导数讨论含参单调性习题(含详细讲解问题详解)
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1．设函数．（ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（ 1）讨论的单调性；（ 2）当时，证明：；（ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 .（ 1）求的值；（ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；6．已知函数ln , x ，其中.f x ax x F x e ax x 0, a 0（ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的e2最小值 .7．已知函数 f ( x) e x m ln x .（ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ；（ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） .8．已知函数 f x ln 1 mx x2mx ，其中0 m 1 ．2（ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3；3（ 2）试讨论函数y f x 的零点个数．9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 .（1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 .10 ．已知函数f x e x ax 2（1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值；（2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性；（3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2,都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立，求 a 的取值范围。
专题05 导数中含参讨论问题总结(解析版)
专题05 导数中含参讨论问题总结一、重点题型目录【题型】一、由函数的单调区间求参数 【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数 【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 【题型】四、根据极值点求参数【题型】五、有导数求函数的最值（含参） 【题型】六、已知函数最值求参数 【题型】七、参变分离法解决导数问题【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小 【题型】九、构造函数法解决导数问题 二、题型讲解总结【题型】一、由函数的单调区间求参数例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2ln x ax f x x =++的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ）. A ．(],3a ∈-∞- B ．3a =- C ．3a = D ．(],3a ∈-∞【答案】B【分析】根据()f x 得到()f x '，再根据()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到12和1是方程()0f x '=的两个根，代入解方程即可.【详解】由()2ln x ax f xx =++得()221x ax f x x++'=，又()f x 的单调递减区间是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12和1是方程2210x ax x++=的两个根，代入得3a =-.经检验满足题意故选：B.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1a >B ．1a ≥C ．1a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32f x x ax bx c =+++，()g x 为()f x 的导函数．若()f x 在(0，1)上单调递减，则下列结论正确的是（ ）A ．23a b -有最小值3B ．23a b -有最大值C ．()()010f f ⋅≤D ．()()010g g ⋅≥【答案】D【分析】由()f x 在(0，1)上单调递减，得到()00g b =≤，()1230g a b =++≤，即可判断D ；求出()()()2011f f c a b c ⋅=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅>，可否定C ；记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，利用数形结合求出，判断A 、B.【详解】由题意可得()()232g x f x x ax b ='=++.因为()f x 在(0，1)上单调递减，所以()0g x ≤在(0，1)上恒成立，即()00g b =≤，()1230g a b =++≤，所以()()010g g ⋅≥， 因为()()0,11f c f a b c ==+++，()f x 在(0，1)上单调递减， 所以1c a b c >+++，即10a b ++<，所以()()()()20111f f c a b c c a b c ⋅=+++=+++，当0c <时，有()()010f f ⋅> 所以C 错误，D 正确.记23z a b =-，其中(),a b 满足2300a b b ++≤⎧⎨≤⎩，作出可行域如图示：由2300a b b ++=⎧⎨=⎩解得：3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当抛物线21133a z b -=，经过点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时94z =最小，没有最大值.故A 、B 错误.故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知()2121()1e 2x f x a x -=--，若不等式11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立，则a 的值可以为（ ）A ．B ．1-C ．1D 【答案】AD【分析】由条件可得()f x 在(1,)+∞上单调递增，再结合导数和单调性的关系列不等式求a 的范围，由此确定正确选项.【详解】设1ln (1)y x x x =-->，则110y x'=->， 所以1ln y x x =--在(1,)+∞上单调递增，所以1ln 0x x -->， 所以ln 1,(1,)x x x <-∈+∞，∴0ln 1x x <<-， ∴110ln 1x x >>-． 又11ln 1f f x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭在(1,)+∞上恒成立， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()21()1e 0x f x a x -=--≥'对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即211e x x a --≥恒成立．令111(),()eex x xxg x g x ---='=，当1x >时，()0g x '<，故()(1)1g x g <=，∴211a -≥，解得a ≥a ≤所以a 的值可以为， 故选：AD.【题型】二、由函数在区间上的单调性求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）若函数2()ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】先求出函数的定义域(0,)+∞，则有210k -≥，对函数求导后，令()0f x '=求出极值点，使极值点在(21,21)k k -+内，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以210k -≥，即12k ≥， 2121(1)(21)()21x x x x f x x x x x+-+-'=+-==， 令()0f x '=，得12x =或=1x -（舍去）， 因为()f x 在定义域的一个子区间(21,21)k k -+内不是单调函数， 所以121212k k -<<+，得4143k -<<， 综上，1324k ≤<， 故选：D例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()324f x x ax x =-++在区间()0,2上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．(],2-∞ D ．(),2-∞【答案】A【分析】将问题转化为()0f x '≥在()0,2上恒成立，采用分离变量法可得423a x x ≥-，由434x x-<可构造不等式求得结果. 【详解】()f x 在()0,2上单调递增，()23240f x x ax '∴=-++≥在()0,2上恒成立，即234423x a x x x-≥=-在()0,2上恒成立， 又43y x x =-在()0,2上单调递增，43624x x ∴-<-=，24a ∴≥，解得：2a ≥，即实数a 的取值范围为[)2,+∞. 故选：A.例7．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）A ．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是[]1,2 B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x <D ．“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件【答案】BD【分析】分B =∅与B ≠∅两种情况讨论，求出参数a 的范围，即可判断A ，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B ，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C ，求出函数的导数，由()0f x '≥恒成立求出a 的取值范围，再根据集合的包含关系判断D 即可； 【详解】解：对于A ：当B =∅，即23a a >+，解得3a >时满足B A ⊆， 当B ≠∅，因为B A ⊆，所以352223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得12a ≤≤，综上可得[][)1,23,a ∈+∞，故A错误；对于B ：由1a >，1b >则1ab >，故“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件，即B 正确； 对于C ：命题p ：x ∀∈R ，20x >，则p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤，故C 错误；对于D ：因为()()e 23xf x a x -=--，所以()()e 2x f x a =-'-，若()f x 在R 上单调递增， 则()()e 20xf x a -'=-≥恒成立，所以20a -≤，解得2a ≤，因为(],2-∞ (],5-∞， 所以“5a ≤”是“函数()()e 23xf x a x -=--是R 上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确； 故选：BD例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是___________【分析】原问题等价于()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数求最值即可.【详解】由()2sin 262x f x x mx π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()2cos 206f x x x m π⎛⎫'=+--≤ ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2cos 26x x m π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，令()2cos 26g x x xπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭06x ,⎛π⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()4sin 216g x x π⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2662x πππ≤+≤ ，则24sin 246x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以54sin 2+136x π-≤-≤-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()0g x '<，所以()g x 在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是单调递减函数，max ()(0)g x g ≤=得m ≥m【题型】三、含参分类讨论求函数单调性区间 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点 B ．当a<0时，()f x 无极大值点和极小值点 C ．当0a >时，()f x 有最大值 D ．当a<0时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【分析】讨论0a >、a<0，利用导数研究()f x 在定义域上的单调性，进而判断极值点及最值情况，即可确定答案. 【详解】由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误； 当a<0时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增；所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈，求出函数()g x 的导函数，分解12a ≤和12a >讨论函数()g x 的单调性，求出函数()g x 在区间(]0,1上的最小值，即可得解.【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥，设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a<<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.例11．（2023·全国·高三专题练习）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC【分析】根据等号两边式子的结构特征构造函数()f x ,利用导数分类讨论函数()f x 的单调性进行求解.【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.【题型】四、根据极值点求参数例12．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】B【分析】先利用导数求出函数的极小值点，然后使极小值点在(0,1)内，从而可求出b 的取值范围【详解】由题意，得2()33f x x b '=-，当0b ≤时，()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上递增，函数无极值， 所以0b >，令()0f x '=，则x ＝，∴函数在（）上()0f x '<，+∞）上()0f x '>，函数递增 ∴x =∴函数3()3f x x bx b =-+在区间（0，1）内有极小值，∴01， ∴b ∴（0，1） 故选：B ．例13．（2023·全国·高三专题练习）若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．1174【答案】C【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可. 【详解】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =， 所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C【题型】五、有导数求函数的最值（含参）例14．