近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编
2007-2019年新课标全国卷理——不等式选讲.docx
2007－ 2019 年全国课标卷不等式选讲试题（ 2007 年宁夏卷）Ｃ（本小题满分10 分）选修4 5 ；不等式选讲设函数 f ( x) 2x 1 x 4 ．（ I）解不等式 f (x) 2 ；（ II）求函数y f (x) 的最小值．（ 2008 年宁夏卷）24、（本小题满分10 分）选修4－ 5：不等式选讲已知函数 f (x) | x 8 | | x 4 | 。
（１）作出函数y f ( x) 的图像；（２）解不等式| x 8 | | x 4 | 2 。
（2009 年宁夏卷）（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲如图，O 为数轴的原点， A,B,M 为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离， y 表示C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和 .（1）将 y 表示成 x 的函数；（2）要使 y 的值不超过 70，x 应该在什么范围内取值？（ 2010 年课标全国卷）24.（本小题满分10 分）选修4-5，不等式选项设函数 f ( x) | 2x 4 |1（Ⅰ）画出函数y f ( x) 的图像（Ⅱ）若不等式 f (x) ≤ ax 的解集非空，求 a 的取值范围。
（ 2011 年课标全国卷）24．（本小题满分10 分）选修4- 5：不等式选讲设函数 f (x) | x a |3x ，其中a0．（Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f ( x)3x2的解集．（Ⅱ）若不等式 f ( x)0的解集为｛x|x1} ，求a的值．（ 2012 年课标全国卷）24． ( 本小题满分10 分) 选修4 5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) x a x2( 1) 当a3时，求不等式 f ( x) 3 的解集；( 2) 若f (x)x 4 的解集包含[1,2]，求a的取值范围．（2013 年课标全国卷Ⅰ）（24）（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知函数 f ( x) =| 2 x1| | 2x a |, g( x) =x 3 .（Ⅰ）当 a =-2时，求不等式 f ( x) ＜ g ( x) 的解集；（Ⅱ）设a＞ -1,且当xa1a∈ [，)时，f ( x)≤,求的取值范围 .g( x)2 2（2013 年课标全国卷Ⅱ）（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲设 a， b， c 均为正数，且 a + b + c =1，证明：（Ⅰ） ab + bc + ac1；a2b2c21≥≤（ 2014 年课标全国卷Ⅰ）24. （本小题满分10 分）选修4—5 ：不等式选讲若a0, b 011，且ab .a b（Ⅰ）求 a3b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a, b ，使得2a3b 6 ？并说明理由.（ 2014 年课标全国卷Ⅱ）24.（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数 f x= x1x a ( a 0)a（Ⅰ）证明：f x≥ 2；（Ⅱ）若f35，求 a 的取值范围.（2015 年课标全国卷Ⅰ）（24）（本小题满分 10 分）选修 4— 5：不等式选讲已知函数 f ( x) | x 1| 2 | x a |, a0 .（Ⅰ）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 1 的解集；（Ⅱ）若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围（ 2015 年课标全国卷Ⅱ）24．（本小题满分10 分）选修 4 - 5：不等式选讲设 a， b，c， d 均为正数，且 a + b = c + d，证明：（ 1）若 ab > cd；则a b c d ；（ 2）a b c d 是 | a b | | c d | 的充要条件。
历年高考数学真题精选52 不等式选讲
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题52 不等式选讲（学生版）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．2．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围． 10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1a +1b=√ab ．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由．11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a 2，12]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|． （1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集． 13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1． （1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1． 14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明： （1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，√22x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 32+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围． 18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明：（Ⅰ）ab +bc +ca ≤13（Ⅱ）a 2b+b 2c+c 2a≥1．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题52 不等式选讲（学生版）一．解答题（共18小题）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1； 当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅； 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意， ∴a 的取值范围为：[1，+∞）2．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|={2x+4，x≤−1 2，−1＜x＜2−2x+6，x≥2．当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1，当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =√17−12，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−12]； 当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，√17−12]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]．5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ． （1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）＝|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6， |2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}． （2）∵g （x ）＝|2x ﹣1|，∴f （x ）+g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x ﹣a |+a ≥3， 2|x −12|+2|x −a 2|+a ≥3， |x −12|+|x −a 2|≥3−a2， 当a ≥3时，成立，当a ＜3时，|x −12|+|x −a 2|≥12|a ﹣1|≥3−a2＞0， ∴（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，∴a 的取值范围是[2，+∞）．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x −12|+|x +12|，M 为不等式f （x ）＜2的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，|a +b |＜|1+ab |．解：（I ）当x ＜−12时，不等式f （x ）＜2可化为：12−x ﹣x −12＜2，解得：x ＞﹣1， ∴﹣1＜x ＜−12，当−12≤x ≤12时，不等式f （x ）＜2可化为：12−x +x +12=1＜2，此时不等式恒成立， ∴−12≤x ≤12，当x ＞12时，不等式f （x ）＜2可化为：−12+x +x +12＜2， 解得：x ＜1， ∴12＜x ＜1，综上可得：M ＝（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a ，b ∈M 时， （a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0， 即a 2b 2+1＞a 2+b 2，即a 2b 2+1+2ab ＞a 2+b 2+2ab ， 即（ab +1）2＞（a +b ）2， 即|a +b |＜|1+ab |．8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③． 解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6， 可得12[2a +1−2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2． 故要求的a 的范围为（2，+∞）．9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝|x +1a |+|x ﹣a |（a ＞0）． （Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）证明：∵a ＞0，f （x ）＝|x +1a |+|x ﹣a |≥|（x +1a ）﹣（x ﹣a ）|＝|a +1a |＝a +1a ≥2√a ⋅1a =2， 故不等式f （x ）≥2成立． （Ⅱ）∵f （3）＝|3+1a |+|3﹣a |＜5，∴当a ＞3时，不等式即a +1a＜5，即a 2﹣5a +1＜0，解得3＜a ＜5+√212． 当0＜a ≤3时，不等式即 6﹣a +1a ＜5，即 a 2﹣a ﹣1＞0，求得1+√52＜a ≤3． 综上可得，a 的取值范围（1+√52，5+√212）．10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1a+1b=√ab ．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，且1a+1b=√ab ，∴√ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ab ≥2， 当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵a 3+b 3 ≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴a 3+b 3的最小值为4√2．（Ⅱ）∵2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3＞6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a 2，12]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0． 设y ＝|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y ={−5x ，x ＜12−x −2，12≤x ≤13x −6，x ＞1，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a2，12]时，f （x ）＝1+a ，不等式化为1+a ≤x +3，故x ≥a ﹣2对x ∈[−a 2，12]都成立．故−a 2≥a ﹣2， 解得a ≤43，故a 的取值范围为（﹣1，43]．12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|． （1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集．解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|={−3，x ≤22x −7，2＜x ＜53，x ≥5．当2＜x ＜5时，﹣3＜2x ﹣7＜3． 所以﹣3≤f （x ）≤3． （2）由（1）可知，当x ≤2时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ≤6}． 13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1． （1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1． 解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1， 由柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4， 可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43；（2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23，即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为(a+2)23，由题意可得(a+2)23≥13，解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1． 要证（1）1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1． 就要证：abc a+abc b+abc c≤a 2+b 2+c 2；即证：bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2； 即：2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2； 2a 2+2b 2+2c 2﹣2bc ﹣2ac ﹣2ab ≥0 （a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．∴（a ﹣b ）2≥0；（a ﹣c ）2≥0；（b ﹣c ）2≥0恒成立；当且仅当：a ＝b ＝c ＝1时取等号． 即（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0得证． 故1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2得证．（2）证（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24成立； 即：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1． （a +b ）为正数；（b +c ）为正数；（c +a ）为正数； （a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）；当且仅当（a +b ）＝（b +c ）＝（c +a ）时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．（a +b ）≥2√ab ；（b +c ）≥2√bc ；（c +a ）≥2√ac ；当且仅当a ＝b ，b ＝c ；c ＝a 时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号；∴（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）≥3×8√ab •√bc •√ac =24abc ＝24；当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号；故（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．得证． 故得证．15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4， 当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号， （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2， ∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab ≤（a+b 2）2，∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34，∴14（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明： （1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 证明：（1）由于（√a +√b ）2＝a +b +2√ab ， （√c +√d ）2＝c +d +2√cd ，由a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，ab ＞cd ， 则√ab ＞√cd ，即有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2， 则√a +√b ＞√c +√d ；（2）①若√a +√b ＞√c +√d ，则（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2， 即为a +b +2√ab ＞c +d +2√cd ， 由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ， 于是（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ， （c ﹣d ）2＝（c +d ）2﹣4cd ，即有（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2，即为|a ﹣b |＜|c ﹣d |； ②若|a ﹣b |＜|c ﹣d |，则（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2， 即有（a +b ）2﹣4ab ＜（c +d ）2﹣4cd ， 由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ，则有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2．综上可得，√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，√22x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 32+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围． （1）证明：记F （x ）＝sin x −√22x ，则F ′（x ）＝cos x −√22．当x ∈（0，π4）时，F ′（x ）＞0，F （x ）在[0，π4]上是增函数； 当x ∈（π4，1）时，F ′（x ）＜0，F （x ）在[π4，1]上是减函数；又F （0）＝0，F （1）＞0，所以当x ∈[0，1]时，F （x ）≥0，即sin x ≥√22x ，记H （x ）＝sin x ﹣x ，则当x ∈（0，1）时，H ′（x ）＝cos x ﹣1＜0，所以H （x ）在[0，1]上是减函数；则H （x ）≤H （0）＝0， 即sin x ≤x ． 