基于MATLAB的吉布斯效应研究报告

吉布斯效应研究报告

学院：通信工程学院

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时间：2015.4.13

吉布斯效应研究报告

摘要：随着现代工业的发展，先进的测试和信号分析技术已成为生产系统中必不可少的组成部分，傅里叶分析的应用越来越广泛。为了更直观的理解信号处理中出现的吉布斯效应，借助MATLAB对信号处理中出现的吉布斯现象进行仿真，分析吉布斯效应产生的原因，探讨减少效应影响的方法，将对我们进一步理解吉布斯效应和信号处理有很大的帮助。

关键词：吉布斯效应；信号处理；仿真分析；傅里叶分析

1 引言

近年来，现代工业不断发展，工程中为了满足自动测量、安全监控、设备管理和故障诊断等要求，先进的测试和信号分析变得越来越重要。在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域的分析方法较之经典的时间域方法有许多突出的优点。从而，傅里叶分析方法已经成为信号分析与系统设计不可或缺的重要工具。然而，对周期函数进行傅里叶级数展开后，会出吉布斯效应。通过MATLAB仿真，进一步理解吉布斯效应。

2概述

（1）什么是吉布斯效应？

将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯现象。（2）特点

a.吉布斯现象是当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的波形时出现，并能够观察。

b.信号中频率较低的谐波分量的幅值较大，占主体地位，吉布斯现象越突出。

c.当截取傅里叶级数项数越多，跳变峰越向间断点靠近，但跳变峰值并未明显减小，跳变峰所包围的面积减小。

可通过MATLAB使这种吉布斯现象得到清晰的表现

3研究内容及方法

对方波、锯齿波信号进行傅里叶级数展开成三角函数表达式，并利用MATLAB软件与其精准图像进行对比，并通过数值分析验证吉布斯现象，就实验中出现的问题进行深入分析。（1）时域吉布斯效应

a.方波分析

它的傅里叶展开式如下：

通过MATLAB对吉布斯效应进行仿真

源程序如下

k=input('取点间隔k=');

N=input('选取项数N=');

t=-2*pi:k:2*pi;

s=square(t);

y=0;

for n=1:2:N,

y=y+4/pi*sin(n*t)/n; %前n项和

end

plot(t,s,t,y);

w=(max(y)-1)/2 %峰起值占总跳变值的比例

MATLAB分析图像如下所示：

图一k=0.01 N=20 w=8.99% 图二k=0.01 N=200 W=8.77%

图三k=0.01 N=2000 w=8.94% 图四k=0.001 N=20 w=8.99%

做多次重复实验，可得以下表格：

实验次数k N w

1 0.01 20 8.99%

2 0.01 200 8.77%

3 0.01 2000 8.94%

4 0.001 20 8.99%

5 0.001 200 8.95%

由上可得，随着矩形窗的宽度和采样点数的增加，峰起值占总跳变值的比值越来越接近9%，在x轴方向跳变点越来越接近平衡点，吉布斯效应越来越明显。

b.锯齿波分析

其傅里叶展开形式如下：

MATLAB源程序如下：

k=input('取点间隔k=');

N=input('选取项数N=');

t=-2*pi:k:2*pi;

s=sawtooth(t-pi);

y=0;

for n=1:1:N, y=y+2/pi*sin(n*t+(n+1)*pi)/n; %前n项和

end

plot(t,s,t,y);

w=(max(y)-1)/2 %峰起值占总跳变值的比例

锯齿波产生的吉布斯效应与方波的类似，可以得出相同的结论，此处不再赘述。

（2）频域吉布斯效应

和上面相反，如果一个信号在频域是一个“方波”，由于数字域频率以2*pi为周期，这个“方波”可以在-pi到pi范围讨论。课本上都是以理想低通滤波器作为例子，其实我们可以拿理想带通、理想高通滤波器作“频域方波”的形式。当频域波形确定后，我们需要在物理上实现它，那就得得到它的系统函数。先做逆变换，变成时域信号h(n)，但长度为无限长，不能物理实现，于是采用截断。一开始人们就想“咔嚓”截一大段来逼近理想情况。很快发现，这种做法是比较武断的，逼近的波形出现了波动，而且有了过渡带。

MATAB源程序如下

wp=pi/2;ws=pi/4;

Bt=wp-ws;

N0=ceil(6.2*pi/Bt);

N=N0+mod(N0+1,2);

wc=(wp+ws)/2/pi;

hn=fir1(N-1,wc,'low',boxcar(N));

yn=fft(hn,512);

plot(abs(yn));

MATLAB图像如下：

4 吉布斯效应实例——数字滤波中的吉布斯效应

（1）吉布斯现象产生的原因

理想滤波器的时间函数h(n),它的长度是无限的。在实际滤波中，只能取h(n)的有限部分，不可能在无限长的时间内不停进行，应该是限定在某个起止时刻，滤波因子只能取有限长度。用有限长度的滤波因子却达不到理想的频率响应所给出的滤波效果。由于h(n)是偶函数，取-N到N之间的部分，把|h|>N的部分截掉，其对应的频谱如图2.从图2中可以看出在f1、f2及-f1、-f2左右处，曲线产生了较为严重的振荡现象，具有许多小的突起，最大突起在截止频率附近。

产生这种现象的原因有两个：（1）h(n)的频谱在f1、f2、-f1、-f2处产生突变（2）曲线截断引起，把无限长的时间函数h(n)截为有限长的时间函数。在第一个原因的内在条件下，有限和无限的矛盾导致了吉布斯现象。

图3为在截止频率f1、f2、-f1、-f2不变的条件下，改变截止长度N对频率响应的影响。从中可以得到，当滤波因子截断长度N改变时，滤波器的频率响应的截止限度相应的改变，突起数目也随之改变，但最大突起的相对幅度与截断长度的大小无关，皆为正负9%左右。