《高数》(下册)第十二章练习题

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高等数学(同济大学第五版)第十二章

习题12−11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ′)2−2yy ′+x =0;解一阶.(2)x 2y ′−xy ′+y =0;解一阶.(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0;解三阶.(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0;解一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy ′=2y , y =5x 2;解 y ′=10x .因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ;解 y ′=3cos x +4sin x .因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0,所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x ;解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x −2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .x x e C e C y 2121λλ+= 解 , .x x e C e C y 212211λλλλ+=′x x e C e C y 21222211λλλλ+=′′因为y y y 2121)(λλλλ+′+−′′)())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++−+= =0,所以是所给微分方程的解.x x e C e C y 2121λλ+= 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ;解将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x −y −xy ′+2y y ′=0,即 (x −2y )y ′=2x −y ,所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ).解将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y ′+=′11, 即xxy y y −=′. 再次求导得 )(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y ′+′−′−⋅−=−+−′−=−−′+−−′=′′. 注意到由y y x y ′+=′11可得1−′=′y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y ′+′−′−⋅−=′+′−′−′−⋅−=′′, 从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;解由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y ′|x =0=1;解 y ′=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y ′|x =0=1得, ⎩⎨⎧=+=10121C C C 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0.解 y ′=C 1cos(x −C 2).由y |x =π=1, y ′|x =π=0得, 即, ⎩⎨⎧=−=−0)cos(1)sin(2121C C C C ππ⎩⎨⎧=−=0cos 1sin 2121C C C C 解之得C 1=1, 22π=C , 故2sin(π−=x y , 即y =−cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y ′−1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有y x x y ′−=+−10, 即yy ′+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解2T P k dT dP =, 其中k 为比例系数.习题12−111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y ′−xy −x =1;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞=+=10n n n x a a y ,111011=−−−∑∑∞=+∞=−x x a x a x na n n n n n n 即 . 0])2[()12()1(112021=−++−−+−+∞=+∑n n n n x a a n x a a a 可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),于是 , 11=a 2102a a +=, !!313=a , !!4104a a +=, ⋅ ⋅ ⋅ , !)!12(112−=−k a k , !)!2(102k a a k +=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!2(1!)!12(1[120120∑∞=−++−+=k k k x k a x k a y ∑∑∞=∞=−++−+=12011202(!1)1(!)!12(1k k k k x k a xk a ∑∞=−−+++−=11220!)!12(1)1(12k k x x k e a , 即原方程的通解为∑∞=−−+−=1122!)!12(112k k x x k Ce y .(2)y ′′+xy ′+y =0;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,0)1(01122=++−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a xna x x a n n即 , 0])1()1)(2[(21220=++++++∑∞=+n n n n x a n a n n a a 于是 0221a a −=,1331a a −=, ⋅ ⋅ ⋅,1112!)!12()1(a k a k k −−=−−,02!)!2()1(a k a k k −=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!12()1(!)!2()1([12112010+∞=+−+−++=∑k k k k k x k a x k a x a a y ∑∑∞=−−∞=−−+−=11211020!)!12()1()2(!!1k k k k k x k a x k a ∑∞=−−−−−+=1121120!)!12()1(2k k k x x k a e a , 即原方程的通解为∑∞=−−−−−+=1121221!)!12()1(2k k k x x k C e C y . (3)xy ′′−(x +m )y ′+my =0(m 为自然数);解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y , 0)()1(01122=++−−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a m xna m x x a n n x 即 . 0])())(1[()(1110=−−−++−∑∞=+n n n n x a m n a m n n a a m 可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ),于是 a 0=a 1,)2( )2()1(1+≥+⋅⋅⋅−=+m n m n n a a m n ,)( !11m n a n a n ≤=. 所以 ∑∑∞+=+++=+⋅⋅⋅−+++=2111100)2()1(!m n n m m m m n n x m n n a x a x n a a y∑∑∞+=+++=+++=211100!)!1(!m n n m n m mn n n x a m x a n x a ∑∑∞+=+=++=1100!)!1(!m n n m m n n n x a m n x a )!()!1(!0100∑∑=+=−++=m n n x m m n n n x e a m n x a∑=+++−++=m n n m x m n x a m a e a m 0101!])!1([)!1(, 即原方程的通解为∑=+=m n n x n x C e C y 021!(其中C 1, C 2为任意常数). (4)(1−x )y ′=x 2−y ;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,∑∑∞=∞=−−=−0211)1(n n n n n n x a x x na x 即 . 0])1[()13(231223201=+−++−−+++∑∞=+n n n n n x a na a n x a a x a a a 可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3),于是 a 1=−a 0, a 2=0, 313=a , )1(221−=−=−n n a n n a n n (n ≥4). 因此原方程的通解为∑∞=−++−=43)1(231)1(n n x n n x x C y (C =a 0为任意常数). . (5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y, ∑∑∞=∞=−+−=+02112)1(n n n n n n x a x x x na x 即 . 0])1()1[()13()1(231232210=++−+−+++++−∑∞=+n n n n x a n a n x a a x a a a 于是 a 1=a 0, a 2=−1,323=a ,)4()1(4)1( 231≥−−=−−=−−n n n a n n a n n n. 因此原方程的通解为 ∑∞=−−−++−+=4332)1(4)1(32)1(n n n x n n x x x C y (C =a 0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:(1)y ′=y 2+x 3, 21|0==x y ; 解根据初始条件, 可设方程的解为∑∞=+=121n n n x a y , 代入方程得 32111)21(x x a x na n n n n n n ++=∑∑∞=∞=−, 即 ⋅⋅⋅+++++++=+∑∑∞=∞=− )2(2414312232122113211x a a a x a a x a x a x x na a n n n n n n . 比较两边同次幂的系数得411=a , 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅, 于是 411=a , 812=a , 1613=a , 3294=a , ⋅ ⋅ ⋅. 因此所求特解为329161814121432⋅⋅⋅+++++=x x x x y . (2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;解根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==1n n n x a y,x x a x na x n n n n n n +=+−∑∑∞=∞=−1)1(111即 . x x a n a n a n n n n +=−+−+∑∞=+1])1()1[(111比较系数得 , 11=a 212=a , )3( )1(121≥−=−=−n n n a n n a n n . 因此所求特解为∑∑∞=∞=−+=−++=232)1(1)1(121n n n n x n n x x n n x x y . 因为∑∞=−2)1(1n n x n n 的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成 y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .(3)0cos 22=+t x dt x d , x |t =0=a , 0|0==t dt dx . 解根据初始条件, 可设方程的解为. ∑∞=+=2n n n t a a x 将, ∑∞=+=2n nn t a a x ∑∞=−−=2222)1(n n n t a n n dt x d 和∑∞=−=02)!2()1(cos n n n t n t 代入方程得0)!2()1()()1(02222=−++−∑∑∑∞=∞=∞=−n n n n n n n n n t n t a a t a n n .将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得, a a =001=a , !22a a −=, , 03=a !424a a =, , 05=a !696a a −=, , 07=a !8558a a =, ⋅ ⋅ ⋅. 故所求特解为 !855!69!42!211(8642⋅⋅⋅++−+−=t t t t a x .习题12−21. 求下列微分方程的通解:(1)xy ′−y ln y =0;解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x −5y ′=0;解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得, ∫∫+=dx x x dy )53(52即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C =为任意常数.(3)2211y y x −=′−;解分离变量得2211x dx y dy −=−, 两边积分得∫∫−=−2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y ′−xy ′=a (y 2+y ′);解方程变形为(1−x −a )y ′=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y −−=112, 两边积分得∫∫−−=dx xa a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y−−−−=−, 故通解为)1ln(1x a a C y −−+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22−=, 两边积分得∫∫−=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=−ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解分离变量得10−y dy =10x dx ,两边积分得∫∫=−dx dy x y 1010, 即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=−−, 或 10−y =10x +C ,故通解为y =−lg(C −10x ).(7)(e x +y −e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1−e y )dx , 分离变量得dx e e dy e e xx y y +=−11, 两边积分得∫∫+=−dx e e dy e e xx y y 11, 即 −ln(e y )=ln(e x +1)−ln C ,故通解为(e x +1)(e y −1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos −=, 两边积分得∫∫−=dx x x dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=−ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解分离变量得(y +1)2dy =−x 3dx ,两边积分得∫∫−=+dx x dy y 32)1(, 即 14341)1(31C x y +−=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2−4x )dy =0.解分离变量得dx xx dy y 411(4−+=, 两边积分得∫∫−+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x −ln(4−x )+ln C ,故通解为y 4(4−x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y ′=e 2x −y , y |x =0=0;解分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得, ∫∫=dx e dy e x y 2即 C e e x y +=221,或 )21ln(2C e y x +=.由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解2121ln(2+=x e y .(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得∫∫=xdx ydy tan tan ,即 −ln(cos y )=−ln(cos x )−ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y ′sin x =y ln y , e y x ==2π;解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y sin 1ln 1,即 C xy ln 2ln(tan )ln(ln +=, 或2tan x C e y =. 由e y x ==π2得4tan πC e e =, C =1,所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e −x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解分离变量得dx e e dy y y x x +=−1cos sin , 两边积分得∫∫+=−dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解分离变量得dx xdy y 21−=, 两边积分得∫∫−=dx x dy y 21, 即 ln y =−2ln x +ln C ,或 y =Cx −2.由y |x =2=1得C ⋅2−2=1, C =4, 所以特解为24x y =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0×××=, 即dt x dV )9802(5.062.0×××=. 又因为330tan x x r =°=,故 dx x dx r V 223ππ−=−=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π−=×××, 即 x dt 2398025.062.03×××=π,因此 C x t +×××−=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053××××=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+−=−××××=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v t dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=. 由初始条件有C +×=2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+×=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解由题设知,R dt dR λ−=, 即dt RdR λ−=, 两边积分得ln R =−λt +C 1,从而 .)( 1C t e C Ce R ==−λ 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e −λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021−=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0−−==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为 xy x y −=−−2002, 故曲线满足微分方程:x y dx dy −=, 即dx x dy y 11−=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2×3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v −==, 故dx =ky (h −y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h −at )dt ,积分得C t ka kaht x +−=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x −=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=−=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x −=.习题12−31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=−−−′x y y y x ;解原方程变为1)(2−−=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12−+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=−, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=−+, 即Cx u u =−+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =−+1)(2, 即222Cx x y y =−+. (2)xy y dx dy xln =; 解原方程变为xy x y dx dy ln =. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=−, 两边积分得ln(ln u −1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx −xydy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx −x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx −3xy 2dy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx −3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=−, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=−−, 即2312x C u −=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3−2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh2(=−+dy xy x dx x y y x y x ; 解原方程变为xy x y dx dy +=th 32. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx xy =. (6)0)1(2)21(=−++dy yx e dx e y x y x . 解原方程变为y xy xe e y x dy dx 21)1(2+−=.令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+−=+, 即u u ee u dy du y 212++−=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221−=++, 两边积分得ln(u +2e u )=−ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x =+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2−3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2−3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=−−, 或dx x du u u u 1)11113(=−+++− 两边积分得−3ln |u |+ln|u +1|+ln|u −1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2−1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2−x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2−x 2=y 3.(2)xy y x y +=′, y |x =1=2; 解令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212,将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy −y 2)dx +(y 2+2xy −x 2)dy =0, y |x =1=1.解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u −x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u −x 2)(udx +xdu )=0,即dx x du u u u u u 1112232−=+++−+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+−+, 两边积分得ln|u +1|−ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x =−∫,两边求导得 x x y x x y x y 2)(21)(21)(=′−−, 即 4−=′x y y . 令xy u =, 则有 4−=+u dx du x u , 即dx xdu u 41−=, 两边积分得u =−4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =−4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =−4x ln x +x .习题12−41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy −=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+∫⋅∫=−−−−−∫∫. (2)xy ′+y =x 2+3x +2;解原方程变为x x y x y 231++=+′.])23([11C dx e x x e y x x +∫⋅++∫=∫−])23(1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=∫∫x Cx x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y ′+y cos x =e −sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +∫⋅∫=∫−−)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=−−−∫.