2公式法,十字相乘法

一元二次解法：（1）公式法

【知识要点】

1．计算方法

一，先将方程变为标准形式)0(02

≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。

如何变：

① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算

② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号

③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数

二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c ,△代入公式，即得：2--4=2b b ac x a

±。 【典型例题】

领练：例一

例①4722=-x x 例②

02

122412=+-x x

例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2

2++=--+

例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212

≠=+++-m m mx x m

测试：例二

1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x

3，(2)(3)

56x x --= 4，02222=-+-n m mx x

二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。

方程有两个实数根→△≥0

方程有两个相等的实数根→△＝0

方程有两个不相等的实数根→△＞0

方程没有实数根→△＜0

例三，变式训练

①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2）

2

16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ;

②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ;

③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范

围是 .

④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;

⑤已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且12

x =是方程的根，则a b +的值为 ______________.

⑥若m =______ （m 为整数），方程22

x m x mx m +=-+有整数解.

（2）分解因式法，十字相乘法

【知识要点】

1，分解因式法：将一元二次方程利用因式分解把其变成因式乘积的形式。

① 利用完全平方公式分解（如例一，例二）

② 利用平方差公式分解（如例三，例四）

2，十字相乘法：将二次项，常数项拆开，交叉相乘，结果为一次项的因式分解特殊方法

① 二次项为1的方程（如例五，例六） 注意：一次项，常数项的符号

② 二次项不为1的方程（如例七，例八） 注意：当数字过大时，应用短除法找因数，

大胆尝试。

领练：例一

例①291240x x ++= 例②2

(1)2(1)10x x ---+=

例③22(3)(32)0x x ---= 例④22

4(21)9(2)x x -=-

例⑤2320x x -+= 例⑥22990x x --=

例⑦221527x x -=- 例⑧25521280x x -+=

测试:例二

1，2722420x x -+= 2，22

(3)4(21)x x +=-

3，01262=--x x 4，234(21)0x x ++=

5，2235+750x x -= 6，2

(1)2(1)150x x ----=

变式训练：

领练：例2.①如果二次三项式22

24x mx m ++-是关于x 的完全平方式，那么m = .

②若多项式2x px q ++分解因式的结果是()(),x m x n ++则方程2

0x px q ++= 的根为

③在等腰三角形ABC 中8,,BC AB AC =的长是关于x 的方程2

100x x m -+=的两个根,则m =

领练：例3.分别根据下面的条件求m 的值：

①方程2(2)40x m x -++=有一个根为1-；

③方程2310mx x -+=有两个不相等的实数根；

④方程2420mx x ++=没有实数根；

⑤方程2

20x x m --=有实数根.

领练：例4.

①试证：关于x 的一元二次方程2(1)2(2)0x a x a +++-=一定有两个不相等的实数根.

领练：②已知,αβ是关于x 的方程20x px q ++=的两个不相等的实数根，且32230,ααβαββ--+=求证：0,0.p q =<

领练：③已知方程2

(1)(2)x x m --= (m 为已知实数，且0m ≠)，不解方程证明：

(1)这个方程有两个不相等的实数根；

(2)一个根大于2，另一个根小于1.

领练：例5.①若两个方程22

2(1)(3)0x a x a --++=和222240x ax a a -+-+=中，至少有一个方程有实数根，求a 的取值范围.

领练：②设m 为整数，且440,m <<方程08144)32(22

2=+-+--m m x m x 有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根.

领练：③如图，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分,AD 垂足为,F 交BC 的延长线于点,,,.E BE a CE c DE b ===求证：关于x 的一元二次方程220x bx ac -+=有两个相等的实数根.