苏教版数学必修五：3.3.3简单的线性规划问题【学生版】
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问》4
3．简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题●三维目标1知识与技能1从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；3了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大小值；4培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2过程与方法1本节课是以二元一次不等式组表示的平面区域的知识为根底，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；2考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过鼓励学生探究入手，讲练结合，真正表达数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观1结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，鼓励学生创新；2渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合〞的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的根底上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过鼓励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!【问题情境】我们先考察生产中遇到的一个问题：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、B种原料12t，产生的利润为2万元；生产1t乙种产品需要A种原料1t、B种原料9t，产生的利润为1万元．现有库存A种原料10t，B种原料60t，问如何安排才能使利润最大？设方案生产甲、乙两种产品的吨数分别为，，利润为a变式1设变量，满足约束条件错误!那么目标函数＝42的最大值为多少？【自主解答】画出约束条件表示的点，的可行域，如下图的阴影局部包括边界直线．把＝4＋2变形为＝－2＋，得到斜率为－2，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线．作直线：＝－2，把直线向右上方平行移至经过可行域上的点B，此时1：＝－2＋的纵截距最大，同时＝4＋2取最大值．解错误!得错误!∴B5,3．故当＝5，＝3时，ma＝26变式2设变量，满足约束条件错误!那么目标函数＝3－4的最大值和最小值分别为多少．【解】作可行域如下图，平移直线3－4＝可知，直线过A点时，取最小值，过B点时，取最大值．∴min＝3×3－4×5＝－11，ma＝3×5－4×3＝3【规律方法】1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数＝a＋b〔b≠0〕，当b>0时，直线截距最大时，有最大值，截距最小时，有最小值；当b<0时，那么相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用的几何意义求解．平移直线a＋b＝0时，看它经过哪个点哪些点时最先接触可行域和最后离开可行域，那么这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．3 在平移目标函数时，一定要注意比拟目标函数直线的斜率与可行域边界直线的斜率大小，防止直线的倾斜程度判断不准致误类型二：利用线性规划求字母参数的值或范围例2，满足错误!设＝a＋a＞0，假设当取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】作出可行域如下图．当直线＝－a＋a＞0平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，均取得最大值，此时有无数多点使取得最大值，而AC＝－错误!，∴－a＝－错误!，即a＝错误!【规律方法】1．此题中，取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形平面区域及目标函数的几何意义解题．【课后思考】：假设，满足约束条件错误!目标函数＝a＋2仅在点1,0处取得最小值，那么a的取值范围是________．【课堂小结】1．根底知识：1可行域；2线性规划．2．根本技能：1解线性规划问题；2利用线性规划求字母参数的值或范围．3．思想方法：1数形结合思想；2函数思想；3转化思想．。
(苏教版)数学必修五导学案：3.3.3简单的线性规划问题(2)
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(1) 教案 苏教版必修5
教学目标：1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值． 教学重点：用图解法求线性规划问题的最优解． 教学难点：对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．教学方法：1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法——图解法．2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．教学过程：一、问题情境1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影） 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲种产品需要A 种原料4t 、B 种原料12t ，产生的利润为2万元；生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t ，B 种原料60t ，问如何安排才能使利润最大？为理解题意，可以将已知数据整理成下表：（投影）A 种原料（t ）B 种原料（t ） 利润（万元）甲种产品（1t ）412 2 乙种产品（1t ）19 1 现有库存（t ） 10 60 过10t 和60t ，即41012960x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，，，即4104320x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，．．这是一个二元一次不等式组，此外，产量不可能是负数,所以0,0≥≥y x ③① ②于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．④下，求出x ，y ，使利润（万元）y x P +=2达到最大．2．问题：上述问题如何解决？二、学生活动①让学生探究解决这个问题分几个步骤；②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到y x P +=2取得最大值的数对（x ，y ）；③由学生整理解决这个问题的思路．（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑y x P +=2的几何意义，将y x P +=2变形为P x y +-=2，它表示斜率为－2，在y 轴上截距为P 的一条直线．平移直线P x y +-=2，当它经过两直线104=+y x 与2034=+y x 的交点A （1.25，5）时，直线在y 轴上的截距P 最大．因此，当5,25.1==y x 时，y x P +=2取得最大值5.7525.12=+⨯，即甲、乙两种产品分别生产1.25t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．三、数学建构（投影） 1．目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解．诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x ，y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．y x P +=2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于y x P +=2又是关于x ，y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数y x P +=2在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．那么，满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域．其中可行解),(),,(1100y x B y x A （一般是区域的顶点）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）列出线性约束条件及写出目标函数；（2）画出线性约束条件所表示的平面区域；（3）通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；（4）用图形的直观性求最值；（5）检验由（4）求出的解是否为最优解或符合问题的实际意义．3．应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：（1）能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；（2）要有不同选择的可能性存在，即所有可行解不止一个；（3）所求的目标函数是受条件约束的；（4）约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；（5）约束条件中所涉及的变量不超过3个．四、数学运用例1 若已知y x ,满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求y x z +=2的最大值和最小值．解约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．，是关于y x ,的一个二元一次不等式组；目标函数：y x z +=2是关于y x ,的一个二元一次函数；可行域：是指由直线2553,34=+-=-y x y x 和1=x 所围成的一个三角形区域（包括边界）Y （如图）；可行解所有满足U y x ∈),(［即三角形区域内（包括边界）的点的坐标的实数y x ,都是可行解；最优解U y x ∈),(，即可行域内一点),(y x ，使得一组平行线z z x y (2+-=为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点的坐标),(y x 就是线性规划的最优解．当直线y x z l +=2:，即z x y +-=2过三角形区域，且纵截距取最值时，z 有最值，即目标函数z 有最值．由图知，当l 过B （1,1）点和A （5,2）时，z 有最小值和最大值．12252max =+⨯=z ，3112min =+⨯=z ．例2 已知y x ,满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，，．求使y x +取最大值的整数y x ,的值．解 不等式组的解集为三直线：01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为A ，B ，C ，则A ，B ，C 坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ． 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往l 0右上方移动时，t 随之增大，∴当l 过C 点时y x +最大为1963，但不是整数解． 又由19750<<x 知x 可取1，2，3， 当x ＝1时，代入原不等式组得y ＝－2，∴x ＋y ＝－1；当x ＝2时，得y ＝0或－1，∴ x ＋y ＝2或1；当x ＝3时，y ＝－1，∴ x ＋y ＝2．故x ＋y 的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩，，或31x y =⎧⎨=-⎩，．． 练习：设y x z 106+=，式中x ，y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．求z 的最大值或最小值．五、回顾反思本节课的主要内容为：1．目标函数，线性目标函数线性规划问题、可行解、可行域、最优解；2．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤；3．应用线性规划的图解方法，必须具备的条件．。