(4)y ′+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫−)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=∫−∫+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x=cos x (−2cos x +C )=C cos x −2cos 2x .(5)(x 2−1)y ′+2xy −cos x =0;解原方程变形为1cos 1222−=−+′x xy x xy .)1cos(1221222C dx e x x e y x xdx x x +∫⋅−∫=∫−−−)(sin 11])1(1cos [112222C x x C dx x x xx +−=+−⋅−−=∫.(6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +∫⋅∫=∫−θρθθ )2(33C d e e +=∫−θθθ θθθ33332)32(−−+=+=Ce C e e . (7)x xy dxdy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )4(22C dx e x e x x +⋅=∫− .2222)2(x x x Ce C e e −−+=+= (8)y ln ydx +(x −ln y )dy =0;解原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e ye x y y dy y y +∫⋅∫=∫− )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=∫ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(−+=−x y dxdy x ; 解原方程变形为2)2(221−=−−x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +∫⋅−∫=∫−−− ∫+−⋅−−=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x −2)[(x −2)2+C ]=(x −2)3+C (x −2).(10)02)6(2=+−y dxdy x y .解原方程变形为y x y dy dx 213−=−. ])21([33C dy e y e x y dy y +∫⋅−∫=∫− )121(33C dy y y y +⋅−=∫ 32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =−, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=∫. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x x +∫∫=∫− )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +−=+⋅=∫. 由y |x =π=1, 得C =π−1, 故所求特解为)cos 1(1x x y −−=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|−==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +∫⋅∫=∫− )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +−=+⋅=∫. 由4|2−==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +−=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2;解 )8(33C dx e e y dx dx +∫⋅∫=∫− x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(−−−+=+=+=∫. 由y |x =0=2, 得32−=C , 故所求特解为)4(323x e y −−=. (5)13232=−+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(223232C dx e e y dx x x dx x x +∫⋅∫=∫−−− )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=−−∫. 由y |x =1=0, 得e C 21−=, 故所求特解为)1(211132−−=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解由题意知y ′=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+∫∫=∫∫−− =e x (−2xe −x −2e −x +C )=Ce x −2x −2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x −x −1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m21−=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m km k +⋅=+∫⋅∫=∫∫−− )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +−=−.由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k m k +−=− 即 )1(22121t m k e k m k t k k v −−−=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.解由回路电压定律知01025sin 20=−−i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(−−+−=+∫⋅∫=∫. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π−+=+−=−−t e e t t i t t (A).6. 设曲在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2−+∫ 解因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2)]([2x x xf xx yf y −∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf ′(x )−2x , 或 1)(21)(=+′x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+∫⋅∫=∫∫−32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy −=+;解原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 11−=+, 即x x y dx y d cos sin )(11−=−−−. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [−=+−=∫−, 原方程的通解为x Ce y x sin 1−=. (2)23xy xy dxdy =−; 解原方程可变形为x y x dxdy y =−1312, 即x xy dx y d −=+−−113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +∫⋅−∫=∫−−)(222323C dx xe e x x +−=∫− 31)31(222232323−=+−=−−x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223−=−x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy −=+; 解原方程可变形为)21(31131134x y dx dy y −=+, 即12)(33−=−−−x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x x x Ce x C dx e x e +−−=+−=∫−12])12([, 原方程的通解为1213−−=x Ce y x .(4)5xy y dxdy =−; 解原方程可变形为x ydx dy y =−4511, 即x y dx y d 44)(44−=+−−. ])4([444C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=∫−− )4(44C dx xe e x +−=∫− x Ce x 441−++−=, 原方程的通解为x Ce x y 44411−++−=.(5)xdy −[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解原方程可变形为 )ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅−⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +−=+−−. ])ln 1(2[222C dx e x e y x dx x +∫⋅+−∫=∫−− ])ln 1(2122C dx x x x ++−=∫ x x x x C 94ln 322−−=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122−−=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy −=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x −=−,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=−, 积分得 C x du v f v g v v g +=−∫ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =−, 即21u du dx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =−x +tan(x −C ).(2)11+−=yx dx dy ; 解令u =x −y , 则原方程化为 111+=−udx du , 即dx =−udu . 两边积分得 1221C u x +−=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +−−=, 即(x −y )2=−2x +C (C =2C 1).(3)xy ′+y =y (ln x +ln y );解令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+−, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e xy 1=. (4)y ′=y 2+2(sin x −1)y +sin 2x −2sin x −cos x +1;解原方程变形为y ′=(y +sin x −1)2−cos x .令u =y +sin x −1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2−=−, 即dx du u =21. 两边积分得 C x u +=−1. 将u =y +sin x −1代入上式得原方程的通解 C x x y +=−+−1sin 1, 即C x x y +−−=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++−=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++−=−, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得 u uu C x ln 121ln 21+−−=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+−−=+, 即 2x 2y 2ln y −2xy −1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12−51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为x Q xy yP ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y y x dx x y x =++∫∫02202)46(3即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2−2xy −y 2)dx −(x +y )2dy =0;解这里P =a 2−2xy −y 2, Q =−(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=−−=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y x dx a y x =+−∫∫0202)(即 a 2x −x 2y −xy 2=C .(3)e y dx +(xe y −2y )dy =0;解这里P =e y , Q =xe y −2y . 因为x Q e yP y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y xe dx e y y x =−+∫∫000)2(即 xe y −y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y ′−y sin x +sin y =0;解原方程变形为(x cos y +cos x )dy −(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =−(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=−=∂∂sin cos ,所以此方程是全微分方程, 其通解为, C dy x y x dx yx =++∫∫00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2−y )dx −xdy =0;解这里P =x 2−y , Q =−x . 因为x Q yP ∂∂=−=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为, C xdy dx x y x =−∫∫002即 C xy x =−331. (6)y (x −2y )dx −x 2dy =0;解这里P =y (x −2y ), Q =−x 2. 因为y x yP 4−=∂∂, x x Q 2−=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C d e d =+∫∫θθρθρρ02022即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y yP 2=∂∂, y x Q =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx −dy )=dx +dy ;解方程两边同时乘以y x +1得 y x dy dx dy dx ++=−, 即d (x −y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x −y =ln(x +y )+C .(2)ydx −xdy +y 2xdx =0;解方程两边同时乘以21y 得 02=+−xdx y xdy ydx , 即02()(2=+x d y x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x −3y )dx +(1−3y 2x )dy =0;解原方程变形为xy 2dx −3y 3dx +dy −3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+−+xdy ydx ydy xdx , 即0)(3)1()2(2=−−xy d y d x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =−−3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解方程两边同时乘以221y x +得 022=−++dx yx ydy xdx , 即0)]ln(21[22=−+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x −y 2)dx +2xydy =0;解原方程变形为xdx −y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=−+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx −3xy 2dx −xdy =0.解方程两边同时乘以x 得2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)−x 2dy −3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得03)(2222=−−dx x ydy x x yd , 即0)(32=−x y x d 所以2y x 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=−x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy −是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy −得 0])()()]()([1=+−dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P −=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q −=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=−′−′=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy −是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2−2x 2y 2)dy =0;解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2−2x 2y 2 , 所以 31)]()([1y x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=−++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =−++∫∫122123232, 即C y x y x =−+−)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy −x 3y 3)dy =0.解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y −x 3 y 3 , 所以 441)]()([1yx xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以1y x 得全微分方程 02112433334=−+++dy y x y x xy dx yx xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =−+++∫∫14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy ′+2y =4ln x ;解原方程变为x x y x y ln 42=+′, 其积分因子为 22)(x e x x =∫=μ, 在方程x xy x y ln 42=+′的两边乘以x 2得 x 2y ′+2xy =4x ln x , 即(x 2y )′=4x ln x ,两边积分得, C x x x xdx x y x +−==∫222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x C x y +−=. (2)y ′−tan x ⋅y =x . 解积分因子为,x e x xdx cos )(tan =∫=−μ在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y ′−sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )′=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅∫cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12−61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ′′=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +−=+=′∫, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++−=+−=∫, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++−=. (2)y ′′′=xe x ;解 , 12C e xe dx xe y x x x +−==′′∫, 21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++−=+−=′∫, 3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++−=++−=∫原方程的通解为.32213C x C x C e xe y x x +++−= (3)211x y +=′′; 解 12arctan 11C x dx x y +=+=′∫ x C dx x x x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++−=+=∫∫ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++−=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++−=.(4)y ′′=1+y ′2;解令p =y ′, 则原方程化为p ′=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y ′=p =tan(x +C 1),, 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++−=+=∫原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++−=.(5)y ′′=y ′+x ;解令p =y ′, 则原方程化为p ′−p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得, 1)()(111−−=+=+∫⋅∫=∫∫−−x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx 即 y ′=C 1e x −x −1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +−−=−−=∫, 原方程的通解为22121C x x e C y x +−−=.(6)xy ′′+y ′=0;解令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即01=+′p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x x 1ln 111==∫=−−, 即 xC y 1=′, 于是 211ln C x C dx xC y +==∫, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ′′+′=y ′2;解令p =y ′, 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅=′′, 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=−, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=−, 即. 22121y C p ±− 当|y ′|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=′, 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y ′|=|p |<1时, 方程变为 2211y C y −±=′, 即dx dy y C ±=−21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ′′−1=0;解令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 013=−dy dp py , 即pdp =y −3dy , 两边积分得122212121C y p +−=−, 即p 2=−y −2+C 1, 故 21−−±=′y C y , 即dx dy y C ±=−−211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=−,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=′′; 解令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=′, 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++−+±=.(10)y ′′=y ′3+y ′. 解令p =y ′, 则dydp py =′′, 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+−p dy dp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由0)1(2=+−p dydp 得 arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x −=−=+∫, 故原方程的通解为.12arcsin C e y C x +=+ 2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0;解令p =y ′, 则dy dp p y =′′, 原方程化为013=+dy dp p y , 即dy ypdp 31−=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±=′. 由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而yy y 21−±=′, 分离变量得dx dy yy =−±21, 两边积分得221C x y +=−±, 即22)(1C x y +−±=.由y |x =1=1得C 2=−1, 2)1(1−−=x y , 从而原方程的通解为22x x y −=.(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1;解令p =y ′, 则原方程化为02=−ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得 11C ax p +=−, 即11C ax y +−=′. 由y ′|x =0=−1得C 1=1, 11+−=′ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax a y ++−=.由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+−=ax a y .(3)y ′′′=e ax , y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==′′∫.。

