24.1.3图形在坐标系中的旋转 - 副本
教案 NO.43 24.1.3 弧、弦、圆心角
课 题
24.1.3弧、弦、圆心角
课型
新授课
课时
1
授课时间
月 日
教 学
目 标
知识与技能目标：引导学生认识圆心角，并会识别圆心角。探究弧、弦、圆心角三者见的关系定理。并初步运用这些关系，解决一些问题。
过程与方法目标：使学生经历探索圆的对称性的同时，探索、归纳、验证，发现了弧、弦、圆心角三者关系定理，身体旋转变换的思想以及有特殊到一般的思想。
5份就是5o的弧，---
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
而弧的大小即包括弧的角度的大小也包括弧的长短的大小
二：运用与练习：
课后反思
⑵弦心距：圆心到弦的距离叫～，如OM是点O到弦AB的距离，ON是
⑶弧、弦、圆心角关系定理：
即：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
⑷推理：
①在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角相等，所对的弦心距也相等。
4.1o的圆心角：把以圆心o为定点的周角360等分，其中的每一份，就是～。5份就是5o的角，---
1o的弧：把圆周360等分，其中的每一份，就是～
5份就是5o的弧，---
规律：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
而弧的大小：既包括弧的角度的大小，也包括弧的长短的大小。
与拓展训练
1.书P85----1（口答）、2
⑵推理：
①在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的Байду номын сангаас相等，所对的弦心距也相等。
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角相等，所对的弦心距也相等。
24.1.3圆的有关性质——弧、弦、圆心角_教案
24.1.3弧、弦、圆心角教学目标1．让学生理解圆心角概念和圆的旋转不变性.2．了解弧、弦、圆心角之间的关系，并能推理证明．3．利用圆的旋转不变性和对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系.教学重点弧、弦、圆心角之间的关系，并运用此关系进行有关计算和证明.教学难点利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角之间的相等关系.教学过程设计一、问题引入，新课教授问题1. 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.问题2. 圆一定要绕圆心180 °才能与本身重合吗？活动1：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转15°．活动2：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转30°.活动3：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转60°.活动4：把圆O 的半径ON 绕圆心O 旋转n°.结论：点N′仍在圆O上，即把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.师生活动：教师演示课件：展示半径ON按特定角度旋转的过程，师生通过观察得出圆的特性：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合，所以圆是中心对称图形，而且具有旋转对称性. 进而引出圆心角的定义.设计意图：从直观图形出发，引导学生对图形的观察、发现，鼓励学生，使学生对圆心角有一个感性的认识.二、师生互动，探究新知练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.师生活动：教师引导学生认识圆心角后，让学生完成巩固练习.设计意图：学生通过找圆心角，为后面探究三者之间的关系作铺垫.问题1：每个圆心角都有它所对的弦和弧.如图所示，⌒取圆心角: ∠AOB，所对的弦: AB，所对的弧: AB.这三个量之间会有什么关系呢？思考1：如图，⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠A 1OB 1时，它们所对的弧AB 和A 1B 1、弦AB 和A 1B 1相等吗？为什么？ 师生活动：教师通过课件展示∠AOB 旋转至∠A 1OB 1的过程，引导学生通过观察归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.思考2：如图⊙O 与⊙O 1是等圆，∠AOB =∠A 1OB 1，请问上述结论还成立吗？为什么?师生活动：教师通过课件展示，引导学生将有关等圆的问题叠合成一个圆，即转化为同圆问题来解决. 使学生经历猜想--证明--归纳得出结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 转化成数学语言：∵ ∠AOB=∠A 1OB 1，∴AB=A 1B 1 ，AB=A1B 1 . 设计意图：培养学生猜想、观察、归纳总结的能力，通过思考每组量重合的理论依据，让学生经历一个由感性认识上升的理性认识的认知过程. 培养学生思维的严谨性，形成良好的科研习惯. 最后将定理中的文字语言转化为符号语言，加深对定理的理解.归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．问题2：在这三个结论中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？师生活动：教师关注学生是否理解了定理成立的关键条件是“在同圆或等圆中” ，强化学生对定理的理解. 问题3：我们看到，这三个结论中，所对的弧相等是什么意思？能不能说所对的弧长相等呢？师生活动：教师在此环节讲述清楚“弧”与“弧长”所代表的不同意义，使学生认识到度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧.设计意图：教师引导学生归纳出推论. 强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.圆心角定理整体理解：1．三个元素：圆心角、所对弦、所对弧2．三个相等关系：(1) 圆心角相等(2) 弧相等(3) 弦相等 记忆技巧：知一得二设计意图：结合图形再次加深对圆心角定理的整体理解，并使学生获得“知一得二”的记忆技巧.三、课堂练习练习： 1、如图3，AB 、CD 是⊙O 的两条弦。
初中数学_24.1.3《弧、弦、圆心角》教学设计学情分析教材分析课后反思
（2）如果 弧AB=弧CD ，那么，。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么，。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
师生行为：同时思考：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?