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12CD 【答案】B【分析】由题意，函数()()22ln y f x g x x x =-=-的最小值即|MN |达到最小值时，再求导分析()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点即可【详解】设函数()()22ln y f x g x x x =-=-，求导数得()()212114x x y x x x+-'=-= 因为0x >，故当102x <<时，0'<y ，函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调减函数， 当12x >时，0'>y ，函数在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为单调增函数 所以x 12=为()()22ln y f x g x x x =-=-的极小值点.故当|MN |达到最小时t 的值为12． 故选：B ．例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC △，ECA △，FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm )的最大值为______.【答案】3【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，则BC =，5DG x =-， 进而算出三棱锥的高和体积，构造函数，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，求导，根据导函数的正负判断单调性进而求出最大值．【详解】由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h 221)2ABCS==，则213ABC V Sh =⨯=45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '≥，即4320x x -≤，解得2x ≤，则()(2)80f x f ≤=，∴3V ，∴体积最大值为3．故答案为：3【点睛】思路点睛：本题将三棱锥体积的计算转化为利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求单调性的方法，属于中档题.例16．（2023·河北·高三阶段练习）R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，则a 的最大值为_____________．【答案】1【分析】R,2e 12x x x a ∀∈-≥+，即R,2e 12x x x a ∀∈--≥，令()2e 12xf x x =--，分1ln2x >和1ln2x ≤两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案. 【详解】解：R,2e 12xx x a ∀∈-≥+， 即R,2e 12xx x a ∀∈--≥， 令()2e 12xf x x =--，当2e 10x ->，即1ln 2x >时，()2e 12xf x x =--，则()2e 2xf x '=-，当1ln02x <<时，()0f x '<，当0x >时，0f x ，所以函数()f x 在1ln ,02⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()0,∞+上递增，所以当1ln 2x >时，()()min 01f x f ==，当2e 10x -≤，即1ln2x ≤时，()12e 2xf x x =--， 因为函数2e ,2x y y x ==为增函数，所以函数()12e 2xf x x =--在1,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，所以当1ln2x ≤时，()min 1ln ln 412f x f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭， 综上所述，()()min 01f x f ==， 所以1a ≤， 即a 的最大值为1. 故答案为：1.【题型】六、已知函数最值求参数例17．（2023·广西·模拟预测（文））已知函数()ln f x x ax =+存在最大值0，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1e-C ．1D ．e【答案】B【分析】讨论a 与0的大小关系确定()f x 的单调性，求出()f x 的最大值. 【详解】因为()1f x a x'=+，0x >， 所以当0a ≥时，0fx恒成立，故函数()f x 单调递增，不存在最大值；当a<0时，令()0f x '=，得出1x a=-，所以当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0fx ，函数单调递增，当1,x a ∈-+∞⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，所以() max11ln 10f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：=a 1e -. 故选：B.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】求得()22exx a f x -++'=，根据()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值，得到()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，根据()0g a <且()10g a +>，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()22e xx x af x +-=，可得()22e x x a f x -++'=，且()f x 在区间(,1)a a +上存在最小值， 即()f x '在区间(,1)a a +上存在0(,1)x a a ∈+， 使得()00f x '=且()0f a '<，()10f a '+>，设()22g x x a =-++，即满足()0g a <，且()10g a +>，可得()()2220110g a a a g a a a ⎧=-++<⎪⎨+=--+>⎪⎩1a <<-，即实数a 的取值范围是1⎫-⎪⎪⎝⎭.故选：D.例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 只有一个零点B ．函数()f x 只有极大值而无极小值C ．当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若当[,)x t ∈+∞时，max 25()e f x =，则t 的最大值为2 【答案】CD【分析】解方程()0f x =判断A ；利用导数探讨()f x 的极值判断B ；分析函数()f x 的性质，借助图象判断C ；由25(2)e f =结合取最大值的x 值区间判断D 作答.【详解】对于A ，由()0f x =得：210x x +-=，解得x =A 不正确；对于B ，对()f x 求导得：22(1)(2)()e ex xx x x x f x '--+-=-=-，当1x <-或2x >时，()0f x '<，当12x -<<时，()0f x '>，即函数()f x 在(,1)-∞-，(2,)+∞上单调递减，在(1,2)-上单调递增，因此，函数()f x 在=1x -处取得极小值(1)e f -=-，在2x =处取得极大值25(2)e f =，B 不正确；对于C ，由选项B 知，作出曲线()y f x =及直线y k =，如图，观察图象得当e 0k -<<时，直线y k =与曲线()y f x =有2个交点，所以当e 0k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，C 正确； 对于D ，因25(2)e f =，而函数()f x 在(2,)+∞上单调递减，因此当[,)x t ∈+∞时，max25()e f x =， 当且仅当2[,)t ∈+∞，即2t ≤，所以t 的最大值为2，D 正确. 故选：CD【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.【题型】七、参变分离法解决导数问题例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）若关于x 的不等式(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得. 【详解】(41ln )ln 3k x x x x --<-+对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 等价于ln 34ln x k x x x<++对于任意(1,)x ∈+∞恒成立 令ln 3()ln x f x x x x =++，则2221ln 13ln 2()x x x f x x x x x ---'=+-= 令()ln 2g x x x =--，则11()10x g x x x-'=-=> 所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->所以()g x 在()3,4有且仅有一个根0x ，满足00ln 20x x --=，即00ln 2x x =- 当0(1,)x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，函数()f x 单调递减， 0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0min 000000231()()21x f x f x x x x x x -==+-+=+- 由对勾函数可知001113114134x x +-<+-<+-，即0713()34f x << 因为04()k f x <，即0()4f x k <，0()71312416f x <<，Z k ∈ 所以0k ≤. 故选：C例21．（2023·全国·高三专题练习）已知1a >，1x ，2x ，3x 均为2x a x =的解，且123x x x <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1(2,1)x ∈-- B ．2e (1,e )a ∈ C ．120x x +< D ．232e x x +<【答案】B【分析】A 选项：根据“三个等价”，将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题，利用零点存在性定理确定出1x 的取值情况；B ，C ，D 选项：对方程变形，参变分离构造函数，从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论，详细过程见解析.【详解】对于A ，令2()x f x a x =-，因为1a >，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，与x 轴有唯一交点，由零点存在性定理，得1(1)10f a --=-<，0(0)00f a =->，则1(1,0)x ∈-，故A 错误. 对于B ，C ，D ，当0x >时，两边同时取对数，并分离参数得到ln ln 2a xx=， 令ln ()x g x x =，()21ln xg x x -'∴=， 当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 如图所示，∴当0x >时，ln 2ay =与ln ()x g x x =的图象有两个交点，ln 1(0,)2ea ∈，解得2e (1,e )a ∈，故B 正确； ∴2(1,e)x ∈，由A 选项知1(1,0)x ∈-，120x x ∴+>，故C 错误；由极值点偏移知识，此时函数()g x 的极值点左移，则有23e 2x x +>，故D 错误. 故选：B.例22．（2023·上海·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程2221x y z ++=表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点(,,)P x y z 是二次曲面22420x xy y z -+-=上的任意一点，且0x >，0y >，0z >，则当zxy取得最小值时，不等式ln e 3022xa yx za +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[e,)-+∞【分析】先通过zxy取得最小值这个条件找出当,,x y z 的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.【详解】根据题意22420x xy y z -+-=，带入z xy 可得：2224212222z z x xy y x y xy xy xy y x -+===+-，而0x >，0y >，利用基本不等式222x y y x +≥=，当22x y y x =，即2y x =取得等号，此时22224246z x x x x x =-⋅+=，即23z x =，综上可知，当z xy 取得最小值时，223y x z x =⎧⎨=⎩，带入第二个式子可得，2e ln 02x a x ax x +-≥，即e ln 0x ax a x x +-≥，于是ln e ln (ln )0xx x ax a x e a x x x-+-=+-≥，设()ln u u x x x ==-，11()1x u x x x -'=-=，故当1x >时，()u x 递增，01x <<时，()u x 递减，min ()(1)1u x u ==；于是原不等式转化为1u ≥时，0u e au +≥恒成立，即ue a u -≤在1u ≥时恒成立，设()u e h u u=(1)u ≥，于是2(1)()0u e u h u u -'=≥，故()h u 在1u ≥时单调递增，min ()(1)h u h e ==，故a e -≤，a e ≥-即可. 故答案为：[e,)-+∞【点睛】本题e ln 0xax a x x+-≥恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.【题型】八、构造函数并利用函数的单调性判定函数值大小例23．（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∴R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∴（﹣1，0） B ．（0，1）∴（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∴（0，1） D ．（﹣1，0）∴（1，+∞）【答案】D【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f xg x x=的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'=∴当x ＞0时，有()()0xf x f x '->， ∴当x ＞0时，()0g x '>， ∴函数()()f xg x x=在（0，+∞）上为增函数， ∴函数f （x ）是奇函数， ∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， g （x ）在（﹣∞，0）上递减， 由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0， ∴不等式f （x ）＞0∴x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∴（1，+∞）， 故选：D ．例24．（2023·全国·模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（ ）A ．2e e 2> B ．2ln 23>C ．ln π1πe< D ．ln 2ln π2π> 【答案】ABC【分析】令()()eln 0f x x x x =->，利用导数研究函数的单调性，进而可判断A ；根据指数函数与对数函数的单调性可判断B ；令()()ln 0xg x x x=>，利用导数研究函数的单调性，进而可判断CD ；【详解】对于A ：设()()eln 0f x x x x =->，则()()e e 10xf x x x x-'=-=>， 当0e x <<时，0fx，函数单调递增；当e x >时，()0f x '<，函数单调递减；所以()()e elne e 0f x f <=-=，所以()()2eln 22e 0f f =-<=，即2>eln 2， 所以 2e e 2>，故A 正确；对于B ：因为28e >，所以2ln8ln e >，所以3ln 22>，即2ln 23>，故B 正确； 对于CD ：设()()ln 0xg x x x =>，()21ln x g x x-'=， 当0e x <<时，()0g x '>，函数单调递增；当e x >时，()0g x '<，函数单调递减； 所以()()e πg g >，即ln π1πe<，故C 正确； 又()()()e π4g g g >>，所以ln πln 4ln 2π42>=，故D 错误； 故选：ABC【题型】九、构造函数法解决导数问题例25．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞，【答案】D【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ，由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ， ∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．