综上，√22x ≤sin x ≤x ． （2）∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x2 ≤（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(√24x)2＝（a +2）x ，∴当a ≤﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立，下面证明，当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x 2≥（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(x 2)2 ＝（a +2）x ﹣x 2−x 32≥（a +2）x −32x 2=−32x [x −23（a +2）]．所以存在x 0∈（0，1）（例如x 0取a+23和12中的较小值）满足ax 0+x 02+x 032+2（x 0+2）cos x 0﹣4＞0， 即当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]． 18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明： （Ⅰ）ab +bc +ca ≤13（Ⅱ）a 2b+b 2c+c 2a≥1．证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1， 所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤13． （Ⅱ）因为a 2b+b ≥2a ，b 2c+c ≥2b ，c 2a+a ≥2c ，故a 2b+b 2c+c 2a+（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即a 2b+b 2c+c 2a≥a +b +c ．所以a 2b+b 2c+c 2a≥1．。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3} C ．{3,1,0}-- D ．{1,0,2}-2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}24．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5}D ．{1,3}基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．64．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．32参考答案解不等式1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （ ） A ．{1,0}- B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-. 故选：A.2．（2024∙上海∙高考真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ． 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.3．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【详细分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【答案详解】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-． 故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．4．（2020∙全国∙高考真题）已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （ ） A ．{4,1}- B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂，得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ， 故选：D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.基本不等式1．（2024∙北京∙高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故B 正确，A 错误；对于选项D ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故D 错误； 对于选项C ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==， 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故C 错误， 故选：B.2．（2021∙全国乙卷∙高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．2y 22x x -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【答案详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当=1x -时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞ ，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【答案详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ． 【名师点评】4．（2020∙全国∙高考真题）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab值，根据2c =等式，即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点 不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8故选：B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了详细分析能力和计算能力，属于中档题.。
高中数学 不等式选讲各年高考题
五年高考真题分类汇编：不等式选讲一.选择题1.（2014·安徽高考文科·Ｔ9）与（2014·安徽高考理科·Ｔ9）相同 若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A.5或8 B.1-或5 C.1-或4- D.4-或8 【解题提示】 以a 为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。
【解析】选D.（1）当a<2时， -31,(1)()1,(1)231,()2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩；（2）当a>2时，-31,()2()1,(1)231,(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--≤≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩，由（1）（2）可得min ()()|1|322a af x f =-=-+=，解得a=-4或8。
2．（2012•湖北高考理）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z ＝ ( )A.14B.13C.12D.34【解析】选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 3．（2011•山东高考理）不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是 ( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】选D |x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．二.填空题4. （2014· 湖南高考理科·Ｔ13）若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a =【解题提示】求解绝对值不等式。
不等式--历届高考真题解析版
不等式--历届高考真题一、单选题1．（2019·全国高考真题（文））记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④【答案】A2．（2012·全国高考真题（理））已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5 C ．5- D ．7-【答案】D3．（2017·全国高考真题（文））设x,y 满足约束条件{2x+3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0 ，则z =2x +y 的最小值是( ) A ．−15 B ．−9 C ．1 D ．9【答案】A4．（2018·天津高考真题（文））（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤5,2x −y ≤4,−x +y ≤1,y ≥0, 则目标函数z =3x +5y 的最大值为 A ．6 B ．19 C ．21 D ．45 【答案】C5．（2018·全国高考真题（理））已知集合A ={x |x 2−x −2>0 }，则∁R A = A ．{x |−1<x <2 } B ．{x |−1≤x ≤2 }C ．{x|x <−1}∪ {x|x >2}D ．{x|x ≤−1}∪ {x|x ≥2} 【答案】B6．（2018·全国高考真题（理））设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0 C ．a +b <0<ab D ．ab <0<a +b【答案】B7．（2016·北京高考真题（理））袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C8．（2017·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件x 0{x+y-30 z 2x-2y 0x y ≥≥=+≤，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞） 【答案】D9．（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a b a a b b +<<+B ． ()21log 2a b a b a b <+<+ C ． ()21log 2a b a a b b +<+< D ． ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B10．（2017·山东高考真题（文））已知x ,y 满足约束条件250{302x y x y -+≤+≥≤,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．3 【答案】D11．（2017·天津高考真题（理））已知函数()23,1,{ 2, 1.x x x f x x x x-+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．2⎡⎤-⎣⎦ D．3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A12．（2017·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3,x −y ≥1,y ≥0, 则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D13．（2015·上海高考真题（文））下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A ．B ．C ．D ．【答案】B14．（2015·广东高考真题（文））若变量x ，y 满足约束条件22{04x y x y x +≤+≥≤，则23z x y=+的最大值为（ ） A ．10 B ．8C ．5D ．2【答案】C15．（2015·浙江高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++【答案】B16．（2015·湖南高考真题（文））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A．8π9B．827πC．24(√2−1)2πD．8(√2−1)2π【答案】A17．（2015·安徽高考真题（文））已知x，y满足约束条件0 {401x yx yy-≥+-≤≥，则的最大值是（）A．-1 B．-2 C．-5 D．1【答案】A18．（2015·湖南高考真题（文））若变量x，y满足约束条件{x+y≥1y−x≤1x≤1，则z=2x−y的最小值为（）A．−1B．0 C．1 D．2【答案】A19．（2015·湖南高考真题（理））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π【答案】A20．（2015·四川高考真题（文）） 设实数x ，y 满足{2x +y ≤10x +2y ≤14x +y ≥6 ，则xy 的最大值为( ) A ．252B ．492C ．12D ．14【答案】A21．（2015·重庆高考真题（文））若不等式组{x +y −2≤0x +2y −2≥0x −y +2m ≥0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ）A ．-3B ．1C ．43D ．3【答案】B22．（2015·天津高考真题（文））设变量x,y 满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．14【答案】C23．（2015·天津高考真题（理））（2015天津，文2）设变量x,y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0 ，则目标函数z =x +6y 的最大值为( ) A ．3 B ．4C ．18D ．40【答案】C24．（2015·山东高考真题（理））已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3【答案】B25．（2015·福建高考真题（理））若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0,x −y ≤0,x −2y +2≥0, 则z =2x −y的最小值等于 （ ） A ．−52B ．−2C ．−32D ．2【答案】A26．（2014·四川高考真题（理））已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中O 为坐标原点），则ΔABO 与ΔAFO 面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．17√28D ．√10【答案】B27．（2014·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5- B ．3C ．5-或3D ．5或3-【答案】B28．（2014·山东高考真题（理））已知 x y ，满足约束条件10{230x y x y --≤--≥，当目标函数()0? 0z ax by a b =+>>，在约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 CD ．2【答案】B29．（2014·北京高考真题（理））若x，y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x=-的最小值为4-，则k的值为（）A．2B．2-C．12D．12-【答案】D30．（2014·重庆高考真题（文））若的最小值是A．B．C．D．【答案】D31．（2011·广东高考真题（文））已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4【答案】B32．（2011·湖北高考真题（文））（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】B33．（2011·重庆高考真题（理））已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【答案】C34．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．4【答案】C35．（2013·重庆高考真题（文））关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【答案】A36．（2011·湖北高考真题（理））已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]【答案】D37．（2011·浙江高考真题（理））设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【答案】B38．（2011·山东高考真题（文））设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．8.5【答案】B39．（2012·广东高考真题（理））已知变量满足约束条件，则的最大值为（）A．12 B．11 C．3 D．-1【答案】B40．（2013·浙江高考真题（文））（2013•浙江）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【答案】C41．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【答案】C42．（2010·安徽高考真题（文））设x,y满足约束条件{2x+y−6≥0,x+2y−6≤0,y≥0,则目标函数z=x+y的最大值是A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C43．（2013·山东高考真题（文））设正实数满足，则当zxy 取得最大值时，x+2y −z的最大值为( )A．0B．98C．2D．94【答案】C44．（2013·山东高考真题（理））设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0,则当取得最大值时，的最大值为( )A．0B．1C．D．3【答案】B45．（2013·全国高考真题（理））已知a＞0，x，y满足约束条件1{3(3)xx yy a x≥+≤≥-,若z=2x+y的最小值为1，则a=A．B．C．1 D．2【答案】B46．（2013·安徽高考真题（理））已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）A．B．C ．{x|lg 2x >-}D ．{x|lg 2x <-}【答案】D47．（2010·陕西高考真题（理））“a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax≥1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A48．（2010·天津高考真题（文））设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤3,x −y ≥−1,y ≥1, 则目标函数z=4x+2y 的最大值为A ．12B ．10C ．8D ．2 【答案】B49．（2012·江西高考真题（理））某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A ．50,0 B ．30.0C ．20,30D ．0,50【答案】B50．（2011·浙江高考真题（文））若实数x y 、满足不等式组250{2700,0x y x y x y +-≥+-≥≥≥,则34x y+的最小值是 A ．13B ．15C ．20D ．2851．（2010·重庆高考真题（理））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A．3 B．4 C．92D．112【答案】B52．（2010·重庆高考真题（文））设变量满足约束条件则的最大值为A．0 B．2C．4 D．6【答案】C53．（2010·全国高考真题（文））已知Y ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在Y ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是A．（-14，16）B．（-14，20）C．（-12，18）D．（-12，20）【答案】B54．（2010·浙江高考真题（理））若实数,x y满足不等式330{23010x yx yx my+-≥--≥-+≥，且x y+的最大值为9，则实数m=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】C55．