苏教版必修5高中数学3.3.3简单的线性规划问题课时作业一
简单的线性规划问题(一)课时目标 1. 认识线性规划的意义.2. 会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本观点名称意义拘束条件由变量 x， y 构成的不等式或方程线性拘束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)构成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所波及的变量x， y 的函数分析式线性目标函数对于 x， y 的一次分析式可行解知足线性拘束条件的解 ( x，y)可行域拘束条件表示的平面地区最优解使目标函数获得最大值或最小值的可行解求线性目标函数在 __________条件下的最大值或最小值线性规划问题问题一、填空题x＋3y－3≥0，．若实数x ，y知足不等式组2x－y－3≤0，则x＋y的最大值为________．1x－ y＋1≥0，x＋ y≤4，．已知点，的坐标知足条件 y≥，则2＋2的最大值为．P( x y)x y________ 2x≥1，x＋ y≥3，3．设变量x， y 知足拘束条件x－ y≥－1，则目标函数z＝2x＋3y 的最小值为2x－y≤3.________．4．已知－ 1<x＋y<4 且 2<x－y<3，则z＝ 2x－ 3y的取值范围是 ________． ( 答案用区间表示 )x＋2y－5≤0，5．已知实数x，y知足x≥1，yy≥0，则x的最大值为 ____________．x＋2 －3≥0，yx－ y＋2≥0，．设变量x ，知足拘束条件x－5y＋10≤0，则目标函数z＝－4y的最大值和6y3xx＋ y－8≤0，最小值分别为 ________和________．y≥07．在座标平面上有两个地区和，此中地区＝x ，y|y≤ x，地区M N My≤2－ xN＝{( x， y)|t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1}，地区 M和 N公共部分的面积用函数 f ( t )表示，则f ( t )的表达式为________．x≥1，8．设不等式组x－2y＋3≥0，所表示的平面地区是Ω 1，平面地区Ω2与Ω1对于y≥ x直线 3x－ 4y－ 9＝ 0 对称．对于Ω1中的随意点 A与Ω2中的随意点 B，则 AB的最小值为________．二、解答题x ＋3 ≥12y．线性拘束条件x＋ y≤10下，求z ＝2x－y的最大值和最小值．93 ＋≥12x y2x＋y－5≥02210．已知3x－y－5≤0，求x＋y的最小值和最大值．能力提高x－ y＋6x＋ y－6≥011．已知实数x， y 知足，求x2＋y2－2的取值范围．1≤x≤42x＋y－2≥0y＋112．已知实数x、 y 知足x－2y＋4≥0，试求z＝x＋1的最大值和最小值．3x－y－3≤01．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各极点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中界限直线的斜率进行比较，确立最优解．2．在解决与线性规划有关的问题时，第一考虑目标函数的几何意义，利用数形联合方法可快速解决有关问题．3． 3.3简单的线性规划问题( 一 )答案知识梳理线性拘束作业设计1． 9分析画出可行域如图：当直线 y＝－ x＋ z 过点 A时， z 最大．2 －－ 3＝0，x y得 A(4,5)，∴ z＝ 4＋5＝ 9.由maxx－y＋1＝02. 10分析画出不等式组对应的可行域以下列图所示：易得 A (1,1) ， | OA | ＝ 2， B (2,2) ，| OB | ＝2 2，C (1,3) ， | OC | ＝ 10.2 2)22∴ ( x ＋ y＝|OC| ＝(10) ＝ 10.max3． 7分析 作出可行域以下图．由图可知， z ＝ 2x ＋ 3y 经过点 A (2,1) 时， z 有最小值， z 的最小值为 7. 4． (3,8)－ 1<x ＋ y <4，分析 由得平面地区如图暗影部分所示．2<x － y <3由x ＋ y ＝－ 1，x － y ＝ 3得x ＝ 1，y ＝－ 2.由x ＋ y ＝ 4，x－ y ＝ 2得x ＝ 3，y ＝ 1.∴ 2×3－3×1< z ＝ 2x － 3y <2×1－3×( － 2) ， 即 3<z <8，故 z ＝ 2x － 3y 的取值范围是 (3,8) ． 5． 2x ＋ 2y －5≤0，x ≥1，y y － 0分析画出不等式组y ≥0，对应的平面地区 Ω， x ＝ x － 0表示平面区x ＋2 －3≥0y域 Ω 上的点 P ( x ， y ) 与原点的连线的斜率．yA (1,2) ，B (3,0) ，∴ 0≤ x ≤2.6．3－11分析作出可行域如图暗影部分所示，由图可知z＝3x－4y 经过点过点 B时 z 有最大值．易求 A(3,5)，B(5,3)．∴ z 最大＝3×5－4×3＝＝－ 11.A 时 z 有最小值，经3，z最小＝3×3－4×52 17．f ( t ) ＝－t＋t＋2分析y≥0作出不等式组y≤ x所表示的平面地区．y≤2－ x由 t ≤x≤ t ＋1,0≤ t ≤1，得△ OEF△AOD△ BFC1 2 1221f ( t )＝S － S － S＝ 1－2t－2(1 －t ) ＝－t＋t＋2.8． 4分析以下图．由拘束条件作出可行域，得D(1,1)， E(1,2)， C(3,3)．要求 ( AB) min，可经过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的 2 倍来求．经剖析， D(1,1)到直线|3 ×1－4×1－ 9|3x－ 4y－ 9＝ 0 的距离d＝5＝2 最小，∴ ( AB) min＝ 4.9．解如图作出线性拘束条件x＋3y≥12x＋ y≤10下的可行域，包括界限：此中三条直线中x＋3y＝12与3x＋ y＝12交3x＋y≥12于点 A(3,3)，x＋＝10与x＋3 ＝12交于点 (9,1)，y y Bx＋ y＝10与 3x＋y＝ 12交于点 C(1,9)，作一组与直线2x－y＝ 0 平行的直线l： 2x－y＝z，即 y＝2x－ z，而后平行挪动直线 l ，直线 l 在 y 轴上的截距为－ z，当 l 经过点 B时，－ z 取最小值，此时 z 最大，即 z max＝2×9－1＝17；当 l 经过点 C时，－ z 取最大值，此时 z 最小，即 z min＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min＝－7.10．解作出不等式组2x＋y－5≥03x－y－5≤0的可行域以下图，x－2y＋5≥0x－2y＋5＝0由，得 A(1,3)，2x＋y－ 5＝0x－2y＋5＝0由，得 B(3,4)，3x－y－ 5＝03x － y － 5＝0，得 C (2,1) ，由2x ＋ y － 5＝0设 z ＝x 2＋ y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，联合图形知，原点到点 B的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点 C 的距离最小．故 z max ＝ | OB | 2＝ 25，z min＝ | | 2＝5.OC11．解 作出可行域如图，由 x 2＋ y 2＝( x － 0) 2＋( y － 0) 2，能够看作地区内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x ＋y － 6＝ 0 的距离的平方，22即 OP ，最大值为 OA ，此中 A (4,10) ，OP ＝ |0 ＋0－ 6| ＝62， 2 2 ＝ 3 1 ＋ 1 2OA ＝ 42＋ 102＝ 116，∴ ( x 2＋ y 2－2) min ＝ (3 2) 2－ 2＝ 18－2＝ 16， ( x 2＋ y 2－ 2) max ＝( 116) 2 －2＝ 116－2＝ 114， ∴ 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.即 x 2＋ y 2－2 的取值范围为 16≤ x 2＋ y 2－2≤114.y ＋ 1 y －－ 112．解因为 z ＝ x ＋ 1＝ x － － 1 ，所以 z 的几何意义是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率，所以y ＋1的最值就是点 ( x ， y ) 与点 M ( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值，x ＋ 1联合图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，即z max ＝ k MB ＝ 3，此时 x ＝ 0，y ＝ 2；1z min ＝ k MC ＝ 2，此时 x ＝ 1，y ＝ 0.1∴ z 的最大值为3，最小值为 2.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问》19
线性规划
【重点知识】
1 平面区域确实定方法是“直线定界，特殊点定域〞
2 掌握线性规划问题解题步骤
3 最优解确实定方法
4掌握求解线性规划中含参问题的根本方法
课前自主完成：
1．点和在直线的两侧，那么的取值范围是______________
2．假设是满足不等式组表示的平面区域内的任意一点，点到直线的距离为d，那么的取值范围是________．
3．设实数满足约束条件，那么〔1〕的最小值是________；〔2〕的取值范围是_______________；〔3〕的最小值是_____________；〔4〕的取值范围是___________;〔5〕的最大值是____________
典型例题
例1：设二元一次不等式组所表示的平面区域为，那么
（1）使得目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，那么的值是_________（2）使得目标函数仅在处取得最大值，那么的取值范围是_________
（3）使得函数的图象过区域的的取值范围是_________
例2：设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，那么的取值范围为________．
例3：当实数满足时，恒成立，那么实数的取值范围是_________ 例4：的三边长为，且，那么的取值范围为_____________
课后拓展：正数满足，那么的取值范围为_____________。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问题》5