高等数学下册第十二章习题答案详解

高等数学下册第十二章习题答案详解1．写出下列级数的一般项: (1)1111357++++；2242468x x +++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+.解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23111555+++；(2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑；(3)1n ∞=∑.解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． (2)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211nS x x x x x x xx x n x nx n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21nn S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(3)因为nU =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=所以lim 1n n S →∞=13．判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑；(2)1111166111116(54)(51)n n +++++⋅⋅⋅-+；(3)231232222(1)3333nn n --+-+-+；(4)1155n ++.解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15．(3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． *4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)11(1)n n n +∞=-∑；(2)1cos 2n n nx ∞=∑； (3)()0111313233n n n n ∞=+-+++∑.解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++-⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．习题12-21．用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)1114657(3)(5)n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131nn +++++++++++；(3)π1sin 3n n ∞=∑；(4)n ∞=； (5)11)1(0nn aa ∞=+>∑； (6)11(21)nn ∞=-∑.解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n nU a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．2．用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅； (4) 12!n n n n n ∞=⋅∑. 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； (2)()11ln(1)n n n ∞=+∑； (3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (4)1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中,,,()n n a a n a b a →→∞均为正数.解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散． (2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．习题12-31．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1) 1+；(2)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；(3)2341111111153555333⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑； (5)11ln (1)n n n n∞-=-⋅∑； (6)()11113∞--=-∑n n n n； *（6）1(1)111(1)23nnn n∞=-++++⋅∑. 解：(1)()11n n U-=-，级数1n n U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)由()121!+=-nn n u n2122=<==⨯⨯，由正项级数的根值判别法知，2!n n 收敛，则级数()1121!∞+=-∑nn n n 收敛，112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =xf x x在[)e,+∞为单调递减函数，则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ，且ln lim 0→∞=n n n ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛，又ln 1>n n n ，而调和级数11∞=∑n n是发散的，则11ln (1)n n nn∞-=-⋅∑条件收敛. （6）111310333+-+---=-=>n n n n nn n n n u u ，则1+>n n u u ，又1lim 03-→∞=n n n，根据莱布尼兹判别法知()11113∞--=-∑n n n n 收敛，又由比较判别法知1131133-+=<+n n nn n n ，则级数()11113∞--=-∑n n n n 收敛，则级数()11113∞--=-∑n n n n绝对收敛. *(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又11111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由1111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛． 2．如果级数23111111122!23!2!2nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的和用前n 项的和代替，试估计其误差.()()()()()()()12121211111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!21211!2n n n n n n nn n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+＜3．若2lim n n n u →∞存在，证明：级数1n n u ∞=∑收敛.221211lim =lim ,.1n n n n n n n u n u nnu ∞→∞→∞=∞=∑∑存在而收敛所以也收敛*4．证明：若21nn u∞=∑收敛，则1nn u n ∞=∑绝对收敛. 222211111110221,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n nu u n n u un n∞∞∞===∞∞===≤+∑∑∑∑∑＜而和都收敛，由比较审敛法得知收敛从而收敛，即绝对收敛习题12-41．求下列函数项级数的收敛域： (1)11x n n∞=∑；(2)()1111n xn n ∞+=-∑.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)2323nx x x nx +++++；(2)1!nnn n x n∞=∑； (3)21121n n x n ∞-=-∑；(4)21(1)2nn x n n∞=-⋅∑. 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e !∞=∑n n n n n，()()()()11111!11!11e e e e +++++++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+n n nnn n n nnn n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫+ ⎪⎝⎭nn ，在→+∞n 的过程中，11+>n nu u ，又0>n u ，则e =x 时，常数项级数为单调递增函数，1e =u ，则lim 0→∞≠n n u ，由级数收敛的必要条件，级数的一般项不趋于零，则该级数必发散，同理在e =-x 时，()1e !∞=-∑nnn n n 变为交错级数，其中!lim e →∞n n n n n依旧不等于0，，则在e =-x 时也发散，则其收敛域为(),e e -．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数:(1)11n n nx∞-=∑；(2)2221n n x n ∞+=+∑. ()()()()1112111111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞-=∞∞∞-==='''⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解：（）可求得函数在＜时收敛，＜(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011nn S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-习题12-51．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+； (2)()2cos f x x =； (3)()()()1ln 1f x x x =++； (4)()2x f =(5)()23f x xx =+；(6)()e e)12(x x f x -=-；解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2xf x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑2．将()2132x x f x ++=展开成()4x +的幂级数.()()()()()()20100102101113212111114x+4141343333134713111114414224222212462241323nn nn n nn nn n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞+=∞=∞+=∞+==-+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=---+⎛+⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=--+=-++∑∑∑∑∑解：而＜＜＜＜＜-从而()()()10110421146223nn n n n n n x x x ∞+=∞++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑＜＜3．将函数()f x 1()x -的幂级数. 解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1) ln3(误差不超过10.000)； (2) cos2︒(误差不超过10.000).解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦- 又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos 2110.00060.99942!⎛⎫ ⎪⎝⎭≈-≈-≈ 5．将函数()d 0arctan x tF x t t=⎰展开成x 的幂级数. 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）6．求下列级数的和函数： (1) 2121n n x n ∞+=+∑；(2)10(1)!n n nx n ∞-=-∑(提示：应用e x 的幂级数展开式)；解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(2)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)7.试用幂级数解法求下列微分方程的解：222(1)0;(2)0;(3)1;(4)(1);(5)(1)2.y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+()()()()()()()()()1220120220120223405121,,11212021=210320435421nn n nn n n n n n n n nnn n n n nnn n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x n n a x xa xn n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞∞∞--+====∞∞+==∞∞+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解：（）设则代入原方程得即比较同次幂系数，得一般地()()()()222001423456785801910111291134243042,3,210,,,0,3445783478,0,894589111234781112,12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k-+++==++===================-即所以有所以()()()14145121481221,2,1,2,4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +===+⎛⎫=++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫+++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭因此是方程的解()()()()()()()()()212120222220210211021100,1,2,10,1,2,2111122222n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n k k y a x a n n xx a nxa x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞=∞∞∞--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑（）设为该方程的解，代入该方程得即故即从而()()()()01212112242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521kk k k nnk k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()()22222202135135212011221211111!22!2!2111131351352111313513521121!!n k k x n nn x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C eC x n ++-+-⎤⎥⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥+⎣⎦-=+-故原方程的通解为11n n ∞-=∑()()()101110111120210001234567213,=,112120111111,,,,,,23243524611,,3571nn n n n n n n nn n n n nn n n y a a x y na x na xx a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞-==∞∞-==∞++=-'=+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑∑∑（）设方程的解为从而代入方程得即因而()()()()()()023521242000023521222001,352124621113!!5!!21!!24!!2!!111113!!5!!21!!22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=+++++++++++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此()()()()()()()222321200032120212113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++++++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=++-++++⎢⎥-⎣⎦=+-+-故方程的通解为()()()()()()01210210102321102311110,20,3=1,11041,0,,32234521123431n n n n nn n n n n n n n n n n n y a x x na xx a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞=∞∞-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣⎦+==-+--=≥=-==-----==---=∑∑∑∑（4）令是该方程的解，代入该方程得即比较系数得以及故因而()()3412.31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解()()()()10112011121101102231102315,=,2120,22,3111032,1,311nn n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na xa a x x xna n a a x a a x xa a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞-==∞∞∞-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=-=-+∑∑∑∑∑∑（）设方程的解为则代入方程得即比较系数得从而()()()()()()()()()()()1344331234121242114641131141412411.31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解：2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2),(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dyx y y dx d xx t x a x dt '''-+-+====+='+===()()()()12122212121,,12121201.nn n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a x xx n n a x x na x a x y x x ∞∞∞--===∞∞∞--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑（）设则代入原方程得比较同次项系数，由初始条件可得方程的解为()1001211125,,00,0..11220nn n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x xy x x ∞∞-==∞∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭=++∑∑∑∑（2）设则由得代入原方程得比较同次幂系数得方程的解为()()()()21220120123423456246230123232345(3),,10,00,,0232435465102!4!6!23243546nn n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞∞∞--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫+++++-+-+= ⎪⎝⎭++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得即4602240012123420310421530264010213024502!2!2!4!203204302!5402!6502!4!,0,220322!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a aa a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⋅+=⋅+-=⋅+-=⋅+-+====-=-=-=⋅-+==⋅比较系数得又得到1350024246867824682!0549552!4!2!4!6,0,,656!878!1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+==⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭所以习题12-61．设()f x 是周期为π2的周期函数，它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为ππ. 32,0,(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+ 2．写出函数ππ. 21,0,(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的傅里叶级数的和函数.解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为： (1)π,0π4()π,π04x f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪--≤<⎩ ；(2)()2()f x x πx π=-≤<；(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩ ； (4)()ππcos ()2f x x x=-≤≤. 解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数： (1)()πππ(2)4x xf x =-<<-；(2)()π2sin (0)f x xx =≤≤.解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤，试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x xx =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)8. 设11,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，()01cos π,2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑，其中πd 102()cos n a f x n x x =⎰，求()52s -.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭9.设函数()21(0)f x x x =≤<，而()1sin π,n n n x b s x x ∞==-∞<<+∞∑，其中()πd 1,2,3,102()sin n f x n x xb n ==⎰.求()12s-.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1)()2111 22f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭ ；(2) 3. 21,30,()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑(-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)习题十二1. 填空题：(1)级数1211()1n n n ∞=+∑的敛散性是发散(2)级数1()21nn n n ∞=-∑的敛散性是收敛 (3)已知幂级数级数级数1(2)04nn n a x x x ∞=+==-∑在处收敛，在处发散，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的处收敛域为 (1,5](4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1(5)设函数2()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数1sin nn bnx ∞=∑的和函数(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时， 2(2)x π--2. 选择题：(1) 正项级数1nn a∞=∑收敛的充分条件是（ C ）。

高数下典型习题及参考答案第8、9、10、11、12章习题及答案

dx
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π

高等数学同济第七版第十二章课后习题答案

…I I
半径为 I,收敛区间为（-1 J）.
（4）lim %" = lim —= 0 ,故收敛半在为+8，收敛区间是（-8 , ♦ 8 ）. …14 | …2 （门♦ I）
第十二童无穷级数
221
由此可知.对任意给定的正数£ .取正整数 A m 岫十,当〃 >投时,对一切正整数 p, 都有 S--
力 < £ ,按柯西收敛原理.该级数收敛•
(4)本题与(2)类同.因 4 =丁\ + (
故对 3/1 ♦ 1 \3n +2 3n + 3) 3〃 ♦ I An
% = + .不论/!取什么正整数.取 p = 〃时.就有 1〃.,・h1 =%八+U..2 ।…+
219
解(D 此级数为公比 g =-5 的等比级数.因|°| < 1 ,故该级数收敛.
(2)此级数的部分和
即该级数发散.
lim sA = + oc , 冬■一
(3)此级数的一股项% =*，有要条忖％ = lim(y), = 1 ,不满足级数收敛的必
件，故该级数发散. (4)此级数为公比 4 二方的等比级数，因|q| > 1 ,故该级数发散. (5)此级数的一般项% =3.二注意到与£ 上分别是公比”;
•
・a
散,故各项乘;志的级数 Ej 也发放,由比较审敛法知原级数 s 二二■? 发散.
1 解法二因=1,而 y 1 发故.故由极限形式的比较审敛法知原 … I 2 1n
级数发散 (2) u = Lt： >二而 f L 发散.由比较审敛法知原级数・
1 > n2 n n2 n Sf”
222
一• 《高等数学》(第七版)下册习咫全解

高等数学科学出版社下册课后答案第十二章微分方程习题简答

习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．(1) 2y x y '=+，00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。