（2010·福建高考真题（文））若1,,{230xx y R x yy x≥∈-+≥≥，则2z x y=+的最小值56．（2008·江西高考真题（文））若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C57．（2008·福建高考真题（理））若实数x 、y 满足10,{0,x y x -+≤>则yx的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(]0,1C ．(1,+∞)D ．[)1,+∞【答案】C58．（2008·湖北高考真题（理））函数f (x )=的定义域为A ．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B ．(-4,0) ∪(0,1)C ．［-4,0］∪（0，1）］D ．［－4，0∪（0，1）【答案】D59．（2008·广东高考真题（理））若变量,x y 满足则32z x y =+的最大值是 A ．90 B ．80 C ．70 D ．40【答案】C60．（2015·四川高考真题（理））如果函数f(x)=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0 ，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，则mn 的最大值为（ ）A ．16B ．18C ．25D ．812【答案】B61．（2014·湖北高考真题（理））由不等式组确定的平面区域记为，内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D62．（2011·重庆高考真题（理））设m ，k 为整数，方程mx 2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（ ） A ．﹣8 B ．8C ．12D ．13【答案】D63．（2010·北京高考真题（理））设不等式组{x +y −11≥03x −y +3≥05x −3y +9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[ 3,+∞] 【答案】A64．（2011·全国高考真题（理））下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是A ．a ＞b +1B ．a ＞b −1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 【答案】A65．（2007·辽宁高考真题（理））已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，，C ．(][)36-∞+∞U ，，D ．[36]，【答案】A66．（2009·天津高考真题（理））已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ） A ．－1<a<0 B ．0<a<1C ．1<a<3D ．3<a<6【答案】C二、填空题67．（2019·天津高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92. 68．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25x y x y >>+=最小值为______.【答案】69．（2018·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件{x −y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2, 则z =x +3y 的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】 -2 870．（2018·天津高考真题（文））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】1471．（2018·全国高考真题（理））若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0x −y +1≥0y ≤0 ，则z =3x +2y的最大值为_____________． 【答案】672．（2017·全国高考真题（理））已知实数,x y 满足0{20 0x y x y y -≥+-≤≥，则34z x y =-最小值为________． 【答案】1-73．（2017·山东高考真题（理））已知,x y 满足30{350 30x y x y x -+≤++≤+≥，则2z x y =+的最大值是__________． 【答案】574．（2017·全国高考真题（文））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,)4-+∞75．（2017·天津高考真题（理））若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】476．（2017·江苏高考真题）76．（2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】3077．（2017·山东高考真题（文））若直线xa+yb =1(a ＞0，b ＞0)过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 【答案】878．（2016·全国高考真题（文））若x,y 满足约束条件{2x −y +1≥0,x −2y −1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y −5的最小值为_________. 【答案】−1079．（2016·全国高考真题（文））若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,x +y −3≥0,x −3≤0, 则z=x−2y 的最小值为__________. 【答案】−580．（2016·上海高考真题（文））设a ＞0,b ＞0. 若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则a +b 的取值范围是 . 【答案】(2,+∞)81．（2016·江苏高考真题）已知实数x,y 满足{x −2y +4≥0，2x +y −2≥0，3x −y −3≤0，则x 2+y 2的取值范围是 .82．（2016·上海高考真题（理））设若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则的取值范围是____________．【答案】（2，+∞）83．（2015·浙江高考真题（文））已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．【答案】1584．（2015·山东高考真题（文））定义运算“⊗”：x ⊗y =x 2−y 2xy（x ，y ∈R,xy ≠0）.当x >0，y >0时，x ⊗y +(2y)⊗x 的最小值是 . 【答案】√285．（2015·湖北高考真题（文））若变量x, y 满足约束条件{x +y ≤4,x −y ≤2,3x −y ≥0, 则3x +y 的最大值是_________． 【答案】10．86．（2015·山东高考真题（文））若x,y 满足约束条件{y −x ≤1x +y ≤3y ≥1 ,则z =x +3y 的最大值为 . 【答案】787．（2015·上海高考真题（文））若满足，则目标函数的最大值为 . 【答案】388．（2015·全国高考真题（理））若x ,y 满足约束条件{x −1≥0,x −y ≤0,x +y −4≤0, 则yx 的最大值 ． 【答案】389．（2015·天津高考真题（文））已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为 时log 2a ⋅log 2(2b)取得最大值. 【答案】490．（2015·浙江高考真题（理））已知函数223,1(){lg(1),1x x f x x x x +-≥=+<，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．【答案】，.91．（2014·四川高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】592．（2014·陕西高考真题（文））设，且，则的最小值为______.93．（2014·全国高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x的取值范围是_______________. 【答案】(,8]-∞94．（2014·湖北高考真题（文））某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.【答案】（1）1900；（2）10095．（2014·全国高考真题（理））设x,y 满足约束条件{x −y ≥0x +2y ≤3x −2y ≤1 ，则z =x +4y 的最大值为 . 【答案】5.96．（2014·浙江高考真题（理））当实数,x y 满足240{101x y x y x +-≤--≤≥时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦97．（2014·浙江高考真题（文））若、满足和240{101x y x y x +-≤--≤≥，则的取值范围是________. 【答案】98．（2014·辽宁高考真题（文））对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使2a b +最大时，124a b c++的最小值为________. 【答案】1-99．（2014·湖南高考真题（理））若变量满足约束条件，且的最小值为，则【答案】−2100．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是 ． 【答案】2﹣log 23101．（2013·全国高考真题（文））若x y 、满足约束条件0,{34,34,x x y x y ≥+≥+≤则z x y =-+的最小值为 ． 【答案】0．102．（2013·广东高考真题（文））已知变量,x y 满足约束条件30{111x y x y -+≥-≤≤≥，则z x y=+的最大值是 ． 【答案】5103．（2008·山东高考真题（理））若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是104．（2008·广东高考真题（理））(不等式选讲选做题)已知,a ∈R 若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 。
近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编
（24）本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0.
（Ⅰ）当a=1时，求不等式 f(x)>1的解集；
（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
2015全国二卷理科
24．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编
2016全国一卷理科
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
2016全国二卷理科
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
（1）若ab>cd；则 ；
（2） 是 的充要条件。
2014全国一卷理科
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若 ，且 .
(Ⅰ)求 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由.
2014全国二卷理科
24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数 =
（Ⅰ）证明： 2；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
2013全国一卷理科
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－ ， )时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
专题07 不等式丨十年高考数学真题分项汇编(解析版)(共39页)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式目录题型一：不等式的性质及其应用.......................................1题型二：解不等式...................................................4题型三：基本不等式.................................................5题型四：简单的线性规划问题.........................................7题型五：不等式的综合问题 (34)题型一：不等式的性质及其应用一、选择题1．(2019·天津·理·第6题)已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为()A ．a c b <<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【答案】A解析：5511log 2log ,0,22a a ⎛⎫=<=∴∈ ⎪⎝⎭，110.5222log 2log 50.log 5log 42b --===>=，即2b >，11520.211220.5,,12222c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>=∴∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<．2．(2019·全国Ⅰ·理·第3题)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b c a<<【答案】答案：B解析：22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=，0.300.20.21,(0,1)c c =<=∴∈，故a c b <<．3．(2014高考数学四川理科·第4题)若0,0a b c d >><<，则一定有()A．a b c d >B．a b c d <C．a b d c >D．a b d c<【答案】D解析：由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）·第12题)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则()A ．0a b ab +<<B．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D．0ab a b<<+【答案】B解析：一方面()0.2log 0.30,1a =∈，()2log 0.32,1b =∈--，所以0ab <0.31log 0.2a =，0.31log 2b =，所以()()0.30.311log 0.22log 0.40,1a b+=⨯=∈所以1101a b <+<即01a b ab +<<，而0ab <，所以0a b +<，所以1a ba b ab ab+<⇒+>综上可知0ab a b <+<，故选B ．5．(2014高考数学湖南理科·第8题)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A．2q p +B．()()2111-++q p C．pqD．()()111-++q p 【答案】D解析：设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=-,故选D．6．(2017年高考数学山东理科·第7题)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是()A．()21log 2a ba ab b +<<+B．()21log 2a b a b a b<+<+C．()21log 2a b a a b b +<+<D．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2aba b a b ><<∴<+>=12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+,所以选B．二、填空题1．(2017年高考数学北京理科·第13题)能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_________________________．【答案】1,2,3---(答案不唯一)【解析】()123,1233->->--+-=->-出现矛盾,所以验证是假命题．三、多选题1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD 2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12题)已知a >0，b >0，且a +b =1，则()A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D +≤【答案】ABD解析：对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，所以≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确；故选：ABD一、选择题1．(2015高考数学北京理科·第7题)如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是()()A．{}|10x x -<≤B．{}|11x x -≤≤C．{}|11x x -<≤D．{}|12x x -<≤【答案】C解析：如图所示，把函数2log y x =的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集，故选C．二、填空题1．(2015高考数学江苏文理·第7题)不等式422<-xx的解集为_______．【答案】(1,2).-解析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).-2．(2017年高考数学上海(文理科)·第7题)不等式11x x->的解集为________．【答案】(),0-∞【解析】111100x x x->⇒<⇒<,解集为(,0)-∞．一、填空题1．(2021高考天津·第13题)若0 , 0a b >>，则21a b a b ++的最小值为____________．【答案】解析： 0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：．2．(2020天津高考·第14题)已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=，或22a b ==时，等号成立．故答案为：43．(2020江苏高考·第12题)已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】22451x y y += ,0y ∴≠且42215y x y -=42222221144+5555y y x y y y y -∴+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号．22x y ∴+的最小值为45．故答案为：45．4．(2019·天津·理·第13题)设0,0,25x y x y >>+=，则的最小值为．【答案】解析：524x y =+≥，=====即31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，因为2538<<5．(2019·上海·第7题)若x y R+∈、，且123yx+=，则yx的最大值为________.【答案】98【解析】法一：yxyx212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤xy；法二：由yx231-=，yyyyxy32)23(2+-=⋅-=(230<<y)，求二次最值89max=⎪⎭⎫⎝⎛xy. 6．(2019·江苏·第10题)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线()4y x xx=+>0上一动点，则点P到直线x y+=的距离最小值是______.【答案】4【解析】法1：由已知，可设4(,0P x x xx+>，，所以42+4xxd===.当且仅当42xx=，即x=时取等号，故点P到直线的距离的最小值为4.法2：距离最小时，24'11yx-=-=，则x=，所以P,所以最小值为4.7．(2018年高考数学江苏卷·第13题)在ABC△中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c，120ABC∠=︒，ABC∠的平分线交AC于点D，且1BD=，则4a c+的最小值为．【答案】9解析：由题意可知，ABC ABD BCDS S S∆∆∆=+，由角平分线性质和三角形面积公式得，111sin1201sin60+1sin60222ac a c=⨯⨯⨯⨯，化简得+ac a c=，111a c+=，因此1144(4)()5c aa c a ca c a c+=++=++≥，当且仅当=2=3c a时取等号，所以4a c+的最小值为9．8．(2018年高考数学天津(理)·第13题)已知,a b∈R，且360a b-+=，则128ab+的最小值为．【答案】14解析：由360a b -+=，得36a b =-，所以3633112222284ab b b ---+=+=⨯=≥，当且仅当363b b -=-，即1,3b a =-=-时等号成立，故128ab +的最小值为14．9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨．【答案】20解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