3.3.3 简单的线性规划问题（2）学习目标：1．能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单的线性规划应用问题的基本思路和主要方法；2 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；3 通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，培养学生理论联系实际的观点． 教学重点：线性规划问题的图解法，即根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，并利用图解法求得最优解的主要步骤和基本思路； 教学难点：把实际问题转化为数学问题，即如何根据实际问题的条件，转化为线性约束条件；如何把实际问题中要的结果转化为线性目标函数；如何根据实际问题的要求确定最优解． 教学方法：应用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，增大教学容量，提高教学效果和教学质量．教学过程：活动一：自主学习1 提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题，根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，有0085的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果．在实际生活中，我们也经常遇到需要合理安排资源，以得到最大效益的问题，如：（多媒体显示）．某校办工厂有方木料390m ，五合板6002m ，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料301m ⋅，五合板22m ，生产每个书橱需要方木料302m ⋅，五合板12m ，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润12021（1）假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案．（2）如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？活动二：合作探究让学生思考上面的问题，探究解决这一问题的方案．活动三、建构数学1 线性规划问题的求解步骤：（1）审：审题（将题目中数据列表），将实际问题转化为数学问题；（2）设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：回答实际问题．2 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．活动四：交流展示例1某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？例2投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金2021元，需场地200 m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m2，可获利润2021元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m2，问应作怎样的组合投资，可获利最大？分析：练习．（1）某工厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台数分别为400小时/台和500小时/台．如何安排生产可使收入最大？（2）某人准备投资12021元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20210个班为宜（含202130个），那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？活动五：要点归纳与方法小结：。
【江苏版】2013年高二数学教案3.3.3《简单的线性规划问题》(苏教版必修5)
3．3．3简单线性规划问题学习目标1.知识和技能能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力.2.过程与方法通过学习本节知识，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合的数学思想.3.情感、态度与价值观培养学生的个性品质，认识数学的科学价值。
教学过程一. 问题情境探究：在约束条件 下，如何探求目标函数 2P x y =+ 的最大值？分析:首先作出约束条件所表示的平面区域;其次考虑目标函数 2P x y =+的的几何意义.将目标函数 2P x y =+的的变为2y x P =-+,它表示斜率为2-,在y 轴上的截距为P 的一条直线.平移直线,2y x P =-+,当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点(1.25,5)A 时,直线在y 轴上的截距P 最大.二. 建构数学1. 可行域------约束条件所表示的平面区域;2.这类求线性目标函数在线性约素条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题.上述只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 线性规划是一种重要的优化模型,生产中有诸多问题可以归结为线性规划问题.三.数学运用1.例题.例1.求35z x y =+的最大值与最小值，使,x y 满足约束条件解： 作出直线35z x y =+的图像；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤35x 11535y x y y x －＋＋可知直线经过A 点时，Z 取最大值；直线经过B 点时，Z 取最小值.求得(1.5,2.5)A ，(2,1)B --，则max min 17,11.Z Z ==- 例2.投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万元，需场地2002m ，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100m 需要资金300万元，需场地1002m ，可获利润200万元。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问题》
教学目标1知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;理解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;2过程与方法:在实验探究的过程中,培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力;在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力。
3情态、态度与价值观:让学生体会数学源于生活,服务于生活;体会数学活动充满着探索与创造,培养学生动手操作、勇于探索的精神。
2学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上,通过实例理解了平面区域的意义,并会画出平面区域,还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件,将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看,问题涉及多个已知数据,多个字母变量、多个不等关系,从数学方法上看,学生对图解法的认识还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日,这成了学生学习的困难。
3重点难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑,在教学中应紧扣实际,突出知识的形成发展过程。
4教学过程41 第一学时411教学活动活动1【讲授】《简单的线性规划问题》七、教学设计过程【复习引入】1不等式表示的平面区域在直线 2-6=0的填方向2已知点3,1和-4,6在直线3-2a=0的两侧,则a的取值范围是【线性规划】【例】先讨论下面的问题设,式中变量、满足下列条件①求的最大值和最小值设计意图:让学生初步了解线性规划解题方式分析:把稍作变形为 ,作出一组平行直线,所以的变化体现在纵截距的变化。
作一条斜率为 -2的直线,当此直线平移时,发现当直线过A点时,纵截距最大,即值最大,过B点时截距最小,即值最小。
所以求出A,B坐标,代入目标函数:在上述问题中,不等式组①是一组对变量、的约束条件,这组约束条件都是关于、的一次不等式,所以又称线性约束条件线性约束条件除了用一次不等式表示外,有时也有一次方程表示是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式,叫做目标函数,由于又是、的解析式,所以又叫线性目标函数,上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题,一般来说线性目标函数在线性约束条件下的最值都在平面区域边界处取得。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问题》21
§3.3.3 简单的线性规划问题（1）【三维目标】：一、知识与技能1了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数2了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值二、过程与方法1以学生画二元一次不等式表示的平面区域和平行线组的几何意义为铺垫，学生自主探究线性规划问题的解法。
2将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
三、情感、态度与价值观1结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新2渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣【教学重点与难点】：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解【教学过程】一、问题情境1. 作出下列不等式组的所表示的平面区域问题1： 有无最大（小）值？问题2： 有无最大（小）值？问题3：2 有无最大（小）值？2作出下列直线:72;42;32;12;02=+=+-=+=+=+y x y x y x y x y x思考：形如t y x =+2的直线中t 具有怎样的几何意义？⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x二、学生活动 探究：设y x +=2z ，若),(y x 满足 时,求的最大值和最小值问题1：不等式组表示的平面区域是什么？问题2：题目中 =2关于,的斜截式方程是什么？它表示一组怎样的直线？表示什么？问题3：画出=2中的一条直线， 取什么值，最容易画直线？问题4：平移直线与不等式组表示的平面区域相交，怎样找到的最值？三、建构数学 1设y x +=2z ，若),(y x 满足 时,求的最大值和最小值 其中：y x +=2z 称为线性目标函数； 为线性约束条件；满足约束条件的），（y x 的集合称为可行域；线性目标函数取最值时的），（y x 称为最优解。
2018版高中数学苏教版必修五学案3.3.3 简单的线性规划问题(一)
．简单的线性规划问题(一)
学习目标.了解线性规划的意义.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
引例已知，满足条件①
该不等式组所表示的平面区域如图，求＋②
的最大值．
以此为例，试通过下列问题理解有关概念．
知识点一线性约束条件
在上述问题中，不等式组①是一组对变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的次不等式，故又称线性约束条件．
知识点二目标函数
在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数．因为它是关于变量、的次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数．
知识点三线性规划问题
一般地，在线性约束条件下求的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．
知识点四可行解、可行域和最优解
满足线性约束条件的解(，)叫．作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．在上述问题的图中，阴影部分叫，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个，其中能使②式取最大值的可行解称为．
类型一最优解问题
命题角度问题存在唯一最优解
例已知，满足约束条件
该不等式组所表示的平面区域如图，
求＋的最大值．。
高中数学苏教版必修5 3.3.3 简单的线性规划问题 作业 Word版含解析