例26．（2023·全国·高三专题练习）已知e ,3,e a b c πππ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．c a b >>【答案】C【分析】由y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数，可得到b c >，设()eln f x x x =-，利用导数求得函数()f x 单调递增，可得eln 0ππ->，进而得到c a >，即可求解. 【详解】由函数y x π=在区间(0,)+∞上为单调递增函数， 因为3e >，所以3e ππ>，即b c >， 设()eln f x x x =-，可得()e 1f x x'=-， 令()e10f x x'=-=，解得x e =， 当e x >时，0fx，()f x 单调递增，可得()()e 0f f π>=，即eln 0ππ->，即eln ππ>， 两边取e 的指数，可得e e ππ>，即c a >， 所以b c a >>. 故选：C.例27．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()3R f x f x x '>∈，1e 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式()3ln f x x <的解集为（ ）A ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1e ,e 3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．e 3⎛ ⎝【答案】C【分析】构造函数()()3exf xg x =，由已知可得函数()g x 在R 上为增函数，不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据函数的单调性即可得解.【详解】解：令()()3e x f x g x =，则()()()33e xf x f xg x '-'=， 因为()()()3R f x f x x '>∈，所以()()()330e xf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 在R 上为增函数， 不等式()3ln f x x <即不等式()3ln <1>0f x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，又()()()3ln 3ln ln ln e x f x f x g x x ==，11313e f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭，所以不等式()3ln f x x <即为()1ln 3g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln 3x <，解得0x <<所以不等式()3ln f x x <的解集为(.故选：C.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+，若()()120f x g x =>，则21x x 可取（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e【答案】CD【分析】由()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，利用同构结合()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可得到12ln x x =，则()12111e ,0x x x x x =>，记e(),(0)xh x x x=>，求出()h x '即可判断()h x 在(0,)+∞上的单调性，即可得出21e x x ≥，由此即可选出答案. 【详解】因为()()120f xg x =>，所以120,1x x >>，因为()e ()0e e 111x x xx x x f =+'+++>=恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又()()()ln 1ln ln e 1xg x x x x =+=+，因为()()12f x g x =，即()()12ln 12e 1ln e 1x xx x +=+，所以1122ln e xx x x =⇒=，所以()12111e ,0x x x x x =>，记e (),(0)xh x x x=>， 所以2(1)()x e x h x x '-= 当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()(1)e h x h ≥=，即21e x x ≥ 故选：CD.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于难题，其中将()()()ln 1ln ln e 1x g x x x x =+=+变形为()()e 1x f x x =+的结构，是解本题的关键.。
(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题
用导数求函数的单调区间——含参问题一、问题的提出应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。
其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。
尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类二、课堂简介请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。
例1、 求函数R a a x x x f ∈-=),()(的单调区间。
解：定义域为),0[+∞ ,23)('x ax x f -=令,0)('=x f 得,3a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增；(2) 0>a ,令0)('>x f 得∴>3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3[+∞a 上单调递增。
所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3[+∞a 上单调递增。
分类讨论特点：一次型，根3a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。
解：定义域R),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f令,0)('=x f 得1,121=-=x a x(1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。
(2) 211==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。
(3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。
含参单调性讨论 解析版
x 1 x)2 ，
令 g(x) ln x x 1，所以 g(x) 1 1 1 x ，
x
x
当
x
0,
1 2
时，
g ( x)
0，
g(x)
单调递增，
g( x)max
g(1 2
)
ln
2
1 2
0，
即 h(x)
0
，所以 h(x)
x 1 x ln x
在
0,
1 2
单调递减，所以
h(
x)
min
h( 1) 2
【分析】（1）求出函数的导数，讨论 a 的取值情况，结合解不等式即可求得答案；
（2）根据所给范围，讨论 a 的取值范围，确定导数正负，判断函数的单调性，即可求
得函数最小值.
【详解】（1）由题意得 f (x) 2x (2a 1) a (2x 1)(x a) ，
x
x
f (x) 定义域是{x | x 0} ，
当 0 a 1 时，由 f (x) 0 得 0 x a 或 x 1 ，
含参单调性讨论解析
一、解答题 1．讨论函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 的单调性
x
【答案】答案见解析
【分析】求导
f
x
ax
1 x
x2
1
，再分
a
0
，
a
0，1
，
a
1，
a
1，
讨论求
解.
【详解】解： f x 的定义域为 0， ，
f x a
1 x2
a 1 x
ax 2
a 1x 1
时，
f
x
0，
f
导数讨论含参单调性习题(含详细讲解问题详解)
1．设函数．〔1〕当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；〔2〕假如函数在定义域内不单调，求的取值X围；〔3〕是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？假如存在，求出满足条件的实数；假如不存在，请说明理由．2．函数是的导函数，为自然对数的底数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕当时，证明：；〔3〕当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．函数〔其中，〕.〔1〕当时，假如在其定义域内为单调函数，求的取值X围；〔2〕当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值X围，如果不存在，说明理由〔其中是自然对数的底数，〕. 4．函数，其中为常数.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假如存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.5．函数〔为常数〕是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.〔1〕求的值；〔2〕假如在与所在的取值X围上恒成立，求的取值X围；〔3〕讨论关于的方程的根的个数.6．函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.〔1〕假如()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有一样的单调性，某某数a 的取值X 围； 〔2〕假如21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.7．函数()ln x m f x e x +=-.〔1〕如1x =是函数()f x 的极值点，某某数m 的值并讨论的单调性()f x ；〔2〕假如0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，某某数m 的取值X 围〔注：常数a 满足ln 1a a =〕.8．函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． 〔1〕当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；〔2〕试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x ex x f x a x -=++=-+.〔1〕设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； 〔2〕假如()()1,x F x f x ∀≥≥,某某数a 的取值X 围. 10．函数()2xf x e ax =+-〔1〕假如1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； 〔2〕假如,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； 〔3〕假如对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且[][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值X 围。
导数讨论含参单调性习题含详细讲解问题详解
实用标准文案m(x + n)f(x) = lnx z g(x) = --- (m > 0)1.设函数X + 1 (D 当m = 1时，函数y = f(x)与y = g(x)在x = i 处的切线互相垂直，求n 的值:(2)若函数y = f(x)-g(x)在定义域不单调，求m-n 的取值国; 满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.2. 已知函数= (ax + l)lnx-ax + 3z a € R /g (x)^f(x)^导函数，e 为自然对数的底数. (1) 讨论g(x)的单调性； (2) 当a>e 时，证明：g(e _a)>0.(3) 当a>e 时，判断函数f(x)零点的个数，并说明理由. bf(x) = a(x + -)+ blnx3. 已知函数 x (其中，a,b 6 R).(1) 当b = -4时，若f(x)在其定义域为单调函数，求a 的取值围；(2) 当a = 7时，是否存在实数b,使得当xe ［e,e 2］时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在, 求b的取值围，如果不存在，说明理由(其中e 是自然对数的底数，e = 2.71828 -).4. 已知函数g(x) = x 2+ ln(x + a)，其中a 为常数. (1) 讨论函数g(x)的单调性；g(xj + g(x 2) x x + x 2 > g( --------- )(2) 若g(x)存在两个极值点X/2,求证：无论实数a 取什么值都有2 2・5. 已知函数f(x) = ln(e x+ a) (a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x) = Xf(x) + sinx 是 区间【-1, 1］上的减函数.(1)求a 的值;(2)若g(x)<t 2+ Xt + l 在xEHL, 1］及入所在的取值国上恒成立，求t 的取值国:Inx 2—=x -2ex + m(3)讨论关于x 的方程f(x)的根的个数.(3)是否存在正实数6使得 2a xf(;)・f 声屮(寿 <0对任意正实数X 恒成立？若存在，求出文档大全实用标准文案6. 已知函数 f (x) = ax-\nx,F (x) = e x + ax ,其中 x>O,a <0.(1) 若/(X)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性，数a 的取值围；(2) 若aw -oo,-—,且函数 g (x) = xe a ^1 - 2av+ f (x)的最小值为 M,求M 的X €-最小值.7. 已知函数 f(x) = e x+m -\nx.(1 )如X = 1是函数/(X)的极值点，数〃7的值并讨论的单调性/(X):(2)若X = A O 是函数/(X)的极值点，且f(x) > 0恒成立，数加的取值围(注：已知 常数a 满足<71116/= 1)・牙3(1) 当加=1 时，求证：-lvxS 0 时，f (x) < —:(2) 试讨论函数y = /(A )的零点个数.9. 已知£ 是自然对数的底数，F(x) = 2e'~1+x+liix,/(x) = d r(x-l) + 3.⑴设T(x) = F(x)-/(x),当0 = 1 + 2以时，求证：T(x)在(0,+oo)±单调递增;(2)若 Vx>l,F(x)>/(x),数a 的取值囤. 10. 已知函数 /(x) = e v+ax-2(1) 若a = -l 求函数/(%)在区间［-1,1］的最小值； (2) 若a G /?,讨论函数/(X)在(0,+co)的单调性； (3) 若对于任意的為,耳丘(°，+8)，且兀 <耳，都有xJ/CG + a ］ vxJ/Vj + a ］成立，求a 的取值囲。
导数应用之含参函数单调性的讨论(含答案)
1
导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。
2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。
2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。
三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。
2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。
5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。
6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。
四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。
8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。
9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。
3