高考数学真题 不等式选讲
专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．3．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．4．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．5．设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；7．已知关于x 的不等式m －|x －2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m 的值；(2)若a ，b 均为正实数，且满足a ＋b ＝m ，求a 2＋b 2的最小值．8．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，证明：(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2；≥252.9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b|≤M；(2)证明：M≥12.10．已知a，b，c为非零实数，且a2＋b2＋c2＋1－m＝0，1a2＋4b2＋9c2＋1－2m＝0.(1)求证：1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2；(2)求实数m的取值范围．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1. 12．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．13．设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．14．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.15．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．16．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，g(x)＝a－|x－2|.(1)若关于x的不等式f(x)<g(x)有解，求实数a的取值范围；(2)若关于x的不等式f(x)<g(x)a＋b的值．17．已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若对x∈[0,4]不等式f(x)≤3恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．18．已知x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．高考押题专练1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |.(1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，由f (x )≤3，可得|2x －1|＋|x －2|≤3，＜12，－2x ＋2－x ≤3x ＜2，－1＋2－x ≤3≥2，x －1＋x －2≤3.解①得0≤x ＜12，解②得12≤x ＜2，解③得x ＝2.综上可得，0≤x ≤2，即不等式的解集为[0，2]．(2)∵当x ∈[1，2]时，f (x )≤3恒成立，即|x －2a |≤3－|2x －1|＝4－2x ，故2x －4≤2a －x ≤4－2x ，即3x －4≤2a ≤4－x .再根据3x －4在x ∈[1，2]上的最大值为6－4＝2，4－x 的最小值为4－2＝2，∴2a ＝2，∴a ＝1，即a 的取值范围为{1}．2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】(1)原不等式等价于>32，2x ＋1）＋（2x －3）≤6－12≤x ≤32，2x ＋1）－（2x －3）≤6或<－12，2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|a －1|>4，∴a <－3或a >5，∴实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．3．已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．【解析】(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；当－3<x<2时，有2x＋1≥3，解得1≤x<2.综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得，||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1，9]．4．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：|13a＋16b|＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|，x≤－2，2x－1，－2＜x＜1，3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M－12，所以|13a＋16b|≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.5．设函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<－1；(2)设函数g(x)＝|x＋a|－4，且g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|，x<－1－2x，－1≤x≤3，4，x>3，故由不等式f(x)<－1可得，x>3－2x<－1，1≤x≤3.解得x>32.(2)函数g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2，2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示．故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4，则函数g(x)的图象在函数f(x)的图象的下方，g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．6．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；【解析】证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝＝4≥4ba ·ab＋4＝8(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴1a＋1b＋1ab≥8.(2)＝1a＋1b＋1ab＋1，由(1)知1a＋1b＋1ab≥8.7．已知关于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集为[0，4]．(1)求m的值；(2)若a，b均为正实数，且满足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．【解析】(1)不等式m－|x－2|≥1可化为|x－2|≤m－1，∴1－m≤x－2≤m－1，即3－m≤x≤m＋1.∵其解集为[0，4]－m＝0，＋1＝4，∴m＝3.(2)由(1)知a＋b＝3，∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a×1＋b×1)2＝(a＋b)2＝9，∴a2＋b2≥92，∴a2＋b2的最小值为92.8．已知a，b均为正数，且a＋b＝1，证明：(1)(ax＋by)2≤ax2＋by2；≥252.【解析】证明：(1)(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，因为a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a ，b 均为正数，所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立．所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.＝4＋a 2＋b 24＋a 2＋b 2＋（a ＋b ）2a 2＋（a ＋b ）2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋＋（a ＋b ）22＋2＋4＋2＝252.当且仅当a ＝b 时等号成立．9．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1，1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)证明：|1＋b |≤M ；(2)证明：M ≥12.【解析】证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|.又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |.∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.10．已知a ，b ，c 为非零实数，且a 2＋b 2＋c 2＋1－m ＝0，1a 2＋4b 2＋9c 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2＋9c 2≥36a 2＋b 2＋c2；(2)求实数m 的取值范围．【解析】(1)证明：由柯西不等式得2(a 2＋b 2＋c 2a ＋2b ·b ＋3c·，2(a2＋b2＋c2)≥36.∴1a2＋4b2＋9c2≥36a2＋b2＋c2.(2)由已知得a2＋b2＋c2＝m－1，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1，∴(m－1)(2m－1)≥36，即2m2－3m－35≥0，解得m≤－72或m≥5.又a2＋b2＋c2＝m－1>0，1a2＋4b2＋9c2＝2m－1>0，∴m≥5.即实数m的取值范围是[5，＋∞)．11．已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.【解析】(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为∅，不合题意．若m≥1，①当x<0时，得x≥1－m2，则1－m2≤x<0；②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；③当x>1时，得x≤m＋12，则1<x≤m＋12.综上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为1－m2，m＋12.由题意知，原不等式的解集为[0，1]，0，1，解得m＝1.(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.由题设及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，即ax ＋by ＋cz ≤1，得证．12．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝2x ＋6，x ≤2，，2<x <4，x ＋6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4.解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x －1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )2a ，x ≤0，x －2a ，0<x <a ，a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．1，2，∴a ＝3.13．设函数f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解析】(1)证明：由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －x －a |＝1a ＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 14．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.【解析】(1)f (x )x －3，x ∈[1，＋∞ ，－x ，x ∈－∞，1 .当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得≤4，解得－14≤x ≤34，因此N ＝{x |－14≤x ≤324}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝xf (x )＝x (1－x )＝14－≤14.15．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：|13a ＋16b |＜14(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|，x ≤－12x －1，－1＜x ＜13，x ≥1由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则M －12，所以|13a ＋16b |≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，所以|1－4ab |2＞4|a －b |2，故|1－4ab |＞2|a －b |.16．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|.(1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )a ＋b 的值．【解析】(1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ，∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|≥4，当且仅当－1≤x ≤3，f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)．(2)当x ＝72时，f (x )＝5，则＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132，∴当x <2时，g (x )＝x ＋92，令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－12∈(－1,3)，∴b ＝－12，则a ＋b ＝6.17．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3，∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，根据题意知[0,4]⊆M －3≤0，＋3≥4，∴1≤a ≤3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5，因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．18．已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }，a ≥b ，，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．【解析】(1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.19．已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310；(2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.【证明】(1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32，∴|x |<310.(2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )＝(x －2y )(x 3－8y 3)＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.20．已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.【证明】(1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＋n 4b 2＋a 2＋b 2＋c 2)a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.21．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)【解析】令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x－2，x ≥1，3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)【证明】|x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc＝3abc ＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .22．已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f 的解集；(2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r ＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．【解析】(1)f 4－|x ＋32|－|x －32|≥0，根据绝对值的几何意义，得|x ＋32|＋|x －32|表示点(x,0)到－32，B 接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，|x ＋32|＋|x －32|≤4，即f 的解集为[－2,2]．(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得a 21＋a 22＋a 23)a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·＋12q ＋p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94.上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号．∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.23．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12，①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为－14，＋(2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2∵当a ∈0，12时单调递增，a ∈12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1，∴b的取值范围为(－∞，1]．。
高考数学真题分类十年(2014-2023)高考 专题27 不等式选讲(解析版)
(2)当 ∈ (−∞, 1)时，() < 0，求的取值范围．
【答案】 (1) (−∞, 1)； ( 2) 1, +∞)
【官方解析】
(1)当 = 1时，() = | − 1| + | − 2|( − 1).
当 < 1时，() = −2( − 1)2 < 0；当 ≥ 1时，() ≥ 0.
