华北电力大学 核反应堆物理分析 第4章-均匀反应堆临界理论教材

堆内里所有中子都是热中子。 ➢ 热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考
虑中子的产生、吸收和泄漏。
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对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时 间、单位体积内的裂变中子源强为：
SF (r,t) f (r,t)
根据无限介质增殖因子定义
SF (r,t) ka(r,t)
代入单群中子扩散方程可得
几何与材料的复杂性 “均匀化”处理（均 匀反应堆）
均匀反应堆：是指这样一种堆，其堆芯的各种材料（燃料、 慢化剂、结构材料等等）是均匀地混合在一起的。因此整 个堆芯的材料特性是一致的，核截面等数据都是一样的。
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➢均匀堆与非均匀堆
世界上数以千计的反应堆中，只有一个名叫“水锅炉” 的实验堆是均匀堆。其堆芯是硫酸铀酰的水溶液。
u235 19 g / cm3
Nu235 0.048 1024 / cm3
f 1.40 b a 1.65 b t 6.8 b 2.6
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解： f N f 0.0672 / cm
a N a 0.0792 / cm
t N t 0.326 / cm ➢快临界装置的半径就是8.1cm ！！相
(x,t)
n1
An'
cos
(2n
a
1)
xe(kn 1)t /ln
三种情况：
1. 对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若B12对应的k1<1，则其余的
kn都将小于1，则(kn-1)为负值，(x,t)将随时间 t按指数规律衰减，系统
为次临界状态。 2. 若k1 >1，则(k1-1)为正值，中子通量密度(x,t)将随时间不断增加，系
统处于超临界状态。 3. 若调整堆芯尺寸或改变材料成分，使k1 =1，则其余(kn-1)都将为负值。
中子通量密度(x,t)第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。 当时间足够长时，n>1各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度 按基波形式(B=B1)分布，系统处于临界状态。
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重要结论：
(1) 裸堆单群近似的临界条件为：
均匀反应堆的临界理论
主讲：马续波
1
Contents
前言 均匀裸堆的单群扩散理论 有反射层反应堆的单群扩散理论 功率分布展平概念
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一、前言
➢ 在上一章中我们讨论了中子在非增殖介质内扩散 的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步 将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限均 匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。 中心问题是讨论反应堆的临界。
(4-6)
利用分离变量法求解，方程具有如下形式的解：
将(4-7)式代入(4-6)式
(x,t) (x)T(t)
2 ( x) (x)
1
DT (t)
dT (t) dt
k 1 L2
(4-7)
(4-8)
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上式两端必须等于某一常数，设为-B2，有
2(x) B2
或
2(x) B2(x) 0
(x)
(4-9)
k1
1
k
L2 (
)2
1
a
(4-19)
若系统材料组成给定，则只有一个唯一的尺寸a0能使k1=1，即为临界大小； 当a>a0时，则k1>1，为超临界；当a<a0时，k1<1，系统处于次临界。
另一方面，若反应堆尺寸a给定，则必然可以找到一种燃料富集度(材料组 成)，使得由其所确定的k及L2值能使(4-19)式成立，使k1=1，系统处于临界。
临界时，反应堆内的中子通量密度分布为
(x) Acos x a
(4-20)
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Baidu Nhomakorabea1
1
k L2
B12
1
反应堆内单位时间单位体积内的中子泄漏率为-D2， 根据(4-18)式，D2=DBg2，单位时间单位体积内中子的吸收率为a，不泄漏概率 为
中子吸收率 中子吸收率中子泄漏率
a
a
dV
V
V dV DBg2
R
r
r
(4-25)
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2. 有限高圆柱体反应堆
最常见的反应堆形状。中子通量密度只取决于r和z两个变量
2 (r ,
r 2
z)
1 r
(r ,
r
z)
2 (r ,
z 2
z)
Bg2
(r,
z)
0
(4-26)
边界条件是：
(1) 中子通量密度在堆内各处均为有限值 (2) 当r=R或z=±H/2时，(r,z)=0。
作Bm2。对于单群扩散理论，有
Bm2
k 1 L2
(4-44)
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临界条件可写为：
