2.2 传输线波动方程及其解
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电磁波第二章 传输线的基本理论
1 短线分布参数等效电路
短线分布参数可以用其集总的等效电路 表示。
z
iz, t
iz z, t
u z, t
L0 z R0 z
C 0 z G0 z
z
z
u z z, t
z z
一段传输线实际上就是由无穷多部分网络 链接的系统。
z
为什么高频条件下要考虑电路分布参数
1 2 L0 C 0 R0 G0 2 1 R0 G0 2 L0 C 0 2
解的具体形式
1 e l z 1 U Z I e l z U ( z ) U L Z 0 I L L 0 L 2 2 1 U L l z 1 U L ( z ) e l z I IL e Z0 I L 2 Z0 2 Z0
Z R 0 j L 0 Y G 0 jC 0
ZY (R0 jL0 )(G0 jC0 )
2
2 方程的通解
典型波动方程的解
U ( z ) A1e z A2 e z z z I ( z ) B1e B2 e 传播常数和波阻抗
f 0 50Hz
X L 2f 0 L0 2 50 0.99910
9
31410 / mm
3
BC 2f 0 C0 2 50 0.01111012 3.491012 S / mm
f 0 5000MHz
X L 2f 0 L0 2 5000106 0.999109 31.4 / mm
BC 2f 0 C0 2 5000106 0.01111012 3.49104 S / mm
传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二章传输线理论
第一部分表示由信号源向负载方向传播的行波，称之为入射波。 第二部分表示由负载向信号源方向传播的行波，称之为反射波。
习题：
2-1
2-2
入射波和反射波沿线
2-4
的瞬时分布图如图
第二章 传输线理论
2-3 传输线的特性参量
传输线的特性参量主要包括：相位常数、特性阻抗、 相速和相波长、输入阻抗、反射系数、驻波比(行波系数) 和传输功率等。
jZ0tgβ
z
=
jZ0tg
2πz λ
=
沿线电压电流的瞬时分布和振幅分布，如上图 jXin
第二章 传输线理论
2. 终端开路
由于负载阻抗 ZL = ∞ 因而终端电流 I2 = 0
U (0) = A1 + A2 = Ui2 +Ur2 = 2Ui2 ⇒Ui2 = Ur2
第二章 传输线理论
微波传输线大致可分三种类型
（1）TEM波 （2）TE、TM波 （3）表面波
第二章 传输线理论
二、分布参数及分布参数电路
传输线有长线和短线之分。所谓长线是指传输线的 几何长度与线上传输电磁波的波长比值(电长度)大于或 接近1，反之称为短线。
长线
分布参数电路
(Long Line)
考虑分布参数效应
u(z,t) = Re[U (z)e jωt ] = A1 cos(ω t + β z)+ A2 cos(ω t - β z) =ui (z,t ) + ur (z,t )
i(z,t) = Re[I (z)e jωt ]
=
A1 Z0
cos(ω
t+
β
z)-
A2 Z0
cos(ω
t-
传输线理论基础知识
入射电压与入射电流之比或反射电压与反射电流之比为特性阻抗（即波阻抗）。它的表示 式为（2-８），即：
一般情况下，Z0 为复数，其摸和幅角分别为：
特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5：
2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示：
一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。
1.2 传输线分布参数及其等效电路 长线的含义
长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1；反之，则 称为短线。可见二者是相对概念，取决于传输线的电长度而不是几何长度。
长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中 常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集 中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电 路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随 之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间 很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传 输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电 磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1、 L1、C1、G1分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、电导。
一般情况下，Z0 为复数，其摸和幅角分别为：
特性阻抗与频率的定性关系如下图2-5：
2.6 均匀传输线传播常数 传播常数γ表示行波经过单位长度后振幅和相位的变化。其表示式如下式所示：
一般情况下，传播常数γ复数，其实部α称为衰减常数, 单位为dB/m（有时也用Np/m,1Np/m=8.86 dB/m）；β为相移常数, 单位为rad/m。
1.2 传输线分布参数及其等效电路 长线的含义
长线是指传输线的几何长度和线上传输电磁波的波长的比值（即电长度）大于或接近于1；反之，则 称为短线。可见二者是相对概念，取决于传输线的电长度而不是几何长度。