[学业水平训练]一、填空题1．给出下列命题：①线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 和y 的值； ②线性规划中的最优解指的是目标函数的最大值或最小值；③线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域； ④线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号) 答案：①④2．已知1≤a ≤2，－1≤b ≤3，则2a ＋b 的取值范围是________．解析：在平面直角坐标aOb 中画出可行域(图略)，可得目标函数z ＝2a ＋b 的最小值和最大值分别为1与7，故2a ＋b 的取值范围是[1，7]．答案：[1，7]3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2，0)，B (1，1)，C (3，3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可得z min ＝3.答案：34．满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，并使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：可行域(如图所示)是四边形OABC 及其内部的区域．作出l 0：6x ＋8y ＝0即3x ＋4y ＝0，平移直线l 0到l 的位置，由图形知，当l 过点C (0，5)时，z 取得最大值．答案：(0，5)5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．解析：作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2.答案：(－4，2)6．(2014·浙江省嘉兴一中月考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋1＝0得A (1，2)，所以|AO |2＝5.答案：57．配制A ，B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3mg 、乙料5mg ；配一剂B 种药需甲料5mg 、乙料4mg.今有甲料20mg 、乙料25mg ，若A ，B 两种药至少各配一剂，则不同的配制方法的种数是________．解析：设A ，B 两种药分别配x ，y 剂．则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，3x ＋5y ≤20，作出可行域（如图）.5x ＋4y ≤25，x ，y ∈N .上述不等式组的解集是可行域中的整点．运用画网格的方法，可得这个区域内的整点为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，所以在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．答案：8 二、解答题8．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤s y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－sy ＝2s －4，交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．9．一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，得到的利润为P ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0.而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y＝960x ＋420y (目标函数)，可行域如图所示，可联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，240x ＋80y ＝400，得交点B (1.5，0.5)．故当x ＝1.5，y ＝0.5时，P max ＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．[高考水平训练]一、填空题1．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：902．(2014·湖北省襄阳四中期中考试)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：作出满足条件的可行域(如图)，当y ＝a 过点A (0，5)时表示的平面区域为△ABC ；当5<a <7时表示的平面区域均为三角形．综上，5≤a <7.答案：5≤a <7 二、解答题3．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t ，需矿石4t 、煤3t ，生产乙种产品1t ，需矿石5t 、煤10t ，每1t 甲种产品的利润是7万元，每1t 乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t ，煤不超过300t ，问：甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 万元，则z ＝7x ＋12y ，且⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得P (20，24)． ∴当x ＝20，y ＝24时，z 取得最大值．所以应生产甲种产品20t ，乙种产品24t ，能使利润总额达到最大．4．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台、B 地8台．已知从甲地调运1台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．请你设计调运方案，使总运费不超过9000元．解：设从甲地调x 台给A 地，则给B 地(12－x )台；从乙地调y 台给A 地，则给B 地(6－y )台．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，400x ＋800（12－x ）＋300y ＋500（6－y ）≤9000，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，2x ＋y ≥18，0≤x ≤12，0≤y ≤6，x ，y ∈N .作出可行域如图所示．由图知，符合条件的x ，y 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝0.所以为使运费不超过9000元，可有三种调运方案．方案1从甲地调8台给A地、4台给B地；再从乙地调2台给A地、4台给B地．方案2从甲地调9台给A地、3台给B地；再从乙地调1台给A地、5台给B地．方案3从甲地调10台给A地，2台给B地，再从乙地调6台给B地．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问题》36
3.3.3 简单的线性规划问题教学目标1．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．2．掌握简单的二元线性规划问题的解法．3．培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．教学重点与难点本节课的重点是二元线性规划问题的图解法，难点是从实际问题中抽象出线性规划问题．教学过程一内容回顾情境：在约束条件错误!（*）下,求出,,使利润（万元）P =2达到最大二问题情境、学生活动行域”,S2：方程P=2表示——斜率为−2,且过可行域内一点的直线——达到最大,只要使直线在轴上的截距达到最大说明：P为直线P =2在轴上的截距——线性目标函数的几何意义如图，平移直线=－2P,当它经过两直线4=10与43=2021点A（,5）时,直线在轴上的截距P最大．因此,当=,=5时,目标函数取得最大值2×5=,即甲、乙两种产品分别生产和5t时,可获得最大利润万元三数学理论、数学应用1 二元线性规划问题的图解法（1）（线性）约束条件所表示的平面区域——叫做可行域（feaibe region）．（2）可行域内的每一个点的坐标——叫做可行解．（3）使线性目标函数取得最大（小）值的解——叫做最优解．2 步骤S1：列表——分析数据，为转化为数学问题作准备S2：将实际问题转化为数学问题S3：作出可行域（二元一次方程组表示的平面区域）S4：找出最优解（线性目标函数表示直线在坐标轴上截距最值）例1 作出不等式组43,3525,1x y x y x--⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥所表示的平面区域设2z x y =+式中变量满足不等式组,求的最大值和最小值解：作直线:2l x y z +=（即2y x z =-+）当过点B 时（截距最小）,最小由{{43,1,1,1,x y x x y -=-=⇒==即(1,1)B ∴min 2113z =⨯+= 当过点A 时（截距最大）,最大由{{43,5,3525,2,x y x x y y -=-=⇒+==即(5,2)A ∴max 25212z =⨯+=变1：求5z x y =+的最值解：作直线1:55z l y x =-+, 在(1,1)B 上,min 1516z =+⨯=； 在22(1,)5C 上,max 2215235z =+⨯=变2：求2z x y =-的最值解：作直线2y x z =-,在A 时（截距最小）,即−最小,最大,∴max 2528z =⨯-=；在B 时（截距最大）,即−最大,最小,∴min 22122155z =⨯-=-变3：求5z y x =-的最值解：作直线1:5l y x z =+, 在B 时,min 5114z =⨯-=,在C 时,max 2251215z =⨯-=变4：求3z x y =--的最值解：作直线:33x z l y =--, 在B 时,max 1314z =--⨯=-；在C 时,min 22711355z =--⨯=- 变5：求35z x y =+的最值解：在B 上取最小值；在线段AC 上去最大值例2 课本P79 例2某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为 A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A 型车为32021B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．思路分析：这是一个整数二元线性规划问题列表分析解：设每天调出A 型车 辆,B 型车 辆,公司花费成本元,则约束条件为错误!即错误!目标函数为=320214作出可行域（如图）,当直线320214 =经过直线45=30与轴的交点（,0）时,有最小值，由于（,0）不是整点,故不是最优解．过点（,0）作出与直线320214 =平行的直线：32021 504=0,如图可知，经过可行域内的整点，且与直线距离最近的直线是32021504= 2560,经过的整点是（8,0）,它是最优解答公司每天调出A型车8辆时,花费的成本最低四回顾小结1．二元线性规划问题的图解法有哪些步骤？2．——（列表→数学化抽象→作出可行域→（在边界上）找到最优解）．3．二元整数线性规划问题如何解决？4．——S1：求非整数线性规划问题的最优解（对应着点A）；S2：画出过点A的目标函数图象（直线），在可行域内，找到与的距离最小的整点，此整点的坐标即二元整数线性规划问题的最优解．五课后作业苏大·测试反馈：29简单的线性规划问题⑴。
苏教版高中数学必修5-3.3《简单的线性规划问题(二)》参考学案
简单的线性规划问题（二）一、自主学习学习目标：1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；2.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．学习重点：将实际问题转化为线性规划问题求解（建立线性规划模型）学习难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．学习方法：通过实例学习，感受线性规划中的建模问题，培养应用数学的能力。
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．二、学习过程问题一：（1）线性规划及其有关概念是什么？（2）解线性规划问题的一般方法和步骤是什么？问题二：前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？下面通过以下事例，了解有关线性规划问题。
