割补法求几何体体积

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割补法求体积的灵活运用

割补法求体积的灵活运用
作者：梁爽
来源：《成才之路》 2013年第13期
体积在立体几何教学中占有一定的地位。

对于不规则的几何体，我们如何去求呢？其实，不规则的几何体，皆可以采用割补法，分割成一些简单的规则的几何体，然后再用熟悉的方法去解决。

割补思想，是高中数学立体几何中重要的解题思想方法。

通过割补，可以将一些复杂的问题简单化。

解题时，要让学生注重一题多解，注重方法的灵活运用。

解法二：如图3，过点E、F 分别作垂直于平面ABCD的平面，交线PQ、MN 都垂直AB。

∵DC=3EF=3/2，∴PM=
割成柱体或者锥体，锥体转换底面积法求体积。

补成柱体，利用柱体和锥体体积之间的关系求解。

割补法，在求几何体的体积的题型中非常常见。

一般来说，“割”是把柱体割成锥体，“补”是把锥体补成柱体。

比如多面体可以割成柱
体和锥体，锥体可以补成柱体。

三棱锥和平行六面体，则可以用转换底面积法求体积。

解题时，要让学生注意已知条件的灵活运用。

这样，可以培养学生空间想象能力，提高学生综合素质。

（辽宁省大连市普兰店市第三十八中学）。

2022年高考数学必刷压轴题专题55割补法与等积变换求解体积问题含解析

专题55 割补法与等积变换求解体积问题【方法点拨】1. 利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.2. 利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”. 【典型题示例】例1 在正方体AAAA −A 1A 1A 1A 1中，动点E 在棱AA 1上，动点F 在线段A 1A 1上，O 为底面ABCD 的中心，若AA =A ，A 1A =A ，则四面体A −AAA 的体积( )A. 与x ，y 都有关B. 与x ，y 都无关C. 与x 有关，与y 无关D. 与y 有关，与x 无关【答案】B【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.【解析】易知，11A C 平面AOE ，故四面体O AEF -即四面体F AOE -与四面体1A AOE -同底等高，即1=O AEF A AOE V V --四面体四面体同理，1BB 平面1AA O ，故四面体1A AOE -即四面体1E AA O -与四面体1B AA O -同底等高，即11=A AOE B AA O V V --四面体四面体所以11==O AEF B B AA O O AA V V V ---四面体四面体四面体，故与x ，y 都无关.例2 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（）A ．3B ．3C ．23D ．43【答案】A【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【解析】在EF 上取点,M N 使12EM FN ==，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE 、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，2MA MD NB NC ====，几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+1111121132223=⨯⨯⨯+⨯=，故选：A例 3 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为262cm ，从而四棱锥D D BB A 11-的体积3132626cm 32V =⨯⨯=. 例4 如下图，四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，,2,1====AB BC DC PD︒=∠90,//BCD DC AB ，则点A 到平面PBC 的距离为 .【答案】.2【分析】先证明BC PC ⊥，而所求点A 到平面PBC 的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥ABC P -的体积即可.【解析】因为⊥PD 平面ABCD ,⊂BC 平面ABCD ,所以BC PD ⊥.由 90=∠BCD ,得.DC BC ⊥又D DC PD = ,⊂PD 平面PCD ,⊂DC 平面PCD ,所以⊥BC 平面PCD , 因为⊂PC 平面PCD ,所以BC PC ⊥. 连结AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .因为DC AB //, 90=∠BCD ,所以.90 =∠ABC 从而由1,2==BC AB , 得ABC ∆的面积1=∆ABC S .由⊥PD 平面ABCD 及1=PD ,得三棱锥ABC P - 的体积⋅=⋅=∆3131PD S V ABC 因为⊥PD 平面⊂DC ABCD ,平面ABCD , 所以DC PD ⊥,又1==DC PD ,所以222=+=DC PD PC由BC PC ⊥,1=BC ,得PBC ∆的面积22=∆PBC S , 由h S V PBC ∆=313122.31=⋅=h ,得.2=h 因此．点A 到平面PBC 的距离为.2BA CD 1B 1A 1C 1D EF【巩固训练】1.如下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11B ABD -的体积为 cm 32.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2cm AB =，E 为11C D 的中点，则三棱锥1E A BC -的体积为 cm 3．1111ABCD A B C D -的体积为3.如图，已知正四棱柱36，点E ，F 分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ，则四棱锥1A AEFD -的体积为．4．如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEF A -的体积是2，则四棱锥ECDF B -的体积为．5.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝AA 1 B不C不B 1不C 1不D 1不D不F ED CB A6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是．6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．7.在直三棱柱111 ABC A B C -中，1AB =，2BC =，3AC =，11AA =.则1B 到面1 A BC 的距离为 .ABC C B A -111F E D ，，1AA AC AB ，，ADE F -1V ABC C B A -1112V =21:V VABCA 1B 1FC 1E ABC1ADE F1B1C【答案与提示】1.【答案】1【提示】直接使用等体积法. 2.【答案】23【提示】直接使用等体积法. 3.【答案】12【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥1A ABCD -的体积；【解析二】连接DE ，则三菱锥1A ADE -与三菱锥1A DEF -体积相等，所以1112=2A AEFD A ADE E A AD V V V ---=，因为111111=6E A AD ABCD A B C D V V --，所以112A AEFD V -=.【解析三】补体，如右图. 4．【答案】10【解析】补体，转化为三菱锥BEF A -与三棱锥BCD A -的体积比，实施等积变换.A BEFB AEF AEF A BCDB ACDACDV V S V V S----==，因为1sin 1216sin 2AEF ACDAE AF AS SAC AD A⋅⋅==⋅⋅，V =总612A BEF V -=，则四棱锥B ECDF -的体积为10. 5.【答案】38【提示】直接使用等体积法. 6. 【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -ABC A -1ABC A -1ABC C B A -111ADEF -与三棱柱的体积之比为1：24． 7.. 【解析】因为三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A BB -的底面积相等()111A ABA B BSS=，高也相等（点C 到平面11ABB A 的距离）；所以三棱锥1 C A AB -与三棱锥11 C A B B -的体积相等.又11111133C A AB A ABC ABC V V S AA --==⋅==所以1111C A B B B A BC V V --==. 设1 B 到面1 A BC 的距离为H ，则11113B A BC A BC V S H -==，解得H =. ABC C B A -111。