总结：从而将等对等定理扩充为:
① 圆心角
∴AC=OC，OD=DB
法三：由法二
∴AC=CO=AO
OD=OB=DB
∴∠AOC=∠BOD=60°
设计意图：这道题难度较高，充分发挥学生小组合作意识，加强一题多解能力，同时也激发各小组间的竞争，调动他们的积极性和学习数学的兴趣！起到四两拨千斤之功效！
既训练了圆心角定理的应用，又通过一题多解充分锻炼了学生的发散思维能力
学生观察、归纳总结三组量之间的关系。（还可以让同学们回忆一下垂径定理是由圆的什么性质推导出来的？回答：圆的轴对称性质，折叠后左右两边完全重合）
设计意图：让学生通过观察——猜想——证明——归纳得出新知，培养学生分析问题、解决问题的能力。（同时让学生感受开始时旋转不变性的作用）
问题4：如果在两个等圆中这个结论还成立吗？
活动6：应用提高
例5. 已知AB为圆O直径，M、N分别为OA、OB中点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证： 。
师生行为：各小组积极讨论，然后将各种做法进行展示，达到一题多解
法一：连结OC、OD，则OC=OD
∵OA=OB，且
在Rt△CMO与Rt△DNO中
法二：连AC、DB、CO、DO
且AM=MO，ON=NB
问题6：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你又能得到什么结论？
总结 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
人教版 数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角教案
五、教学方法自主学习，合作探究六、教学准备1、教师使用多媒体教学课件。
2、直尺，圆规。
七、教学过程教学内容教师活动学生活动1、复习引入2、探索新知活动1：圆具有旋转不变性活动2：探究圆心角的概念。
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？活动1：圆具有旋转不变性问：圆还有其它旋转性质吗?观察多媒体，圆的旋转过程，你有什么收获？活动2：探究圆心角的概念。
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．巩固练习：判别下列各图中的角是不是圆心角？观察思考作答；带着问题进入学习。
观察圆的旋转并思考作答。
（圆具有旋转不变性。
）教师引导，学生自学圆心角,学生完成巩固练习活动3：探究圆心角、弧、弦之间的关系1()2()3()4()活动3：探究圆心角、弧、弦之间的关系操作：将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置。
B'BAA'O问题1：在旋转过程中你能发现哪些等量关系？为什么？问题2：如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么?问题3：由上面的现象你能猜想出什么结论？综上所述，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．问题4：分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？问题5：定理拓展：○1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分别相等吗？○2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所学生观察图形，结合圆的旋转不变性和相关知识进行思考，尝试得出关系定理，再进行几何证明.学生思考，明白该前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究，得到推论3、应用新知4、例题探究5、应用提高对的圆心角，•所对的弧也分别相等吗？综上得到在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等．综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．应用新知1、判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。
24.1.3 弧、弦、圆心角(说课稿)-2022-2023学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
24.1.3 弧、弦、圆心角（说课稿）一、教材分析本节课是《2022-2023学年九年级数学上册同步备课系列（人教版）》中的第24章第1节内容，主要讲解弧、弦和圆心角的概念及其相关性质。
通过学习这一部分，学生将进一步理解圆的相关概念和性质，为后续学习圆的相关定理和应用奠定基础。
二、教学目标1. 知识与能力目标•掌握弧、弦、圆心角的概念；•理解并能应用弧、弦、圆心角的性质；•能够运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法目标•通过引导学生观察、发现、思考和实践，培养学生的探究能力和动手能力；•采用合作学习的方式，培养学生的团队合作精神和互助学习的能力；•运用多媒体和实物展示等教学手段，激发学生对数学的兴趣。
3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•培养学生的观察力、思维能力和解决问题的意识；•培养学生的自学能力和合作意识。
三、教学重难点1. 教学重点•弧、弦、圆心角的概念；•弧、弦、圆心角的性质及其应用。
2. 教学难点•培养学生形象思维，理解弧、弦、圆心角的定义；•培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力。
四、教学过程1. 导入与热身（5分钟）通过出示多个圆形的图片，让学生观察并回答问题：“这些图片有什么共同之处？”引导学生发现这些图片都是圆形的，然后提问：“在日常生活中，你们见到过什么与圆相关的事物？”引导学生思考圆在生活中的应用。
2. 引入新知（15分钟）出示一个完整的圆形，并画出其直径、弦、弧和圆心角，向学生介绍这些新概念，并进行定义和解释。
通过实物展示、图形演示和问题引导等方式，帮助学生理解并记忆这些概念。
3. 概念讲解与讨论（20分钟）分别对弧、弦、圆心角的概念进行详细讲解，并结合实例帮助学生更好地理解。
在讲解过程中，通过提问和讨论，引导学生发现弧、弦、圆心角之间的关系和性质，以激发学生的思考和探究欲望。
4. 深化与拓展（25分钟）让学生在小组合作的形式下，探究弧、弦、圆心角的性质，并运用所学知识解决一些具体问题。
24.1.3 弧、弦、圆心角 人教版九年级数学上册教案
24.1.3 弧、弦、圆心角教案人教版九年级数学上册【教学目标】1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角.2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算.3.鼓励学生积极参与数学活动，感受数学学习的乐趣，引导学生欣赏几何图形的对称美和变化美，进一步体会数学的魅力与价值，激发对数学的好奇心和求知欲.【重点难点】重点：圆心角、弦、弧之间的相等关系及其应用.难点：从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系.【教学过程】一、情境引入做一做：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转问题1：（1）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？（2）当⊙O绕圆心旋转你有什么发现？若旋转任意角度呢？得出结论（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；（2）圆具有旋转不变性，圆是旋转对称图形；二、概念学习1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角；如图，∠AOB2.圆心角∠AOB 所对的弦AB3.圆心角∠AOB 所对的弧AB ︵课堂练习：判断下列图形哪些是圆心角？方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．三、探究新知问题2：如图，在⊙O 中，当圆心角∠AOB=时，它们所对的AB ︵ 和，弦AB 和相等吗？为什么？学生观察猜想，并证明，教师电脑演示两个角重合的动画.得出结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.问题3：如图，在⊙O 和中，当圆心角∠AOB=时，它们所对的AB ︵ 和，弦AB 和相等吗？为什么？得出结论：在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.五、获得新知弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.六、探究新知问题4：反过来：在⊙O 中（1）若，能推出和吗？（2）若，能推出和吗？小组活动：独立思考，交流讨论；类比探究等圆中的情况；尝试归纳，得出结论.思考：条件“同圆或等圆中”能否去掉？七、归纳总结知一推二方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．配套练习1.如图，AB,CD是⊙O的两条弦.（1）如果AB=CD,那么， .（2）如果那么， .（3）如果∠AOB=∠COD那么， .（4）如果AB=CD,OE AB,OFCD,垂足分别为E,F,OE与OF相等吗？为什么？2.如图，AB是⊙O的直径，∠COD=。
图形在坐标系中的旋转
旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转 动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形变换 称为旋转。
中心对称的定义：
在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度, 得到另一个图形,那么,我们就说这两个图形关于这个 点成中心对称.