4。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【答案】（1）；（2）减区间(0,1)，增区间(1,+∞)【解析】(1)由函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值可知,解得;(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞),由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).试题解析：(1)又函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值,所以解得.(2)由(1)可知,其定义域是(0,+∞)由,得由,得所以函数的单调减区间(0,1)，增区间(1,+∞).【考点】1.导数与极值;2.导数与单调性2.已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【答案】(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数； 2分当时，由得，且当时，，当时，所以在为减函数，在为增函数． 6分（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，则在恒成立，即在恒成立 8分令，；，；令，可知，，又当时，所以函数在只有一个零点，设为，即，且； 9分由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值， 10分把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，所以，所以整数的最大值为1． 12分【考点】（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.3.函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】，；令，得；所以函数的单调递减区间为.【考点】利用导数研究函数的单调性.4.已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R．（1）当时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0；（2）．【解析】（1）将代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x）的极值；（2）由题意首先求得：，故应按分类讨论：当a≤0时，易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0)，所以不存在实数b∈(0,1)，符合题意；当a>0时，令有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x）x∈(-1,b]的最大值，使其最大值恰为f(b)，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．试题解析：（1）当时，，则，化简得（x>-1） 2分列表如下：(1,+)+∴函数f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，， 4分∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为，在x=0处取到极大值为0； 5分（2）由题意（1）当a≤0时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)； 7分（2）当a>0时，令有x=0或，(ⅰ)当即时，函数f(x)在和(0,+∞)上单调递增，在上单调递减，要存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)，则，代入化简得（1）令，因恒成立，故恒有，∴时，（1）式恒成立； 10分（ⅱ）当即时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，此时由题，只需，解得，又，∴此时实数a的取值范围是； 12分（ⅲ）当时，函数f(x)在上单调递增，显然符合题意； 13分综上，实数a的取值范围是． 14分【考点】１．函数的极值；２．函数的最值；３．分类讨论．5.若关于的不等式的解集中的正整数解有且只有3个，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】原不等式可化为（其中，否则原不等式无解），令，则，令，得且令有，且当，所以的简图如图所示，当时，，当时，，当时，，又且，要使不等式的解集中正整数有且只有3个，由图可知即包含，，，所以只需，故.【考点】导数的应用，数形结合思想.6.已知，，（1）当时，求的单调区间（2）若在上是递减的，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）；（3）不存在实数，使的极大值为3．【解析】（1）先由得到h(x)的具体解析表达式，求出其导函数，通过解不等式得到其增区间，解不等式得到其减区间；（2）在上是递减的等价于在上恒成立，从而通过分离参数转化为恒成立，从而获得实数的取值范围；（3）先利用导数方法将的极大值用a的代数式表达出来，得到的极大值在处取到，即，令其等于3显然不好判断是否有解，我们可以再利用导数的方法判断出在上单调递增，从而可知所求实数a不存在．试题解析：(1) 当时，，则令，解得；令，解得或所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由在上是递减的，得在上恒成立，即在上恒成立，解得，又因为，所以实数的取值范围为（3），令，解得或由表可知，的极大值在处取到，即，设，则，所以在上单调递增，所以不存在实数，使的极大值为3【考点】1．利用导数求函数的单调区间;2．已知函数的单调性求参数的取值范围;3．函数的极值．7.设函数．（1）若在时有极值，求实数的值和的极大值；（2）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围．【答案】(1)；的极大值为；(2)．【解析】(1)在时有极值，意味着，可求解的值，再利用大于零或小于零求出函数的单调区间，进而确定函数的极大值；(2)转化成在定义域内恒成立问题，进而采用分离参数法，再利用基本不等式法即可求出参数的取值范围．试题解析：(1)∵在时有极值，∴有又∴，∴∴有由得，又∴由得或由得∴在区间和上递增，在区间上递减∴的极大值为（2）若在定义域上是增函数，则在时恒成立，需时恒成立，化为恒成立，，为所求．【考点】1．函数的极值与导数；2．函数的单调性与导数；3．分离参数法；4．基本不等式．8.已知定义域为R的函数，且对任意实数x，总有/（x）＜3则不等式＜3x－15的解集为()A．(﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）D．（4，﹢∞）【答案】【解析】设,则所求的不等式解集可理解为使的解集.的导函数为,根据题意可知对任意实数恒成立,所以在上单调递减.则,令,则根据单调递减可知:.【考点】导数法判断单调性;根据单调性解不等式.9.已知函数若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使，求实数a的取值范围？【答案】【解析】根据题意可知,函数在上的最小值得大于等于在上的值,所以得求得函数在上的最小值,通过导数法,判断单调性得最小值;然后令,建立关于的不等式,设出新的函数,探讨与的关系,从而得出满足条件的实数.试题解析：根据 ,求导可得,显然,所以函数在上单调递增.所以根据题意可知存在,使得,即即能成立，令，则要使，在能成立，只需使，又函数中,,求导可得.当时,显然,所以函数在上单调递减.所以，故只需.【考点】导数法求最值,单调性.10.已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R)，函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数，函数f(x)满足.（1）求f(x)的解析式；（2）讨论f(x)在区间(-3，3)上的单调性.【答案】（1）；（2）单调递增区间为，单调递减区间为，.【解析】（1）先对求导可得，由得，又F(x)=f(x)-3x2是奇函数，得的值，代加上式可得，可得函数解析式；（2）由（1）知函数的导函数，令得增区间，令得减区间.试题解析：解：（1） 1分F(x)=f(x)-3x2是奇函数，得 3分，得 5分6分（2）令得 10分-0 +0-所以单调递增区间为单调递减区间为， 12分【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.11.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)1．设函数当若函数时，函数与．在处的切线互相垂直，求的值；的取值范围；在定义域内不单调，求是否存在正实数，使得满足条件的实数；若不存在，请说明理． 2．已知函数讨论当当的单调性；时，证明：时，判断函数；是对任意正实数恒成立？若存在，求出的导函数，为自然对数的底数．零点的个数，并说明理．3．已知函数当当时，若.在其定义域内为单调函数，求的取值范围；时，不等式恒成立，如果存在，）.时，是否存在实数，使得当求的取值范围，如果不存在，说明理讨论函数，其中为常数.的单调性；若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 是5．已知函数区间上的减函数.是实数集上的奇函数，函数求的值；若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；讨论关于的方程的根的个数.试卷第1页，总2页6．已知函数f?x??ax?lnx,F?x??ex?ax，其中x?0,a?0.若f?x?和F?x?在区间?0,ln3?上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；若a,?最小值.7．已知函数f(x)?ex?m?lnx.如x?1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单调性f(x)；若x?x0是函数f(x)的极值点，且f(x)?0恒成立，求实数m的取值范围.1?，且函数g?x??xeax?1?2ax?f?x?的最小值为M，求M的2?e?x2?mx，其中0?m?1．8．已知函数f?x??ln?1?mx??2x3当m?1时，求证：?1?x?0时，f?x??； 3试讨论函数y?f?x?的零点个数． 9．已知e是自然对数的底数,F?x??2ex?1?x?lnx,f?x??a?x?1??3.1设T?x??F?x??f?x?,当a?1?2e时, 求证：T?x?在?0,上单调递增；若?x?1,F?x??f?x?,求实数a的取值范围. 10．已知函数f?x??e?ax?2x若a??1，求函数f?x?在区间[?1,1]的最小值；若a?R,讨论函数f?x?在(0,??)的单调性；若对于任意的x1,x2?(0,??),且x1?x2,求a的取值范围。
利用导数研究含参函数单调性(完美归纳)
利用导数研究含参函数的单调性 例题1：（2012年新课标21题第(1)问）讨论函数()2x f x e ax =--，a R ∈的单调性.变式训练1：（2014年四川高考题第(1)问）讨论函数()2x f x e ax =-，a R ∈的单调性.例题2：（2015年新课标Ⅱ卷）讨论函数，a R ∈的单调性.()()ln 1f x x a x =+-变式训练:1、已知函数()ln a f x x x =-，a R ∈，求()f x 的单调区间.2、已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，a R ∈；讨论函数的单调性.3、讨论函数()()21ln 1102f x x a x a x =-+--，a R ∈的单调区间.()f x例3、设函数()3223(1)1f x x a x =--+，讨论()f x 的单调性例4、讨论函数()()3211110032f x ax a x x =+--+，a R ∈的单调性变式训练：求函数()2ax f x x e =，a R ∈的单调区间例5、讨论函数()()32223163f x ax a x ax =-+++，a R ∈的单调性.讨论函数()[]2,0,1x f x e ax x =-∈，a R ∈的单调性.设函数()1ln f x x a x x=--，a R ∈；讨论()f x 的单调性.设函数()()21axe f x a R x =∈+.求()f x 的单调区间.（2016年新课标Ⅰ卷21题第（1）问）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-，其中a R ∈；（1）讨论()f x 的单调性；（2017年新课标Ⅰ卷21题第（1）问）已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2018年新课标Ⅰ卷21题第（1）问）已知函数f(x)= 1x- x+alnx ． （1）讨论f(x)的单调性；。
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析
高二数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【解析】函数在上单调递增即在恒成立,则有在恒成立即,构造函数,,当时, ,当时, ,所以当时,因此,答案为.【考点】1.导数与函数的单调性;2.不等式的恒成立问题;3.函数的最值问题2. .定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，由于，所用在上是增函数，【考点】函数的单调性与导数的关系.3.已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.【答案】(1)所以在为减函数，在为增函数;(2)最大值为1【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(3)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）定义域为，，当时，，所以在上为增函数； 2分当时，由得，且当时，，当时，所以在为减函数，在为增函数． 6分（Ⅱ）当时，，若在区间上为增函数，则在恒成立，即在恒成立 8分令，；，；令，可知，，又当时，所以函数在只有一个零点，设为，即，且； 9分由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值， 10分把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，所以，所以整数的最大值为1． 12分【考点】（1）利用导数求函数的单调性；（2）利用导数求函数的最值问题.4.设函数(其中).（1）当时,求函数的单调区间;（2）当时,求函数在上的最大值.【答案】（1）函数的递减区间为,递增区间为,；（2）【解析】（1）由，利用导数的符号判断函数的单调性和求单调区间；（2）试题解析：解：（1）当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:单调递增极大值单调递减极小值单调递增右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.（2）,令,得,, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以所以当时,;当时,；所以令，则，令，则在上递减，而所以存在使得，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上恒成立，当且仅当时取得“=”.综上，函数在上的最大值.【考点】1、导数在研究函数性质中的综合应用；2、等价转化的思想.5.直线与函数的图像有三个相异的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】得列表:x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )++y画出大到图象可得：-2<a<2,故选A.【考点】函数的极值.6.函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a＜1C．a＜0D．a≤1【答案】【解析】当时,在上为减函数,成立;当时, 的导函数为,根据题意可知, 在上恒成立,所以且,可得.综上可知.【考点】导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.7.已知f(x)=e x-ax-1．（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围.【答案】（1）若，的单调增区间为 , ,的单调增区间为；（2）.【解析】（1）对f(x)求导得，解可得单调增区间，解不等式过程中要对进行讨论；(2) 在R上单调递增，则在R上恒成立 ,即恒成立,即,求出的最小值即可.试题解析：解：（1） 1分若，则，此时的单调增区间为 2分若，令，得此时的单调增区间为 -6分（2）在R上单调递增，则在R上恒成立 -8分即恒成立即，因为当时，所以 -12分-0 +【考点】求导，函数的单调性与导数的关系.8.在区间内不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项中，时都有，所以在上为单调递增函数，所以在是增函数；选项在，而在上为增函数，所以在是增函数；选项，令得或，所以在为增函数，而，所以在上增函数；选项，令，得。
