双曲函数的简单性质

双曲函数的简单性质

一、定义 双曲余弦：cosh()2

x x e e x -+= 双曲正弦：sinh()2

x x e e x --= 双曲正切：tanh()x x x x e e x e e

---=+ 二、性质

①22cosh ()sinh ()1x x -=

②2222cosh(2)cosh ()sinh ()2cosh ()112sinh ()x x x x x =+=-=+

③sinh(2)2sinh()cosh()x x x = ④22tanh()tanh(2)1tanh ()

x x x =+ ⑤221tanh ()cosh(2)1tanh ()

x x x +=- ⑥22tanh()sinh(2)1tanh ()

x x x =

- 由上述性质易证，可见其与三角函数的性质很相像，故上面三个函数的命名带有三角。而性质①与标准双曲线方程的形式一致，故名双曲。其实三角函数也叫圆函数。

事实上，由欧拉公式：

cos sin ix e x i x =+

可推导出：

cosh()cos()sinh()sin()tanh()tan()x ix x i ix x i ix =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩

由此也可见三角函数与双曲函数的关系。

历史上有名的悬链线方程就是双曲余弦。

悬链线(Catenary)是指两端

固定的一条(粗细与质量分布)均

匀、柔软(不能伸长)的链条，在

重力的作用下所具有的曲线形

状。伽利略曾猜测是抛物线。虽

然伽利略错了，不过呢，抛物线与悬链线却存在这样的关系：

悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