Bm2= Bg2
(4-45)
对于裸堆，可将临界条件写成
k L2
1
R
2
(球形裸堆)
(4-46)
k 1 L2
H
2
2.405 R
2
(圆柱体裸堆)
(4-47)
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物理解释：
➢ 材料曲率反映堆内中子产生率高出吸收率 的程度
其他的都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开
的，不混在一起。 Why? 既然如此，为何还要研究均匀反应堆？
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1. 均匀堆比较容易描述，建立的物理－数学模型 比较简单。但是，从中引出的基本概念有普遍 应用价值。
2. 工程设计中，对实际的非均匀反应堆进行分析 时，也要先进行 “均匀化”，化为均匀堆。
Bn
(2n
1) a
n 1,2,3,
(4-10)
n (x)
An cosBn x
An
cos (2n 1)
a
x
波动方程(4-9)只对某些特定的特征值Bn才有解，相应的解n(x) 称为此问题的特征函数。
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由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立，因此对应于每一个 Bn2值和n(x)，都有一个Tn(t)与之对应
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5.反应堆曲率和临界计算任务
稳态反应堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程
2(r) Bg2(r) 0
最小特征值Bg2，称为几何曲率，对于裸堆，其与反应堆的几何形状及尺 寸大小有关，而与反应堆的材料成分和性质没有关系。
k、L2等参数仅仅取决于反应堆芯部材料特性，对于一定材料成分的 反应堆，便有一个确定的B2值能满足临界方程，我们称为材料曲率，记
(r) AJ0 (Brr)
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利用边界条件(2)，有
(R) AJ0 (Br R) 0
因而
Br2
2.405 2
R
(r)
AJ 0 (Brr)
AJ
0
2.405 R
r
求解(4-28)可得
Z (z) F cos Bz z
其中
Bz2
H
2
圆柱裸堆的几何曲率为
Bg2
Br2
Bz2
2.405 2
3
➢在反应堆临界理论中，主要研究两方面的问题： 各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）:
e.g., 临界时系统的体积大小(临界体积)和燃料成分（富集 度）及其装载量（临界质量）。 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。
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➢实际的反应堆系统
物理过程与中子能量 的复杂依赖关系 “分群理论”
R
H
2
其中Br2径向几何曲率，Bz2周向几何曲率。
(r,
z)
CJ0 (Brr) cos(Bz z)
CJ
0
2.405 R
r cos
H
z
在给定Bg2值下，当直径D=1.083H时，圆柱体反应堆具有最小临界体积。
(4-32) (4-33) (4-34) (4-35) (4-36) (4-37)
采用分离变量法求解，设 (r, z) (r)Z(z)
1
(r)
d
2 (r )
dr 2
1 r
d (r )
dr
1 Z(z)
d
2Z(z) dz2
Bg2
令左端每一项均等于常数，有
1 (r)
d
2 (r ) dr 2
1 r
d(r)
dr
Br2
1 Z(z)
d
2Z (z) dz2
Bz2
Bg2 Br2 Bz2
(4-38)
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临界时均匀裸堆内的中 子通量密度分布只取决于 反应堆的几何形状，而与 反应堆的功率大小无关 临界反应堆内中子通量密 度的基波函数特征分布可 以在任意功率水平下得到 稳定。
反应堆功率可表示为
P Ef V f (r)dV
将中子通量密度分布表达式代入上式，可求出常数C。
(4-39)
1
DTn (t)
dTn (t) dt
k 1 L2
Bn2
该式可转换为
1 dTn (t) kn 1
Tn (t) dt
ln
(4-12)
式中
ln
L2
D(1 L2Bn2 )
D / a
D(1 L2Bn2 )
1
l L2
Bn2
(4-13)
kn
k 1 L2 Bn2
(4-14)
l为无限介质的热中子寿命，ln是有限介质热中子寿命。方程(4-12)解为
研究思路：从容易的着手，逐步精确化
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二、均匀裸堆的单群理论
1. 单群中子扩散方程的建立 2. 均匀裸堆的单群扩散方程的解 3. 热中子反应堆的临界条件 4. 几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度
分布 5. 反应堆曲率和临界计算任务 6. 单群理论的修正
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1.单群理论的建立
➢ 裸堆：无反射层的反应堆 ➢ 单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设
?