导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案解析)
1．设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.（1）求的值；（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.（1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.7．已知函数()ln x mf x ex +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ；（2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）.8．已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x ex x f x a x -=++=-+.（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2xf x e ax =+-（1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且[][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。
这也是2018年考试的热点问题。
高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。
A。
[-1,1]B。
(-1,1)C。
(-∞,-1]∪[1,+∞)D。
(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。
要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。
因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。
变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。
答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。
导数的含参分类讨论练习(含答案)
贯穿高中的数学工具系列之5《一元二次类与韦达定理》下篇含参一元二次类在高中数学的应用1、讨论导数的单调性（含参二次不等式）（1）设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1，则f (x )的单调减区间为________．（2）(2019·荆州质检)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(a)求b ，c 的值；(b)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间．(3)已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．(4)已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．(5)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．当0＜a ＜12时，讨论f (x )的单调性．(6)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .讨论f (x )的单调性．(7)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R ，讨论f (x )的单调性．(8)讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．(9)已知函数2()(2ln )(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性.(10)(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x，讨论f(x)的单调性．(11)已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．mx3＋(4＋m)x2，g(x)＝a ln(x－1)，其中a≠0．(12)设函数f(x)＝13(1)若函数y＝g(x)的图象恒过定点P，且点P关于直线x＝32对称的点在y＝f(x)的图象上，求m的值．(2)当a＝8时，设F(x)＝f′(x)＋g(x＋1)，讨论F(x)的单调性．(13)已知函数g(x)＝ln x＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．下篇含参一元二次类在高中数学的应用参考答案1讨论导数的单调性（含参二次不等式）（1）解析：f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上单调递增；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上单调递减；当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上单调递增，在区间(2，2a )上单调递减．答案：(2，2a )（2）解析：(a)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，0）＝1，（0）＝0，＝1，＝0.(b)由(a)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0．所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)解f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )(0,1)当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>1时，f(x)在(1，＋∞)(4)解g′(x)＝2ax2－(2a＋1)x＋1x＝(2ax－1)(x－1)x.∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当a＝0时，g′(x)＝－x－1 x.由g′(x)>0，得0<x<1，由g′(x)<0，得x>1.当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝1 2a，若12a<1，即a>12，由g′(x)>0，得x>1或0<x<1 2a，由g′(x)<0，得12a<x<1；若12a>1，即0<a<12，由g′(x)>0，得x>12a或0<x<1，由g′(x)<0，得1<x<12a，若12a＝1，即a＝12，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0.综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a<12时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，当a＝12时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>12时，函数g(x)(1，＋∞)上单调递增．(5)解析：因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，可得两根分别为1，1a －1，因为0＜a ＜12，所以1a－1＞1＞0，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ，1a －f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1a －1，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．(6)【解】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )(1)0<a <2时，2a>1，当x ∈(0，1)或x f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x f ′(x )<0，f (x )单调递减．(2)a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．(3)a >2时，0<2a<1，当x x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0，1)当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a >2时，f (x )(1，＋∞)内单调递增．(7)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a.此时，当x f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x f ′(x )＞0，f (x )单调递增．综上当a ≤0时，f (x )的递减区间为(0，＋∞)，当a ＞0时，f (x )(8)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈，时，f ′(x )<0；当x 1－a2a，＋f ′(x )>0，故f (x )，1－a2a，＋(9)解析函数()f x 的定义域为()()222220,,1a x ax f x x x x-+'+∞=+-=。
导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)
导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。
讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。
函数单调性讨论16种题型(解析版)
第6讲 函数单调性含参讨论16类【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）【典例分析】已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln ay x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()1,+∞【分析】（1）、先求出()f x '，对a 分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;（2）、由题意将问题转化为()e e ln x a x a =+有两个不同的实根，构造()e x g x x =，判断()g x 的单调性；要使()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根；构造()ln h x x x a =--，对a 分类讨论判断()h x 的单调性，判断()h x 的零点，得出a 的取值范围. 解（1）()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x af x x x+'∴=+=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；①、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间； 当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -.【变式演练】1.已知函数()ln af x x x=+，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：()()g x f x x<. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导，再根据导数的正负求出函数的单调区间，（2）要证()()g x f x x<，只要证sin ln 10x e x x x +-->，由于(0,1)x ∈时，sin ln 1110x e x x x +-->-=，当[1,)x ∈+∞时，令()sin ln 1x g x e x x x =+--，再利用导数求出其最小值大于零即可（1）()ln af x x x=+的定义域为(0,)+∞221()a x a f x x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得x a >；令()0f x '<，解得0x a <<； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间； 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增； 2.已知函数()(2)e x f x x a =-. （1）求()f x 的单调区间（2）若()f x 的极值点为12-，且()()()f m f n m n =≠，证明：3()0ef m n -<+<.【答案】（1）单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）求导()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '<，()0f x '>求解；（2）由（1）结合()f x 的极值点为12-，由2122a -=-，得到1a =，()(21)e x f x x =-，作出函数()f x 的大致图象，不妨设m n <，根据()()()f m f n m n =≠，得到1122m n <-<<，再由 3(1)ef -=-，将证明3()0ef m n -<+<，转化为证明1m n +<-即可. 解：()f x 的定义域为R ，()(22)e xf x x a +-'=，由()0f x '=，得22a x -=.当2,2a x -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当2,2a x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x 的单调递减区间为2,2a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,2a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）【典例分析】已知函数()()2ln f x x a x a =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax =++的两个极值点，证明：()21g x x >.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数；当0a <时，若()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数；（2）证明见解析. 【分析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，求导()2f x ax x+='，分类讨论0a ≥和0a <两种情况，研究()'f x 的正负，从而求得函数的单调区间；（2）由题得2()2ln ()g x x x a =++，则()221()x ax g x x++'=，由()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax=++的两个极值点，可知120x x <<，所以1201x x <<<，要证()21g x x >，需证()2221212ln 1g x x x x x =+>，构造函数1()2ln (1)h x x x x x=+>，即证 ()1h x >，从而证得()21g x x >.【详解】（1）易知()f x 的定义域为()0,∞+，22()ax a x xf x +=+='. 当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上为单调递增函数； 当0a <时，若20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()0f x '>，若2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，则()0f x '<， 所以()f x 在20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数.【变式演练】1.已知函数f (x )=alnx +1x +4，其中a ∈R ． （1）讨论函数f (x )的单调性；（2）对任意x ∈[1,e ]，不等式f (x )≥1x +(x +1)2恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析（2）[(e +1)2−4,+∞) 【分析】（1）求出导函数f ′(x)，分类讨论确定f ′(x)的正负得单调区间；（2）不等式变形为(x +1)2−alnx −4≤0．引入新函数g (x )=(x +1)2−alnx −4(x ∈[1,e ])，求出导函数g ′(x)，分类讨论a ≤0时，不等式不恒成立，a >0时由导数确定函数有极小值点，而最大值是比较g(e )和g(1)的大小得到，从而得出参数范围． 解（1）函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ax −1x 2=ax−1x 2，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减； 当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ， 由f ′(x )<0，得0<x <1a ，①函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，函数f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在(0,1a )上单调递减，在(1a ,+∞)上单调递增.2.己知函数()e mxf x x =(其中e 为自然对数的底数)（1）讨论函数()f x 的单调性;（2）当1m =时，若()ln 1f x x ax ≥++恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2）(],1-∞ 【分析】（1）()()'1mxf x mx e =+，进而分0m =，0m >，0m <三种情况讨论求解即可；（2）由题意知ln 1xx a e x +≤-在()0+∞，上恒成立，故令ln 1()x x g x e x+=-，再根据导数研究函数的最小值，注意到01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()'00g x =，进而结合函数隐零点求解即可.（1）解：()()'1mxf x mx e =+①0m =，()f x 在R 上单调增； ①0m >，令()'10f x x m ==-，，()()'1,,0,x f x f x m ⎛⎫∈-∞-< ⎪⎝⎭单调减。