用割补法求几何体的体积

用割补法求几何体的体积――培养学生的空间想象能力内容提要：本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

关键字：割补法空间想象能力在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:① 几何体的“分割”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

用割补法求几何体的体积

特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。

空间想象能力的提高必定AB要经过实际的训练，途径也有很多种。

本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。

② 几何体的“补形”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积例题一：已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

【思路一】作BC 的中点D ，连接PD 、过P 作AD PH ⊥，垂足H易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-31即得三棱锥ABC P -的体积。

求解空间几何体体积问题的两种途径

空间几何体的体积问题侧重于考查棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式的应用，这类问题对同学们的空间想象和逻辑推理能力有较高的要求.有些空间几何体体积问题较为复杂，很多同学不知如何求解.本文介绍两种求解此类问题的途径.一、割补图形有些几何体为不规则图形，或无法直接求得几何体的底面和高，此时直接运用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式，很难求得几何体的体积，需将几何体进行适当的分割、填补，将其构造成规则的棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，以便利用棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式求解.1.分割图形有些图形是由多个棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球等拼接而成的，无法直接求得几何体的底面和高，此时可采用割补法，将几何图形分割为几个简单空间几何体，如棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球，然后根据棱锥、棱柱、棱台、圆柱、圆台、圆锥、球的体积公式分别求出分割后几何体的体积，最后把所得的结果相加，即可得到不规则几何体的体积.例1.如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=3,PA，BC的公垂线ED=2,求三棱锥P-ABC体积.图1图2解：如图2，连接PD、AD，∵PA⊥BC，ED⊥BC，ED⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，∴V P-ABC=V B-PAD+V C-PAD=13∙S△PAD∙()CD+BD=13×æèöø12×3×2×3=1，∴三棱锥P-ABC体积为1.我们无法直接运用公式求出三棱锥P-ABC的体积，于是采用割补法，通过添加辅助线，将三棱锥P-ABC分割为两个直三棱锥B-APD和C-APD,再根据直三棱锥的体积公式进行求解即可.例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为棱AA1和CC1的中点，求几何体A1-EBFD1的体积.解：连接A1F、A1B、EF、ED1、BF,由图3可知几何体A1-EBFD1被分割为三棱锥B-A1EF和三棱锥D1-A1EF两部分，图3∵△BEF≌△D1EF,∴V A1-EBFD1=V A1-BEF+V A1-D1EF=2V A1-D1EF=2V F-A1ED1=2×13×CD×S△A1ED1=16，∴几何体A1-EBFD1的体积为16.几何体A1-EBFD1为不规则几何体，需运用割补法，把该几何体分割为三棱锥B-A1EF和三棱锥D1-A1EF，然后根据锥体的体积公式求出两个三棱锥的体积，最后将所得结果相加，即可求得几何体的体积.2.填补图形有些几何体是从一个大的规则几何体中挖去一考点透视36图4图5解：如图5所示，延长ON与平面ABCD交于点P，∴VO-MNB=V O-MBP-V N-MBP，∵点N是边长CC1的中点，∴VO-MBP=2V N-MBP，∴V O-MNB=V N-MBP，由题意可得MB=5,CP=2,BP=10,72，图6图7图8是BC的中点，=90°，PM=1,CN=12BCPCMN是正方形，平面ABC，=V A-PCM=V A-MNC=V M-ACN=13×12AC∙CN sin120°∙MN考点透视考点透视图9由题意可得，。