习题 12-21．( 1) C x y =+-1010； (2)； C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(； (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1；2.(1) 2)(arctan 21x y =； (2)0)cos 2(cos =-y x ； (3) )4(412--=x y ； (4) y e xcos 221=+；(5) 0322=+-y y x ； (6) )2(ln 222+=x x y ； 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31． (1) x C x y sin e )(-+=；(2) x x C y 2cos 2cos -=；(3) 1sin esin -+=-t C s t； (4) 2e 2x C y -+=； (5) )2()2(3-+-=x C x y ;（6）)||(ln 12C y yx +=2． (1) 412e e 22++-=x y xx； (2) 11332e 2--=x x x y ； (3) x x y sec =； (4) )cos 1(1x xy --π=； (5) 1e5sin cos =+xx y ；（6）.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习题12-51、（1）21c x c e y x ++=（2）21212x y x x c e c =--++（3）12ln y C x C =+ （4）12arcsin()xy c e c =+（5）.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（6）221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y （3）x y 11+= （4）11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y ＝C 1e -x＋C 2e-2x；(2)＝C 1e 0x ＋C 2e-2/3x＝C 1＋C 2e-2/3x ；(3) y ＝C 1cos2x ＋C 2sin2x ．（4）x ＝(C 1＋C 2t) e 5t/2；(5) .321x x e C e C y +=-(6）.)(221x e x C C y -+=(7）).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=．(9) y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋C 3e x ＋C 4e -x；（10）).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=（11）w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y ＝C 1＋C 2x ＋(C 3＋C 4x)e x. 2. ϕ(x)＝1/2(cosx ＋sinx ＋e x)．3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.（1）.31*+-=x y （2）*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=（5）.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4． y ＝－1/16 sin2x ＋1/8 x(1＋sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.（1）二;（2）;（3）ln(ln )xy x x e=+;（4）''2'50y y y -+=；（5）2()x Ax B x e -+. 2. （1） A （2） (A)（3）（C ）（4） (B )（5）（C ） 3. （1）);(12x x e Ce xy +=（2）3221Cy y x += （3）C x xy +=2；（4）x Ce x y tan 1tan -+-=（5）13423++=x Cx y （6）22)1(1-=-x C y （7）31)1(tan x e C y -=- （8）221ln xCx y +-=（9）C x e x x +=+2)1(；（10）C xy x =-4. （1）322142224181C x C x C x e y x +++-=；（2）2212C x C e xe y x x ++-= （3）21|)cos(|ln C C x y ++-= （4）)sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. （1）)1(ln 222+=x x y （2）)2sin 22(cos x x e y x +=- （3）x x x y 2sin 31sin 31cos +--= （4）2135672--+=-x e e y x x ． 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时，将被鱼雷击中。

高等数学习题册第十二章参考答案

1第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质1．填空：（1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_．（4）11+-n a a ，1a a -．（5）收敛，12-s u ．（6）发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散．（2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-，所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+．因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+，即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解：因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----．（2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散．（4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛．其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节常数项级数的审敛法1．填空：（1）收敛．（2）发散；收敛；可能收敛也可能发散．（3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散．（6）可能发散也可能收敛． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛；当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散；当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散．（5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数；同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++，则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++，而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+，根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛．（2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛．（3）解：n b a，当1ba<，即>a b 时，原级数收敛；当>1ba ，即ab <时，原级数发散；当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性：（1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散．（3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛：（1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛．（3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近于0，原级数发散．（4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形．当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++，所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛；当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛；再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛；而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节幂级数1．填空：（1）绝对收敛；绝对收敛．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ．（3）A ．（4）C ．（5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3．求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-，所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数；当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数；综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=，故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞，所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+，因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛；当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰，显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散．当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．（3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===，所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑．（3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅．注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2．解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-，利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑，其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值：（1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++，于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ．（2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰．（3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点，在一个周期内至多有有限个极值点，收敛，()f x ，左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰，所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑．再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰，根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =；又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求．（2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ．对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈，根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ，所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--，由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰，因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞．令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2）均收敛；均发散．（3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）．（4）B ．（5）A ．（6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛：（1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞，所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛，所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭，所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛；当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-，因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛；在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散；综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞，所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑，则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=，因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑，由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ．（2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ．（3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑，令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑，两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑，两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑，再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-，又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩．（9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+．（10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛．（11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =．当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。

《高等数学》北大第二版第12章习题课.ppt

P y
Q x
是否成立判别 (*)是不是全微分方程
,若(*)不是全微
分方程，但
(x, y)[P(x, y)dx Q(x, y)dy] 0 是全微分方程
则称(x, y) 0为方程(*)的积分因子,常用观察法寻找 (*)的积分因子.
例 8 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解
(1) (a 2 - 2xy - y 2 )dx - (x y)2 dy 0;
dp -2xp2 , dx
dp - p2
2 xdx,
dx
1 p
x2
C1 ,
代入f (0) 1,得C1 1,所以
1 1 x2, p
f (x) 1 1 x2
.
再积分，得
f (x) arctan x C2 , 代入f(0)=1,得C2=1,所求函数
f (x) arctanx 1.
例12 若连续函数f(x)满足
(2) eydx (xe y - 2 y)dy 0;
解 (1) P -2x - 2 y, Q -2(x y),
y
x
(1)是全微分方程
u(x, y) x (a 2 - 2xy - y 2 )dx y - (0 y)2 dy
0
0
a 2 x - x2 y - xy 2 - 1 y3 , 3
y[
(-2
y
3
-
)e
6 dy
y dy C]
y6[-2 y-3dy c] y4 Cy6
故原方程的通解为
x2 y4 Cy6.
例 7 求微分方程 y 1- x(y - x) - x3 ( y - x)2 通解.
解原方程可写为 (y - x) -x(y - x) - x3 ( y - x)2