一、复习提问：
旋转的性质：
1、旋转不改变图形的大小和形状． 2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角
转对称图形，这个定点就是旋转中心．
中心对称图形定义： 如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形；这个点叫做它的对称中心.
二. 简单的旋转作图
例1 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
点的旋转作法
图形的旋转的作图： 先画圆，再连结作角，最后截取.
B
例 2 教材习题变式题在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐 标是 A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段 DE 的端点坐标是 D(7， －1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合； (2)将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应边为 DE， 请直接写出点 B 的对应点 F 的坐标； (3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC 同时绕坐标原点 O 逆时针 旋转 90°，画出旋转后的图形．
；绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐
标是(_－__2_，__1____)．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以
O为中心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点
E′的坐标为(____4_，__－___2___)．
专题24.1旋转(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题24.1 旋转【十大题型】【沪科版】【题型1 关于原点对称的点的坐标】 (1)【题型2 利用旋转的性质求角度】 (2)【题型3 利用旋转的性质求线段长度】 (3)【题型4 旋转中的坐标与图形变换】 (4)【题型5 作图旋转变换】 (6)【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】 (8)【题型7 旋转中的周期性问题】 (9)【题型8 旋转中的多结论问题】 (10)【题型9 旋转中的最值问题】 (12)【题型10 旋转的综合】 (13)【题型1 关于原点对称的点的坐标】【例1】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为．【变式11】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为．【变式12】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是．【变式13】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第=3的解是．二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1【题型2 利用旋转的性质求角度】【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为．【变式21】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【变式22】（2022•天津一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在边AB上，将△ADC 绕点A逆时针旋转40°，得到△AD'B，且D'，D，C三点在同一条直线上，则∠ACD的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．45°【变式23】（2022•城步县模拟）如图，P为等边三角形ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB＝5：6：7，则以P A，PB，PC为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（）A．1：2：3B．2：3：4C．3：4：5D．5：6：7【题型3 利用旋转的性质求线段长度】【例3】（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（）A．1B．√2C．√3D．3√2−3【变式31】（2022春•如皋市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则B′B的长为（）A．2√3B．5C．2√5D．6【变式32】（2022•东莞市校级一模）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O 逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（）A．3√5B．12√55C．9√55D．16√55【变式33】（2022春•和平区期末）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝4，BC ＝2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．2√3B．2√7C．√3或√7D．2√3或2√7【题型4 旋转中的坐标与图形变换】【例4】（2022秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D （﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a+2，﹣b）C．（﹣a﹣1，﹣b+1）D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【变式41】（2022秋•本溪期末）如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣4，2）B．（﹣2√3，4）C．（﹣2√3，2）D．（﹣2，2√3）【变式42】（2022秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MNP绕原点逆时针旋转90°得到△M1N1P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【变式43】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△AOB的斜边AO在y轴上，OB=√3，∠AOB＝30°，直角顶点B在第二象限，将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转120°后得到△A′OB'，则A点的对应点A′的坐标是（）A．（√3，﹣1）B．（1，−√3）C．（2，0）D．（√3，0）【题型5 作图旋转变换】【例5】（2022春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2．【变式51】（2022春•洪雅县期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）将△ABC向下平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．（2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形．（3）在直线l上找一点P，使△ABP的周长最小．【变式52】（2022春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（3，0），C（2，3）．（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，请画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，请画出△A2B2C2．【变式53】（2022秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．（1）画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的△A1B1C1；并写出A1、B1、C1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；并写出A2、B2、C2的坐标．【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】【例6】（2022秋•单县校级月考）如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是．【变式61】（2022秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有个旋转对称图形．