长线和短线的区别还在于：前者为分布参数电路，而后者是集中参数电路。在低频电路中 常常忽略元件连接线的分布参数效应，认为电场能量全部集中在电容器中，而磁场能量全部集 中在电感器中，电阻元件是消耗电磁能量的。由这些集中参数元件组成的电路称为集中参数电 路。随着频率的提高，电路元件的辐射损耗，导体损耗和介质损耗增加，电路元件的参数也随 之变化。当频率提高到其波长和电路的几何尺寸可相比拟时，电场能量和磁场能量的分布空间 很难分开，而且连接元件的导线的分布参数已不可忽略，这种电路称为分布参数电路。
由此可见，微波传输线中的分布参数不可忽略，必须加以考虑。由于传输线的分布参数效应，使传 输线上的电压电流不仅是空间位置的函数。
均匀传输线的分布参数及其等效电路
根据传输线上分布参数均匀与否，可将传输线分为均匀和不均匀两种，下面讨论均匀传输线。 均匀传输线：所谓均匀传输线是指传输线的几何尺寸、相对位置、导体材料以及周围媒质特性沿电 磁波传输方向不改变的传输线，即沿线的参数是均匀分布的 在均匀传输线上，分布参数R、L、C、G是沿线均匀分布的，即任一点分布参数都是相同的，用R1、 L1、C1、G1分别表示传输线单位长度的电阻、电感 、电容、电导。
第二讲 传输线方程及解
复习要点
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔 霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与
特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
无耗解的初步解释
讨论电压波情况： 传播常数
入射波 入射波的相速：vi = dz/dt = /k
反射波 (+z方向)
反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向） 传播速度就是填充介质中的光速 无损耗传输线上波的传播速度为：
v p 1/ L'C ' 1 /
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解 注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为 方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。 传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。 从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲
传输线方程及解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V ( z, t ) z
V (z z, t) V (z, t) z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线理论ppt课件
i(z,t) z
Gl v(z,t) Cl
v(z,t) t
15
2）时谐均匀传输线方程
精选ppt课件
a）时谐传输线方程 电压和电流随时间作正弦变化或时谐变化，则 电压电流的瞬时值可用复数来表示：
v (z,t) V 0c o s(t v(z)) R eV 0 ejtejv(z) R eV (z)ejt i(z,t) I0c o s(t I(z)) R eI0 ejtejI(z) R eI(z)ejt
如传输线上无损耗，则为无耗传输线。即R=0, G=0。
有耗线
无耗线
11
精选ppt课件
对于铜材料的同轴线（0.8cm—2cm），其所填充介质为
r 2 .5 ,
则其各分布参数为：
1 8 0 S/m
Rl 0.32 10 2 / m Ll 1.83 10 7 H / m C l 0.15 10 9 F / m G l 6.8 10 8 S / m
第二章 传输线理论
精选ppt课件
§2.1 传输线方程 §2.2 传输线上的基本传输特性 §2.3 无耗线工作状态分析 §2.4 有耗线 §2.5 史密斯圆图 §2.6 阻抗匹配
1
§2.1 传输线方程
精选ppt课件
传输线 传输高频或微波能量的装置
(Transmission line)
天线
源
传输线
源
终端
2Z0
2Z0
23
精选ppt课件
令d = l - z，d为由终点算起的坐标，则线上任一点上有
V(d) VL Z0IL ed VL Z0IL ed
2
2
I(d) VL Z0IL ed VL Z0IL ed
2Z0
2_传输线理论(2)
V ( z + Δz ) − V ( z ) ⎧ = −( R + jω L) I ( z ) ⎪lim Δz ⎪ Δz →0 ⎨ I ( z + Δz ) − I ( z ) ⎪ = −(G + jωC )V ( z ) lim z Δ ⎪ Δz →0 ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
(1)
有
⎧ dV ( z ) ⎪ dz = −( R + jω L) I ( z ) ⎪ ⎨ ⎪ dI ( z ) = −(G + jωC )V ( z ) ⎪ dz ⎩
1 2
vp λp = f
2.3.4 输入阻抗
传输线上任意点z′处的电压与电流之比称为该点的输入阻抗
1 1 (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ V ( z ') 2 Z in ( z ') = = 2 1 1 I ( z ') (VL + Z 0 I L )eγ z′ − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ 2Z 0 2Z 0
(7)
2.2.4 传输线方程定解
对于终端边界条件场合， 常采用z′(终端出发)坐标系， 即
z′ = L − z,
可表示为