华东理工大学高等数学作业答案第12章

第 12 章（之1）（总第67次）教学内容: §12．1二重积分概念与性质 **1．解下列各题：(1) 若D 是以)1,0(),0,1(),0,0(===B A O 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得到y x y x Dd d )1(⎰⎰--=___________．答：61(2) 设f (t )为连续函数，则由平面 z =0，柱面122=+y x 和曲面)(2xy f z= 所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________．答：⎰⎰≤+1222d d )(y x y x xy f ．(3) 设⎰⎰≤+++=122sin cos 1d d y x y x yx I 则I 满足 ( ) (A) 232≤≤I (B) 32≤≤I(C) 21≤≤I D (D)01≤≤-I答：(A)．(4) 设σd y x I D⎰⎰+=)ln(1，σd y x I D⎰⎰+=22)(及σd y x I D⎰⎰+=)(3其中D 是由直线 x =0，y =0，21=+y x 及1=+y x 所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( )(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．答：（B ）．(5) 设),0(:222>≤+a a y x D 当________=a 时，π=--⎰⎰dxdy y x a D222．（A ） 1； (B) 323； (C) 343； (D) 321 ．答：（B ）．**2．解下列问题：(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：⎰⎰+Dy x e σd 22与⎰⎰++Dy x σd )1(22，其中，D 为任一有界闭区间．解：令 22y x u +=，且()()u e u f u +-=1，则有()1'-=ue uf ．∵0≥u ，∴ ()0',01≥≥-u f e u即， ()u f 是增函数．∵ ()0100=-=e f ， ∴ ()()00≥-f u f 即 ()01≥+-u e u，∴22122y x e y x++≥+，因此()⎰⎰⎰⎰++≥+DDy x d y x d e σσ22122．(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：⎰⎰++Dy x σd )1(22，}144169),{(22≤+=y x y x D ．解：先求出目标函数()1,22++=y x y x f 在区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1916,22y x y x D 上的最小值和最大值，由于区域D 上的点到坐标原点()0,0=O 的距离为22y x +，∴4040222=+≤+≤y x ，∴()17,1≤≤y x f ，又因为该区域的面积为 ππ1243=⨯⨯=D ，∴ ()ππσπ2041217,12=⨯≤≤⎰⎰Dd y x f ．***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)⎰⎰≤+-1322d d )sin(y x y x y x ；解：因为I x y x y y x y x I x y y x -=-=-=⎰⎰⎰⎰≤+≤+13132222d d )sin(d d )sin(，所以0=I ．(2) ⎰⎰≤≤++1,122d d e e e e y x yx yx y x b a ．解：⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤++=++=1,11,12222d d e e e e d d e e e e x y x y xy y x yx yx x y b a y x b a I ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤1,11,12222d d e e e e d d e e e e 21x y xy xy y x y x y x x y b a y x b a I )(2d d 2d d e e e )(e )(211,11,12222b a y x b a y x b a b a y x y x y x y x +=+=++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤．***4．设),(y x f 是连续函数，试利用积分中值定理求极限⎰⎰≤+→222d ),(1lim20r y x r y x f r σπ．解：积分区域 222:r y x D ≤+ 为有界区域，且 ()y x f , 连续， ∴ 由积分中值定理可知：存在点()D ∈ηξ,，使得()()DDSf d y x f ηξσ,,=⎰⎰，即：()()ηξπσ,,2222f r d y x f r y x =⎰⎰≤+，又 ∵ 当0→r 时，()()0,0,→ηξ，且()y x f ,在()0,0连续．∴ ()()0,0,1lim22220f d y x f r r y x r =⎰⎰≤+→σπ．第 12 章（之2）（总第68次）教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：**（1）设),(y x f 是连续函数，则()+⎰⎰--x y x f y y a aya ad ,d 222220()y y x f dy y a a a d ,2202⎰⎰-()0>a 可交换积分次序得___________________________．答：原式=⎰⎰--ax a ax a y y x f x22222d ),(d ．**（2）设),(y x f 是连续函数，则二次积分⎰⎰++-2111d ),(d x x y y x f x （）（A ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰--+11212d ),(d y x y x f y ；（B ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ；(C) ⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰---+11212d ),(d y x y x f y ； (D)⎰⎰---11202d ),(d y x y x f y ．答：(C)**（3）设()y x f ,是连续函数，交换二次积分()dy y x f dx x e⎰⎰ln 01,的积分次序的结果为（）（A ）()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (B) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,；(C) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (D)()dx y x f dy eey ⎰⎰,1．答：(D)**（4）设),(y x f 是连续函数，则积分⎰⎰⎰⎰-+xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2可交换积分次序为（）（A ）()+⎰⎰dx y x f dy y 010,()dx y x f dy y⎰⎰-2021,；（B ）()+⎰⎰dx y x f dy x 21,()dx y x f dy x⎰⎰-2021,；（C ）⎰⎰-yydx y x f dy 210),(；（D ）()dx y x f dy xx ⎰⎰-212,．答： (C )**（5）设函数()y x f ,在122≤+y x 上连续，使()()dyy x f dx dxdy y x f x y x ⎰⎰⎰⎰-≤+=2221011,4,成立的充分条件是（）（A ）),(),(y x f y x f =-， ),(),(y x f y x f -=-；（B ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f =-；（C ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f -=-；（D ）),(),(y x f y x f =-，),(),(y x f y x f =-．答：（D ）．2．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定在区域上连续）． **（1）D 由曲线2,,1===x x y xy 围成；解：()()()dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I yx yx⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==2212121,,,1211**（2）()(){}11,1max ,≤≤--=y x x y x D解：()()()dxy x f dy dy y x f dx dy y x f dx I yyx x⎰⎰⎰⎰⎰⎰+---=+=1111121111,,,**（3） D ：1≤+y x ，1≤-y x ，0≥x ．解：原式=⎰⎰--xx dy y x f dx111),(=⎰⎰⎰⎰-+-+011110),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy ．3．计算二次积分： **(1)⎰⎰-422222y xx dx edy ．解：22,42:≤≤≤≤x yy D ，变换积分次序得x y x D 22,21:*≤≤≤≤，原式()⎰⎰⎰-==--212222122222dx x e dy dx e xxxx x()ee x x e x xxx112d 212212222-==-=--⎰．**(2)⎰⎰--+-111221xdy y x x dx ．解：原式=dx y x x dy y⎰⎰-+-111221=dy y )1(31311⎰-- =21．4．计算下列二重积分 **(1)⎰⎰-Dyd 2σ，其中(){}y y x y x D 2,22≤+=；解：原式=238222202=-⎰⎰-y y ydx dy ．**(2) 计算二重积分⎰⎰Dx dxdy e 2，其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 3所围成的区域．解：原式=⎰⎰xx x dy dx e 321=dx e x xex x )(2213⎰- =121-e ．**(3) 计算二重积分⎰⎰-Dd y x σ12，其中}10),{(2x y y x D -≤≤=．