【变式62】（2022秋•孝义市期中）2022年2月4日﹣2月20日，北京冬奥会将隆重开幕，北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花图案”、“beijing2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图案”，至少旋转°能与原雪花图案重合．【变式63】（2022春•景德镇期中）如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．【题型7 旋转中的周期性问题】【例7】（2022春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到P2，使得OP2＝2OP1；再将点P2绕着原点O 按逆时针方向旋转30°得到P3，延长OP3到P4，使得OP4＝2OP3……如此继续下去，点P2023坐标为（）A．（﹣21010，√3•21010）B．（0，21011）C．（21010，√3•21010）D．（√3•21010，21010）【变式71】（2022秋•中原区校级期末）将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为（1，√3），将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为（）A．(−1，√3)B．(−√3，1)C．(−√33，1)D．(−1，√33)【变式72】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕O点顺时针选择45°后，得到正方形OA1B1C1，以此方式，绕O点连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点C的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（）A．(0，−√2)B．(−√2，0)C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【变式73】（2022春•高州市期中）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD ＝4√2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（）A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）【题型8 旋转中的多结论问题】【例8】（2022•益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【变式81】（2022春•邗江区期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，若点E在对角线AC上运动，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、CF．点P在CD上，且CP＝3PD．给出以下几个结论①EF=√2DE，②EF2＝AE2+CE2，③线段PF的最小值是4√2，④△CFE的面积最大是16．其中正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③D．①③④【变式82】（2022春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC ＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②四边形CMFN有可能是正方形：③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式83】（2022春•德州期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②正方形A1B1C1O绕点O旋转时，四边形OEBF的面积随EF的长度变化而变化；③△BEF周长的最小值为(1+√2)OA；④AE2+CF2＝2OB2．其中正确的结论有（）A．①③B．②③C．①④D．③④【题型9 旋转中的最值问题】【例9】（2022•黄石）如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝，FB+FD的最小值为．【变式91】（2022春•大埔县期中）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AD ＝3，AB＝AE＝5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，S△ACE ＝（）A．6B．6√2C．9D．9√2【变式92】（2022春•龙岗区期末）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为√3+1，则AB的值为（）A．2B．4√3C．2√3D．4【变式93】（2022春•南京期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（）A．2B．2√2C．3D．√10【题型10 旋转的综合】【例10】（2022春•长沙期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），P A，PB与直线MN重合，且三角板P AC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）在图1中，∠DPC＝；（2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板P AC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板P AC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立；②如图3，在图1基础上，若三角板P AC的边P A从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与P A重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？【变式101】（2022春•南川区期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上，连接EC，EC绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接CF、AF，CF与对角线BD交于点G．（1）若BE＝2，求AF的长度；（2）求证：AF+2BG=√2AD．【变式102】（2022•平邑县一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【变式103】（2022•泰安一模）如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．（1）求证：CE平分∠BED；（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MH∥BG；（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．。
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》这一节主要介绍了圆的基本概念，包括弧、弦、圆心角的关系。
这部分内容是整个圆的知识体系的基础，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并通过实例让学生感受和理解弧、弦、圆心角之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握弧、弦、圆心角的概念，能够运用这些概念解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等过程，培养学生发现和探索几何规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的概念及其关系。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中出发，通过观察、思考、归纳等过程，发现和掌握弧、弦、圆心角之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例和几何图形的动态变化，帮助学生更好地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个实际问题，引导学生思考和探索圆的相关性质。
2.新课导入：介绍弧、弦、圆心角的概念，并通过实例让学生感受和理解它们之间的关系。
3.知识讲解：通过多媒体课件，展示弧、弦、圆心角的动态变化，引导学生观察和思考，从而发现和归纳出它们之间的关系。
4.练习与讨论：设计一些练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，同时引导学生进行分组讨论，分享解题方法和经验。
《24.1.3 弧、弦、圆心角》教案、导学案