例1 （教材例1）投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解．例2（教材例2）某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.3.3 简单的线性规划问题》32
《简单的线性规划问题》教学设计一、教材分析。
普通高中课程标准实验教科书（苏教版）必修5第三章简单的线性规划问题，这是一堂关于简单线性规划的“问题教学”。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用叫广泛的一个分支。
它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划关心的两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最好的任务；二是给定一项任务应如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。
教科书利用生产安排的具体实例，介绍而来线性规划问题的图解法，引用线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在运输等生产实际的应用。
二、学生情况分析。
本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。
三、设计思想。
本课是一节复习课，首先让学生自己梳理知识点，各小组进行补充完善。
以三个例题为例，让学生自己出题，条件不变，目标函数进行修改，主要是线性函数型，距离型，斜率型，在出题改题的过程中，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。
注重引导帮助学生充分应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。
四、教学目标。
（一）知识与技能了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值。
（二）过程与方法本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将数学中的线性规划问题进行归类合并。
考虑到学生的知识水平和消化能力，真正体现数学的工具性。
（三）情感、态度与价值观渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣。
苏教版必修5高中数学3.3.3简单的线性规划问题word导学案2
课题：简单的线性规划问题（2）导教案班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、可以将实质问题抽象归纳为线性问题；2、能用线性规划的知识知识解决实质问题的能力．【课前预习】x y21．已知x，y知足x2，则x 2y2的最小值是 __________．y2x y 20，则y的最大值是 __________ ．2．设实数x，y知足y1x4xx y3 3．已知x，y知足拘束条件x1，则y1的最大值是 __________ ．y1x1【讲堂商讨】例 1、投资生产A产品时，每生产100t需要资本200万元，需场所200m2，可获收益300万元；投资生产 B 产品时，每生产100m需资本 300 万元，需场所100m2，可获收益 200 万元，现某单位可使用资本1400万元，场所900m2，问：应作如何的组合投资，可使赢利最大？例 2、某运输企业向某地域运送物质，每日起码运送180 t．该企业有8辆载重为6 t的A 型卡车与数为 A型车4 辆载重为 10 t 的B 型卡车，有 10名驾驶员．每辆卡车每日来回次4 次，B 型车 3 次．每辆卡车每日来回的成本费 A 型车为 320 元，B型车为 504元．试为该企业设计分配车辆方案，使企业花销的成本最低．课题：简单的线性规划问题（2）检测案班级：姓名：学号：第学习小组【讲堂检测】1．要将两种大小不一样的钢板截成A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数以下表示：规格种类A 规格B规格 C 规格钢板种类第一种钢板211第二种钢板123今需 A、 B、C 三种规格的成品分别为15， 18， 27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．2、若点P知足(x 2 y 1)( x y 3 0) ，求P到原点的最小距离．【课后稳固】1份苹1．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料主要西方是每3份李子汁加果汁，乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每日能获取的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的收益是生产1L 甲种饮料得 3 元，生产 1L乙种饮料得 4 元．那么厂方每日生产甲、乙两种饮料各多少，才能赢利最大？2．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每日每艘轮船和每架飞机运输效率以下表示：轮船运输费(t)飞机运输费(t)粮食300150石油250100此刻要在一天内运输2000 吨粮食和1500 吨石油，需起码安排多少艘轮船和多少架飞机？1 x y 4 4．设实数x，y知足不等式组2．y2x 3 y 2（1）求作此不等式组表示的平面地区；（2）设a1，求函数 f ( x，y)y ax 的最大值和最小值．。
高中数 3.3.3简单的线性规划问题(1)导案 苏教必修5
3．求 的最大值和最小值，其中 满足约束条件 ．
4．非负实数 满足 ，求 的最大值．
5．已知 满足约束条件 ，
（1）求 的最小值；（2）求 的最小值；
（3）求 的最大值；（4）求 的最大值．
6．已知函数 在区间[－1，2]上是恒为负值，求 的最大值．
课题：3.3.3简单的线性规划问题（1）导学案
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；
2、掌握简单的二元线性规划问题的解法．
【课前预习】
某工厂生产甲、乙两种产品，生产 吨甲种产品需要 种原料 吨、 种原料 吨，产生的利润为 万元；生产 吨乙种产品需要 种原料 吨、 种原料 吨，产生的利润为 万元．现有库存 种原料 吨、 种原料 吨，如何安排生产才能使利润最大？
例2、设变量 满足条件 ，求 的最大值．
例3、（1）已知 ，则目标函数 的最大值是___________；
（2）已知 ，则 的取值范（3）已知 ，且 ，则 的最小值为___________．
课题：3.3.3简单的线性规划问题（1）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
1．约束条件：_________________________________________；
2．目标函数：_________________________________________；
它的几何意义：__________________________________________________________；
3．可行域：___________________________________________；
苏教版数学高二苏教版必修5学案 简单的线性规划问题(一)
3．3.3 简单的线性规划问题(一)明目标、知重点 1.了解线性规划的意义.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．1．线性规划中的基本概念(1)约束条件：变量x ，y 满足的一组条件．(2)线性约束条件：由x ，y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组． (3)目标函数：欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． (4)线性目标函数：目标函数是关于x ，y 的二元一次解析式． (5)可行域：作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域． (6)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 2．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．[情境导学]已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x ，y 的范围，再分别求出2x 及－3y 的范围，然后相加得2x －3y 的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x ，y 的取值范围扩大，得出错误的2x －3y 的取值范围．如果把1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3看作变量x ，y 满足的条件，把求2x －3y 的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z ＝2x －3y 的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题． 探究点一 求目标函数的最大值或最小值思考1 经过这几节的学习，你认为本章第3.3节开始提出的问题实质上是什么问题？ 答 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0下，如何探求目标函数P ＝2x ＋y 的最大值？思考2 目标函数P ＝2x ＋y 的几何意义是什么？答 将目标函数P ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋P ，它表示斜率为－2，在y 轴上的截距为P 的一条直线．思考3怎样求目标函数P＝2x＋y的最大值？答如图所示，平移直线y＝－2x＋P，当它经过两直线4x＋y＝10与4x＋3y＝20的交点A(1.25,5)时，直线在y轴上的截距P最大．因此，当x＝1.25，y＝5时，目标函数取得最大值2×1.25＋5＝7.5，即甲、乙两种产品分别生产1.25 t和5 t时，可获得最大利润7.5万元．小结(1)作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域．(2)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．探究点二生活中的线性规划问题例1投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200 m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100 m2，可获利润200万元．现某单位可使用资金1 400万元，场地900 m2，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？解设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y≤14，2x＋y≤9，x≥0，y≥0，目标函数为S＝3x＋2y.作出可行域如图所示，将目标函数S＝3x＋2y变形为y＝－32x＋S2，这是斜率为－32，随S变化的一族直线.S2是直线在y轴上的截距，当S2最大时S最大，但直线要与可行域相交．由图可知，使3x＋2y取得最大值(x，y)是两直线2x＋y＝9与2x＋3y＝14的交点(3.25,2.5)．此时S＝3×3.25＋2×2.5＝14.75.答 生产A 产品325 t ，生产B 产品250 t 时，获利最大，且最大利润为1 475万元． 反思与感悟 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，目标函数的最值一般在可行域的边界上取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．跟踪训练1 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．