1 1 ⎧ ′) = (VL + Z 0 I L )eγ z′ + (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = Vi ( z ′) + Vr ( z ′) ⎪V ( z 2 2 ⎪ (8) ⎨ 1 1 γ z′ ⎪ I ( z ′) = (VL + Z 0 I L )e − (VL − Z 0 I L )e −γ z′ = I i ( z ′) + I r ( z ′) 2Z 0 2Z 0 ⎪ ⎩
射频电路理论与设计第1章 传输线理论
（1.20）
式（1.20）为已知始端电压和始端电 流时传输线上各点的电压和电流分布。
1.4 传输线的基本特性参数
在1.3节中，得到了传输线上任意一点 电压和电流的通解式（1.13），此式至关 重要，通过对式（1.13）的分析可以得到 传输线的基本特性参数。
由式（1.13）可知传输线上任意一点 jz jz jz 的电压V(z)为 A1e 与 A2 e 之和，其中A1e 表示沿+ z方向传播的电磁波，称为入射电 压; A2 e jz 表示沿- z方向传播的电磁波，称 为反射电压，入射电压与反射电压均为行 波。
图 1.1 平行双导线
图 1.2 同轴线
图1.3 带状线
图1.4 微带线
1.2 传输线等效电路表示法
1.2.1 长线
传输线理论是长线理论。传输线是长 线还是短线，取决于传输线的电长度而不 是它的几何长度。
电长度定义为传输线的几何长度l与其 上工作波长λ的比值。当传输线的几何长度 l比其上所传输信号的工作波长λ还长或者 可以相比拟时，传输线称为长线；反之则 可称为短线。
1. 反射系数Γ的定义及表示式
反射系数是指传输线上某点的反射电 压与入射电压之比，也等于传输线上某点 反射电流与入射电流之比的负值。反射系 数为
V z I z z V z I z
（1.24）
图1.8 传输线上的入射电压、反射电压和反射系数
V z V2 cos z jI 2 Z 0 sin z V2 I z j sin z I 2 cos z Z0
（1.18）
2. 已知传输线始端电压V1和始端 电流I1
V1 I 1 Z 0 jz V1 I 1 Z 0 jz V z e e 2 2 V1 I 1 Z 0 jz V1 I 1 Z 0 jz I z e e 2Z 0 2Z 0
第2讲 传输线方程及其解
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u ( z, t ) Re U ( z )e jt jt i ( z, t ) Re I ( z )e
式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处的电 压或电流的复值。
dU ( R j L) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
当典型Δz→0时，有 i( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Ri ( z , t ) L t z i ( z z , t ) i ( z , t ) Gu ( z , t ) C u ( z , t ) z t 式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
二 长线与分布参数电路
1. 长线与短线 L 时，传输线为长线 L 时，传输线为短线
例： 电源与负载间的铜导线长1.5CM L 1 短线 若 f1 1MHZ，则 1 94.86m 若 f 2 10GHZ，则 2 0.949cm L 1.52 长线
Z 0 Zl j 2 l A1 e A2 0 Z 0 Zl
构成线性方程组
A1 A2 g Eg Z 0 Z0 0
其中 g 最后得到
Z g Z0 Z g Z0
, l
很易得到
C j z j z I ( z) ( A1e A2e ) ( A1e j z A2e j z ) L L
1 j z j z ( A1e A2e ) z0
其中，特性阻抗 Z
0
SJ 2012 第02讲 传输线方程及解(1)
1.
一维波动方程： U z ZI ( z ) U z ZI ( z ) I z YU ( z ) I z YU ( z )
2 ZY R j L G jC 令：
U ( z ) A1e A2e
z
z
2.2.2 均匀传输线方程的解
2.
电压和电流通解：
U ( z ) A1e A2e
1 dU z I ( z) Z dz
z
z
Z 1 z z ( A1e A2e ) Z0
( A1e z A2e z )
2 2
4.
无耗时：
j
2
j L jC
LC
1 vp LC
2.2.2 均匀传输线方程的解
4.
根据边界条件确定待定系数：
U 0 U L 已知： I 0 I L
Vg
Z in z
Ii
IL
Z0 ,
Vi
VL
ZL
真空、空气电容率：
1 9 单位：F/m 0 10 36
一般物质：
0 r r 1
补充材料:材料的参数
真空、空气磁导率：
非磁性材料： 磁性材料：
0 4 10
7
单位：H/m
0 4 10
7
0 r
2.2.1 均匀传输线方程
2.2.1 均匀传输线方程
传输线方程（或电报方程）
i z , t u z , t Ri z , t L z t i z , t Gu z , t C u z , t t z
一维波动方程： U z ZI ( z ) U z ZI ( z ) I z YU ( z ) I z YU ( z )
2 ZY R j L G jC 令：
U ( z ) A1e A2e
z
z
2.2.2 均匀传输线方程的解
2.
电压和电流通解：
U ( z ) A1e A2e
1 dU z I ( z) Z dz
z
z
Z 1 z z ( A1e A2e ) Z0
( A1e z A2e z )
2 2
4.
无耗时：
j
2
j L jC
LC
1 vp LC
2.2.2 均匀传输线方程的解
4.