《24．1.3 弧、弦、圆心角》教案【教学目标】1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．【教学过程】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC ＝∠COD＝∠DOE＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD.∵OA＝OB.又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON.又∵CM⊥AB，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F.∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON.又∵OM⊥CE，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD.由证法1，知CM ＝DN.又∵AM＝BN ，∠AMC ＝∠BND＝90°，∴△AMC ≌△BND.∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.《24.1.3 弧、弦、圆心角》教案【教学内容】1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【重难点、关键】1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 【教学过程】 一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°．二、探索新知如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？=，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴与重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴=，AB=A ′B ′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．AB ''A B AB ''A B AB ''A B BAOB '（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：=，AB=A /B /．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么与的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？B'A 'AB''A B AB CD D分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到= 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=AB ，CF=CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF （2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，=，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=AB ，CF=CD ∴AB=2AE ，CD=2CF ∴AB=CD∴=，∠AOB=∠COD三、巩固练习 教材 练习1 四、应用拓展例2．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若AB CD 1212AB CD 1212AB CD不成立，请说明理由．(3) (4)分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）PN本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95 复习巩固4、5、《24.1.3 弧、弦、圆心角》导学案学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。
24.1.3 弧、弦、圆心角教学设计
24.1.3 弧、弦、圆心角本节课主要是研究圆心角、弧、弦之间的关系并利用其解决相关问题，是在学生了解了圆和学习了垂径定理以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，是下一节课的理论基础．教学过程中要注意强调“同圆或等圆中”这个前提条件，避免学生囫囵吞枣．【情景导入】(1)观察图片，我们会发现圆绕着圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合，这就是圆的旋转不变性．(2)如图1，∠AOB 的顶点在圆心上，两边与圆相交，在圆中我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．∠AOB 即为圆心角．(3)如图2，连接AB ，圆心角∠AOB 所对的弦为弦AB ，所对的弧为AB ︵.那么圆心角与它所对的弧、弦这三个量之间有什么关系呢？图1 图2【说明与建议】 说明：通过实验操作，探索圆的旋转不变性与“如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦是不是相等”，激发学生的学习兴趣．建议：尽量让学生自己动手操作，引导学生得出等量关系．【置疑导入】(1)圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？(2)如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？【说明与建议】 说明：通过对中心对称图形的回顾，引出圆这个中心对称图形和圆的旋转性质，并由问题(2)得出圆心角、弧、弦之间的关系．建议：尽量让学生操作试验，并从圆心角、弧、弦方面引导学生得出等量关系．命题角度1 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行计算 1．如图，在⊙O 中AC ︵＝BD ︵，∠AOB ＝40°，则∠COD 的度数(B)A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝120°．命题角度2 利用弧、弦、圆心角之间的关系进行证明3．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BD ∥OC.求证：AC ︵＝CD ︵.证明：∵OB ＝OD ，∴∠D ＝∠B. ∵BD ∥OC ，∴∠D ＝∠COD ，∠AOC ＝∠B. ∴∠AOC ＝∠COD.∴AC ︵＝CD ︵.4．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E.求证：CD ＝CE.证明：∵点C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC. ∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴CD ＝CE.阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．他甚至被人尊称为“数学之神”．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图中所示，AB 和BC 组成圆的折弦，AB ＞BC ，M 是ABC ︵的中点，MF ⊥AB ，垂点为F ，则AF ＝BF ＋BC.【课堂引入】1．出示大小相等的两张矩形卡片，在卡片中心画好等圆．出示问题：你看到了几个矩形，几个圆？(将两张卡片重合，绕着中心任意旋转一个角度)2．在图①中，你看到了几个矩形？几个圆？归纳：将一个图形绕着某一点旋转任意角度，旋转前后的图形能够完全重合．3．在图②中，矩形旋转了多少度？看到了几个矩形？说明了什么问题？看到了几个圆？说明了什么问题？①②师生活动：教师进行演示，学生观察、讨论，针对问题进行回答，同时归纳圆和矩形的性质.活动一：圆心角的概念教师给出圆心角的概念，学生从图形中找出圆心角．出示问题：1．观察下图，∠AOB所对的弧是哪条？所对的弦是哪条？2．计算：(1)在⊙O 中，OA ＝6，∠AOB ＝60°，则AB ＝6． (2)在⊙O 中，OA ＝6，∠AOB ＝90°，则AB ＝62．通过这两个题的计算你有什么发现？引导学生发现圆心角和它所对的弦有一定的关系．活动二：观察分析、总结定理教师提出问题1：在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？如图，∠AOB ＝∠A ′OB ′，那么AB 与A ′B ′相等吗？为什么？AB ︵与A ′B ︵呢？教师演示教具，引导学生发现：把∠AOB 连同AB ︵绕圆心O 旋转使OA 与OA ′重合，则当∠AOB ＝∠A ′OB ′时，弦AB 与A ′B ′重合，AB ︵与A ′B ′︵重合，即AB ＝A ′B ′，AB ︵＝A ′B ′︵.教师引导学生用语言总结结论．教师提出问题2：若问题1中，缺少“在同圆或等圆中”这一条件，结论还能够成立吗？学生交流、讨论，教师出示下图，学生分析图形得到结论．教师提出问题3：若在同圆或等圆中，当两条弦相等时，则它们所对的圆心角或弧相等吗？教师指导学生分析问题，得到圆心角、弧、弦之间的关系．圆心角、弧、弦的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．简单地说：知一得二．即时小练：如图，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA 相等的线段有OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB ，与AC ︵相等的弧有CD ︵和DB ︵.