FIR数字滤波器的结构

1 N
N 1

Hc(z) Hk (z)
k 0

H(z)由两部分级联而成， 第一部分（ FIR部分）
HC (z) 1 zN
这是一个由 N 节延时器组成的梳状滤波器，它在单位圆上 有 N 个等分的零点：
1 zN 0
zi

e
j
2
N
i
,i

0,
N 1
其频响为
HC (e j ) 1 e jN
2
由上两式，可得到线性相位FIR滤波器的结构,如图。
优点： 线相相位型结构的乘法次数减为
N 2
（N偶数）
N 1 （N奇数）
2
(横截型结构乘法次数:N次)
图 N为偶数的线性相位FIR滤波器结构
图 N为奇数的线性相位FIR滤波器结构
（4）频率采样型
第二章讨论了有限长序列可以进行频域采样。
因此可将第k及第N-k个谐振器合并为一个二阶网络
Hk (z)

H (k) 1 rwNk z 1
H(N k)
1

rw
( N
N
k
)
z
1

H (k ) 1 rwNk z1
1
H *(k) (rwNk )*
z 1

1

z
1
0k
2r c
1k
os(2N
z k
1
信号流图的转置定理：
对于单个输入、单个输出的系统，通过反转网络 中的全部支路的方向，并且将其输入和输出互换，得 出的流图具有与原始流图相同的系统函数。
信号流图转置的作用：
①转变运算结构； ②验证计算流图的系统函数的正确与否。
运算结构对滤波器的实现很重要，尤其对于一 些定点运算的处理机，结构的不同将会影响系统的 精度、误差、稳定性、经济性以及运算速度等许多 重要的性能。对于无限长单位冲激响应（I I R）数 字滤波器与FIR数字滤波器，它们在结构上各有自己 不同的特点，因此我们在下面将对它们分别加以讨 论。
直接II型优缺点：
优点：延迟线减少一半，为N个，可节省寄存 器或存储单元。
缺点：同直接型。
通常在实际中很少采用上述两种结构实现高 阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶 系统（一、二阶）来实现。
（3）级联型（串联）
一个 N 阶系统函数可用它的零、极点表示，即把
它的分子、分母都表达为因子形式
N
过改变系数用同一个网络实现； 3. 复用性好。
二.缺点：结构复杂，采用的存贮器多。
说明：
• 频率采样型结构，适合于任何 FIR 系 统函数；
y(n) h(i)x(n i) h(n i)x(i)
i0
i0
基本的结构形式有下几种： （1）直接型（卷积型、横截型）
卷积型：差分方程是信号的卷积形式； 横截型：差分方程是一条输入x(n)延时链的横向 结构。
直接由差分方程可画出对应的网络结构： 图
直接型的转置： 图
（2）级联型（串联型） 当需要控制滤波器的传输零点时，可将系统函数分解
N
ai z i
(1 ci z 1)
H(z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi z i
(1 di z 1)
i 1
i 1
由于系数 ai 、 bi 都是实数，极、零点为实根或共
轭复根，所以有
M1
M2
(1 gi z 1 ) (1 hi z 1 )(1 hi* z 1 )
为二阶实系数因子的形式：
N 1
M
H (z) h(n)zn (a0i a1i z1 a2i z2 )
n0
i 1
于是可用二阶节级联构成， 每一个二阶节控制一对零点。
缺点：
①所需要的系数a比直接型的h(n)多；
②乘法运算多于直接型。
图
（3）线性相位型
FIR的重要特点是可设计成具有严格线性相位的滤
H (z) A i1
Leabharlann Baidu
i 1
N1
N2
(1 pi z 1 ) (1 qi z 1 )(1 qi* z 1 )
i 1
i 1
g i 、pi ——实根 hi 、qi ——复根
且 N1 2N2 N M1 2M 2 N
将共轭因子合并为实系数二阶因子，单实根因子看作二阶 因子的一个特例，则
消一N个梳状滤波器的零点，从而使这个频率点的响应
等于 H (k) 。
两部分级联后，就得到频率采样型的总结构，
图 频率采样型结构
这一结构的最大特点是它的系数H(k)直接就是滤波
器在 2 k 处的响应，因此，控制滤波器的响应很直
接。
N
两个主要的缺点：
①所有的系数 WNk和 H (k)都是复数，计算复杂
由这两部分级联构成。
图二 IIR数字滤波器的网络结构
上述结构缺点：
①需要2N个延迟器（z-1），太多。 ②系数ai、bi对滤波器性能的控制不直接，对 极、零点的控制难，一个ai、bi的改变会影响系统 的零点或极点分布。 ③对字长变化敏感（对ai、bi的准确度要求严 格）。 ④易不稳定，阶数高时，上述影响更大。
H1 z

N i0
ai z i

W z X z
N
wn ai xn i i0
H2z
1
N
1 bi zi

Y z W z
i 1
N
yn wn bi yn i
i 1
可以 看到 H1(z) 实 现 了系 统的 零 点， H 2 (z) 实现了系统的极点。H(z)
并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传 输零点时，级联型最合适。
三、FIR DF网络结构形式 FIR DF 特点： 主要是非递归结构，无反馈，但在频率采样结构
等某些结构中也包含有反馈的递归部分。
它的系统函数和差分方程一般有如下形式：
N 1
H (z) h(n)z n
n0
N 1
N 1
波器，此时 h(n) 满足偶对称或奇对称条件。 h(n) 偶对称时，
N 1 2
N为偶数， H (z) h(n)[Z n Z (N 1n) ] n0
N为奇数，
H (z)