解：(){}10:10,2≤≤⇒-≤≤=y D x y y x D ，原式⎰⎰----=yydx x dy y 11211()()[]()()()()92192113213211111313111031021021011103=--=---=-=--+---=-=⎰⎰⎰⎰---y y d y dy y dy y y y y y x dy y y y**(4) 计算二重积分⎰⎰-Dy x σd ,其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D ．解：直线x y =把区域D 分成1D （上）、2D （下）两个部分，⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21)d ()d (d D D Dy x x y y x σσσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=-+-=10021022100102d )(21d )(21d )(d d )(d x y x x x y y y x x y x y x xx xx 34231)d 22(123102=+-=+-=⎰x x x x x x ．**(5) 计算二重积分⎰⎰+Dd y x x σ)sin(，其中D 由直线π=x 、抛物线x x y -=2及其在（0，0）点的切线围成．解：抛物线x x y -=2在（0，0）处切线斜率 1)0('-=y ，此切线方程为 x y -=，区域D:x x y x x -≤≤-≤≤2,0π，⎰⎰+Dd y x x σ)sin(⎰⎰--+=π2)sin(xx x dy y x x dx ⎰⎰--++=π2)()sin(xx xy x d y x x dxxx y xy y x x dx -=-=⎰+-=2)]cos([π⎰-=π2)cos 0(cos dx x x ⎰-=π2)cos 1(dx x x ππ202sin 2121x x -==2π．6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分： **(1) ()⎰⎰++Dd c by ax σ，其中 (){}222,R y x y x D ≤+=，a ,b ,c 为常数．解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++DDDDcd byd axd d c by ax σσσσ，∵(){}222,R y x y x D ≤+=，既关于y 轴对称，又关于x 轴对称．又∵()ax x f =为奇函数，()by y g =也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：0,0==⎰⎰⎰⎰DDbyd axd σσ．**(2) ()⎰⎰+++Ddxdy x yx x 652111，其中(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ．解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰++++=+++DD D dxdy x y x dxdy x x dxdy x y x x 6762652111111，∵(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ，关于y 轴对称，又()6711,x y x y x u ++=，关于x 为奇函数， ∴01167=++⎰⎰Ddxdy x yx ，∴ ()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+++-2062116265211111dy x x dx dxdy x x dxdy x y x x DD ()3arctan 34d 1134d 122103103231062π==+=+=⎰⎰xx x x x x ．第 12 章（之3）（总第69次）教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法1．填空与选择 **(1) 设D ：20,10πθρ≤≤≤≤，根据二重积分的几何意义，则___________d θd 1D2=-⎰⎰ρρρ．答：π61．**(2) 设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下先对ρ积分的累次积分_________________．解：记ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =，则ρθρθρθρθρθρθππθππππθd ),(d d ),(d d ),(d 23cos 2033132cos 20⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---F F F ．**（3）若区域D 为(x －1)2+y 2≤1，设ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =，则二重积分⎰⎰D y x y x f d d ),(化成累次积分为（）(A)ρθρθπθd ),(d 0cos 20⎰⎰F ； (B) ρθρθππθd ),(d cos 20⎰⎰-F ；(C)ρθρθππθd ),(d 22cos 20⎰⎰-F ； (D) ρθρθπθd ),(d 220cos 20⎰⎰F ．答：（C ）．** (4)若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分dxdy y x y x D22)(++⎰⎰化成累次积分为（） (A)⎰⎰+-θππρρθρθθθcos 2022d cos 2)sin (cos d ；(B)⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos ；(C) ⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos 2； (D)⎰⎰-+θππρρθθθcos 20322d d )sin (cos ．答：（D ）．2．化下列二重积分为极坐标下的二次积分 **(1)⎰⎰Dd xy f σ)(，其中 }1,10),{(2≤≤≤≤=y x x y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x在区域D1上2)cos (sin θρθρ=即)20(cos sin 2πθθθρ≤≤=，在区域D2上1sin =θρ即)20(sin 1πθθρ≤≤=，ρρθθρρρθθρθσππθπθθd f d f d d xy f D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=24sin 1024cos sin 02)cos sin ()cos sin ()(2．**(2)．⎰⎰+Dd y x f σ)(，其中}10,2),{(2≤≤-≤≤=y y x y y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x ，由θθρθρθρ222cos sin )cos (sin =⇒=⇒=x y ，由 2222=⇒=+ρy x ，θθθθ22cos 2sin 2cos sin =⇒=， θθ42cos 2cos 1=-，解得：421cos 2πθθ==，， ⎰⎰⎰⎰+=+402cos sin 2)sin cos ()(πθθρρθρθρθσd f d d y x f D．3．用极坐标计算下列积分 **(1)dy y x dx x xx ⎰⎰--+22442210；解：将二次积分⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx 看作二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化来，224410:x y x x x D -≤≤-≤≤，，令θρθρsin ,cos ==y x ，则： 2cos 4≤≤ρθ，如图，两圆交点)3,1(),(=y x ，即)3,2(),(πθρ=，所以⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx ⎰⎰⋅=232cos 4ππθρρρθd d⎰⎰-==233232cos 43)cos 36438()31(ππππθθθθρd d ⎰--⨯=232sin )sin 1(364638ππθθπd ]3sin 2sin [31364)3sin 2(sin 3649433）（）（πππππ-⋅+--=38912894+-=π．**(2)⎰⎰-2122arctany ydx xydy ．解：()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=220,1,2y y x y y x D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=40,10,πθρθρ，∴64arctan 2104012202πθρρθθπ=⋅=⎰⎰⎰⎰-d d d dx x y dy y y．**4．设),(y x f 是连续函数，将二次积分ρρθρθρθρρθρθρθππππd )sin ,cos (d d )sin ,cos (d 43222⎰⎰⎰⎰+-aa f f ，)0(>a化为在直角坐标系下先对y 后对x 的二次积分．解：原式=⎰⎰⎰⎰------+0220222222),(),(a x a xax a x a dy y x f dxdy y x f dx．5．计算下列二重积分***(1)⎰⎰+Dx y d yx eσ22arctan ，其中}3,41),{(22x y x y x y x D ≤≤≤+≤=．解：在极坐标变换θρθρsin ,cos ==y x 下，x y x 3≤≤，有3tan 1≤≤θ，即34πθπ≤≤，又 4122≤+≤y x ，则 412≤≤ρ，即21≤≤ρ，所以⎰⎰+Dxy d y x eσ22arctan⎰⎰⎰==3421)arctan(tan 34ππθθππθρρθd e d e d 4334ππππθe e e -==． ***(2)⎰⎰Dxydxdy e，其中(){}x y x xy y x D 2,21,≤≤≤≤=．解：⎰⎰=θθθθθθρπρρθsin cos 2sin cos 1cos sin 2arctan 42d ed I⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2arctan 4sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos 121πθθθθθθρθθθd e()⎰-=2arctan 421sin cos 121πθθθd e 2ln 22e e -=6．计算下列平面区域的面积：*(1) 计算由抛物线y =x 2及直线y =x +2围成区域的面积．解： ∵x 2 = x +2 即 x =－1, x =2． ∴交点为(－1,1)与(2，4)A=⎰⎰-+2122x xdy dx=⎰--+212)2(dx x x =214．**(2) }cos 121|}cos ,cos {(ϕρϕρϕρ+≤≤=D ．解：⎰⎰=Dd A σ。