根据边界条件确定待定系数：
U 0 U L 已知： I 0 I L
Vg
Z in z
Ii
IL
Z0 ,
Vi
VL
ZL
真空、空气电容率：
1 9 单位：F/m 0 10 36
一般物质：
0 r r 1
补充材料:材料的参数
真空、空气磁导率：
非磁性材料： 磁性材料：
0 4 10
7
单位：H/m
0 4 10
7
0 r
2.2.1 均匀传输线方程
2.2.1 均匀传输线方程
传输线方程（或电报方程）
i z , t u z , t Ri z , t L z t i z , t Gu z , t C u z , t t z
2.1引言2.2传输线方程及其解
瞬时值u, i与复数振幅U, I 的关系为
u z , t Re U z e j t
j t
i z , t Re I z e
dU z ZI z dz dI z YU z dz
R0 j L0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 ）
R0 2
L0 C0
无耗
0 L0 C0
《微波技术》
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
二、传输线方程的解 将上式两边对z再求一次微分，可得 d 2U z 2U z 0
dz 2 d 2 I z 2 I z 0 2 dz U z A1e z A2 e z
通解为
1 I z A1e z A2 e z Z0
式中， Z 0 R0 j L0
《微波技术》
G0 j C0
2 ZY R0 jL0 G0 jC0
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
Harbin Engineering University
2-1 引 言
一、传输线的种类
(1)TEM波
(2)TE、TM波
(3)表面波
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-1 引 言
u z , t Re U z e j t
j t
i z , t Re I z e
dU z ZI z dz dI z YU z dz
R0 j L0 G0 jC0 j
C0 G0 L0 2 L0 c d C0
对于低耗传输线有(无耗传输线 R0 0, G0 0 ）
R0 2
L0 C0
无耗
0 L0 C0
《微波技术》
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
二、传输线方程的解 将上式两边对z再求一次微分，可得 d 2U z 2U z 0
dz 2 d 2 I z 2 I z 0 2 dz U z A1e z A2 e z
通解为
1 I z A1e z A2 e z Z0
式中， Z 0 R0 j L0
《微波技术》
G0 j C0
2 ZY R0 jL0 G0 jC0
Harbin Engineering University
2-2 传输线方程及其解
Harbin Engineering University
2-1 引 言
一、传输线的种类
(1)TEM波
(2)TE、TM波
(3)表面波
《微波技术》
Harbin Engineering University
2-1 引 言
2-2传输线方程及其解
传输线上任意点处的电压，都是这一点上入射波电压与 反射波电压的叠加；传输线上任意点处的电流，也是该点处 入射波电流与反射波电流的叠加。
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 13
0
z
E
A
H
i (t , z )
H
e(t )
E
ZL
A
平行双线传输线导行电磁波的示意图
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 3
1 平行双线传输线（2/2）
从电路的概念上说，当信源频率足够高，传输线的 长度与信号波长可比拟时，线上的电压（代表电场）和 电流（代表磁场）具有明显的位置效应，即线长不同位 置处的电压（和电流）幅值和相位将为不同,u(t)和i(t) 应写为u(t,z)和i(t,z) 。
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 5
2 传输线电报方程（2/2）
上式可整理为：
i ( z , t ) u ( z , t ) R i ( z , t ) L z 0 0 t i ( z , t ) G u ( z z , t ) C u ( z z , t ) z 0 0 t
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 10
3 传输线方程的解（5/5）
工程计算中位置坐标方向指向信源端，并以传输线负载 端为坐标原点更为方便。为此只需取新的坐标变量d＝l-z， Z I ，则 U 并代 L L L
1 1 d e d U ( d ) ( Z Z ) I e ( Z Z ) I L 0 L L 0 L 2 2 d 1 Z L d 1 ZL I (d ) 1 I Le 1 I Le 2 Z0 2 Z0
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 13
0
z
E
A
H
i (t , z )
H
e(t )
E
ZL
A
平行双线传输线导行电磁波的示意图
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 3
1 平行双线传输线（2/2）
从电路的概念上说，当信源频率足够高，传输线的 长度与信号波长可比拟时，线上的电压（代表电场）和 电流（代表磁场）具有明显的位置效应，即线长不同位 置处的电压（和电流）幅值和相位将为不同,u(t)和i(t) 应写为u(t,z)和i(t,z) 。
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 5