定积分割补法求体积

定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。

首先，我们需要理解旋转体的形成。

考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。

当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。

旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。

现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。

定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。

具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。

在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。

计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。

将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。

最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。

利用“割补法”求几何体体积

利用“割补法”求几何体体积
孟铁军
【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】1999(000)002
【摘要】"割补法"求几何体的体积是一种重要的方法,其基本思想是,把复杂几何体延伸或加补,构成简单几何体,或复杂几何体切割成简单几何体,下面举例说明此法的应用。

在教材中推导三棱锥的体积公式 V三棱锥=1/3S底h就是把三棱锥通过补形转化为三棱柱,然后再分割成三个等积的三棱锥而推出的,在此不再重述。

例1.如图1,在三棱锥 P—ABC 中,已知
PA⊥BC,PA=BC=1,PA、BC公垂线 ED=h,求证:三棱锥 P—ABC 的体积
V=1/612h。

（87年高考题）1.割法
【总页数】2页(P80-81)
【作者】孟铁军
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.拼接巧处理,找外接球的球心——立体几何第一章空间几何体的表面积和体积中求多面体外接球的处理办法总结 [J], 高映俊;
2.拼接巧处理,找外接球的球心——立体几何第一章空间几何体的表面积和体积中
求多面体外接球的处理办法总结 [J], 高映俊;
3.割补法求体积的灵活运用 [J], 梁爽
4.求体积常用的数学思想——割补法 [J], 钱溧芬
5.四种方法求空间几何体的体积 [J], 廖庆伟
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割补法求多面体体积

A1
D A
问：四面体ABCD中，三组对棱分别 D 相等，且分别为BD=AC=2 5, AD=BC = 13 ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。
A
C1 B1
C B
B C
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
解：将该四棱柱补上一个三棱柱 VACDN和四棱锥VA-BCNB1 得多面体VABCD-MNB1的体积刚好为正方体体积一半又VA-CDN=1/3*S△NCD=1/12a3 VA-BCNB1=1/3*a*S△NCBB1 =1/4a3 故 VA- MB1ND =1/2a3-1/4a3-1/12a3 =1/6a3
E
F
H
D
C
A
G
B
例3.如图所示ABCD为边长为3的正方形，EF到面ABCD的距离 h为2，面EAD⊥面ABCD且EF//AB，EF=3/2，求此多面体体积。
E
F
G
D
C
A
B
问：EF作如图水平移动时，此多面体的体积如何变化？
（三）小结 1、有关的计算公式无法直接运用 2、条件中的已知元素彼此离散通
则平行六面体ABB1A1-CDD1C1的体积为aS
所以三棱柱VABC-A1B1C1=
1 aS
2
例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。
A B
A1 B1
C C1
解：连CA1,CB1,
则VC-A1B1C1=
1 3
VABC-A1B1C1,
D1
a 故

割补法求几何体体积(精)

割补法求几何体体积奉贤区致远高级中学周叶青一、教学目标（一）知识目标（1）对割补法在求几何体体积之中的作用有一定的了解和认识（2）能对几何体进行简单的拼补或切割以达到求几何体体积的目的（二）能力目标学生在由教师以课件形式提供的问题情境及解决问题的提示、帮助下，通过独立思考，小组讨论等方法，自主探索问题的答案，以提高学生的空间想象力及自主学习，协作交流的能力；通过学生自己总结解题思路及解题要点，可提高他们的分析问题、迅速构建问题框架、及时提出解题方案、并准确用语言表达等综合能力。

（三）情感目标情感是教学的润滑剂，通过学生自主学习，自主探索，加强同学之间的交流。

使他们真正体验到主动学习、合作学习的愉悦，体验到成功的快乐，促使他们乐学，会学，从而达到学会的目的。

二、教学重难点●重点：割补法 [对几何体进行拼补与切割，是提高学生空间想象力的一种很好的练习方法]●难点：灵活割补，简化解题 [对几何体进行拼补或切割的最终目的是为了“转”，而如何根据已知条件，恰当地对几何体进行拼补或切割是初学者难以准确把握的突破难点的方法：(1)动画演示切割或拼补的过程;(2)一题多解,反复进行割补的训练,了解割或补的本质;三、教学思想与教学方法1．教学思想建构主义理论强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的构建者。

