e 平稳时间序列预测

当预测步数超过m时 X ˆ t( l ) 1 X ˆ t( l 1 ) 2 X ˆ t( l 2 ) . .n X . ˆ t( l n )
该差分方程的通解为
X ˆ t( l) b 0 tf0 ( l) b 1 tf 1 ( l) . .b n t . 1 fn 1 ( l)
其中的函数形式由下面特征方程的根决定
X ˆt(l)E [(1X tl 1atl1atl 1)X t,X t 1,X t2...)]
1X ˆt(l1 )
l 1
X ˆt(l)1X ˆt(l1)0
11
X ˆt(l)1X ˆt(l1)0
该差分方程的通解为
Xˆt (l) b0t1l
由一步预测结果求出待定系数可得
Xˆt(l)(Xt
1 1
at )1l
I j E ( X tl j X t , X t1 , X t2 ...) j 1
l 1
I j Xˆ t (l j) I j X tl j
j 1
jl
9
三、用ARMA模型(即差分方程形式)进行预测
1 AR(1)模型预测
X t l 1X t l 1at l
X ˆt(l)E[( 1Xtl1atl)Xt,Xt1,Xt2...)] 1X ˆt(l1)
1
X ˆt l 1 .9a 6 (G 0 2 G 1 2 G 2 2 .. G .l2 1 )2
7
将 X t l的预测 a t,a t 1 值 ,a t 2, 表 的示 线为 性组
Xˆt (l) G*jatj j0
E{[Xtl Xˆt(l)]2}
E[(G0atl G1atl1 ...Gl1at1) (Glj G*j )atj]2 j0
预测函数的形式是由模型的自回归部分决定的，滑 动平均部分用于确定预测函数中的待定系数，使得预测 函数“适应”于观测数据。
12
3 MA(1)模型预测
Xtl atl 1atl1
X ˆt(1)E[(at11at)Xt,Xt1,Xt2...)] 1at
a t X t X ˆt 1 (1 ) X t1 a t 1
17
【例5-2】 利用例4.1所建模型进行预测，模型为
X t 0 .4 0 3 .3X t 4 2 a t 1 .0 a t 1 0
当t=57、58、59、60时， X t 分别为52、-75、66、-96。在 t=60（1997年12月）作超前一步和两步预测。
为了计算方便，不妨设 a58 0
2
t 考虑以 为原点，向前期(或步长)为 l 的预测 Xˆ t (l)
预测误差为
et(l)Xtl X ˆt(l)
预测误差的均方值为 E [e t2(l) ]E {X [ t l X ˆt(l)2 } ]
使上式达到最小的线性预测称为平稳线性最小均方误 差预测（也称为平稳线性最小方差预测）
3
第一节 条件期望预测
已知： Xt3,Xt2,Xt1,Xt分别为 1,2,2.5,0.6,at20,
求 Xˆt(1),Xˆt(2)和预测函数 Xˆ t (l) 。
at1Xt10.8Xt20.5Xt30.3at2 2.50.820.5(1)0.30 0.4
15
at Xt 0.8Xt10.5Xt20.3at1 0.60.82.50.520.30.4 0.28
Xˆ6 1(2) Xˆ6 0(3)G2a6 1 16.040.34(65.91) 6.37
23
超前期 l
1
2
3
...
格林函数 G l
-1
0.34
-0.34
预测
Xˆ t1(1)
Xˆ t2 (2)
Xˆ t3 (3)
t Xt
at
59 66 60 -96 61 -20 -65.91 62 63 64
45.91 33.7
Xˆ60(1) E(X601) E(0.430.34X601 a601 1.00a60) 0.430.346601.00(23.04) 45.91
Xˆ60(2) E(X602) E(0.430.34X60a602 1.00a601) 0.430.34(96)01.000 32.21
Xˆ60(3) E(X603) E(0.430.34X601 a603 1.00a602) 0.430.3445.9101.000 16.04
逆转形式
Xt Ij Xtj at j1
5
一、由ARMA模型的传递形式进行预测
Xtl Gjatlj j0
Xˆ t (l) E (( X tl X t , X t1 , X t2 ...)
G j E (atl j X t , X t1 , X t2 ...) j0
Gl j at j j0
-32.21 -6.37
16.04 11.89
24
X 5 9 0 .4 0 3 .3 X 5 4 7 a 5 9 1 .0 a 5 0 8
a59X590.430.34X571.00a58 660.430.34521.000 47.89
18
a60X600.430.34X581.00 a59 960.430.34(7)51.0047 .89 23 .04
a2[G02 G12 G22 ...Gl21 (Glj G*j)2] j0
Xˆt (l) Gljatj j0
这说明条件期望预测与最小均方误差预测是一致的
8
二、用ARMA模型的逆转形式进行预测
Xtl IjXtlj atl j1
Xˆ t (l) E ( X tl X t , X t1 , X t2 ...)