2
【答案】(Ⅰ){| 3 < < 2} (Ⅱ)(2，+∞)
分析：(Ⅰ)利用零点分析法将不等式 f(x)>1 化为一元一次不等式组来解；(Ⅱ)将()化
为分段函数，求出()与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题
意列出关于的不等式，即可解出的取值范围．
解析：(Ⅰ)当 a=1 时，不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|＞1，
( − 1)2 (当且仅当2 − 1 ≤ ≤ 2 时取等号)，
∴ ( − 1)2 ≥ 4，解得： ≤ −1或 ≥ 3，
a 的取值范围为−∞, −1 ∪ 3, +∞)．
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于
常考题型．
3．(2020 江苏高考·第 23 题)设 ∈ ，解不等式2| + 1| + || ≤ 4．
1
【答案】{ | ≤ −5 或 ≥ − 3}
分可
3
解析：原不等式可化为{
1
解得 ≤ −5或 ≥ − 3．
3
< −2
≥ −2
或{
．
− − 3 ≥ 2 3 + 3 ≥ 2
1
不等式--历届高考真题试题
不等式--历届高考真题一、单选题1．（2019·全国高考真题（文））记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+„.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④2．（2012·全国高考真题（理））已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-3．（2017·全国高考真题（文））设x,y 满足约束条件{2x+3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0 ，则z =2x +y 的最小值是( ) A ．−15B ．−9C ．1D ．94．（2018·天津高考真题（文））（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤5,2x −y ≤4,−x +y ≤1,y ≥0, 则目标函数z =3x +5y 的最大值为 A ．6 B ．19 C ．21 D ．455．（2018·全国高考真题（理））已知集合A ={x |x 2−x −2>0 }，则∁R A = A ．{x |−1<x <2 } B ．{x |−1≤x ≤2 }C ．{x|x <−1}∪ {x|x >2}D ．{x|x ≤−1}∪ {x|x ≥2} 6．（2018·全国高考真题（理））设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则 A ．a +b <ab <0 B ．ab <a +b <0 C ．a +b <0<ab D ．ab <0<a +b7．（2016·北京高考真题（理））袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多8．（2017·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件x 0{x+y-30 z 2x-2y 0x y ≥≥=+≤，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）9．（2017·山东高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a b a a b b +<<+ B ． ()21log 2a b a b a b <+<+ C ． ()21log 2a b a a b b +<+< D ． ()21log 2a ba b a b +<+<10．（2017·山东高考真题（文））已知x ,y 满足约束条件250{302x y x y -+≤+≥≤,则z =x +2y 的最大值是A ．-3B ．-1C ．1D ．311．（2017·天津高考真题（理））已知函数()23,1,{ 2, 1.x x x f x x x x-+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C．2⎡⎤-⎣⎦ D．3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．（2017·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3,x −y ≥1,y ≥0, 则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313．（2015·上海高考真题（文））下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A ．B ．C ．D ．14．（2015·广东高考真题（文））若变量x ，y 满足约束条件22{04x y x y x +≤+≥≤，则23z x y=+的最大值为（ ） A ．10B ．8C ．5D ．215．（2015·浙江高考真题（文））有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ） A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++16．（2015·湖南高考真题（文））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A ．8π9B ．827πC ．24(√2−1)2πD ．8(√2−1)2π17．（2015·安徽高考真题（文））已知x ，y 满足约束条件0{401x y x y y -≥+-≤≥，则的最大值是（ ） A ．-1B ．-2C ．-5D ．118．（2015·湖南高考真题（文））若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1y −x ≤1x ≤1 ，则z =2x −y 的最小值为（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．219．（2015·湖南高考真题（理））某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π20．（2015·四川高考真题（文）） 设实数x ，y 满足{2x +y ≤10x +2y ≤14x +y ≥6 ，则xy 的最大值为( ) A ．252 B ．492 C ．12D ．1421．（2015·重庆高考真题（文））若不等式组{x +y −2≤0x +2y −2≥0x −y +2m ≥0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ）A ．-3B ．1C ．43 D ．322．（2015·天津高考真题（文））设变量x,y 满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1423．（2015·天津高考真题（理））（2015天津，文2）设变量x,y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0 ，则目标函数z =x +6y 的最大值为( ) A ．3B ．4C ．18D ．4024．（2015·山东高考真题（理））已知x ，y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝ ( ) A ．3 B ．2 C ．－2D ．－325．（2015·福建高考真题（理））若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0,x −y ≤0,x −2y +2≥0, 则z =2x −y的最小值等于 （ ） A ．−52B ．−2C ．−32D ．226．（2014·四川高考真题（理））已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（其中O 为坐标原点），则ΔABO 与ΔAFO 面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．17√28D ．√1027．（2014·全国高考真题（文））设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ） A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-28．（2014·山东高考真题（理））已知 x y ，满足约束条件10{230x y x y --≤--≥，当目标函数()0? 0z ax by a b =+>>，在约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ）A ．5B ．4 CD ．229．（2014·北京高考真题（理））若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-30．（2014·重庆高考真题（文））若的最小值是A．B．C．D．31．（2011·广东高考真题（文））已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4 32．（2011·湖北高考真题（文））（5分）（2011•湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个33．（2011·重庆高考真题（理））已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5 34．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3 D．4 35．（2013·重庆高考真题（文））关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．36．（2011·湖北高考真题（理））已知向量=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3] 37．（2011·浙江高考真题（理））设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．1938．（2011·山东高考真题（文））设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8.539．（2012·广东高考真题（理））已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ） A ．12B ．11C ．3D ．-140．（2013·浙江高考真题（文））（2013•浙江）设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下： a ∧b=a ∨b=若正数a 、b 、c 、d 满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）A ．a ∧b≥2，c ∧d≤2B ．a ∧b≥2，c ∨d≥2C ．a ∨b≥2，c ∧d≤2D ．a ∨b≥2，c ∨d≥2 41．（2013·湖北高考真题（文））（2013•湖北）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元42．（2010·安徽高考真题（文））设x,y 满足约束条件{2x +y −6≥0,x +2y −6≤0,y ≥0, 则目标函数z=x+y的最大值是A ．3B ．4C ．6D ．8 43．（2013·山东高考真题（文））设正实数满足，则当zxy取得最大值时，x +2y −z 的最大值为( ) A ．0B ．98C ．2D ．9444．（2013·山东高考真题（理））设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0,则当取得最大值时，的最大值为( )A ．0B ．1C ．D ．345．（2013·全国高考真题（理））已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,若z=2x+y的最小值为1，则a= A ．B ．C ．1D ．246．（2013·安徽高考真题（理））已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ）A ．B ．C ．{x|lg 2x >-}D ．{x|lg 2x <-}47．（2010·陕西高考真题（理））“a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax ≥1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件48．（2010·天津高考真题（文））设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤3,x −y ≥−1,y ≥1, 则目标函数z=4x+2y 的最大值为A ．12B ．10C ．8D ．249．（2012·江西高考真题（理））某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为A ．50,0B ．30.0C ．20,30D ．0,5050．（2011·浙江高考真题（文））若实数x y 、满足不等式组250{2700,0x y x y x y +-≥+-≥≥≥,则34x y +的最小值是 A ．13B ．15C ．20D ．2851．（2010·重庆高考真题（理））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3B ．4C ．92D ．11252．（2010·重庆高考真题（文））设变量满足约束条件则的最大值为A ．0B ．2C ．4D ．653．（2010·全国高考真题（文））已知Y ABCD 的三个顶点为A （-1，2），B （3，4），C （4，-2），点（x ，y ）在Y ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是 A ．（-14，16） B ．（-14，20） C ．（-12，18） D ．（-12，20）54．（2010·浙江高考真题（理））若实数,x y 满足不等式330{23010x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．255．（2010·福建高考真题（文））若1,,{230 x x y R x y y x≥∈-+≥≥，则2z x y =+的最小值等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．956．（2008·江西高考真题（文））若01x y <<<，则 A ．33y x < B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．1144x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭57．（2008·福建高考真题（理））若实数x 、y 满足10,{0,x y x -+≤>则yx的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(]0,1C ．(1,+∞)D ．[)1,+∞58．（2008·湖北高考真题（理））函数f (x )=的定义域为A ．(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］B ．(-4,0) ∪(0,1)C ．［-4,0］∪（0，1）］D ．［－4，0∪（0，1）59．（2008·广东高考真题（理））若变量,x y 满足则32z x y =+的最大值是 A ．90B ．80C ．70D ．4060．（2015·四川高考真题（理））如果函数f(x)=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0 ，n ≥0)在区间[12，2]上单调递减，则mn 的最大值为（ ） A ．16B ．18C ．25D ．81261．（2014·湖北高考真题（理））由不等式组确定的平面区域记为，不等式组，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．62．（2011·重庆高考真题（理））设m ，k 为整数，方程mx 2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（ ）A ．﹣8B ．8C ．12D ．1363．（2010·北京高考真题（理））设不等式组{x +y −11≥03x −y +3≥05x −3y +9≤0 表示的平面区域为D ，若指数函数y=a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．[ 3,+∞]64．（2011·全国高考真题（理））下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是A ．a ＞b +1B ．a ＞b −1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 365．（2007·辽宁高考真题（理））已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．[)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，，C ．(][)36-∞+∞U ，，D ．[36]，66．