高数(下)练习册第9到12章答案

第九章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念1、设.答案：2、求下列函数的定义域：(1)(2)3、求下列极限：(1)（0）(2)(0)§ 2 偏导数1、设z=,验证证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与x轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设u=(x2+yz3) 3，求及.解: =3(x2+yz3)2 2x=6x(x2+yz3)2 ，=3(x2+yz3)2 z3=3z3(x2+yz3)2 3(x2+yz3)2 3yz2=9yz2(x2+yz3)25、设，证明:6、设，求。

解：7、设函数在点处的偏导数存在，求§ 3 全微分1、单选题（1）二元函数在点处连续是它在该点处偏导数存在的 D .(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件（2）对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 B 。

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：(1) 设求dz解:(2) 设函数( 为常数且）求.解:；；；(3)解：3、设，求dz½(1,1)解: ,4、设,求：5、讨论函数在(0,0)点处的连续性、偏导数、可微性。

解：，所以在(0,0)点处连续。

，所以可微。

§4多元复合函数的求导法则１、设，求解：2、设，求3、设,，其中具有二阶连续偏导数，求。

解：；4、设，其中具有二阶连续偏导数，求，，解：,,=,5、设，其中对各变元具有二阶连续偏导数，求。

解：6、设，，证明：。

证：；类似可求得；。

所以。

§ 5隐函数的求导公式1、设，求解：令，2、设是由方程确定，求。

解：=3、设,其中可微。

证明:解：;=+y=4、设，求，( ，)5、设由方程所确定，可微，求解：令，则6、设函数是由方程所确定，求。

高数第十二章习题答案

2 2
y 2 x 2 0 （ y y 2 x 2 Cx 2 ）
2
2. x y x xy y
（ y x tan(ln x C ) ）
3.
( xy y ) cos 2
y
y 1 2y y x0 sin C ln x 2 （ x 2 ） x x
3 x2
D. 是特解
4. y 3 xy, y Ce 2 A. 是解
（ C ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
四、求下列可分离变量的微分方程解： 1. ( xy x)dx ( y x y )dy 0 （ y 1 C ( x 1) ）
2 2 2 2
2. y e
2
（ D ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
2. y y 0, y 3sin x 4 cos x （ B ） A. 是解 B. 不是解
2 x
C. 是通解（ B ） C. 是通解
D. 是特解
3. y 2 y y 0, y x e A. 是解 B. 不是解
2
二、指出下列微分方程的阶，同时指出它是线性的，还是非线性的： 1. x( y) 2 yy x 1 （一n x
2
（二阶线性微分方程）
1 y2 dy 3. dx 1 x 2 （一阶非线性微分方程）
4. (7 x 3 y ) dx ( x y ) dy 0 （一阶非线性微分方程）三、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解，如果是解，是通解，还是特解？ 1. xy 2 y, y 5 x A. 是解
x y
5. (e
e x )dx (e x y e y )dy 0 （ (e x 1)(e y 1) C ）

高等数学(下)答案(12)

1第十二章微分方程 § 1 微分方程的基本概念1、由方程x 2-xy+y 2）的解。

A. (x-2y)y ''=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程（） '+y '2 B.y=Cx+y '2 C. xy '+y '2=C D. y '=xy '+y '23y=(C 1+C 2x)e 2x , y|x=0=0 , y '|x=π=1，则C 1,C 2的值为（） 1=0 , C 2=1 B. C 1=1 , C 2=0 C. C 1=π , C 2=0 D. C 1=0 , C 2=π 4.微分方程y '=yx 21-写成以y 为自变量，x 为函数的形式为（）A.yx 21dxdy -=B.yx 21dydx -='=2x-y D. y '=2x-y5. 已知某初值问题的解为y=C 1sin(x-C 2) y|x=π=1,y '|x=π=0, 确定C 1, C 2 解：y=C 1sin(x-C 2), y '=C 1cos(x-C 2) 代入y|x=π=1,y '|x=π=0得C 1=1,C 2=2k π+2π6 .设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。

物体B 从点 (-1,0)与A 同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A ，试建立物体B 的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。

解：设在时刻t ，物体B 位于(x,y)处，则x)vt 1(y dxdy +-=整理可得：dxdt vdxy d x 22-= ○1 而dtdxdx dy 1dt ds v 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+==有⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy 1v21dxdt ○2 其中s 表示B 的运动轨迹的曲线的弧长。

高二数学下：第12章《圆锥曲线》测试(沪教版)

中项，则椭圆的方程为 _____________________________ ．
12．若直线 mx ny 3 0 与圆 x 2 y 2 3 没有公共点，则 m, n 满足的关系式为
．
以（ m, n) 为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 x 2 y2 1的公共点有
个.
73
13．设点 P是双曲线 x 2 y 2 1 上一点，焦点 F（ 2，0），点 A（ 3，2），使 | PA|+ 1 | PF| 有最小
． 17 8
用心爱心
专心
∵ m (1, 2 ) ，∴ 2(m 1) 2 17 ( 2 2,1) ，∴ b ( , 2
48
18．（ 12 分） [ 解析 ] ：（ I ）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x
p
2
由抛物线定义得，所求距离为
p
p 5p
()
8
28
（3）设直线 PA的斜率为 k PA ，直线 PB的斜率为 k PB
A． y 3x
5．椭圆 x 2 y2 12 3
是|PF 2| 的
B． y
3x
C． y
3 x
3
1的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段
3
D． y
x
3
PF1 中点在 y 轴上，那么 |PF1|
（）
A．7 倍
B． 5 倍
C． 4 倍
D． 3 倍
6．以原点为圆心，且截直线 3 x 4 y 15 0 所得弦长为 8 的圆的方程是
3
2
值时，则点 P 的坐标是 ________________________________ ．