2 传输线电报方程（2/2）
上式可整理为：
i ( z , t ) u ( z , t ) R i ( z , t ) L z 0 0 t i ( z , t ) G u ( z z , t ) C u ( z z , t ) z 0 0 t
电磁场、微波技术与天线 2-2 传输线方程及其解 10
3 传输线方程的解（5/5）
工程计算中位置坐标方向指向信源端，并以传输线负载 端为坐标原点更为方便。为此只需取新的坐标变量d＝l-z， Z I ，则 U 并代 L L L
1 1 d e d U ( d ) ( Z Z ) I e ( Z Z ) I L 0 L L 0 L 2 2 d 1 Z L d 1 ZL I (d ) 1 I Le 1 I Le 2 Z0 2 Z0
第10讲_传输线方程及其解
dU z R ' j L ' I z dz
dI z G ' j C 'U z dz
成为
dU ( z ) jkZ c I ( z ) dz
dI ( z ) jkYcU ( z ) dz
传输线上电压、电流的解仍取
F/m
说明： 对于同轴线：2b—外导体内直径，2a—内导体外径 对于平行双导线 2a—导线直径，d—两导线中心间距 、、属于填充介质的量， Rs πf c / c ，c、c 属于导体的量 10
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
传输线方程
利用基尔霍夫电压、电流定律，可得
除以z，并重新排列得到
u z z, t u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t i z z, t i z, t u z z, t G ' u z z, t C ' z t
将上式代入传输线方程
i z, t u z, t G ' u z , t C ' z t
u z, t i z, t R ' i z, t L ' z t
就得到复数形式的传输线方程（注意：U(z)、I(z)不是时间t的函数）。
18
电磁场与电磁波 · 第十讲 传输线方程及其解 · 章献民
第10讲复习
复习要点
– 将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔霍夫定律仍适用。
– 传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与特征阻抗Zc（或特
2_传输线方程及其解
对于给定激励、给定的传输线，其状态主要由终端负载决定。 Z ( z) Zc ( z ) 因为 u Z ( z) Zc Z Zc 所以 u (0) L | u (0) | e j (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L | u (0) | 1 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
YL jYc tan kl Y ( z l ) Yc Yc jYL tan kl
13
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
反射系数沿传输线变换的图示
ZL Zc | u (0) | e j (0) u (0) ZL Zc
2 ZL Zc ( RL Z c ) 2 X L 1 | u (0) | 2 2 ZL Zc ( RL Z c ) X L
11120010 · 电磁场与电磁波 · 郑史烈
无耗传输线方程解的初步解释
i j t kz r j t kz u z, t U e U e
第一项表示入射波。第二项表示反射波。 k称为传播常数。 入射波与反射波的相速 波长
2π / k
有耗传输线方程的解
对于有损耗的情况，如果传播常数k与特征阻抗Zc（或导纳Yc）定义为
jk ( R ' j L ')(G ' j C ')
那么传输线方程
Zc
1 R ' j L ' Yc G ' j C '
dU z R ' j L ' I z dz
1 u 与 1 u 沿等 u
微波技术1章传输线方程及其解
从麦克斯韦方程组出发，考虑电 磁波在传输线中的传播特性，通 过求解波动方程得到传输线方程 。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
02
传输线方程是描述电磁波在传输 线中传播特性的偏微分方程，包 含了电场和磁场分量以及时间和 空间变量。
传输线方程的形式
传输线方程的一般形式为：∂E/∂t=c^2*∂^2E/∂x^2+σE，其中E为电场强度，t为时间，x为空间变量，c 为光速，σ为电导率。
数值解的概念
数值解是通过数值计算方法求解方程的方法。数值解可以提供精确的结果，但需要使用 数值计算软件或算法。
数值解的求解过程
数值解通常采用迭代方法、有限差分法、有限元法等数值计算技术来求解方程。在传输 线方程中，数值解可以通过离散化传输线并使用数值算法来求解。
数值解的应用场景
数值解适用于大规模复杂系统和实际工程应用。通过数值计算软件或算法，可以高效地 处理复杂的传输线问题，并提供精确的结果。
05 结论
本章总结
传输线方程是描述微波传输线中电磁波传播的基本方 程，通过求解该方程可以得到微波信号在传输线中的
传播特性。
输标02入题
本章介绍了传输线方程的基本形式和求解方法，包括 时域和频域的求解方法。
01
03
传输线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用， 如微波测量、微波通信、雷达系统等领域。
04 传输线的应用
微波传输系统
微波传输系统概述
微波传输系统是利用微波波段电磁波进行信息传输的系统，广泛 应用于通信、广播、电视等领域。
微波传输系统的组成
微波传输系统主要由发射机、传输线路、接收机三部分组成，其中 传输线路是实现信号传输的关键部分。
微波传输系统的特点
微波传输系统具有频带宽、容量大、抗干扰能力强等优点，但也存 在传输损耗大、传输距离短等局限性。