18
35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`源自文库
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
应用时间序列分析
第五章 平稳时间序列预测
本章介绍利用ARMA模型进行平稳时间序 列预测的理论与方法。具体要求： ①理解平稳线性最小均方误差预测的含义； ②熟悉条件期望预测以及预测的三种形式； ③掌握ARMA模型差分方程形式的预测方法； ④掌握预测值的适时修正方法。
Xˆt (1) E(Xt1) E(0.8Xt 0.5Xt1at10.3at) 0.80.60.52.500.3(0.28) 0.07
Xˆ t (2) E(Xt2) E(0.8Xt1 0.5Xt at2 0.3at1) 0.8 E(Xt1) 0.5 Xt 0.80.07 0.50.6 0.244
(X t lX t,X t 1 ,X t 2 ..~ .N ) (E (X t l)V ,(X a t l)r)
X ˆt(l)E ((X t l X t,X t 1,X t 2...)
几条性质
E (XkXt,Xt 1,Xt2.. .)Xk
E (akX t,X t 1,X t2.. .a )k E (atl Xt,Xt 1,Xt2.. .0 )
16
X ˆt( l) 0 .8 X ˆt( l 1 ) 0 .5 X ˆt( l 2 ) 0
20.80.50
0.40.5i8
X ˆt(l) (0 .4 2 0 .52 )8 l(b 0 tsil n b 1 tco l)s
arc0t.g5855.41
0.4
由前面的一步和两步预测结果可以求出待定系数。
E (X t lX t,X t 1,X t 2.. .X ˆ )t l
(k t) (k t)
(l 0) (l 0)
4
第二节 预测的三种形式
ARMA模型的三种表示形式
差分方程形式
Xt 1Xt12Xt2... nXtn at 1at12at2... matm
传递形式
Xt Gjatj j0
21
【例5-3】 对于例5-2,假设我们已知道观测值 X61 20,试
利用前面t=60时的预测值计算 Xˆ 61(1) 和 Xˆ 61(2) 。
G0 1
G 1111
G 21G 12G 00.34
a61 X 61 Xˆ 60 (1) 20 45 .91 65 .91
22
Xˆ61(1)Xˆ60(2)G1a61 32.21(1)(65.91) 33.7
6
et(l)Xtl X ˆt(l) G0atl G1atl1.. .Gl1at1
E[et2(l)]E{X [tl X ˆt(l)2]}
a2(G02G12G22...Gl21)
Va(rXtl ) E[Xtl E(Xtl )]2 E{[Xtl Xˆt (l)]2}
a2(G02 G12 G22 ...Gl21)
X ˆt(l)1X ˆt(l1)0
Xˆt (l)1l Xt
10
2 ARMA(1,1)模型预测
X t l1 X t l 1 a t l1 a t l 1
X ˆt(1)E [(1Xt at11at)Xt,Xt1,Xt2...)] 1Xt 1at
a t X t X ˆ t 1 ( 1 ) X t 1 X t 1 1 a t 1
当预测步数超过1时
Xˆt (l) 0
对于MA(m)模型而言，超过m步的预测值均为零，这 与MA序列的短记忆性是吻合的。
13
4．ARMA(n,m)模型预测的一般结果
X ˆt(l)E(Xtl Xt,Xt1,Xt2...)
1X ˆt(l1)2X ˆt(l2)...l1X ˆt(1)lXt ...nXtlnlat 2at1...matlm
19
预测图示
20
第三节 预测值的适时修正
在进行超前多步预测时，随着时间的推移，原来的 一些预测值变为已知，这时需要进行新的预测，以便利 用最近的信息。
Xˆt(l1) G a l1j tj j0
Xˆt1(l) Gljat1j j0
X ˆt 1(l)X ˆt(l 1 ) G la t 1
新的预测值可以由旧的预测值和新的观察值(新息)推 算出来，即新的预测值是在旧的预测值基础上加一个修正 项，而这一修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随 预测超前步数而变化。
n1n 1 . ..n 1n 0
通常它们可能包含多项式、指数、正弦和余弦以及这些函数的乘积。
14
对于平稳ARMA(n,m)模型，随着超前步数的增大， 预测值趋于零(实际上是序列的均值)。
【例5-1】 设 X t 适合以下ARMA(2，1)模型 X t 0 .8 X t 1 0 .5 X t 2 a t 0 .3 a t 1