【典型例题】例1 如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 为AE ︵的三等分点．若∠COD ＝50°，则∠BOE 的度数是(B)A ．25°B ．30°C ．50°D ．60°例2 (教材第84页例3)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°.求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.师生活动：教师引导学生观察图中∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 三个角是什么角，思考该怎样去证明圆心角相等．学生观察、思考、讨论，尝试写出解题过程，教师进行指导并演示证明过程．学生解题后反思：要想证明圆心角相等，可以证明它们所对的弧相等或弦相等． 【变式训练】1．如图，AB ，CD ，EF 都是⊙O 的直径，且∠1＝∠2＝∠3，则⊙O 的弦AC ，BE ，DF 的大小关系是AC ＝BE ＝DF ．2．已知线段AD ，BC 为⊙O 的弦，且BC ＝AD.求证：AB ＝CD.证明：∵BC ＝AD ， ∴BC ︵＝AD ︵， 即AB ︵＋AC ︵＝CD ︵＋AC ︵. ∴AB ︵＝CD ︵. ∴AB ＝CD.师生活动：教师引导学生分析怎样证明两条弦相等．学生通过分析得到从证明圆心角或弧相等可证明弦相等，观察图形，交流、讨论，书写过程.【课堂检测】1.下列叙述正确的是(D) A ．平分弦的直径必垂直于弦B ．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．相等的弧所对的弦相等2．如图，已知⊙O 的半径等于1 cm ，AB 是直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且AD ︵＝DC ︵＝CB ︵，则四边形ABCD 的周长等于(B)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm3．如图，AB ，CD 为⊙O 的两条弦，AB ＝CD.求证：∠AOC ＝∠BOD.证明：∵AB ＝CD(已知)，∴AB ︵＝CD ︵.∴∠AOB ＝∠COD. ∴∠AOB －∠BOC ＝∠COD －∠BOC ，即∠AOC ＝∠BOD.师生活动：学生进行当堂训练，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流，形成共识，确定答案.24.1.3 弧、弦、圆心角1．圆心角：顶点在圆心的角．2．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也都分别相等．在⊙O 中，若①AOB ＝A ′OB ′(圆心角相等)； ②AB ︵＝A ′B ′︵(弧相等)； ③AB ＝A ′B ′(弦相等)．。
人教版初中数学九年级第24章24.1.1---24.1.3复习讲义
人教版初中数学九年级第24章24.1.1---24.1.3复习讲义【知识点1】 圆的定义（1）旋转方式定义：（2）集合方式定义：（3）圆的二要素： 【例1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2㎝，BC=4cm ，CM 是中线，以点C 为圆心， cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 .【例2】已知线段AB=3㎝，平面内到点A 和点B 的距离都等于2㎝的点有几个？试通过作图确定满足条件的点.【练习1】下列条件能确定圆的为（ ）A.以已知点O 为圆心；B.以点O 为圆心，2㎝为半径；C.以2㎝为半径；D.经过已知点A ，且半径为2㎝.【练习2】如图，王大爷家有一边长20m 的正方形鱼塘，王大爷为看护鱼塘，在鱼塘的一角C 用长30m 的铁链拴着一条狗E ，请你通过作图，画出狗E 的活动范围.【知识点2】圆的有关概念（1）弦直径（2）弧半圆优弧（表示方法）劣弧（3）等圆（4）等弧【例3】判断下列说法的正误（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（2）在圆中一条弧所对的弦只有一条，一条弦说对的弧也只有一条；（3）弦是直径；（4）圆中最长的弦是经过圆心的弦；（5）长度相同的两段弧是等弧.【练习1】如图，在⊙O 中，直径为 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ，【练习2】如图，CD 是⊙O 的直径，∠EOD=84°，AE 交⊙O 于点B ，且AB=OC ，求∠A 的度数.【练习3】已知半径为5的⊙O 中，弦AB= ，弦AC=5 ，求∠BAC 的度数.5【知识点3】垂径定理（1）垂径定理及其推论（2）如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则 ；；.（3）如图，若AE=EB ，CD 是直径，则 ；；.（4）如图，若⌒⌒BD AD ，CD 是直径，则 ；；.（5）如图，CD ⊥AB ，AE=EB ，则 ；；.【例4】如图，要测量一块钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法，若将一个小孔直径为10cm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端于小孔平面的距离h=8cm ，求小孔的直径d.【例5】如图，半径为6的⊙E 在直角坐标系中，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，已知C （0,3）、D （0，-7），求圆心E 的坐标.【练习1】如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，已知AB=8cm ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 .【练习2】如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD=1， 则弦AB 的长度为_________ .【练习3】如图是一个圆弧形门，圆弧所在圆的圆心的高度与该圆的半径相同，AB=CD=20cm ，BD=200cm ，且AB 、CD 于水平面都是垂直的，根据以上数据请计算这个圆弧形门的最高点离地面的高度.【知识点4】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）圆心角的定义（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD.①若AB=CD ，则__________， ②若∠AOB=∠COD 则__________,__________, __________,__________, __________,③若 ，则__________, ④若OE=OF ，则__________,__________, __________,__________, __________,（3）一条弧的度数等于它所对圆心角的度数.【例6】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C 为圆心，CA 的长为半径的圆交AB 于点D ，求⌒AD 的度数.【例7】如图，在⊙O 中，AB 为直径，弦DE 与AB 相交于点C ，且CD=CO.若⌒AD 的度数为30°，求⌒BE 的度数.【例8】如图，AB 、CD 是⊙O 的两条直径CE ∥AB.求证：⌒⌒AE BC =【例9】如图，P 为⊙O 外一点，PB 、PD 分别交O 于A 、B 、C 、D 四点，PO 平分∠BPD 。
九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角
OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
侵权必究
新课导入
练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
侵权必究
新课导入
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
侵权必究
新课导入
要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等．
侵权必究
新课导入
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
侵权必究
当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
24.1.3-弧、弦、圆心角、弦心距终极版
知 在同圆或等圆中，两条弧、
一 两条弦、两个圆心角、两条
推
弦心距四组量中，有一组量 相等，那么所对应的其它各
三 组量都分别相等．
例题
已知：在⊙O中，A⌒B=A⌒C ，∠ACB=60°，
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
A 证明：∵A⌒B=A⌒C
∴AB=AC．
又∠ACB=60°，
O·
∴AB=BC=CA．
③AB=A′B′ 两条弦相等
④ OD=O′D′
两条弦心距相等
这四组关系 分别轮换，其它 关系是否成立?