总复习传输线方程及其解
散化的解。
04 传输线方程的应用
长线理论
1 2
描述长距离信号传输的特性
长线理论主要研究长距离信号传输过程中信号的 衰减、延迟和畸变等特性，为通信系统设计提供 理论基础。
传输线方程的推导
基于电磁场理论和分布参数电路理论，推导出传 输线方程，用于描述传输线上电压和电流的分布。
3
传输线参数的确定
通过测量传输线的阻抗、电感和电容等参数，可 以进一步分析信号在传输线上的传播特性。
法等。
时变传输线方程
要点一
总结词
时变传输线方程考虑了时间变量的影响，能够描述传输线 参数随时间变化的动态过程。
要点二
详细描述
时变传输线方程是在传统的传输线方程基础上引入时间变 量，以描述传输线参数随时间变化的动态过程。这种动态 过程可能是由于环境因素、温度变化或机械振动等因素引 起的。求解时变传输线方程需要采用数值方法，如有限差 分法、有限元法等，同时还需要考虑时间步长的选择和稳 定性问题。
有限元法
总结词
有限元法是一种基于变分原理的数值求解偏 微分方程的方法，通过将连续的空间离散化 为有限个小的单元，将偏微分方程转化为有 限元方程进行求解。
详细描述
有限元法的核心是将连续的空间离散化为有 限个小的单元，每个单元选择一个基函数进 行近似，通过变分原理将原方程转化为有限 元方程。在传输线方程的求解中，有限元法 可以用来求解二维或三维波动方程，得到离
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方 法，通过将连续的空间离散化，用差分近似 代替微分，将偏微分方程转化为差分方程进 行求解。
详细描述
有限差分法的核心是将偏微分方程中的微分 项用离散的差分近似表示，从而将原方程转 化为离散的差分方程。在传输线方程的求解 中，有限差分法可以用来求解一维波动方程， 得到离散化的解。
04 传输线方程的应用
长线理论
1 2
描述长距离信号传输的特性
长线理论主要研究长距离信号传输过程中信号的 衰减、延迟和畸变等特性，为通信系统设计提供 理论基础。
传输线方程的推导
基于电磁场理论和分布参数电路理论，推导出传 输线方程，用于描述传输线上电压和电流的分布。
3
传输线参数的确定
通过测量传输线的阻抗、电感和电容等参数，可 以进一步分析信号在传输线上的传播特性。
法等。
时变传输线方程
要点一
总结词
时变传输线方程考虑了时间变量的影响，能够描述传输线 参数随时间变化的动态过程。
要点二
详细描述
时变传输线方程是在传统的传输线方程基础上引入时间变 量，以描述传输线参数随时间变化的动态过程。这种动态 过程可能是由于环境因素、温度变化或机械振动等因素引 起的。求解时变传输线方程需要采用数值方法，如有限差 分法、有限元法等，同时还需要考虑时间步长的选择和稳 定性问题。
有限元法
总结词
有限元法是一种基于变分原理的数值求解偏 微分方程的方法，通过将连续的空间离散化 为有限个小的单元，将偏微分方程转化为有 限元方程进行求解。
详细描述
有限元法的核心是将连续的空间离散化为有 限个小的单元，每个单元选择一个基函数进 行近似，通过变分原理将原方程转化为有限 元方程。在传输线方程的求解中，有限元法 可以用来求解二维或三维波动方程，得到离
有限差分法
总结词
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方 法，通过将连续的空间离散化，用差分近似 代替微分，将偏微分方程转化为差分方程进 行求解。
详细描述
有限差分法的核心是将偏微分方程中的微分 项用离散的差分近似表示，从而将原方程转 化为离散的差分方程。在传输线方程的求解 中，有限差分法可以用来求解一维波动方程， 得到离散化的解。
2.2 传输线波动方程及其解
2.2.3 传输线的特性阻抗
举例：双导线特性阻抗的计算
将表2.2-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(2-26）中，得：
Zc
1
ln
D
D2 d
d
2
1
ln
D
D2 d 2
d
(2-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离， / 是电磁波在均
匀、线性、各项同性无界介质 (, ) 中的波阻抗。
2.2.3 传输线的特性阻抗
●自由空间中：
0
1
36
109
F
•
m-1；
0 4 10 7 H • m-1
则波阻抗 特性阻抗 ●一般介质中：
0 377 120
Zc
1
ln
dU (z ) dz
(R
jL )I(z )
(2 5)
E j H
dI(z ) dz
(G
jC )U(z)
(2 6)
H j E
2.2.1 传输线波动方程
计算
d(Eq2 5) , 并代入 公式（2－6）得：
dz
d 2U(z) dz 2
2U(z)
U(z) U 1e z U 2ez (2 10)
I(z) I1e z I2ez (2 11)
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, ez 为相位项 项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度, ez 为相位项
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2.2.1 传输线波动方程
i(z,t) i(z+Δi,t)
+ u(z,t) -
+ u(z+Δz,t) -
z
z
双导线传输线
i(z,t) +
u(z,t) -
i(z z,t) +
Rz
Lz
u(z z,t)
Gz
Cz
z
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m）
L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
——均匀无耗传输线的特性阻抗 Zc
描述均匀无耗传输线
2.2.3 传输线的特性阻抗