（2009·天津高考真题（理））已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ） A ．－1<a<0 B ．0<a<1 C ．1<a<3 D ．3<a<6二、填空题67．（2019·天津高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.68．（2019·天津高考真题（理））设0,0,25x y x y >>+=最小值为______.69．（2018·浙江高考真题）若x,y 满足约束条件{x −y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2, 则z =x +3y 的最小值是___________，最大值是___________．70．（2018·天津高考真题（文））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab +的最小值为_____________.71．（2018·全国高考真题（理））若x ，y 满足约束条件{x −2y −2≤0x −y +1≥0y ≤0 ，则z =3x +2y 的最大值为_____________．72．（2017·全国高考真题（理））已知实数,x y 满足0{20 0x y x y y -≥+-≤≥，则34z x y =-最小值为________．73．（2017·山东高考真题（理））已知,x y 满足30{350 30x y x y x -+≤++≤+≥，则2z x y =+的最大值是__________．74．（2017·全国高考真题（文））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.75．（2017·天津高考真题（理））若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.76．（2017·江苏高考真题）76．（2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．77．（2017·山东高考真题（文））若直线xa +yb =1(a ＞0，b ＞0)过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______.78．（2016·全国高考真题（文））若x,y 满足约束条件{2x −y +1≥0,x −2y −1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y −5的最小值为_________.79．（2016·全国高考真题（文））若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,x +y −3≥0,x −3≤0, 则z=x−2y 的最小值为__________.80．（2016·上海高考真题（文））设a ＞0,b ＞0. 若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则a +b 的取值范围是 .81．（2016·江苏高考真题）已知实数x,y 满足{x −2y +4≥0，2x +y −2≥0，3x −y −3≤0，则x 2+y 2的取值范围是 .82．（2016·上海高考真题（理））设若关于x,y 的方程组{ax +y =1，x +by =1无解，则的取值范围是____________．83．（2015·浙江高考真题（文））已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ．84．（2015·山东高考真题（文））定义运算“⊗”：x ⊗y =x 2−y 2xy（x ，y ∈R,xy ≠0）.当x >0，y >0时，x ⊗y +(2y)⊗x 的最小值是 .85．（2015·湖北高考真题（文））若变量x, y 满足约束条件{x +y ≤4,x −y ≤2,3x −y ≥0, 则3x +y 的最大值是_________．86．（2015·山东高考真题（文））若x,y 满足约束条件{y −x ≤1x +y ≤3y ≥1 ,则z =x +3y 的最大值为 .87．（2015·上海高考真题（文））若满足，则目标函数的最大值为 .88．（2015·全国高考真题（理））若x ,y 满足约束条件{x −1≥0,x −y ≤0,x +y −4≤0, 则yx 的最大值 ．89．（2015·天津高考真题（文））已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为 时log 2a ⋅log 2(2b)取得最大值.90．（2015·浙江高考真题（理））已知函数223,1(){lg(1),1x x f x x x x +-≥=+<，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ．91．（2014·四川高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 ．92．（2014·陕西高考真题（文））设，且，则的最小值为______.93．（2014·全国高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x的取值范围是_______________.94．（2014·湖北高考真题（文））某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.95．（2014·全国高考真题（理））设x,y 满足约束条件{x −y ≥0x +2y ≤3x −2y ≤1 ，则z =x +4y 的最大值为 .96．（2014·浙江高考真题（理））当实数,x y 满足240{101x y x y x +-≤--≤≥时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .97．（2014·浙江高考真题（文））若、满足和240{101x y x y x +-≤--≤≥，则的取值范围是________.98．（2014·辽宁高考真题（文））对于0c >，当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=且使2a b +最大时，124a b c++的最小值为________. 99．（2014·湖南高考真题（理））若变量满足约束条件，且的最小值为，则100．（2011·重庆高考真题（文））（5分）（2011•重庆）若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是 ．101．（2013·全国高考真题（文））若x y 、满足约束条件0,{34,34,x x y x y ≥+≥+≤则z x y =-+的最小值为 ．102．（2013·广东高考真题（文））已知变量,x y 满足约束条件30{111x y x y -+≥-≤≤≥，则z x y=+的最大值是 ．103．（2008·山东高考真题（理））若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是104．（2008·广东高考真题（理））(不等式选讲选做题)已知,a ∈R 若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是 。
历年高考数学真题精选52 不等式选讲
高考数学真题精选（按考点分类）专题52 不等式选讲（学生版）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．2．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x−12|+|x+12|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝|x+1a|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围． 10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1a +1b=√ab ．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由．11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a2，12]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|． （1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集． 13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1． （1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1． 14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明： （1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件． 17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，√22x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 32+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围．18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明：（Ⅰ）ab +bc +ca ≤13（Ⅱ）a 2b+b 2c+c 2a≥1．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题52 不等式选讲（学生版）一．解答题（共18小题）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1； 当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅； 综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意， ∴a 的取值范围为：[1，+∞）2．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜2 a，∴a＜2 x∵2x＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝5﹣|x+1|﹣|x﹣2|={2x+4，x≤−1 2，−1＜x＜2−2x+6，x≥2．当x≤﹣1时，f（x）＝2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，当﹣1＜x＜2时，f（x）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）＝﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|＝|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|＝|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．4．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1，当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =√17−12，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−12]； 当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，√17−12]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]．5．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．6．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+a ． （1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设函数g （x ）＝|2x ﹣1|，当x ∈R 时，f （x ）+g （x ）≥3，求a 的取值范围． 解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|2x ﹣2|+2， ∵f （x ）≤6，∴|2x ﹣2|+2≤6， |2x ﹣2|≤4，|x ﹣1|≤2， ∴﹣2≤x ﹣1≤2， 解得﹣1≤x ≤3，∴不等式f （x ）≤6的解集为{x |﹣1≤x ≤3}． （2）∵g （x ）＝|2x ﹣1|，∴f （x ）+g （x ）＝|2x ﹣1|+|2x ﹣a |+a ≥3， 2|x −12|+2|x −a 2|+a ≥3， |x −12|+|x −a 2|≥3−a2， 当a ≥3时，成立，当a ＜3时，|x −12|+|x −a 2|≥12|a ﹣1|≥3−a2＞0， ∴（a ﹣1）2≥（3﹣a ）2， 解得2≤a ＜3，∴a 的取值范围是[2，+∞）．7．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x −12|+|x +12|，M 为不等式f （x ）＜2的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，|a +b |＜|1+ab |．解：（I ）当x ＜−12时，不等式f （x ）＜2可化为：12−x ﹣x −12＜2，解得：x ＞﹣1， ∴﹣1＜x ＜−12，当−12≤x ≤12时，不等式f （x ）＜2可化为：12−x +x +12=1＜2，此时不等式恒成立， ∴−12≤x ≤12，当x ＞12时，不等式f （x ）＜2可化为：−12+x +x +12＜2， 解得：x ＜1， ∴12＜x ＜1，综上可得：M ＝（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a ，b ∈M 时， （a 2﹣1）（b 2﹣1）＞0， 即a 2b 2+1＞a 2+b 2，即a 2b 2+1+2ab ＞a 2+b 2+2ab ， 即（ab +1）2＞（a +b ）2， 即|a +b |＜|1+ab |．8．（2015•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |，a ＞0． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若f （x ）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当a ＝1时，不等式f （x ）＞1，即|x +1|﹣2|x ﹣1|＞1， 即{x ＜−1−x −1−2(1−x)＞1①，或{−1≤x ＜1x +1−2(1−x)＞1②，或{x ≥1x +1−2(x −1)＞1③． 解①求得x ∈∅，解②求得23＜x ＜1，解③求得1≤x ＜2．综上可得，原不等式的解集为（23，2）．（Ⅱ）函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣a |={x −1−2a ，x ＜−13x +1−2a ，−1≤x ≤a −x +1+2a ，x ＞a，由此求得f （x ）的图象与x 轴的交点A （2a−13，0），B （2a +1，0），故f （x ）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C （a ，a +1）， 由△ABC 的面积大于6， 可得12[2a +1−2a−13]•（a +1）＞6，求得a ＞2． 故要求的a 的范围为（2，+∞）．9．（2014•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝|x +1a |+|x ﹣a |（a ＞0）． （Ⅰ）证明：f （x ）≥2；（Ⅱ）若f （3）＜5，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）证明：∵a ＞0，f （x ）＝|x +1a |+|x ﹣a |≥|（x +1a ）﹣（x ﹣a ）|＝|a +1a |＝a +1a ≥2√a ⋅1a =2， 故不等式f （x ）≥2成立． （Ⅱ）∵f （3）＝|3+1a |+|3﹣a |＜5，∴当a ＞3时，不等式即a +1a＜5，即a 2﹣5a +1＜0，解得3＜a ＜5+√212． 当0＜a ≤3时，不等式即 6﹣a +1a ＜5，即 a 2﹣a ﹣1＞0，求得1+√52＜a ≤3． 综上可得，a 的取值范围（1+√52，5+√212）．10．（2014•新课标Ⅰ）若a ＞0，b ＞0，且1a+1b=√ab ．（Ⅰ）求a 3+b 3的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得2a +3b ＝6？并说明理由． 解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，且1a+1b=√ab ，∴√ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ab ≥2， 当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵a 3+b 3 ≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴a 3+b 3的最小值为4√2．