答案 3解析 作出可行域如图所示，把z ＝x －2y 变形为y ＝x 2－z 2，得到斜率为12，在y 轴上的截距为－z 2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝x 2－z 2经过点A 时，－z2最小，即z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y －2＝0，得A 点坐标为(1，－1)，所以z max ＝1－2×(－1)＝3.例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180 t ．该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低．解 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司花费成本z 元，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，4x ×6＋3y ×10≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈Z .目标函数为z ＝320x ＋504y . 作出可行域如图所示，当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值． 由于(7.5,0)不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低．反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．跟踪训练2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg? 食物/kg 碳水化合物/kg蛋白质/kg 脂肪/kg A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07解设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.0750.07x ＋0.14y ≥0.060.14x ＋0.07y ≥0.06x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥57x ＋14y ≥614x ＋7y ≥6x ≥0y ≥0目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z 21，它表示斜率为－43且随z 变化的一族平行直线.z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小．如图可见，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6得M 点的坐标为x ＝17，y ＝47.所以z min ＝28x ＋21y ＝16.答 每天食用食物A 约143 g ，食物B 约571 g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是________．答案 53解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值是________． 答案 2解析 可行域如图所示，∵z ＝x ＋2y ，∴y ＝－x 2＋z2，∵－12>－1，∴当直线z ＝x ＋2y 经过点B (0,1)时，z 取到最大值，且z max ＝2.4．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为________．(填序号)①－3；②3；③－1；④1 答案 ①解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.[呈重点、现规律]1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．一、基础过关1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________． 答案 －6解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6.2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．答案 9解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)， ∴z max ＝4＋5＝9.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为________．答案 －7解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________． 答案 3，－11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．6．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12，x＋y≤10，3x＋y≥12下，求z＝2x－y的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12，x＋y≤10，3x＋y≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即z max＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即z min＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min＝－7.7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．二、能力提升8．已知a>0，x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x＋y≤3，y≥a(x－3)，若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.答案12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝a(x－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝－2a，∴z min＝2－2a＝1，解得a＝12.9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM→·OA→的最大值为________．答案4解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，y≤2，x≤2y，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝OM→·OA→＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)代入z＝2x＋y得z的最大值为4.10．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．解作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z＝2x－3y，变形得y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随z变化的一族平行直线．－13z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z＝2x－3y取得最小值．由图可见，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＝－1x＋y＝5得A的坐标为(2,3)，∴z min＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＝3x＋y＝1得B的坐标为(2，－1)．∴z max＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x－3y≤7，即2x－3y的取值范围是[－5,7]．11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，500x＋200y≤90 000，x≥0，y≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.目标函数为z＝3 000x＋2 000y.作出可行域如图所示：作直线l：3 000x＋2 000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，由图可知当l过点M时，目标函数z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝300，5x＋2y＝900.得M(100,200)．∴z max＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．三、探究与拓展12．如果点P在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，2y－1≥0上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求PQ的最小值．解画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，PQ 取最小值32.。
高中数学 3.3.3《简单的线性规划问题(1)》教案苏教版必修5
第 7 课时：§简单的线性规划问题〔1〕[三维目标]：一、知识与技能1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大〔小〕值4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模〞和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。
二、过程与方法1.本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
2.考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正表达数学的工具性。
同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性三、情感、态度与价值观1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，激励学生创新2.渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合〞的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣[教学重点与难点]：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解[学法与教学用具]：1. 学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合〞的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系2. 教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材[授课类型]：新授课[课时安排]：1课时[教学思路]：一、创设情景，揭示课题1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2.问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二、研探新知1. 基本概念对于在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，假设2P x y =+，式中变量x 、y 满足上面不等式组，那么不等式组叫做变量x 、y 的约束条件，2P x y =+叫做目标函数；又因为这里的2P x y =+是关于变量x 、y 的一次解析式，所以又称为线性目标函数。