将式(2-23)和式(2-24)重写如下
U (z) U 1 ejz U 2 ejz
(2-23)
将上两式代入I式(z) dI1 de ( U zjz )z I 2 ( e Rj z jL0) I(z)
(2-24)
(25)
（这里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e jz 分别表示相应的相位： e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
2.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
/ ——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
2.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐 jt ]
d (e jt ) / dt je jt
i(z,t) Re[ I (z)e jt ]
带入方程 (2-3) 和 (2-4)(电报方程）:
(2-1)
t
由Kirchhoff’s 电流定律
i(z,t) Gzu(z z,t) Cz u(z z,t) i(z z,t) 0 (2-2) t
图示
2.2.1 传输线波动方程
lim (1.1a) : z 0 z
lim (1.1b) : z 0 z
u( z z, t) R( zi , t) L i( z t, t) ( 2 3 ) i( z z, t) G( zu , t) C u( z t, t)( 2 4 )
I(z)U 1ejzU 2ejzI(z)I(z)
Z c
Z c
(2-12) (2-13)
返回
2.2.3 传输线的特性阻抗
U1是正向行波电压U+(z)的复振幅，I1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，U1/I1的值具有阻抗的量纲；
U2是反向行波电压U-(z)的复振幅，I2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。U2/I2的值也具有阻抗的量纲。
2.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1 U2 LI2
即：
U1 I1
L ；
L C
U2 L L
I2
C
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。
因此式(2-23)和式(2-24)可写为：
U ( z ) U 1 e j z U 2 e j z U ( z ) U ( z )
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, ez 为相位项 项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度, ez 为相位项
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数； β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
因此定义一个阻抗： Zc C LU I((zz))U I((zz))
(2-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
dd( Uzz) (RjL) I(z) (25)
E j H
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
H j E
2.2.1 传输线波动方程
计算d(Edq2z5),并 dd2U( 代 2zz)公 入 式2U（(z2) － 6）0得：(27)
计算
d(Eq1 dz
6) , 并代入
2.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
U (z) U1e jz U 2e jz
(2-23)
I (z) I1e jz I2e jz
(2-24)
其中U1U2I1I2为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件
2.2.3 传输线的特性阻抗
举例：双导线特性阻抗的计算
将表2.2-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(2-26）中，得：
Z c 1 l n D D d 2 d 2 1 l n D D d 2 d 2 (2-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离，/ 是电磁波在均 匀、线性、各项同性无界介质 (,中)的波阻抗。
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
得到： U 1 je jz U 2 je jz jL ( I 1 e jz I 2 e jz )
即： jU 1 e j z jU 2 e j z jL 1 e j z I jL 2 e j zI
导体损耗
介质损耗 返回
2.2.1 传输线波动方程
i(z,t) u(z,t)
传输线l的集总元件电路等效
i(z l,t) +
u(z l,t)
-
2.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效:
由Kirchhoff’s 电压定律
u(z,t) Rzi(z,t) Lz i(z,t) u(z z,t) 0
公式（1
5)
得：
dd2I(2 zz)2I(z)0 (28)
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
2.2.2 传输线波动方程的解
U1ez
U 2ez
U( z) U1 e z U2 ez ( 2 1)0