专题10 导数含参单调性讨论详述版(解析版)
导数章节知识全归纳专题10 导数含参单调性讨论（详述版）一．知识点归纳：核心知识：1.函数的单调性与导数（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。
总结：含参单调性讨论主要针对学生对于含有参数的函数进行单调性讨论存在严重问题，时常分不清楚何时讨论参数，以及先哪一步在哪一步：这里君哥给大家总结如下：第一类：简单含参--独立含参，先讨论恒成立，再分类。
第二类：多位置含参数：首先考虑是否可以进行十字相乘，在讨论根的大小，再讨论单调性。
第三类：二次函数型含参：必考虑∆，在讨论根的大小，最后讨论单调性。
第四类：其他函数型含参：画图看交点。
二．导数含参单调性讨论典型例题：类型一：独立含参讨论：例：1．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导，对参数a 进行分类讨论判断导函数的正负，最后判断原函数的单调。
【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()110ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得1x a =，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，()f x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减. 例：2．已知函数()ln ()f x x ax a R =+∈.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）对参数a 分类讨论，分别求得对于范围内的单调区间；【详解】（1）函数()ln f x x ax =+的定义域为()0,∞+当0a ≥时，()10f x a x'=+>恒成立，故函数f (x )在()0,∞+上单调递增 当0a <时，令()10ax f x x +'=>，得10x a<<-；令()0f x '<，得1x a>-. 故函数()ln f x x ax =+在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 变式：1．函数()ln 2.f x x mx =-+（1）求函数()y f x =的单调区间；解：【分析】（1）求导，分别讨论0m ≤和0m >两种情况()f x '的正负，即可求得()y f x =的单调区间.【详解】（1）()11,(0).mx f x m x x x-'=-=> 当0m ≤时，()0f x '>，所以()y f x =在()0,∞+为增函数，当0m >时，令()0f x '=，解得1x m=； 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()y f x =为增函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， ()y f x =为减函数， 综上：当0m ≤时，()y f x =的单调增区间为()0,∞+，当0m >时，()y f x =的单调增区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 变式：2．已知函数()21ln 2f x x a x =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）对参数a 进行分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性；【详解】（1）()2a x a f x x x x-'=-=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,∞+上单调递增，当0a >时，令()0f x '=，得x =从而()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增.变式：3．已知函数()e xf x ax =-，()ln xg x x a =-. （1）求函数()g x 的单调区间；解：【分析】（1）先求导得到()'g x ，再分0a <和0a >两种情况讨论()g x 的单调性和单调区间；【详解】解：（1）由题意知()g x 的定义域是()0,∞+，()11g x x a '=-， 当0a <时，()110g x x a-'=>恒成立，所以()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，由()110a x g x x a ax -'=-=>得0x a <<，所以()g x 在()0,a 上单调递增， 由()110a x g x x a ax-'=-=<得x a >，所以()g x 在(),a +∞上单调递减.综上所述，当0a <时，()g x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当0a >时，()g x 的单调递增区间为()0,a ，单调递减区间为(),a +∞.类型二：独立含参难：例：1.已知函数()x f x e ax =-，()212g x ax ax x =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()x f x e a '=-，分0a ≤，0a >讨论求解；【详解】（1）∵()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0xf x e a '=->在R 上恒成立， ∵()f x 在(),-∞+∞上是递增的.当0a >时，令()0f x '>，则ln x a >；令()0f x '<，则ln x a <.∵()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增.综上所述，当0a ≤时，()f x 是(),-∞+∞上的增函数，当0a >时，()f x 在(),ln a -∞是减函数，在()ln ,a +∞上是增函数.例2．已知函数()ln 1()f x a x x a =++∈R .（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）首先对函数进行求导，通过对a 进行分类讨论，可得()f x 的单调性；【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()1a x a f x x x+=+=， 当0a ≥时，0f x ，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，若0x a <<-，则0f x ；若x a >-，则0f x ， 所以()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增.综上：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；例3．已知函数()2ln(1)1f x ax x =-++，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）先写定义域，对函数求导，再讨论0a ≤时和0a >时导数的正负情况，即得函数的单调性；【详解】解：（1）()f x 的定义域为 (1,)-+∞，1()21f x a x =-+'， ①当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在(1,)-+∞上单调递减； ②当0a >时，221()1ax a f x x '+-=+，由()0f x '>解得122a x a ->，由()0f x '<解得1212a x a--<<， 即()f x 在121,2a a -⎫⎛- ⎪⎝⎭上单调递减，在12 ,2a a -⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(1,)-+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在121,2a a -⎫⎛- ⎪⎝⎭上单调递减，在12 ,2a a -⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 变式：1．已知函数()()1x f x ax e =+.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）先求导函数，然后分析导函数符号只与含参一次因式有关，所以对a 分0,0,0a a a >=<三种情况进行讨论；【详解】解：（1）因为()()1x f x ax e =+，所以()()()11x x x f x ae ax e ax a e '=++=++. 若0a =，则()0f x '>，()f x 是R 上的增函数；若0a >，则当1a x a -->时，()0f x '>；当1a x a--<时，()0f x '<. 故()f x 的单调递增区间为1,a a --⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a a --⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 若0a <，则当1a x a -->时，()0f x '<；当1a x a--<时，()0f x '>， 故()f x 的单调递减区间为1,a a --⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a a --⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.变式：2．已知函数2()(1)12ln f x m x x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()22()1f x mx mx x'=+-，分0m =，0m >，0m <讨论求解； 【详解】（1）函数2()(1)12ln f x m x x =+--， 求导得：()222()2(1)1f x m x mx mx x x'=+-=+-， 当0m =时，2()0f x x=-<'，所以()f x 在()0,∞+上递减； 当0m >时，240m m ∆=+>，令()0f x '=，则方程210mx mx +-=有两个不同的根，.10x =<，20x =>， 当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上递减，在()2,x +∞上递增；当0m <时，()21y m x =+在()0,∞+上递减，1ln y x =--在()0,∞+上递减， 所以()f x 在()0,∞+递减；类型三：二次函数类型含参：例：1.已知函数()31f x x ax =-+，a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）先求函数的导数，()23f x x a '=-，再分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；【详解】（1）由题意()f x 的定义域为R ，()23f x x a '=-， ①若0a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在R 上为单调递增函数；②若0a >，由()230f x x a '=-=解得13x =-，23x =，()0f x '>的解为3x <-或3x >，()0f x '<的解为33x -<<，即()f x 的增区间为,3⎛-∞- ⎝⎭，,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 例2．已知函数()2()12ln ,f x a x x a R =--∈. （1）2a =时，求在(1,(1))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求函数的导数()22222ax f x ax x x-'=-=，()0x >，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性； 【详解】当2a =时，()()2212ln f x x x =--，0x >， ()22424x f x x x x-'=-=，()10f =，()12f '=， ()f x ∴在1x =处的切线方程是()21y x =-.（2）()22222ax f x ax x x-'=-=，()0x > 当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在()0,∞+上单调递减，当0a >时，令()0f x '>，解得：x >，令()0f x '<，解得：0x <<，()f x ∴的增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间是0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，综上可知：0a ≤时，函数的减区间是()0,∞+，无增区间；0a >时，函数的增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间是⎛ ⎝⎭. 变式：1．已知函数()2ln 1f x a x x =++，其中a R ∈且0a ≠ （1）求函数()f x 的单调区间；解：【分析】（1）求出()222a x a f x x x x='+=+，然后分a >0、a <0两种情况讨论即可； 【详解】（1）函数的定义域为(0，+∞)，()222a x a f x x x x ='+=+，当a >0时，()0f x '>，f (x )在(0，+∞)上单调递增，此时()f x 的增区间为(0，+∞)；当a <0时，令()0f x '=，解得x =x =)，则0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.此时()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭综上，当a >0时，()f x 的增区间为(0，+∞)；当a <0时，()f x 的单调减区间是⎛ ⎝⎭，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭变式：2．已知函数2()2ln 3f x x ax x =-+-. （1）讨论()f x 的单调性. 解：【分析】（1）求导，分2160a ∆=-≤，2160a ∆=->情况讨论导函数的正负，可得原函数的单调性； 【详解】（1）解：2222'()2x ax f x x a x x-+=-+=. 当2160a ∆=-≤，即44a -≤≤时，'()0f x ≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.当2160a ∆=->，即4a或4a >时，令2220x ax -+=，得x =.当4a时，两根均为负数，则'()0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当4a >时，两根均为正数，所以()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在44a a ⎛+⎪⎝⎭,上单调递减. 综上所述，当4a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当4a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在44a a ⎛+ ⎪⎝⎭,上单调递减.变式：3．已知函数()22ln kx f x x x +-=.