苏教版高中数学必修五3.3.3 简单的线性规划问题(一).docx
3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数关于x ，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 约束条件表示的平面区域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在__________条件下的最大值或最小值问题一、填空题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为________．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为________．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．4．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为____________． 6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．7．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则AB 的最小值为________．二、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理 线性约束 作业设计 1．9解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2. 10解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10. 3．7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 4．(3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 5．2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.6．3 －11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.7．f (t )＝－t 2＋t ＋12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC ＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.8．4解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求(AB )min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求． 经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴(AB )min ＝4.9．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时， －z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7. ∴z max ＝17，z min ＝－7. 10．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25， z min ＝|OC |2＝5.11．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即OP 2，最大值为OA 2，其中A (4,10)，OP ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，OA ＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.。
2019届高一数学苏教版必修5学案：3.3.3 简单的线性规划问题
3.3.3 简单的线性规划问题1．了解线性规划的意义．2．了解线性规划的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．(重点) 3．会利用线性规划求目标函数的最值．(难点)[基础·初探]教材整理 线性规划的有关概念 阅读教材P 87～P 89，完成下列问题． 1．可行域：约束条件所表示的平面区域．2．最优解：在约束条件下，使目标函数取得最大值、最小值的解． 3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为________．【解析】 可行域为直角三角形ABC (如图)，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，由图象可知， 当直线y ＝－2x ＋z 过点B (2,0)和点A (1,0)时， z 分别取到最大值4和最小值2. 【答案】 4,22．在约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≤1，x ≥0下，目标函数z ＝10x ＋y 的最优解是________．【解析】 作可行域如图，平移直线y ＝－10x 可知，z ＝10x ＋y 的最优解是(1,0)，(0，－1)．【答案】 (1,0)，(0，－1)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．【精彩点拨】【自主解答】(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图(1)所示．(1)由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一族平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图(2)所示．(2)由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一族平行线．由上图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＝4， ∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.求线性目标函数的最大(小)值的两种基本题型：(1)目标函数z ＝Ax ＋By ＋C ，当B >0时，z 的值随直线在y 轴上截距的增大而增大．(2)目标函数z ＝Ax ＋By ＋C ，当B <0时，z 的值随直线在y 轴上截距的增大而减小．提醒：将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．[再练一题]1．(2015·福建高考改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于________．【解析】 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0 得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52. 【答案】 －52A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．【精彩点拨】 根据题目设出未知数，列出线性约束条件．设出目标函数，画出可行域，利用平移法求目标函数的最大值．【自主解答】 设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系则有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18.目标函数z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图所示．把z ＝5x ＋3y 变形为y ＝－53x ＋z 3得到斜率为－53，在y 轴上的截距为z3，随z 变化的一族平行直线，由图可以看出，当直线y ＝－53x ＋z3经过可行域上的A 点时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，得A 的坐标为x ＝3，y ＝4，∴z max ＝5×3＋3×4＝27. 故可获得最大利润为27万元．解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺；(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．[再练一题]2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移． 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．[探究共研型]探究1 设P (x ，y )是可行域内的任意一点，则目标函数z ＝a x ＋b 的几何意义是什么？z ＝yx呢？【提示】 z ＝y ＋a x ＋b＝y －(－a )x －(－b )表示可行域内的点(x ，y )与点(－b ，－a )连线的斜率，z ＝y x ＝y －0x －0表示可行域内的点(0,0)与点(x ，y )连线的斜率．探究2 设P (x ，y )是可行域内的任意一点，则目标函数z ＝(x －a )2＋(y －b )2的几何意义是什么？z ＝x 2＋y 2呢？【提示】 z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域内的点(x ，y )与(a ，b )间的距离的平方的最值，z ＝x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)间的距离．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，(1)求ω＝y －1x ＋1的取值范围；(2)求ω＝(x －2)2＋(y －2)2的取值范围．【精彩点拨】 (1)ω＝y －1x ＋1表示的是可行域内的点与(－1,1)点连线的斜率．(2)ω＝(x －2)2＋(y －2)2表示的是可行域内的点与(2,2)点的距离．【自主解答】(1)先作出可行域(如图)，目标函数表示的是可行域中P (x ，y )与M (－1,1)连线的斜率，由图形易求得k MA ＝－12.当P 在可行域中很远很远的地方时，k MP 有一种与直线x －y ＝0的斜率1相等的趋势，但是永远也取不到1，因此ω＝y －1x ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.(2)ω＝(x －2)2＋(y －2)2表示的是可行域中的点到(2,2)的距离，而(2,2)又在可行域中，且恰为直线x －y ＝0与2x －y －2＝0的交点，因此ωmin ＝0，无最大值．故ω＝(x －2)2＋(y －2)2的取值范围是[0，＋∞)．非线性目标函数最值问题的求解方法1．非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．2．常见代数式的几何意义主要有： (1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[再练一题]3．已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【导学号：91730063】【解】 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322， ∴MN 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3222＝92， ∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38， ∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.[构建·体系]1．图3-3-7中阴影部分的点满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y ，取得最大值的点的坐标是________．图3-3-7【解析】 由z ＝6x ＋8y ，变形为y ＝－34x ＋z 8，得到斜率为－34，在y 轴上截距为z8，随z 变化的一族平行直线，由题图可知，过(0,5)点时， z ＝6x ＋8y 取最大值．