?
?
?
1
(r, t )
t
D2 (r, t )
a (r, t )
ka (r, t )
S0 (r, t)
D及 a是对中子能谱平均后的数值； 在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为 裂变中子是反应堆内中子的唯一来源
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2.均匀裸堆的单群扩散方程的解
无外源无限平板反应堆单群扩散方程
1
( x, t )
t
D2 ( x, t )
a ( x, t )
ka ( x, t )
初始条件为 边界条件为
(x,0) 0 (x)
(a ,t) ( a ,t) 0
2
2
(4-3) (4-4) (4-5)
0
x
a/2 a/2
无限平板反应堆
由式(4-3)得
1
D
( x, t )
t
2(x,t)
kL2 1 ( x, t )
波动方程(4-9)式的通解为
(x) AcosBx C sin Bx
由于初始通量密度分布0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即
(x) AcosBx
由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(±a/2)=0
因此要求
Bn
n
a
Acos Ba 0 2
n 1,3,5,
或
dV
V
1
1 L2
Bg2
(4-21)
k k 1 则裸堆单群近似的临界条件(4-17)可写为 1
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4.几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布
1. 球形反应堆
d
2 (r )
dr 2
2 r
d (r )
dr
Bg2 (r )
0
(4-22)
普遍解为
(r) C sin Bgr E cos Bgr
(4-27)
(4-28)
(4-29)
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求解(2-27)式，令x=Brr，将其代入(4-27)式，可 得零阶贝塞尔方程
x2
d
2 ( x)
dx2
x
d ( x)
dx
x 2 ( x)
0
其普遍解为
r AJ0 (Brr) EY0 (Brr) (4-30)
其中J0、Y0分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数。
➢几何曲率的大小反映中子泄漏的程度
➢材料曲率等于几何曲率说明：当多余的中 子产生率正好被泄漏率抵消时，系统正好 处于平衡态－临界状态。
Bm
k 1 L2
Bg2
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问题
• 当材料曲率小于几何曲率时，反应堆处于 什么状态？
• 当材料曲率大于几何曲率时，反应堆处于 什么状态？
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例题
• 计算纯铀235金属球的临界尺寸。已知：
如果假设(4-27)式右端等于一正数，则它将化为一 个零阶修改贝塞尔方程
x2
d
2 ( x)
dx2
x
d ( x)
dx
x 2 ( x)
0
其普遍解为 r A'I0 (Brr) E'K0 (Brr)
(4-31)
零阶贝塞尔函数曲线
其中I0、K0分别为第一类及第二类零阶修正贝塞尔函数。根据边界条件(1)和(2)看出， Y0、I0及K0均应从上述解中消去。因此方程(4-27)的解为
Tn Ce(kn 1)t /ln
其中C为待定常数。对于一维平板反应堆，其中子通量密度的完全解就是对n=1到 n=所有项的总和，即
( x, t )
n1
An'
cos
(2n
a
1)
xe(kn 1)t /ln
(4-15)
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3.热中子反应堆的临界条件
Bn
(2n
1)
a
n 1,2,3,
kn
k 1 L2 Bn2
k1
1
k L2
B12
1
(4-17)
B12为波动方程的最小特征值，记为Bg2，称为特征曲率；k1为有效增殖因 子。
(2) 反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值Bg2对应的基波函 数分布，也就是说，稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程
2(r) Bg2(r) 0
(4-18)
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无限平板反应堆的临界条件为
r
r
(4-23)
根据边界条件：当r→0时中子通量密度为有限值，常数E必须为零，可得
(r) C sin Bgr r
根据边界条件(R)=0的要求，必须使BgR=n, n=1, 2, 3, …。对应于最小特征值，几
何曲率为
Bg2
R
2
(4-24)
与此对应的临界反应堆内的中子通量密度分布为
(r)
C
sin
t
1 t
3.07cm
应的临界质量是52公斤。 ➢用铀做原子弹大概如此。加上反射层
tr t 3.07cm