（1）讨论()f x 的单调性； 解：【分析】（1）明确函数的定义域，求出导函数，对参数分类讨论，结合导函数与单调性的关系得到结果； 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,∞+，求导得()()21221220kx x f x kx x x x+-'=+-=>.记()2221g x kx x =+-，①当0k =时，令()102g x x =⇒=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '<⇒<⇒单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '>⇒>⇒单调递增；②当0k >时，480k ∆=+>，()0g x x =⇒==，当10,2x k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '<⇒<⇒单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x '>⇒>⇒单调递增； ③当0k <时，令480k ∆=+≤得1,2k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()22210g x kx x =+-≤在()0,∞+恒成立，于是()0f x '≤在()0,∞+恒成立，()f x 在定义域()0,∞+上单调递减.若1,02k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则480k ∆=+>，令()10g x x =⇒=2x =()0f x '=有2个不相等正根，()f x 在10,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,22k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减. 综上，当0k =时，函数增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当0k >时，函数增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间为⎛ ⎝⎭； 当12k ≤-时，函减区间为()0,∞+，无增区间；当102k -<<时，函数增区间为⎝⎭，减区间为10,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭； 类型四：多参函数讨论： 例：1.已知函数()(1),()af x x a lnx a R x=--+∈． （1）当2a =时，求()f x 的极值； （2）若0a >，求()f x 的单调区间． 解：【分析】（1）首先求函数的导数，2232()(0)x x f x x x -+'=>，判断函数的单调性后得到函数的极值；（2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，分1a >，1a =和01a <<三种情况讨论求函数的单调递减区间. 【详解】解：（1）因为当2a =时，2()3f x x lnx x=--， 所以2232()(0)x x f x x x-+'=>，由()0f x '=得1x =或2x =， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况列表如下：所以当1x =时，()f x 取极大值1-；当2x =时，()f x 取极小值132ln -． （2）222(1)()(1)()x a a x x a x f x x x +-+--'==，12()0,1f x x a x '=⇒==①当1a >时，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当1a =时，()0f x '≥在(0,)+∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当01a <<时，当(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,1)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①当1a >时，()f x 单调递增区间为(0,1)，(,)a +∞．单调递减区间为(1,)a ；②当1a =时，()f x 单调增区间为(0,)+∞，无减区间；③当01a <<时，()f x 单调递增区间为(0,)a ，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)a ．例2．已知函数()221()2ln 2()2f x x ax x x ax a =--+∈R . （1）若0a =，求()f x 的最小值； （2）求函数()f x 的单调区间. 解：【分析】（1）若0a =，221()ln 2f x x x x =-利用导数得出()f x 在()0,∞+的单调性即可求解.（2）()()22ln f x x a x '=-再讨论0a ≤、01a <<、1a =、1a >函数()f x 的单调区间即可. 【详解】（1）若0a =，221()ln 2f x x x x =-定义域为()0,∞+， 21()2ln 2ln f x x x x x x x x'=+⨯-=，由()0f x '>可得1x >， 由()0f x '<可得01x <<，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()f x 的最小值为1(1)2f =-； （2）()()()21()22ln 2222ln f x x a x x ax x a x a x x'=-+-⋅-+=- ①当0a ≤时，220x a ->，由()0f x '>可得1x >， 由()0f x '<可得01x <<，此时()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞， ②当01a <<时，由()0f x '>可得0x a <<或1x > 由()0f x '<可得1<<a x ，此时()f x 的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为()0,a 和()1,+∞， ③当1a =时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()0,∞+，④当1a >时，由()0f x '>可得01x <<或x a >， 由()0f x '<可得1x a <<，此时()f x 的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为()0,1和(),a +∞，综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞， 当01a <<时，()f x 的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为()0,a 和()1,+∞， 当1a =时， ()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当1a >时，()f x 的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为()0,1和(),a +∞，变式：1．已知函数()()24ln 22f x x a x a x =-+-，a R ∈．（1）当1a =时，求证：()4ln 2f x ≥-； （2）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性． 解：【分析】（1）当1a =时，可得()24ln 2f x x x x =--，利用导数求得()min 4ln 2f x =-，由此可证得结论成立；（2）求得()()()22x a x f x x+-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 单调递增区间和递减区间. 【详解】（1）当1a =时，()24ln 2f x x x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，()()()2212422422x x x x f x x x x x+---'=--==， 当02x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 当2x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.所以，()()min 24ln 2f x f ==-，因此，当1a =时，求证：()4ln 2f x ≥-；（2）当0a ≤时，函数()()24ln 22f x x a x a x =-+-的定义域为()0,∞+，()()()()()22224224222x a x a x a x af x x a x x x+--+-'=-+-==. ①当0a -=时，即当0a =时，则()()22f x x '=-. 由()0f x '<可得02x <<，由()0f x '>可得2x >.此时，函数()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞； ②当02a <-<时，即当20a -<<时，由()0f x '<可得2a x -<<，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >.此时，函数()f x 的单调递减区间为(),2a -，单调递增区间为()0,a -、()2,+∞；③当2a -=时，即当2a =-时，则()()2220x f x x-'=≥对任意的0x >恒成立，此时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ④当2a ->时，即当2a <-时，由()0f x '<可得2x a <<-，由()0f x '>可得02x <<或x a >-.此时，函数()f x 的单调递减区间为()2,a -，单调递增区间为()0,2、(),a -+∞. 综上所述，当0a =时，函数()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞； 当20a -<<时，函数()f x 的单调递减区间为(),2a -，单调递增区间为()0,a -、()2,+∞； 当2a =-时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当2a <-时，函数()f x 的单调递减区间为()2,a -，单调递增区间为()0,2、(),a -+∞.变式：2．已知函数()ln ()mf x x mx m x=--∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； 解：【分析】（1）2221()m mx x m f x m x x x++'=---=-，0x >，分0m =，0m ≠两种情况，根据二次函数的性质,利用判别式结合函数的定义域，由导数的正负判断； 【详解】（1）2221()m mx x mf x m x x x++'=---=-，0x >， 若0m =，则1()0f x x'=-<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 若0m ≠，则二次函数2y mx x m =++的判别式214m ∆=-，当0∆≤，即12m ≤-或12m ≥时，若12m ≤-，则()0f x '≥，等号不恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若12m ≥，则()0f x '≤，等号不恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.当0∆>，即1122m -<<且0m ≠时， 令()0f x '=，即20mx x m ++=，此时112x m -=212x m-+=，121x x m +=-，121=x x ，若102m <<，则1x ，20x <，此时()0f x '<恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减； 若102m -<<，则210x x <<，当()20,x x ∈时，()0f x '>， 当()21,x x x ∈时()0f x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>， 即函数()f x 在()20,x 和()1,x +∞上单调递增，在()21,x x 上单调递减. 综上，当0m ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当12m ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当102m -<<时，函数()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. 变式：3．已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，(0,10)x ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性； 解【分析】（1）求导后得()()()()221010ax ax f x x x +-'=<<；分别在110a ≥和1010a<<两种情况下，根据()f x '的符号可确定()f x 的单调性；【详解】（1）()()()()222212010ax ax a f x a x x x x+-'=-++=<<. 0a >，010x <<，20ax ∴+>.①当110a ≥，即当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<， ()f x ∴在()0,10上单调递减；②当1010a <<，即1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当1,10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当10,10a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在()0,10上单调递减； 当1,10a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 类型五：其他函数含参讨论：例：1.已知函数()1x f x ke x -=-．（1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）对函数求导，分0k ≤和0k >两种情况，分别得出函数的单调性；【详解】（1）()11x f x ke -=-'，当0k ≤时，()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0k >时，令()0f x '=，得1ln x k =-，当(),1ln x k ∈-∞-时，()0f x '<；当()1ln ,x k ∈-+∞时，()0f x '>．故()f x '在(),1ln k -∞-上单调递减，在()1ln ,k -+∞上单调递增．例2.．已知函数()22x f x xe ax ax =++，e 为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导()()()12x f x x e a '=++，分0a ≥，102a e-<<，12a e =-，12a e <-讨论求解.【详解】（1）()()()12x f x x e a '=++， ①当0a ≥时，20x e a +>，(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增．②当102a e-<<时，()ln 21a -<-， ()(),ln 2x a ∈-∞-，20x e a +<，()0f x '>，()f x 单调递增，()()ln 2,1x a ∈--，20x e a +>，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞，20x e a +>，()0f x '>，()f x 单调递增，③当12a e =-时，()()()110x f x x e e -'=+-≥，(),x ∈-∞+∞，()f x 单调递增 ④当12a e<-时，()ln 21a ->-， (),1x ∈-∞-，20x e a +<，()0f x '>，()f x 单调递增，()()1,ln 2x a ∈--，20x e a +<，()0f x '<，()f x 单调递减，()()ln 2,x a ∈-+∞，20x e a +>，()0f x '>，()f x 单调递增．例3．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-．当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．变式：1．