【答案】 (0,5)2．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.【答案】 103．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是________．【解析】 画出可行域，如图所示．由图可知，当目标函数过A 点时有最大值；过B 点时有最小值．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝8，2y －x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，故A (4,4)；对x ＋y ＝8，令y ＝0，则x ＝8，故B (8,0)，所以a ＝5×4－4＝16，b ＝5×0－8＝－8，则a －b ＝16－(－8)＝24.【答案】 244．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________．(1)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱； (2)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱； (3)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱； (4)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱．【解析】 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．【答案】 (2)5．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0表示的公共区域如图阴影所示：其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)，设z＝4x－3y.直线4x－3y＝0经过原点(0,0)．作一族与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t.则当l过C点时，t值最小；当l过B点时，t值最大．∴z最大值＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z最小值＝4×(－3)－3×2＝－18.故4x－3y的最大值为14，最小值为－18.(2)设u＝x2＋y2，则u为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的区域，不难知道：点B到原点的距离最大；而当(x，y)在原点时，距离为0.∴u最大值＝(－1)2＋(－6)2＝37，u最小值＝0，x2＋y2的最大值为37，最小值为0.我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 画出可行域(如图所示)．∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值． 由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得B (1,1)， ∴z max ＝3×1＋1＝4. 【答案】 42．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．【解析】 画出可行域，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝2，解得A (－2,2)， 设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值， 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6. 【答案】 －63．给出平面区域如图3-3-8所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．图3-3-8【解析】 由于直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a <0，因此，要使z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，这些解必在线段AC 上．∴－a ＝－35，即a ＝35. 【答案】 354．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，x ≤2，则yx 的取值范围是________.【导学号：91730064】【解析】 y x 可看作可行域中的点与原点构成直线的斜率，结合图形可解，yx ≥k OA ＝32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞5．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________．【解析】设租A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 在点N (5,12)处取得最小值36 800.【答案】 36 8006．设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255<1，故最小距离为255. 【答案】2557．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．【解析】 由已知不等式组作可行域，如图阴影部分所示，令x ＋2y ＝k ， 则y ＝－12x ＋k2，问题由求k 的最小值转化为求直线y ＝－12x ＋k2的纵截距的最小值． 显然当直线y ＝－12x ＋k2过原点O 时，截距最小，此时k min ＝0，z ＝3x ＋2y 的最小值为1.【答案】 18．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥2，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.【解析】 画出可行域如图．其中A (2,3)，B (2,0)，C (4,4)．当k ＝0时，显然不符合题意；当k >0时，最大值在点C 处取得，此时12＝4k ＋4，即k ＝2；当k <0时，最大值在点A 处或C 处取得，此时12＝2k ＋3或12＝4k ＋4，即k ＝92>0(舍)或k ＝2>0(舍)，故k ＝2.【答案】 2 二、解答题9．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －ay －1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1(a ∈R )，目标函数z ＝x＋3y 只有当⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0时取得最大值，求a 的取值范围．【解】 直线x －ay －1＝0过定点(1,0)，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ≤1，让直线x －ay －1＝0绕着(1,0)旋转得到不等式所表示的平面区域．平移直线x ＋3y ＝0，观察图象知必须使直线x －ay －1＝0的斜率1a >0才满足要求，故a >0.10．某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．[能力提升]1．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于________．【解析】 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点A (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12.【答案】 122．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 作可行域如图所示，设z ＝ax ＋y ，若a ≤0，平移可知不成立，故a >0，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，得B (2,1)，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＝1，得A (1,0)，由a ×1＋0＝1得a ＝1，由a ×2＋1＝4得a ＝32，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．【解析】由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时， z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.【答案】 44．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB→＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 【解】 (1)法一 ∵P A →＋PB→＋PC →＝0， 又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵P A →＋PB→＋PC →＝0，则(OA→－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP→＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)， ∴|OP→|＝2 2. (2)∵OP→＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。
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§3.3.3 简单的线性规划问题 第 课时 班级__________ 姓名_________
【学习目标】
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数；
3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值．
【重点难点】
培养学生从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题．
【学习过程】
一、 自主学习与交流反馈
1．线性条件与线性约束条件：
2．目标函数与线性目标函数：
3．可行域：
4．线性规划：
二、新知学习与重难点突破：
例1 在约束条件41043200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩
下，求目标函数P = 2x + y 的最大值.
例2 设变量x , y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈≤+≤+0
,0,1141023y x Z
y x y x y x ，求S=5x+4y 的最大值.
例3 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解
例4 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
小结：解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解．
三、巩固练习：
1．若0,0≥≥y x ，且1≤+y x ，则y x z -=的最大值是__________________．
2．设y x z -=，其中y x ,满足条件⎩⎨
⎧≥-≥-+,
02,03y x y x 则z 的最小值是____________．
3．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 所表示的平面区域内运动，则y x z -=的
取值范围是________________．
4．已知实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+0
,
0,03,32y x y x y x ，求y x 3+的最大值．。