（Ⅱ）∵2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3＞6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立．11．（2013•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|2x +a |，g （x ）＝x +3． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a 2，12]时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0． 设y ＝|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y ={−5x ，x ＜12−x −2，12≤x ≤13x −6，x ＞1，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当x ∈[−a2，12]时，f （x ）＝1+a ，不等式化为1+a ≤x +3，故x ≥a ﹣2对x ∈[−a 2，12]都成立．故−a 2≥a ﹣2， 解得a ≤43，故a 的取值范围为（﹣1，43]．12．（2011•辽宁）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|．（1）证明：﹣3≤f （x ）≤3；（2）求不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集．解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x ﹣5|={−3，x ≤22x −7，2＜x ＜53，x ≥5．当2＜x ＜5时，﹣3＜2x ﹣7＜3．所以﹣3≤f （x ）≤3．（2）由（1）可知，当x ≤2时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ＜5}；当x ≥5时，f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f （x ）≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5−√3≤x ≤6}．13．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1．（1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1．解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4，可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43； （2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23， 即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为(a+2)23， 由题意可得(a+2)23≥13， 解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．14．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1．就要证：abc a +abc b +abc c ≤a 2+b 2+c 2；即证：bc +ac +ab ≤a 2+b 2+c 2；即：2bc +2ac +2ab ≤2a 2+2b 2+2c 2；2a 2+2b 2+2c 2﹣2bc ﹣2ac ﹣2ab ≥0（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0；∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．∴（a ﹣b ）2≥0；（a ﹣c ）2≥0；（b ﹣c ）2≥0恒成立；当且仅当：a ＝b ＝c ＝1时取等号． 即（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2≥0得证．故1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2得证．（2）证（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24成立；即：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．（a +b ）为正数；（b +c ）为正数；（c +a ）为正数；（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）；当且仅当（a +b ）＝（b +c ）＝（c +a ）时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号； ∵a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．（a +b ）≥2√ab ；（b +c ）≥2√bc ；（c +a ）≥2√ac ；当且仅当a ＝b ，b ＝c ；c ＝a 时取等号；即：a ＝b ＝c ＝1时取等号；∴（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥3（a +b ）•（b +c ）•（c +a ）≥3×8√ab •√bc •√ac =24abc ＝24；当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号；故（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．得证．故得证．15．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明：（1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4；（2）a +b ≤2．证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4， 当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号，（2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2，∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2，∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab ≤（a+b 2）2， ∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34， ∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．16．（2015•新课标Ⅱ）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，证明：（1）若ab ＞cd ，则√a +√b ＞√c +√d ；（2）√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件．证明：（1）由于（√a +√b ）2＝a +b +2√ab ，（√c +√d ）2＝c +d +2√cd ，由a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b ＝c +d ，ab ＞cd ，则√ab ＞√cd ，即有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2，则√a +√b ＞√c +√d ；（2）①若√a +√b ＞√c +√d ，则（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2，即为a +b +2√ab ＞c +d +2√cd ，由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ，于是（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，（c ﹣d ）2＝（c +d ）2﹣4cd ，即有（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2，即为|a ﹣b |＜|c ﹣d |；②若|a ﹣b |＜|c ﹣d |，则（a ﹣b ）2＜（c ﹣d ）2，即有（a +b ）2﹣4ab ＜（c +d ）2﹣4cd ，由a +b ＝c +d ，则ab ＞cd ，则有（√a +√b ）2＞（√c +√d ）2．综上可得，√a +√b ＞√c +√d 是|a ﹣b |＜|c ﹣d |的充要条件．17．（2013•辽宁）（1）证明：当x ∈[0，1]时，√22x ≤sinx ≤x ； （2）若不等式ax +x 2+x 32+2(x +2)cosx ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围． （1）证明：记F （x ）＝sin x −√22x ，则F ′（x ）＝cos x −√22． 当x ∈（0，π4）时，F ′（x ）＞0，F （x ）在[0，π4]上是增函数；当x ∈（π4，1）时，F ′（x ）＜0，F （x ）在[π4，1]上是减函数； 又F （0）＝0，F （1）＞0，所以当x ∈[0，1]时，F （x ）≥0，即sin x ≥√22x ，记H （x ）＝sin x ﹣x ，则当x ∈（0，1）时，H ′（x ）＝cos x ﹣1＜0，所以H （x ）在[0，1]上是减函数；则H （x ）≤H （0）＝0，即sin x ≤x ．综上，√22x ≤sin x ≤x ． （2）∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x 2≤（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(√24x)2＝（a +2）x ，∴当a ≤﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立，下面证明，当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立． ∵当x ∈[0，1]时，ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ﹣4＝（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）sin 2x 2≥（a +2）x +x 2+x 32−4（x +2）(x 2)2＝（a +2）x ﹣x 2−x 32≥（a +2）x −32x 2=−32x [x −23（a +2）]．所以存在x 0∈（0，1）（例如x 0取a+23和12中的较小值）满足ax 0+x 02+x032+2（x 0+2）cos x 0﹣4＞0，即当a ＞﹣2时，不等式ax +x 2+x 32+2（x +2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．（2013•新课标Ⅱ）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】设a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝1，证明：（Ⅰ）ab +bc +ca ≤13（Ⅱ）a 2b +b2c +c 2a ≥1．证明：（Ⅰ）由a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ， 由题设得（a +b +c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝1，所以3（ab +bc +ca ）≤1，即ab +bc +ca ≤13．（Ⅱ）因为a2b +b ≥2a ，b2c +c ≥2b ，c 2a +a ≥2c ，故a 2b +b 2c +c2a +（a +b +c ）≥2（a +b +c ），即a 2b +b2c +c 2a ≥a +b +c ．所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1．。
最新届高考数学专题-不等式选讲-高考真题
2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．7．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．8．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．9．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。
2010-2019高考数学真题分类汇编第42讲不等式选讲
专题十六不等式选讲第四十二讲不等式选讲2019 年1. (2019全国I理23)［选修4—5:不等式选讲］(10分)已知a, b, c为正数，且满足abc=1.证明：111 2 2 2(1) a b c ；a b c(2)(a b)3(b c)3(c a)3_24.2. (2019全国II理23)［选修4-5 :不等式选讲］(10分)已知f (x) =|x — a |x |x -2|(x — a).(1 )当a =1时，求不等式f(x) ::: 0的解集；(2)若(-：：,1)时，f(x) ：：：0，求a的取值范围.3. (2019全国III理23)［选修4-5:不等式选讲］(10分)设x,y,z R，且x y z =1.(1 )求(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值；(2)若(x-2)2• (y-1)2• (z-a)2一1成立，证明：a 岂-3或a --1.32010-2018 年解答题1. (2018全国卷I )［选修4 5 不等式选讲］(10分)已知f (x) =|x 1| -|ax-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x)「的解集；⑵若(0,1)时不等式f(x)成立，求a的取值范围.2. (2018全国卷n )［选修4 —5:不等式选讲］(10分)设函数f(x) =5 -|x • a| -|x -2|.(1)当a=1时，求不等式f (x) > 0的解集；⑵若f (x) < 1，求a的取值范围.3. (2018全国卷川)［选修4—5:不等式选讲］(10分)设函数f (x) =|2x 1| |x_1| .(1) 画出y二f (x)的图像；(2) 当x • ［0, •：：)时，f (x) < ax b，求a b 的最小值.4. (2018江苏)D .［选修4—5 :不等式选讲］(本小题满分10分)若x , y , z为实数，且x 2y • 2z =6，求x2 y2 z2的最小值.5. (2017 新课标I)已知函数f (x)二-x2 ax 4 , g(x) =| x ■ 1| • | x「1| .(1) 当a=1时，求不等式f (x) > g(x)的解集；(2) 若不等式f(x) > g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范围.6. (2017 新课标n)已知a 0 , b 0 , a3 b^2，证明：(1) (a b)(a5 b5) > 4 ；⑵ a b < 2 .7. ( 2017新课标川)已知函数f (x) =| x 1| -|x-2|.(1) 求不等式f (x) > 1的解集；2(2) 若不等式f (x) > x -x m的解集非空，求m的取值范围.2 2 2 2& (2017 江苏)已知a , b , c, d 为实数，且a b =4 , c d =16, 证明ac bd < 8.9.( 2016年全国I高考)已知函数f (x) =|x・1| -|2x-3| .(I)在图中画出y = f (x)的图像；(II )求不等式| f (x)| .1的解集.1 110. (2016年全国II)已知函数f (x)=x—2 +x+? , M为不等式f(x)<2的解集.(I)求M;(II )证明：当a, b M 时，a b ：：1 ab .11. (2016年全国III高考)已知函数f(x)=|2x-a| £(I)当a=2时，求不等式f(x) w 6的解集；(n)设函数g(x) =|2x -1|，当x R时，f (x) g (x) > 3，求a的取值范围.12. (2015 新课标1)已知函数f (x)鬥x ■ 1| -2| x -a |, a 0.(I)当a =1时，求不等式f(x) 1的解集；(n)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.13. (2015新课标2)设a, b, c, d均为正数，且a c d，证明：(I)若ab > cd，^a • b …一c • d ；(n) .d 是| a -b|：：：|c -d | 的充要条件.1114. (2014 新课标 1)若 a 0,b0，且ab .a b33(i )求a b 的最小值；(n)是否存在a,b ，使得2a • 3b =6 ?并说明理由.15. (2014 新课标 2)设函数 f (x )= x+占+|x —a|(a 〉0)(i)证明：f X > 2;(n)若f 3 ：：： 5,求a 的取值范围.(2013 新课标 1)已知函数 f (x) =|2x -1| |2x a |, g(x) = x 3.