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第十二章无穷级数习题 12-11.写出下列级数的前五项（1）2111n n n ∞=++∑ （2）113(2n 1)242n n ∞=-∑ （3）11(1)5n nn -∞=-∑（4）1!nn n n ∞=∑2.写出下列级数的的一般项（1）1111357++++ （2）2345612345-+-+-（3）2242468x x x x +++（4）23453579aa a a -+-+3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性（1）1n ∞=∑（2）1111133557(2n 1)(2n 1)+++++-+（3）2sinsinsin666n πππ++++4.判定下列级数的收敛性（1）23238888(1)9999nnn -+-++-+（2）11113693n+++++（3）133n ++++（4）232333332222n n +++++（5）223311111111()()()()23232323n n++++++++5.利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性（1）11(1)n n n +∞=-∑ （2）11111123456+-++-+（3）1sin 2nn nx ∞=∑（4）0111()313233n n n n ∞=+-+++∑习题 12-21.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性（1）1111++++35n +（2-1）（2）22212131112131n n +++++++++++（3）1112536(n 1)(n 4)++++++（4）23sinsinsinsin2222nππππ+++++（5）11(a 0)1nn a ∞=>+∑2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性（1）232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅（2）213nn n ∞=∑（3）12!n nn n n ∞=⋅∑（4）11tan 2n n n π∞+=∑3.用极值审敛法判定下列级数的收敛性（1）1()21nn n n ∞=+∑（2）11[ln(n 1)]nn ∞=+∑（3）211()31n n n n ∞-=-∑（4）n 1(),(n ),a ,b,a nn n nb a a ∞=→→∞∑其中a 均为正数4.判定下列级数的收敛性（1）2333332()3()()4444n n +++++（2）44441231!2!3!!n n +++++（3）11(n 2)n n n ∞=++∑（4）12sin3nn nπ∞=∑（51n n+++（6）111(a 0,b 0)2a b a b na b++++>>+++5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）1-+（2）111(1)3n n n n∞--=-∑（3）2341111111132323232⋅-⋅+⋅-⋅+（4）1111ln 2ln 3ln 4ln 5-+-+（5）2112(1)!n n n n ∞+=-∑习题 12-31.求下列幂级数的收敛区间（1）2323n x x x nx +++++（2）2221(1)2nnx x x n-+++-+（3）2322424624(2n)nx x x x +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4）22231323333nn x x x x n +++++⋅⋅⋅⋅（5）23232222225101n x x x n ++++++（6）211(1)21n nn x n +∞=-+∑（7）221212n n n n x ∞-=-∑ （8）1nn ∞=2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数（1）11n n nx∞-=∑（2）41141n n x n +∞=+∑（3）35213521n x x x x n -+++++-习题 12-41.求函数(x)cosxf =的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数2.将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间（1）shx 2x xe e --=（2）ln(a x)(a 0)+>（3）a x（4）2sin x（5）(1x)ln(1x)++（63.将下列函数展开成（x-1）的幂级数，并求展开式成立的区间（1 （2）lg x4.将函数(x)cosxf =展开成(x )3π+的幂级数 5.将函数1(x)f x =展开成（x-3）的幂级数 6.将函数21(x)32f x x =++展开成(x+4)的幂级数习题12-51.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值（1）ln3（误差不超过0.0001）（20.001）（30.00001）（4）cos2。

（误差不超过0.0001）2.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值（1）0.540.10001 1dxx+⎰（误差不超过）（2）0.5arc0.ta01nxdxx⎰（误差不超过）3.试用幂级数求下列各微分方程的解（1）,y-xy-x=1（2）,,,y+xy+y=0（3）,(1-x)y=x-y4.试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解（1）,231,2xy y x y==+=（2）,0 (1x)y y1x,y0x=-+=+=5.利用欧拉公式将函数cosxe x展开成x的幂级数习题 12-61.已知函数序列(x)sin(n1,2,3,)nxsn==在(,)-∞+∞上收敛于0（1）问N(,x)ε取多大，能使当n>N,(x)ns与其极限之差的绝对值小于正数（2）证明(x)ns在任一有限区间[a,b]上一致收敛2.已知级数2222221(1x)x xxx+++++在(,)-∞+∞上收敛（1）求出该级数的和（2）问(,x)Nε取多大，能使当n>N时，级数的余项rn的绝对值小于正数ε（3）分别讨论级数在区间1[0,1],[,1]2上的一致收敛性3.按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）2121(1),(1x)nnnxx∞-=--∞<<+∞+∑（2）0(1x)x,01nn x∞=-<<∑4.利用威尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性（1）1cos, 2nn nxx∞=-∞<<+∞∑（2）nx∞=-∞<<+∞（3）21,0nxnx e x∞-=≤<+∞∑（4）1,10 !nxn ex n-∞=<∑（5）221(1)(1e),0n nxnxn x-∞=--≤<+∞+∑习题 12-71.下列周期函数(x)f的周期为2π，试将(x)f展开成傅里叶级数，如果(x)f在[,)ππ-上的表达式为（1）2(x)3x1(x) fππ=+-≤<（2）2(x)e(x)xfππ=-≤<（3）,x0,0x(a,b a) (x){bxaxfππ-≤<≤<=为常数，且>b>02.将下列函数(x)f展开成傅里叶级数（1）(x)2sin(x)3xfππ=-≤≤（2）e,x01,0x (x){xfππ-≤<≤<=3.将函数(x)cos(x)2xfππ=-≤≤展开成傅里叶级数4.设(x)f是周期为2π的周期函数，它在[,]ππ-上的表达式为,22,22(x){xxfππππππ--≤<-≤<=将(x)f展开成傅里叶级数5.将函数f(x)(0x)2xππ-=≤≤展开成正弦级数6.将函数2(x)2x(0x)fπ=≤≤分别展开成正弦级数和余弦级数7.设周期函数(x)f的周期为2π.证明（1）如果(x)f(x)fπ-=-，则(x)f的傅里叶系数022a0,0,0(k1,2,)k ka b====（2）如果(x)f(x)fπ-=，则(x)f的傅里叶系数2121a0,b0(k1,2,)k k++===习题 12-81.将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期的表达式）（1）211 (x)1x(x)22 f=--≤<（2）,1011,12f(x){x xx-≤<-≤<=（3）21,301,03 (x){x xxf+-≤<≤<=2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数（1）x,02l x,2 (x){lxlx l f≤<-≤≤=（2）2(x)x(0x2) f=≤≤3.设f(x)是周期为2的周期函数，它在[-1,1）上的表达式为f(x)e x-=。

试将(x)f展开成复数形式的傅里叶级数。

4.设u(t)是周期为T的周期函。

已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题）21(t)sin ()nti Tn h h n u e t T n T πτπτπ∞=-∞=+-∞<<+∞∑试写出u(t)的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）总习题十二1.填空（1）对级数1nn u∞=∑，lim 0n n u →∞=是它收敛的-------条件，不是它收敛的--------条件（2）部分和数列{s }n 有界是正项级数1nn u∞=∑收敛的-------------条件（3）若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定---------；若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1nn u∞=∑必定-------。

2.判定下列级数的收敛性（1）n ∞=（2）221(n!)2n n ∞=∑（3）21cos 32n n n n π∞=∑（4）1021lnn n ∞=∑（5）1(a 0,s 0)nsn a n ∞=>>∑3.设正向级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都收敛，证明级数21(uv )nn n ∞=+∑也收敛4.设级数1n n u ∞=∑收敛，且lim 1nn n v u →∞=。

问级数1n n v ∞=∑是否也收敛？试说明理由。

5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性（1）11(1)np n n ∞=-∑（2）111sin1(1)n n n n ππ∞++=+-∑（3）11(1)lnn n n n ∞=+-∑（4）11(n 1)!(1)nn n n ∞+=+-∑6.求下列极限（1）21111lim (1)3n k k n k n k →∞=+∑ （2）111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅7.求下列幂级数的收敛区间（1）135n n nn x n ∞=+∑（2）211(1)n nn x n ∞=+∑（3）1(x 1)nn n ∞=+∑（4）212nnn nx ∞=∑8.求下列幂级数的和函数.专业DOC. （1）2(n 1)1212n n n x ∞-=-∑（2）1211(1)21n n n x n -∞-=--∑（3）1(x 1)n n n ∞=-∑ （4）1(n 1)n n x n ∞=+∑9.求下列数项级数的和（1）21!n n n ∞=∑ （2）01(1)(2n 1)!n n n ∞=+-+∑10.将下列函数展开成x 的幂级数（1）ln(x （2）21(2x)-11.设f(x)是周期为2π的函数，它在上的表达式为x [,0),[0,)(x){x e x f ππ∈-∈=，将f(x)展开成傅里叶级数12.将函数0x [,0),[0,)(x){x e x f ππ∈-∈=，分别展开成正弦级数和余弦级数。