弧、弦、圆心角关系定理的推论
②A⌒B=A′⌒B′
①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
课堂小结
1． 圆心角
A
顶点在圆心的角．
O· B
2． 弦心距
圆心到弦的距离（即圆
O·
心到弦的垂线段的距离）．
┓
AC
B
3． 弧、弦、圆心角、弦心距的关 系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A C
B
●O
┏ A′ C′ B′
A
E
B
O·
D
F C
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
OE与OF相等吗？为什么？
A
E
B
OE OF ,
O·
D
证明： OE AB,OF CD
F
24.1.3 弧、弦、圆心角 教学设计和反思
24．1．3 弧、弦、圆心角教学设计和反思基本信息课题人教版九年级数学上册24(1(3 弧、弦、圆心角教材分析1.本节课是在学生学习了圆的基本概念和垂径定理，认识了圆的轴对称性之后，对圆的另一种对称性------旋转对称性的认识。
2.教材利用圆的旋转对称性，根据旋转的性质，通过试验、观察、猜想、归纳，引导学生探究出弧、弦、圆心角之间的关系。
3(“三量关系”不仅增加了证明角相等、线段相等、弧相等的方法，同时也为以后衔接圆周角与弧、弦间的关系，以及研究圆与其他平面图形起到了桥梁和纽带的作用。
学情分析1、学生在学习本课之前，已经掌握了旋转的基本性质和中心对称图形的概念，初步形成了应用变换知识解释元素之间的关系，为本节课的学习提供了知识基础; 2我班学生经过三年的训练，已具有了一定的探究意识和方法，具备了一定的抽象归纳能力，为本节课的学习提供了能力基础。
教学目标1.知识技能通过探索理解并掌握:(1)圆的旋转不变性;(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
过程与方法数学思考(1)通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力;(2)利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
3.情感态度培养学生积极探索数学问题的态度及方法(教学重点和难点重点:探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题( 难点:圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明(教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图活动1 齐心协创设问题情境，激力、共同探究发学生兴趣，引出本节内容;同时探究圆心角、弧、弦之间关系定理(活动2 初试牛刀通过例题的学习，拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识通过练习，巩固对定活动3 大胆应和创新能力( 理的理解( 用活动4 议一议通过反例正确理解定理，突破难点。
巩固新知，归纳总结(活动5 小结，布置作业板书设计21.1.3弦、弧、圆心角一、概念二、结论三、探索学生学习活动评价设计以小组为单位，讨论交流，组长提本组在预习过程中遇到的疑难点，教师搜集整理，为展示课作好充分的准备。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角优秀教学案例
在课堂练习环节，我将设计一系列具有层次性的题目，让学生在解答问题的过程中巩固所学知识，并通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。最后，我将进行课堂总结，强调本节课的重点和难点，为学生后续的学习打下坚实的基础。
3.学生通过自主学习、合作学习和探究学习，培养自学能力、合作能力和创新意识。
4.学生通过运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题，提高应用能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂学习，对数学产生兴趣，树立自信心。
2.学生能够体验到数学学习的乐趣，养成积极思考、善于动手的良好学习习惯。
2.问题情境：设计一些与圆的弧、弦、圆心角相关的问题，如“自行车轮的周长是多少？”、“如何测量圆的直径？”等，激发学生的思考和探究欲望。
3.操作情境：利用多媒体课件和教具，展示圆的弧、弦、圆心角的动态变化，让学生直观地感受和理解它们之间的关系。
4.实践情境：让学生亲自动手进行实验和操作，如测量和绘制圆的弧、弦、圆心角，增强学生的实践能力和体验。
（五）作业小结
3.举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，讲解如何运用弧、弦、圆心角的知识解决问题，引导学生运用和巩固。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论任务，让学生分组讨论和探究弧、弦、圆心角的关系和应用。
2.引导学生通过观察、操作和思考，发现弧、弦、圆心角之间的联系，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
24.1.3弧、弦、圆心角(教学课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步备课系列(人教版)
=
①
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
=
，故①正确
【详解】解：如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD∴Rt△OMB≌Rt△OND，
O·
⌒ ⌒
AB=CD
∠ = ∠
（2）如果 AB=CD，那么 ____________，_____________．
_____________
=
AB=CD ．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 _____________，
∵ AO=CO，BO=DO，则△AOB ≌ △COD．
A．108°
B．72°
C．48°
D．38°
变式2-2 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=
⌒
20°
变式2-3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=70°，则∠BOC=________________
)
60°
.