N 11 2
h(n)[z n

z ( N 1n) ]
h
N
1

z

N 1 2
n0
M
H(z) A
i 1
1 a1i z 1 a2i z 2 1 b1i z 1 b2i z 2
M
A Hi (z)
i 1
aij 、bij ——为实系数。
用若干二阶网络级联构成滤波器，二阶子网络称为二阶节
，可用正准型结构实现。
H1(z)
HM (z)
级联型结构的优缺点： 优点： ①简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就
H C (e j )

2 sin( N 2
)
梳状滤波器频响
第二部分（IIR部分）是一组并联的一阶网络：
H
k
(z)

H (k) 1WNk z
1
此一阶网络在单位圆上有一个极点：
zK
WNk
e j 2 k N
为 2该k网的络谐在振器 。2N这k处些的并频联响谐为振器的，极是点一正个好谐各振自频抵率
可实现整个系统；
②极、零点可单独控制、调整，调整 a1i 、a2i可
单独调整第 i 对零点，调整 b1i、b2i 可单独调整第 i
对极点； ③各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化
组合以减小运算误差； ④可流水线操作。
缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小
则使信噪比减小。
（4）并联型
将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式
。 ②所有谐振器的极点都在单位圆上，考虑到系数量
化的影响，有些极点实际上不能与梳状滤波器的零点 相抵消，使系统的稳定性变差。
为了克服这两个缺点，作两点修正：
1）将所有零点和极点移到半径为 r 的圆上，r 略小
于 1，同时频率采样点也移到该圆上，以解决系统的 稳定性。这时
H (z)

(1 r N z N )
梅逊(Mason)公式
H z

Y z X z

1
Tk k
k
式中Tk为从输入节点（源点）到输出节点（阱 点）的第k条前向通路增益； Δ为流图的特征式
1 Li L'iL'j LiLjLk
i
i, j
Δk是不接触第k条前向通路的特征式余因子
构成滤波器： N
ai z i
N
H (z)
i 1 N
A0
1
bi z i
i 1
Ai (1 di z 1 )
i 1
将上式中的共轭复根成对地合并为二阶实系数的部
分分式，
L
H (z) A0
i 1
(1
Ai pi z 1)

M i 1
a0i a1i z 1 1 b1i z 1 b2i z 2
只有输出支路的节点称为输入节点或源点； 只有输入支路的节点称为输出节点或阱点； 既有输入支路又有输出支路的节点叫做混合节点。 通路是指从源点到阱点之间沿着箭头方向的连续 的一串支路，通路的增益是该通路上各支路增益 的乘积。 回路是指从一个节点出发沿着支路箭头方向到达 同一个节点的闭合通路，它象征着系统中的反馈 回路。组成回路的所有支路增益的乘积通常叫做 回路增益。
)
r
2
z
2
其中 0k 2 ReH (k)
1k 2r Re H (k)wNk
这个二端网络是一个有限Q值的谐振器，谐振频率
为 w除k 了2N以 。k上共轭极点外，还有实数极点，分两种情
况：
当 N为偶数时，有二个实数极点 z r，对应H(0)
和H(N/2)，有二个一阶网络：
H
0
(
z)

H 1
(0) rz 1
所以有
H (z)

(1
rN
zN
)
1 N
H0(z)

N 1 2
k 1
Hk
(z)

改进后的频率采样型结构如下图
频率采样型特点： 一．优点： 1.选频性好，适于窄带滤波，大部分H(k)
为0，只有较少的 二阶子网络； 2.不同的FIR滤波器，若长度相同，可通
（2）直接Ⅱ型 上面直接型结构中的两部分可分别看作是两个
独立的网络(H1(z)和H2(z)),两部分串接构成总的系 统函数：
H (z) H1(z)H2 (z)
由系统函数的不变性（系统是线性的），得
H (z) H 2 (z)H1`(z)
两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可合并，得：
H (0) H 0 (z) 1 rz 1
H
N 2
(z)

H (N 2) 1 rz 1
所以有
H (z)

(1
rN
zN
)
1 N
H0(z)

H
N 2
(z)

N 2
1
k 1
Hk
(z)

当N 为奇数时，只有一个实数极点 z r ，对应H(0)
，有一个一阶网络：
上式表明，可用L个一阶网络、M个二阶网络以及
一个常数 A0 并联组成滤波器 H（z），结构如下图：
特点：
①系统实现简单，只需一个二阶节，系统通过 改变输入系数即可完成； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）；
④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点：
不能直接调整零点，因多个二阶节的零点
二、IIR数字滤波器的结构 IIR数字滤波器的结构特点：存在反馈
环路，递归型结构。 同一系统函数，有各种不同的结构形
式。其主要结构有：
(1) 直接型 直接由 IIR DF 的差分方程所得的网络 结构。
N
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
H (z) H1(z)H2(z)
第五章 数字滤波器的结构
5.1 数字滤波器的结构 一、数字网络的信号流图表示 差分方程中数字滤波器的基本操作：①加法，②乘法,③延 迟。 为了表示简单，通常用信号流图来表示其运算结构。对于加 法、乘法及延迟这三种基本运算。
return
y(n) a0 x(n) a1x(n 1) b1 y(n 1)
现 h(n)是长为N的序列，因此也可对系统函数H(z) 在单位圆上作N等分采样，这个采样值也就是 h(n)的离
散付里叶变换值H(k)。
H (k ) H (z) zwNk DFT [h(n)]
根据上一章的讨论，用频率采样表达z函数的内插
公式为：
H(z)

(1
zN )
1 N
N1 H (k) k0 1WNk z1
1 N
N 1 H (k ) k 0 1 rWNk z 1
2）共轭根合并，将一对复数一阶子网络合并
成一个实系数的二阶子网络。这些共轭根在圆
周上是对称点即
W (Nk) N
Wk
(W k )*
同样，h(m)因是实数，其 DFT 也是圆周共轭 对称的，
H (N k) H *(k)