(i)当a =-2时，求不等式f (x) v g(x)的解集;a 1(n)设a >-1,且当x € [,)时，f (x) <g(x),求a 的取值范围.(2013新课标2)设a,b, c 均为正数，且 a b ^1，证明:d) ab be ca J32 ,2 2/ 、 a b c(n)1b c a(n)若f(x), |x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.19. (2011 新课标)设函数 f(x) = x —a+3x ,其中 a>0 .(i)当ah 时，求不等式f(x) _3x • 2的解集；(n)若不等式 f(x)岂0的解集为：x|x_-1 f ,求a 的值.专题十六不等式选讲第四十二讲 不等式选讲16.17.18.(2012新课标)已知函数 f (x)=|x a| |x-2| .(i)当a 二-3|时，求不等式f (x)…3的解集;答案部分2019 年2 2 2 2 2 21•解析(1)因为a b _2ab,b c _2bc,c a _2ac,又abc=1，故有222 ab bc ca 1 1 1a b c ab bc ca •abc a b c所以 1 1 1 _ a2 b2 c2.abc(2)因为a, b, c为正数且abc = 1，故有(a b)3(b c)3(c a)3_33(a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)_3 (^. ab) (2、佐)(2、.0c)=24.所以(a b)3(b c)3(c a)3_ 24.2 •解析(1 )当a=1 时，f(x)=|x-1| x+|x—2|(x—1).当x ：1 时，f(x)=「2(x-1) ::: 0 ；当x_1 时，f(x)_O.所以，不等式f (x) <0的解集为(_二,1).(2)因为f (a)=0，所以a _ 1.当a_1，x・(Y，,1)时，f(x)=(a-x) x+(2-x)(x「a)=2( a「x)(x-1)<0所以，a的取值范围是[1「：).23 •解析(1)由于[(x T) (y 1) (z 1)]2 2 2=(x -1) (y 1) (z 1) 2[(x—1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x—1)] <3 (x-1)2(y 1)2(z 1)2,故由已知得(x -1)2 (y 1)2 (z 1)2_4,5 1 1当且仅当x=—, y=-— , z 时等号成立.3 3 3所以(x-1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值为4 .= (x —2)2 (y —1)2 (z —a)22[(x —2)(y —1) (y —1)(z — a) (z — a)(x — 2)]3 (x —2)2 (y 一1)2 (z — a)2 , 故由已知(x —2)2 • (y -1)2 • (z — a)2 …2 2 2因此(x-2) (y -1) (z-a)的最小值为2010-2018 年-2,x < -1,1.【解析】 ⑴当 a =1 时，f(x) =|x T| —|x-1|，即 f(x) =?2x, -1 ：：： x ：：：1,1.2, x > 1.故不等式f(x) 1的解集为{x|x -}.2⑵当(0,1)时|x 1|-|ax-1| X 成立等价于当(0,1)时|ax-1|：：：1成立. 若 a < 0,则当 x (0,1)时 |ax-1|》1 ；22 若 a 0 , | ax —：：： 1 的解集为 0 ：：： x ，所以一》1，故 0：：：a w 2 .aa综上，a 的取值范围为(0,2].2x 4,x < -1,2.【解析】(1)当 a =1 时，f (x)=二2,-1 ：：： x w 2,-2x 6,x2.可得f (x) > 0的解集为{x| -2 w x w 3}.(2) f (x) w 1 等价于 |x a | | x -2p 4 .而|x a| |^2|>|a 2|，且当x=2时等号成立.故f ()) w 1等价于|a 2|> 4 .当且仅当4 —a 1 —a ，“〒，z ^2^2时等号成立.3由题设知(2 a)23•-，解得a, -3或a …-1. 3(2 a)2 3(2 a)23由|a 2|> 4可得a < 一6或a > 2，所以a的取值范围是(-：：，-6]U [2,二)•1—3x, X £,213. 【解析】⑴f(x)=」x+2，—§三x<l,3x,x > 1.y =f (x)的图像如图所示.值为3，故当且仅当a > 3且b > 2时，f (x) < ax b在[0, •：：)成立，因此a b的最小值为5.4. D .【证明】由柯西不等式，得(x2• y2• z2)(12 22 22) > (x 2y 2z)2.因为x 2y 2z=6，所以x2 y2 z2> 4 ,当且仅当-时，不等式取等号，此时x =- , y =~ , z = 4,1 2 2 3 3 3所以x2 y2 ' z2的最小值为4.5. 【解析】(1)当a =1时，不等式f(x) > g(x)等价于2x -x |x 1| |x-1| -4 < 0 .①⑵由⑴知，y二f当x ：：： T时，①式化为x2 -3x-4 < 0，无解；当-K x< 1时，①式化为X2-X-2 < 0，从而-K x< 1 ；当x 1时，①式化为x 2 • x - 4 < 0 ,从而1 ：： x W ----------- :——.2 所以 f (x) > g(x)的解集为{x |-1 ：：： x w 一 }.2(2) 当 x ［一1,1］时，g(x) =2 .所以f (x) > g(x)的解集包含［-1,1］，等价于当［一1,1］时f (x) > 2 . 又f (x)在［-1,1］的最小值必为f (-1)与f (1)之一， 所以 f(-1) > 2 且 f (1)> 2，得-1 < a w 1. 所以a 的取值范围为［-1,1］.5565566.【解析】(1) (a b)(a b)=a ab abb-(a 3 b 3)2 -2a 3b 3 ab(a 4 b 4) =4 ab(a 2 -b 2)2> 4(2)v (a b)3 二 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3二 2 3ab(a b)2w 2 3(a b)4所以(a b)3 w 8，因此 a b w 2 .-3,x ：： -17.【解析】(1) f(x) =22x-1,-1 w x w 2 ,〔3,x>2当X ：：： -1时，f x > 1无解；=23(a b)3 4(a b)当-1 w x w 2 时，由f x > 1 得，2x-1》1，解得1 w x w 2当x >2时，由f x > 1解得x >2 . 所以f x > 1的解集为：x x >仁.2 2(2)由 f (x )> x —x + m 得 m < x+1 — x —2 —x +x ，而2 2x+1 -x-2 -x +x < x+1+x -2-x +|x|325且当 xp 时，|x — x -2-x +x=N .(51故m 的取值范围为i -：：，-.I 4」8【解析】证明：由柯西不等式可得:因为 a 2 b 2 =4,c 2 d 2 =16, 所以(ac bd)2 < 64 - 因此 ac bd < 8.9.【解析】(1)如图所示：3:::x ：：：2〜34「X - x 三一 ..2当 x W -1 - x -4 1，解得 x 5 或 x 3 - /• x W -1 .r3=- x—2+5< 5 4 4(ac bd)2 < (a 2 b 2)(c 2 d 2)-3x -2 1，解得x 1 或x ::-3• •• _1 ：：X ：：：-或 1 ：：：X ::：3 ,3 21，解得 x 5 或 x ：：：3，二 3 < x ：：:3 或 X 5 ,21综上，x 或 1 ：：： x ：：：3或 x 5 ,310.【解析】(I )当 X ：：：」时，f x J -x-x 」=_2x ，若 _1：：：x ：：：_〕；2 y f 2 2 21 1 1 1三x <㊁时，f x ^-x x 2^2恒成立;1 1当 x 时，f x = 2x ，若 f x ::： 2 ,< x ：： 1 .综上可得, M -「x| _1 ：：：x ：：：1?.(n)当 a ,1, 1 时，有 a 2-1 b 2 -10 ,2 2 2 2 即a b 1 a b ，贝V a 2b 2 亠亠2ab 1 a 2 2ab b 2， 2 2贝U (ab +1) >(a +b ), 即 a - ^；： |ab 1 , 证毕.11.【解析】(I)当 a =2时，f(x)=|2x-2|2解不等式|2x-2|，2, 6，得-1剟x 3. 因此，f(x)乞6的解集为{x|-1剟x 3}.(n)当 x R 时，f (x) g(x) =|2x -a | a |1 -2x |1••|2x—a +1 —2x|+a =|1 —a|+a ，当 x = ~ 时等号成立， 所以当x ・R 时，f(x)，g(x)…3等价于|1-a 「a …3.①当a, 1时，①等价于1 -a a …3，无解. 当a 1时，①等价于a -1 a …3，解得a …2. 所以a 的取值范围是［2,12.【解析】(I)当a =1时，不等式f(x) 1化为|x 1| -2|^1| -1 0 ,x i ，解集为！一二，U 1，3 u 5，•二•当x < -1时，不等式化为x-4・0,无解;2当一仁:x :：: 1时，不等式化为3x 一 2 . 0，解得 x ：：： 1 ；3当x > 1时，不等式化为—x • 2 . 0，解得1 < x ：：： 2 .所以f(x) 1的解集为{x|- < x ：：2} •3f x -1 - 2a,x ：：： -1=23x T - 2a, -1 w x < a ，所以函数f (x)图象与x 轴围成-x 1 2 a, x aA(2^1,0),B(2a 1,0),C(a,a 1), ABC 的面积为 322-(a 1)2 •有题设得一(a • 1)2 • 6，故a 2 •所以a 的取值范围为(2^：：) • 3 313.【解析】(I)： (、、a. b)2 二 a b 2、ab , (、、c . d )2 二 c d 2 cd ,由题设 a b 二 c d , ab cd 得(.,a ；：；；b)2 ( . c 、d )2. 因止匕a • 、. b • . c • d .(n) (i)若 |a _b | ：：|c _d |，则(a -b)2 ：： (c -d)2,即(a b)2 —4ab ：：： (c d)2 —4cd .因为 a c d ，所以 ab cd ，由(I)得 J a • . b • c • d .(ii)若.a. c d ,则，b)2 Cc ' d)2,即 a b 2, ab c d 2. cd .因为 a +b = c + d ，所以 ab >cd ,于是(a -b)2 二(a b)2 -4ab ::: (c d )2 -4cd 二(c -d )2. 因此 |a_b| ：：|c_d|,综上'、a —. b • ■■、c • '、d 是| a -b 卜：| c -d |的充要条件.(U)有题设可得，f(x)的三角形的三个顶点分别为1 1 214.［解析】(I)由••ab ，得ab_2，且当a =b2时取等号.a b Vab故a3b\2. a3b3_4,2，且当a =b 二.2 时取等号.所以a3 b3的最小值为4.2 .(II )由(I)知，2a - 3b _2、6.丽一4... 3 .由于4、、3 . 6，从而不存在a,b ,使得2a 3b =6 .1 1 115.【解析】(1)由a >0，有f (x)= X + +x >x +_ _(x_a) =—+a 工2a a a所以f (X) > 2.1 (n) f(3) = 3 +—a + 3 —a1 5 +当时a > 3 时，f (3) = a ，由f (3) v 5 得3v a v a 21 1 . 5当0v a W 3 时，f(3) = 6-a —，由f(3) v 5 得一—v a < 3. a 2i+亦5+721、综上，a的取值范围是( ，).2 216.【解析】(I)当a=-2 时，不等式f (x) v g(x)化为|2x-1| • |2x-2|-x-3：：：0.1_5x, x <21 设函数y = |2x-1| |2x-2|-x-3, y = -x-2, x^1 ,23x-6, x A1其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x (0,2)时，y v 0,•••原不等式解集是{x|0：：x ：：2}.a i⑴当x c 匕，3)时，f(x) = 1a ，不等式f(x)黑g(x)化为1a = x 3，a 1a 4•x 》a - 2对x €［,)都成立，故》a —2，即a w2 2234•a 的取值范围为(―1, 4］.32 2 2 2 2 217.【解析】(I) a b _2ab,b c -2bc, ca - 2ca 得2 2 2a b c _ ab bc ca由题设得 a b = 1，即 a 3 b 2 c 2 2ab - 2bc - 2ca = 1.1 所以 3 ab bc ca < 1,即 ab bc ca < -a 2b 2c2(n)v b _ 2a, c - 2b, a - 2cbca2 ,2 2a b c(a b c) _ 2(a b c) b c a2 .2 2 abc3. 22• Lb c a18.【解析】(1)当 a=—3 时，f (x)厖 3u x —3+|x —2 3x, 2『2cxv3 十［ x (3)二i或=《 或=彳3—x+2 _x ...3 3 — x + x_2...3 x — 3+x_2 (3)二 x, 1 或 x …4 .⑵原命题二f (x), x -4在［1,2］上恒成立二 |x+a+2—x, 4 — x 在［1,2］上恒成立u -2 - x 剟a 2 - x 在［1,2］上恒成立即 a b cb c a19•【解析】(I)当a =1时，f(x)_3x・2可化为|x-1|_2 .由此可得x亠3或x乞_1 .故不等式f(x) _3x 2的解集为{x|x _3或xm -1}.(n)由f (x)兰0 得x_a +3x 兰0 ,x ■:: a 此不等式化为不等式组一x - a + 3x 兰0x》av a或x wI 4因为a-0，所以不等式组的解集为皿一|匚a由题设可得-2=-1，故a=2•(2)由于[(x—2) (y -1) (z —a)]2_L x 二a或a - x 3x 辽0。
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近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编2016全国一卷理科
(24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲
已知函数f(x)= I x+1 I - I 2x-3 I .
(I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像;
(II)求不等式I f(x) I> 1的解集
2016全国二卷理科
(24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲
1 1
已知函数f(x)= I x- I + I x+ I, M为不等式f(x) v 2的解集2 2
(I)求M ;
(II)证明：当a,b€ M 时，I a+b I vI 1+ab I。
2016全国三卷理科
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x) |2x a | a
(I)当a=2时，求不等式f(x) 6的解集；
(II)设函数g(x) 12x 1|,当x R时，f(x)+g( x)》3求a的取值范围
2015全国一卷理科
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数=|x+1|-2|x-a|, a>0.
(I)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
(U)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围2015全国二卷理科24.(本小题满分10分)
选修4 - 5 :不等式选讲
设a, b, c, d均为正数，且 a + b = c + d，证明：
(1 )若ab > cd;则Ja . b 、.c Jd ;
(2) . a ,;b . c . d 是| a b | | c d | 的充要条件。
2014全国一卷理科
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
若a 0,b 0，且--ab .
a b
3 3
(I )求a b的最小值；
(n)是否存在a, b，使得2a 3b 6 ?并说明理由
2014全国二卷理科
24.(本小题满分10)选修4-5 :不等式选讲
设函数f x = x * |x a (a 0)
(I)证明：f X > 2;
(n)若f 3 5，求a的取值范围
2013全国一卷理科
(24)(本小题满分10分)选修4—5 :不等式选讲
已知函数f(x) = |2x—1| + |2x+ a| , g(x)=x+3.
(I)当a=-2时，求不等式f(x)v g(x )的解集；
(n)设a>—1，且当x€ [ —2，§时，f(x)w g(x)，求a的取值范围
2013全国二卷理科
(24)(本小题满分10分)选修4―― 5;不等式选讲 设a , b , c 均为正数，且 a+b+c=1,证明: (I)
1 ab bc ca - 3
2012全国一卷理科
(24)(本小题满分10分)选修4—5 :不等式选讲
已知函数 f(x) |x a | |x 2|。
(I)当a 3时，求不等式f(x) 3的解集； (n)若f(x) |x 4 |的解集包含［1,2］，求a 的取值范围。
a 2 b 2
b c。