课堂练习 （考查弧、弦、圆心角之间的关系的关系）
=
01
探索圆的旋转不变性和中心对称性
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意角度呢？你发现了什么？
旋转60°
旋转90°
旋转120°
一个圆绕圆心旋转任意角度，所得图形和原图形重合。
01
探索圆的旋转不变性和中心对称性
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合
吗？由此你能得到什么结论？
圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
+
2022秋九年级数学上册 第24章 圆24.1 圆的有关性质 3弧、弦、圆心角说课稿新人教版
24.1.3 《弧、弦、圆心角》说课稿教材分析：本课是人教版九年级上册第二十四章第一节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。
主要研究弧，弦，圆心角的关系。
教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。
在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。
同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。
教学目标分析：1、让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性.2、结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角.3、引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题.4、培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。
由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等对等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练，构建学生头脑中新的知识网络。
2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。
这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。
在最后小结时运用自学模式。
3．教学手段：学生动手，现场板演，多媒体辅助教学.教学过程分析：一、创设情景，引入新课1.看一看、思考（1）多媒体动态演示：平行四边形绕对角线交点旋转180度后，你发现了什么？（2）多媒体动态演示：圆绕圆心O旋转180度后，你发现了什么？这两个问题设置是让学生感性认识，发现平行四边形和圆旋转180度后都能与自生重合，是中心对称图形。
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归纳总结 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
1.在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心把一个图形按 逆时针方向旋转，原图上任意一点坐标(x，y)旋转特定角 度后对应点的坐标如下表：
旋转角度 90°
180°
270°
360°
对应点坐 _(_－_y_，__x_)_ (_－_x_，__－__y_) _(_y_，__－_x_)_ _(_x_，__y_)__
则A'是所求的点
例2、已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A' B'
B'
连结AO并延长到A'，使OA'＝OA， A
则得A的对称点A'
O
连结BO并延长到B' ，使O B' ＝OB，
A'
则得B的对称点B'
连结 A' B' ，则线段A' B'是所画线段
B
自主学习
课本P7 阅读与欣赏 在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
[解析] (1)根据轴对称的概念先找到图形上的关 键点关于AB所在直线的对称点，然后顺次连接起来 即可；(2)将图形的各个顶点绕旋转中心O逆时针旋 转90°后的对应点描出来，然后顺次连接起来即可 ；(3)根据自己的想象恰当地涂色．
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
图24－1－38
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
解：(1)将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位．(其(3)如图24－1－39
图24－1－39
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
[归纳总结]本题主要考查几何变换中的平移与旋转相关知识， 只要理解与掌握平移和旋转的定义及性质，作出几何变换后的图形 就非常容易了．实际上，图形的变换就是转化为关键点的变换，抓 住平移的两要素(平移的方向和距离)与旋转的三要素(旋转中心、旋 转方向和旋转角)是解决本题的关键．
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
后，能够与原图__重__合___，这样的图形叫做旋转对
称图形，这个定点就是旋转中心．
中心对称图形定义：
如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和 原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对 称图形；这个点叫做它的对称中心.
二. 简单的旋转作图
例1 将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
1、旋转不改变图形的大小和形状． 2、任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角
相等，都等于旋转角． 3、对应点到旋转中心的距离相等。 4、旋转中心是唯一不动的点。
中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形,对应点所连线段都经过对称 中心,并且被对称中心所平分.具有旋转的所有性质。
一、复习提问：
旋转对称图形：
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
[答案] 根据旋转的性质，旋转中心一定在每对对应点连线的垂 直平分线上．
的对应点A2的坐标是(__2_，___－__1___)；绕着原点逆时针 旋转270°，则点A的对应点A3的坐标是(___1_，___2___)
；绕着原点逆时针旋转360°，则点A的对应点A4的坐
标是(_－___2_，__1___)．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
2．已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以
A．(－2，2) B．(4，1) C．(3，1) D．(4，0)
图 24－1－37
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
[归纳总结] 如果图形在平面直角坐标系内 旋转不是以原点为旋转中心，可以画出图形求 出点的坐标，或者以旋转中心为原点建立新的 平面直角坐标系，得出旋转变换后对应点的坐 标，然后转化为原直角坐标系下的坐标．
点的旋转作法
图形的旋转的作图： 先画圆，再连结作角，最后截取.
B
A
O
作法： 1. 以点O为圆心，OA长为半径画圆; 2. 连接OA, 用量角器或三角板（限 特殊角）作出∠AOB，与圆周交 于B点；
3. B点即为所求作.
三.中心对称的作图
例1、已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'
A
O
A'
连结OA， 并延长到A'，使OA'=OA，
第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
课堂小结
综合运第用2课平时移图、形轴在坐对标称系、中的旋旋转转变等换变换设计图案
例 2 教材习题变式题在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐 标是 A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段 DE 的端点坐标是 D(7， －1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段 AC，使其与线段 ED 重合； (2)将△ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转，使 AC 的对应边为 DE， 请直接写出点 B 的对应点 F 的坐标； (3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC 同时绕坐标原点 O 逆时针 旋转 90°，画出旋转后的图形．
标(x，y)
2.把(x，y)变换成____(_x_，__y_)_的变换叫做恒等变换．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
1．已知点A的坐标为(－2，1)，将点A绕着原点逆时
针 旋 转 90° ， 则 点 A 的 对 应 点 A1 的 坐 标 是
(_－__1_，___－__2__)；绕着原点逆时针旋转180°，则点A
O为中心，把△EFO旋转180°，则点E的对应点
E′的坐标为(____4_，___－__2___)．
应用巩固 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
3．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮 他完成余下的工作： (1)作出关于AB所在直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得 更加美丽．
解：如图：
[归纳] 利用平移、轴对称、旋转等变换设计图案，一 般都是先找“关键点”，再作关键点的对应点，然后顺次 连接起来即可．
知识迁移 第2课时 图形在坐标系中的旋转变换
例 1 正方形 ABCD 在坐标系中的位置如图 24－1－37 所示， 将正方形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90°后，点 B 的对应点的坐标为 ()
§24.1.3
一、复习提问：
旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向 转动一个角度，得到另一个图形的变换，这样的图形 变换称为旋转。
中心对称的定义：
在平面内，将一个图形绕着某一定点旋转180度, 得到另一个图形,那么,我们就说这两个图形关于这个 点成中心对称.
一、复习提问：
旋转的性质：