而合理恰当的运用现代信息技术，为学生的创造，提供一种“自主发现，自主探索”的环境，正与这种理论主张想吻合。

2．教学方法在教学过程中，由教师创设问题情境，学生通过自己的思考，同学间的讨论，或在多媒体课件的帮助下，找出解决问题的办法。

最终得出结论。

然后，由教师引导学生总结，提炼。

四、教学过程（一）复习提问（1）让学生根据课件，回顾三棱锥体积公式的推导过程；（2）提问该公式推导过程中的主要数学思想；（二）导入课题上节课，我们通过把一个三棱锥先补成三棱柱，再把三棱柱分割成三个等底等高的三棱锥的方法，把求棱锥的体积转化为求棱柱的体积，体现了数学几何问题中“割、补、转”的思想方法。

体积割补法

1 体积割补法
把一个不规则的几何体通过割或补的办法，转化为一个或几个规则几何体的体积运算是常见的体积求解手段．
例1 将3个边长为12cm 的正方形沿邻边中点剪开分成两部分，将这6
个部分接在一个边长为的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为 .
（2005,上海交大自招）
解如图2所示，所得的多面体相当于将三条侧棱两两垂直的正三棱锥V ABC -截去三个
角123V ADI V BEF V CGH ---、、，这三个小三棱锥都与棱锥V ABC -相似，相似比为13
，
又18.VA VB VC === 所以多面体体积3
33111813864.63V cm ⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
【评注】本题通过把不规则几何体补成正三棱锥来解决的，如果像图3所示那样补成正方体，解法更为简单快捷，所得多面体体积正好是边长为12cm 的正方体体积的一半．
1
图 A
C
2图K
H
A
1
A 1
C 3
图。

非常好的课件利用割补法解立体几何中的问题

在△AC1B2中，有余弦定理得：
B2
cos AC1B2
AC12 C1B22 AB22 2 • AC1 • C1B2
48 65
0
∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.
其值为：arccos
48 65
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
2. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C
A1 C1
A2 C2
B
如图,补一个相同的直三棱柱,
连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
S 底面积： ADN
1 2
•a
•
a 2
a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN
1 3
•
a2 4
•
a
1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
4、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
求：四面体 ABCD 的体积.
A
D E
B
复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积
01
时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对
几何体的观察角度，以得到最佳求积法.
在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙
02
地解决很多问题.

必修二—立体几何体积计算的五种方法

体积计算的五种方法方法1.公式法例1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．20+B ．C ．563D 例2．（2020全国1卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.解析：（1）连接,,OA OB OC ，D Q 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥ 平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π=2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 60AC r =，在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==Rt PAO 中，2PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△.方法2.等积转化1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2.尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

转化的目的是为了找到易于计算的：“好底”与“好高”.例3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11BB C C 内的一个动点，则三棱锥1D AED -的体积为_________.例4.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点.若正方体棱长为2，求三棱锥1D AEC -的体积.23三、多面体割，补法求体积1.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥，从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。

割补法求体积

割补法求体积
4cm
8cm 5cm
6cm 15cm
4cm • 补形法：体积=大体积减去小体积 5cm
6cm
4cm
8cm 5cm
6cm 15cm
求如图所示几何体体积
4cm 6cm 15cm 割形法：体积=三个长方体体积之和 4cm 4cm
5cm 8cm
5cm
6cm 15cm
割补法求体积
• 割法：把不规则物体切割成为几个规则物体，通过求这几个规则物体的体积之和，从而求出原物体体积的方法。 • 补法：把把不规则物体修补成为一个规则物体，通过求这个规则物体与补形物体的体积之差，从而求出原物体体积的方法。 • 割法与补法统称割补法，它是求不规则物体体积的又一种方法，其特点是总体不规则，但是部分规则。