IzIe Ie ( ) 1 z 2 z ( 2 1 )1
i(z,t) i(z+Δi,t)
+ u(z,t) -
+ u(z+Δz,t) -
z
z
双导线传输线
i(z,t) +
u(z,t) -
i(z z,t) +
Rz
Lz
u(z z,t)
Gz
Cz
z
Δz的集总等效电路
R = 串联电阻 （Ω/m）
L = 串联电感 （H/m） G = 并联电导 （S/m） C = 并联电容 （F/m）
——均匀无耗传输线的特性阻抗 Zc
描述均匀无耗传输线
2.2.3 传输线的特性阻抗
将式(2-23)和式(2-24)重写如下
U (z) U 1 ejz U 2 ejz
(2-23)
将上两式代入I式(z) dI1 de ( U zjz )z I 2 ( e Rj z jL0) I(z)
(2-24)
(25)
（这里是传输线始端和终端的电压和电流）确定。
e jz 分别表示相应的相位： e jz 沿+z方向传播的波，相位是滞后的 e jz 沿-z方向传播的波，相位是超前的
2.2.3 传输线的特性阻抗
●在无界介质中，TEM波的电场和磁场之比等于
/ ——波阻抗
描述TEM波
●均匀无耗传输线上的行波电压和行波电流之比
分布参数电路的偏微分方程
时域传输线方程
电报方程
return
2.2.1 传输线波动方程
（二）频域传输线方程
对于时谐 jt ]
d (e jt ) / dt je jt
i(z,t) Re[ I (z)e jt ]
带入方程 (2-3) 和 (2-4)(电报方程）:
(2-1)
t
由Kirchhoff’s 电流定律
i(z,t) Gzu(z z,t) Cz u(z z,t) i(z z,t) 0 (2-2) t
图示
2.2.1 传输线波动方程
lim (1.1a) : z 0 z
lim (1.1b) : z 0 z
u( z z, t) R( zi , t) L i( z t, t) ( 2 3 ) i( z z, t) G( zu , t) C u( z t, t)( 2 4 )
I(z)U 1ejzU 2ejzI(z)I(z)
Z c
Z c
(2-12) (2-13)
返回
2.2.3 传输线的特性阻抗
U1是正向行波电压U+(z)的复振幅，I1是正向行波电流I+(z) 的复振幅，U1/I1的值具有阻抗的量纲；
U2是反向行波电压U-(z)的复振幅，I2是反向行波电流I-(z) 的复振幅。U2/I2的值也具有阻抗的量纲。
2.2.3 传输线的特性阻抗
上式对任何的z值都应成立，因此必须有：
U1 LI1 U2 LI2
即：
U1 I1
L ；
L C
U2 L L
I2
C
由此可以看出，待定常数 U、I不是孤立的，已知一个可以求出另一个。
因此式(2-23)和式(2-24)可写为：
U ( z ) U 1 e j z U 2 e j z U ( z ) U ( z )
项表示 +z 方向传播的电压波， U1为幅度, ez 为相位项 项表示 -z 方向传播的电压波， U2为幅度, ez 为相位项
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
α为衰减常数，表明电压或电流经过单位长度传输线后振幅减小的常数； β叫做相位常数，表示单位长度上电压和电流相位的变化量，单位为rad/m。
因此定义一个阻抗： Zc C LU I((zz))U I((zz))
(2-26)
——均匀无耗传输线的特性阻抗 它是一个实数（纯电阻），单位为Ω（欧姆）
注意：特性阻抗的单位虽然为Ω，但它并不表示损耗，而是反映传输线在 行波状态下电压与电流之间关系的一个量，其值仅取决于传输线的L和C， 即所填充的介质和线的横向尺寸，而与线的长度无关，而且，可近似地认 为与频率无关。
dd( Uzz) (RjL) I(z) (25)
E j H
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
H j E
2.2.1 传输线波动方程
计算d(Edq2z5),并 dd2U( 代 2zz)公 入 式2U（(z2) － 6）0得：(27)
计算
d(Eq1 dz
6) , 并代入
2.2.2 传输线波动方程的解
在微波波段由分布电阻和分布电导的影响相对于电感 和电容来说很小，即R<<ωL，G<<ωC，故
j , LC
通解为
U (z) U1e jz U 2e jz
(2-23)
I (z) I1e jz I2e jz
(2-24)
其中U1U2I1I2为电压和电流的复振幅，是待定积分常数，由边界条件
2.2.3 传输线的特性阻抗
举例：双导线特性阻抗的计算
将表2.2-1中所列的双导线传输线的L和C值带入到式(2-26）中，得：
Z c 1 l n D D d 2 d 2 1 l n D D d 2 d 2 (2-27)
式中，d为导体直径，D为两导体之间的距离，/ 是电磁波在均 匀、线性、各项同性无界介质 (,中)的波阻抗。
dd( Izz ) ( GjC) U(z) (26)
得到： U 1 je jz U 2 je jz jL ( I 1 e jz I 2 e jz )
即： jU 1 e j z jU 2 e j z jL 1 e j z I jL 2 e j zI
导体损耗
介质损耗 返回
2.2.1 传输线波动方程
i(z,t) u(z,t)
传输线l的集总元件电路等效
i(z l,t) +
u(z l,t)
-
2.2.1 传输线波动方程
（一） 时域传输线方程
对于Δz的集总元件电路等效:
由Kirchhoff’s 电压定律
u(z,t) Rzi(z,t) Lz i(z,t) u(z z,t) 0
公式（1
5)
得：
dd2I(2 zz)2I(z)0 (28)
( R j L) G ( j C) j ( 2 9 )
γ 是复传播常数，是频率ω的函数.
2.2.2 传输线波动方程的解
U1ez
U 2ez
U( z) U1 e z U2 ez ( 2 1)0
IzIe Ie ( ) 1 z 2 z ( 2 1 )1