法在计算回弹问题时的优劣， 采用静力隐式算法建立了计算冲头加 载成形过程模拟和冲头卸载回弹过程模拟的有限元模型， 并利用自行开发的软件给 出了计算实例 , 关 键 词：数值模拟；回弹；冲压；板料成形
复杂性， 目前仅能在一定程度上预测出近似的回 弹值， 再根据回弹值进行控制补偿 , 回弹模拟的精 由于商 度也因所采用的算法的不同而不同 , 另外， 业竞争等其它原因， 即使商业软件中已经成熟的 算法， 也很难从文献中发现， 这也是国外该类软件 垄断我国市场的主要原因之一 , 本文首先比较了板料成形过程数值模拟的静 力隐式算法和动力显式算法对回弹计算精度的影 响， 在此基础上采用静力隐式算法结合自行开发 的虚拟冲压软件 234456789， 建立了简单有效的回 弹问题计算模型， 并给出了计算实例 ,