补充一阶隐式微分方程

Φ y(C ) x ( x(C ), y (C ), C ) , x(C ) Φ y ( x(C ), y (C ), C )
或
Φ x(C ) y ( x(C ), y (C ), C ) , y(C ) Φ x ( x(C ), y (C ), C )
这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族
这里设 f ( x, y ') 关于 x, y 有连续偏导数, 解法：引进参数 p y ' 则方程变为
y f ( x, p)
将上式两边对 x 求导，得
f ( x, p) f ( x, p) dp y x p dx
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y f ( x, y ')
p y'
y f ( x, p)
dy 2 dy ( ) ( x y ) xy 0. dx dx
从而得到两个方程
dy x 0, dx
dy y 0. dx
故原方程的通解可以表示为
1 2 y x C1 , 2
y C2 e x .
2
1 2 通解也可以表示为 ( y x C1 )( y C2e x ) 0. 2
G ( x, p) 0, 则得到参数形式的解 y f ( x, p).
同理若解出x，完全类似。
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2 x 例１(微分法)：求解方程 y ( y ' )2 xy ' 2
解：令 y p
'
则原方程可写成
2 2
x y p xp 2 两边对 x 求导得到
dp dp p 2p (p x ) x dx dx
Clairaut方程
y xy ( y )
' '
特点：关于 y 能解出的一阶隐式方程，
( z ) 二阶连续可微，且 ( z ) 0.
利用微分法求解此方程. 令 y ' p ,对x 求导得
dp dp dp ' ' p p x ( p) ( x ( p)) 0 dx dx dx dp 0 时,有 p C ,因此通解为 y Cx (C ) 当 dx
p y'
y f ( x, p)
情形3：
f ( x, p) f ( x, p) dp p x p dx
若能求出通积分， F ( x, p, C ) 0,
其中
F ( x, p, C ) 0, 则得到参数形式的通积分 y f ( x, p). p
是参数。
如果还有解 G ( x, p) 0,
方程 F ( y, y ' ) 0 的解为
(t ) dt C , x h(t ) y (t ).
4
2 x 1 ( y ) y 例(参数法) 求微分方程
解：令 y tan t
'


2
t

2
解得 x sin t
由于 dy y 'dx tan t cos tdt 积分得
f ( x, p) f ( x, p) dp p x p dx 情形1：
若求出方程的通解为
p ( x, c)
代入原方程得通解为 y f ( x, ( x, c)) 情形2： 若还有解 p u ( x) 代入得特解
y f ( x, u ( x))
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y f ( x, y ')

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o
x
x 2 cos2 y 2 sin 2 2xy sin cos p 2 x 2 sin 2 y 2 cos2 2xy sin cos 0
相加，得 x 2 y 2 p 2 ，经检验，其是所求包络线。
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例2 求直线族
2 ( y c) ( x c)3 0 3 的包络，这里 c 是参数。
能确定出曲线为
L : x x(C ), y y(C )
则
Φ( x(C ), y(C ), C ) 0
对参数 C 求导数
Φ x ( x(C ), y (C ), C ) x (C ) Φ y ( x(C ), y (C ), C ) y (C ) ( x(C ), y(C ), C ) 0 ΦC
中对应于C的曲线Φ( x, y, C ) 0 相切。
注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
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例1 求直线族
x cos y sin p 0
的包络，这里 是参数，p 是常数。 解： 对参数 求导数
p
y
x sin y cos 0 联立 x cos y sin p 0 x sin y cos 0
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例 单参数曲线族
( x c) 2 y 2 R 2
R是常数，c是参数。 y
x o 显然， y R 是曲线族 ( x c) 2 y 2 R 2 的包络。 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。
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求奇解（包络线）的方法

C-判别曲线法 P-判别曲线法
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例4 求方程 y 2 x 解： 从
dy dy dx dx
2
的奇解。
y 2 xp p 2 2 x 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线 经检验， y x 2 不是方程的解，故此方程没有奇解。 注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。
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整理化简后得方程
9
dp ( 1)(2 p x ) 0 dx
dp 对 1 0 积分得该方程的通解为 p x c dx x2 2 得原方程的一个解 y Cx C 2 x 又从 2 p x 0 得另一个解 p 2 x2 又得方程的一个解 y 4
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x (t ),
3
就可以得出微分方程用参数形式表示的解。
由参数的微分法知
y (t ), p h(t )
x (t ),
dy (t ) h(t ) p y , dx (t ) (t ) , 积分得 故 (t ) h(t ) ' (t ) (t ) dt C h(t )
2 9 是所求包络线。
检验， y x
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y
yx
2 y x 9
x
o
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2 p-判别曲线
结论：方程 F ( x, y, y) 0 的奇解包含在下列方程组
F ( x, y , p ) 0 Fp ( x, y , p ) 0 消去 p 而得到的曲线中。
注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
2
解： 对参数 c 求导数
2
y c ( x c)2 0
因此， C-判别曲线中 包括了两条曲线，易
联立
2 ( y c) ( x c)3 0 3 y c ( x c)2 0
3
2 得 ( x c) [( x c) ] 0 3 yx 从 x c 0 得到 2 2 从 ( x c ) 0 得到 y x 9 3
从而得到恒等式
Φ x ( x(C), y(C), C) x (C) Φy ( x(C), y(C), C) y (C) 0
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Φ x ( x(C), y(C), C) x (C) Φy ( x(C), y(C), C) y (C) 0
当 Φ 至少有一个不为零时 x ( x, y, C),Φy ( x, y, C) 有
一阶隐式微分方程
一阶显式微分方程 y f ( x, y) 一阶隐式微分方程 F ( x, y, y) 0 例 求解微分方程
dy 2 dy ( ) ( x y ) xy 0. dx dx
1
解：方程右端分解因式，得
dy dy ( x)( y ) 0. dx dx
一、不显含 x 或 y 的方程与参数法
' F ( x , y , y ) 0 的左端不显含x， 若方程
F ( y, y ) 0
'
解法：引进参数 p y ' 则方程变为
F ( y, p ) 0
引入参数 t 将上式用参数曲线表示为
y (t ), p h(t )
下面只须求出 x 关于 t 的参数方程
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dy 的奇解。 2 例3 求方程 y 1 0 dx 解： 从 p2 y2 1 0 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线
2
y 1
经检验，它们是方程的奇解。 因为易求得原方程的通解为
y sin(x c)
而 y 1
是方程的解，且正好是通解的包络。
设一阶方程 F ( x, y, y) 0 的通积分为 Φ( x, y, C ) 0。 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下 列方程组
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
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消去 C 而得到的曲线中。
设由
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
y sin tdt cos t C
故原方程参数形式的通解为
x sin t y cos t C
消去此参数 t ,得到通解为
x 2 ( y c) 2 1
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二、可解出y 或x 的方程与微分法
从方程中解出 y 得到 y f ( x, y ')
当 x ' ( p) 0 时,得到方程的一个特解
' x ( p) ' y ( p) p ( p)
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三、奇解与包络
曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲
线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分 曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在 这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲 线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的 积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。