割补法求多面体体积

A
例2:三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC,PA=BC=a ,ED⊥PA ED⊥BC,ED=h,求三棱锥的体积。
P E
解：连PD、AD
PA ⊥BC,ED⊥BC,PA∩ED=E
BC⊥面PAD
VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD
A
C
=
1 3
*SΔPAD*BD+
1 3
*SΔPAD*CD
割补法求多面体体积
例1．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面ABB1A1面积为S，它与所对棱CC1的距离为a,求这个三棱柱的体积。
A B
S
A1 B1
C
C1 D1
解：过点B作BD // AC，连CD，过D作DD1 //BB1，连B1D1，C1D1 D 得 S△BCD=S△ABC
故 VABC-A1B1C1=VBCD-B1C1D1 把面ABB1A1看作底面，CC1到面 ABB1A1的距离看作高
D1
a 故
3
12
VA-MB1ND= 2VA-MB1N=2 VN-MAB1=
1 6
3
a 易得：S△MB1ND=
62 2
故点A到面MB1ND的距离
6a
6
例4.如图所示的容器中，ABCD为边长为3的正方形，EF到面 ABCD的距离为2，EF//AB，EF=3/2，顶点F、B、C处各有一小孔，若用此容器盛水，最多可盛多少液体？（容器放置方式可调节）
谢谢您的关注
A1
D A
问：四面体ABCD中，三组对棱分别 D 相等，且分别为BD=AC=2 5, AD=BC = 13 ,AB=CD=5,求三棱锥B-ADC的体积。
A
C1 B1

求体积几种求法及割补法讲解

得三棱锥体积。
（KEY：）3
注意：分割法求体积。
如图：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。
求：此几何体的体积？
分析：
如图：取 CM=AN=BD , 连结 DM , MN , DN.
用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱
由PB=PD=AB=AD=2知，△ABD≌△PBD,因为∠BAD=60°，
所以
BO=1,又
PO2+AO2=PA2，即
PO⊥PAOC,故AO 3,AC 2 3，
PA 6,
由(1)知BOS⊥A平PC 面 12APPOCA，C因此3，
1
11
1
VP
BCE
2 VB
APC
BO 23
S
APC
. 2
如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠BAD=60°,AC∩ BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥,点 M 是棱 BC 的中点,DM=3.
(1)求证:平面 ABC⊥平面 MDO; (2)求三棱锥 M—ABD 的体积.
【解析】(1)∵∠BAD=60°,菱形的边长为 6, ∴OM=OD=3, ∵DM=3,∴∠DOM=90°,OD⊥OM. 又∵折叠前四边形 ABCD 是菱形,∴OD⊥AC. ∵OM∩AC=O,∴OD⊥平面 ABC.
∵OD⊂平面 MDO,∴平面 ABC⊥平面 MDO.
45o
arctan 15 5
A1 D
C1 B1
A1
C1
B1
N
M
A
C
B
A
C
B
注：（1）中利用面面垂直的性质找线面成角。（2）中射影面积公式的应用：S△AB1M•cosα=S△ABC.

割补转化法求几何体的体积

割补转化法求几何体的体积一. “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口,从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段。

通过对该方法的学习与探讨,使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。

方法5：如图，选取BC 的中点D, 连结AD 、PD ，则BC ⊥AD 且BC ⊥PD ∴BC ⊥平面APD ∴V P －ABC ＝V B －APD ＋V C －APD ＝13BC ·S ⊿APD 例2.如图的多面体是过正四棱柱的底面ABCD 的点A 作载面AB 1C 1D 1而截得的，且BB 1=DD 1.已知截面AB 1C 1D 1与底面ABCD 成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（） A ．26 B ．36C ．96D ．66例3．2003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3（B ）4π （C ）π33（D ）π6分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图,将正四面体ABCD 补成立方体,则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为2,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=23,得π3＝球S .选(A).C BACDD 1DA BB 1CC 1例4、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3VC 、4V D 、5V 例5.棱长为1的正方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1 , 在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）A.87 B. 1211 C. 4847 D. 5655 例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，高为3，底面边长为2，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，求四棱锥A －A 1B 1ED 的体积．解：连A 1E ，则S ==∆∆∆ADE DE A E B A S S ,211141S △ABC ，故ADE A DE A A E B A A DE A A ED B A A V V V V V -----==+=111111133＝3·31·41·43·22·3＝433．例7．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD ，V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C例8．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。

高中数学立体几何体积的求解方法

高中数学立体几何体积的求解方法立体几何体积的求解方法在求解立体几何体积时，需要注意一个原则：找到易于求解的底面和高。

其中，椎体是最易考到的题型，尤其是高的求解。

下面介绍四种求解椎体体积的方法：1.直接法：通过点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。

2.转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。

3.分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。

4.向量法：利用空间向量的方法（理科）。

下面列举几个典型例题：1.直接法例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3.求四棱锥B-A1A1C1D的体积。

例2：已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。

变式1：在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1.求三棱锥E-BCF的体积。

变式2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。

求三棱锥P-ABC的体积。

2.转移法例3：已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。

例4：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE。

求三棱锥P-XXX的体积。

变式3：在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。

若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-XXX的体积。

变式4：在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面XXX。