设()()ln a f x ax x =+，()11ln x g x b e x x-=⋅+,其中,a b ∈R ，且0a ≠. （1）试讨论()f x 的单调性；解：【分析】（1）分别在0a <和0a >两种情况下，结合定义域，根据导函数的正负可确定原函数的单调性；【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=， ①当0a <时，由0ax >得：0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>；()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；②当0a >时，由0ax >得：0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增.变式：2．已知函数()()()ln 1f x a a x x a =++∈R ．（1）求讨论函数()f x 的单调性；解：【分析】（1）当0a =时，()1f x =是常数函数，可得结论，当0a ≠时，求出()f x '分0a >和0a <进行讨论得到答案.【详解】（1）函数()()()ln 1f x a a x x a =++∈R 的定义域是()0,∞+，()()1a a x a f x a x x +⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭． 当0a =时，()1f x =是常数函数，不具有单调性；当0a >时，()0f x '>对任意()0,x ∈+∞恒成立，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，令()0f x '<，得x a >-，令()0f x '>，得0x a <<-，故函数()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减．综上：当0a >时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 不具有单调性；当0a <时，函数()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减．变式：3．已知函数()()2e 21x f x x a x x =+++，a ∈R .（1）求()f x 的单调区间；解：【分析】（1）利用导数的基本运算可得()()()12x f x x e a '=++，讨论0a ≥、102a e -<<或12a e <-，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果.【详解】解：（1）由题意得()()()12xf x x e a '=++， 令()()()12xg x x e a =++， 当0a ≥时，()10g -=，即当(),1x ∈-∞-时，()()0g x f x ='<；当()1,x ∈-+∞时，()()0g x f x '=>，故()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞； 当12a e<-时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x <，故()f x 的单调递减区间为()()1,ln 2a --，单调递增区间为(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞； 当12a e-=时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x =，满足()()0g x f x '=≥，故()f x 在R 上单调递增；当102a e-<<时，令()()0g x f x '==， 则11x =-，()2ln 2x a =-，12x x >，故()f x 的单调递减区间为()()ln 2,1a --，单调递增区间为()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞. 综上，当0a ≥时，()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为()1,-+∞； 当12a e -<时，()f x 的单调递减区间为()()1,ln 2a --， 单调递增区间为(),1-∞-，()()ln 2,a -+∞； 当12a e-=时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞； 当102a e -<<时，()f x 的单调递减区间为()()ln 2,1a --， 单调递增区间为()(),ln 2a -∞-，()1,-+∞.。
导数之含参函数的单调性的分类讨论
高考数学微专题第 1 页 导函数三种含参的单调性讨论类型一：导函数为含参一次型的函数单调性针对通分后分子是一次型的，我们考虑能否参数取得某一个范围使得导数是大于0或者小于0恒成立，如果可以，再去讨论另外的范围。
这样做的好处是思路清晰，不会导致漏了讨论的范围。
例题1：已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论f(x)的单调性变式1：函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=，求函数的单调区间变式2：已知函数x e x f ax 3)(+=，求f(x)的单调区间变式训练3：已知函数2ln )(-+=x xa x f ，是否存在实数a,使得函数f(x)在],0(2e 上有最小值？若存在，求a 的值，若不存在，说明理由 类型二：导函数为含参二次型可因式分解的函数单调性针对求导后为含参二次型可因式分解的函数单调性，如果参数处在二次项系数，先讨论能否为0；再通过因式分解为两个因式的积。
接着首先讨论两根相等时，因为我们寻找了一种临界情况。
接下来就好确定分类标准了，这一点不可不知。
也会省去求不等式解集的麻烦。
例2：求函数2ln )1()(2ax x x a x f +--=的单调区间 变式1：已知函)(11ln )(R a xa ax x x f ∈--+-=，讨论f(x)的单调性 变式2：已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 。
讨论f(x)的单调性变式3：已知函数x x x f cos 2)(2+=，函数)22sin (cos )(-+-=x x x e x g x（1）求曲线y=f(x)在点))(,(ππf 处的切线方程（2）令))(()()(R a x af x g x h ∈-=，讨论会h(x)的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值类型三：导函数为含参二次型不可因式分解的函数单调性导数含参二次型不可因式分解是我们遇到的第三种情况，我们依然遵循求导通分定义域的步骤书写大题过程。
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
导数讨论含参单调性习题(含详解答案)
m(x + n}f(x) - lnx T g(x) = --------- m > 0)1 •设函数x T .(1)当m= l|时，函数¥訂(刈与¥ =創刈在"1处的切线互相垂直，求n的值；(2)若函数¥“仪卜創对在定义域内不单调，求m-n的取值范围；2a 3K xf(T 他M f(—) < 0(3)是否存在正实数使得x 2a 对任意正实数K恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.2•已知函数fW = (^ + l)lnx-ax + 3f aG R,g(x)是f闵的导函数，*为自然对数的底数.(1)讨论：的单调性；(2)当白X时，证明：寓(3)当白X时，判断函数f凶零点的个数，并说明理由.bf(«) = + ) + blnx3.已知函数x(其中，忆b€R).(1)当b = Y时，若f")在其定义域内为单调函数，求臼的取值范围；(2)当：：八」时，是否存在实数H,使得当’■ ■时，不等式卜心■冷恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中电是自然对数的底数，“ 2一7182旷).4 •已知函数gW = x2 + ln(x + a)|,其中臼为常数.(1)讨论函数•的单调性；S(Xj) +g(x?) x t +x z(2)若或叮存在两个极值点叫*刈，求证：无论实数臼取什么值都有 2 £ 2 .5 .已知函数肛"油盧2)(玄为常数)是实数集"上的奇函数，函数屮“用刈卡商帥是区间Il上的减函数.(1)求的值；(2)若恥；-「：在卜G 及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；Irx ?=x -2e* + m(3)讨论关于丸的方程f⑷的根的个数.6 •已知函数f x ax ln x, F x e x ax，其中x 0, a 0.(1)若f x和F x在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2) 若a最小值.1,二，且函数g x eax 1 xe 2 ax f x的最小值为M，求M的7.已知函数 f (x) e x m In x .(1)如x1是函数f(x)的极值点，求实数m的值并讨论的单调性 f (x)；(2) 若x x。
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1．设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域不单调，求的取值围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由．3．已知函数（其中，）.（1）当时，若在其定义域为单调函数，求的取值围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数.（1）求的值；（2）若在及所在的取值围上恒成立，求的取值围；6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><.（1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，数a 的取值围； （2）若21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值.7．已知函数()ln x mf x ex +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，数m 的值并讨论的单调性()f x ；（2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，数m 的取值围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）.8．已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x ex x f x a x -=++=-+.（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,数a 的取值围. 10．已知函数()2xf x e ax =+-（1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且[][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值围。
参考答案1．（1）;（2）；（3）．【解析】试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当时，，可知在处的切线斜率，同理可求得，然后再根据函数与在处的切线互相垂直，得，即可求出结果．(2)易知函数的定义域为，可得，由题意，在有至少一个实根且曲线与x不相切，即的最小值为负，由此可得，进而得到，由此即可求出结果. (3)令，可得，令，则，所以在区间单调递减，且在区间必存在实根，不妨设，可得，(*)，则在区间单调递增，在区间单调递减，∴，，将(*)式代入上式，得．使得对任意正实数恒成立，即要求恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果．试题解析：(1)当时，，∴在处的切线斜率，由，得，∴，∴．(2)易知函数的定义域为，又，由题意，得的最小值为负，∴．(注：结合函数图象同样可以得到)，∴∴，∴；(3)令，其中，则，则，则，∴在区间单调递减，且在区间必存在实根，不妨设，即，可得，(*)则在区间单调递增，在区间单调递减，∴，，将(*)式代入上式，得．根据题意恒成立，又∵，当且仅当时，取等号，∴，∴，代入(*)式，得，即，又，∴，∴存在满足条件的实数，且．点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数，利用恒成立；恒成立，即可求出参数围.2．（1）①当时，在上为减函数；②当时，的减区间为，增区间为；（2）证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导，当时，，故在上为减函数；当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2）根据，构造函数，设，，当时，，所以是增函数，，得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，从而得到的增减性，当时，；当时，；当时，，从而在两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值，所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点．试题解析：（1）对函数求导得，，①当时，，故在上为减函数；②当时，解可得，故的减区间为，增区间为；（2），设，则，易知当时，，；（3）由（1）可知，当时，是先减再增的函数，其最小值为，而此时，且，故恰有两个零点，∵当时，；当时，；当时，，∴在两点分别取到极大值和极小值，且，由知，∴，∵，∴，但当时，，则，不合题意，所以，故函数的图象与轴不可能有两个交点．∴函数只有一个零点．3．（1）；（2）存在，且.【解析】试题分析：（1）当时，首先求出函数的导数，函数的定义域是，得到，分和两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到的取值围；（2），分和两种情况讨论函数的单调性，若能满足当时，当满足函数的最小值大于0，即得到的取值围.试题解析：（1）由题①当时，知，则是单调递减函数；②当时，只有对于，不等式恒成立，才能使为单调函数，只需，解之得或，此时.综上所述，的取值围是（2），其中.（）当时，，于是在上为减函数，则在上也为减函数. 知恒成立，不合题意，舍去.（）当时，由得，列表得最大值①若，即，则在上单调递减.知，而，于是恒成立，不合题意，舍去.②若，即.则在上为增函数，在上为减函数，要使在恒有恒成立，则必有则，所以由于，则，所以.综上所述，存在实数，使得恒成立.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为 .4．（1）当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增;（2）见解析.【解析】试题分析: （1）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究在上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间，（2）先由（1）知，且两个极值点满足.再代入化简得,利用导数研究单调性，最后根据单调性证明不等式.试题解析:（1）函数的定义域为.，记，判别式.①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然（ⅰ）若，图象的对称轴，.两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.，∴又，.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.5．（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义可得，再根据恒等式定理可得.（2）由函数是区间上的减函数，得其导函数恒非正，即最小值，而在恒成立等价于，从而有对恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负即可，解不等式组可得的取值围（3）研究方程根的个数，只需转化为两个函数，交点个数，先根据导数研究函数图像，再根据二次函数上下平移可得根的个数变化规律试题解析：（1）是奇函数，则恒成立，∴，即，∴，∴.（2）由（1）知，∴，∴，又∵在上单调递减，∴，且对恒成立，即对恒成立，∴，∵在上恒成立，∴，即对恒成立，令，则，∴，而恒成立，∴.（3）由（1）知，∴方程为，令，，∵， 当时，，∴在上为增函数； 当时，，∴在上为减函数；当时，，而，∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当，即时，方程无解；②当，即时，方程有一个根；③当，即时，方程有两个根.点睛：对于求不等式成立时的参数围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 6．（1）M 的最小值为0.（2）(],3-∞-. 【解析】试题分析：（1）由()()11,,0x ax f x a F x e a x x x-=-==+>′′()0f x ⇒<′在()0,+∞上恒成立⇒()f x 在()0,+∞上单调递减⇒当10a -≤<时，()0F x >′，即()F x 在()0,+∞上单调递增，不合题意；当1a <-时，利用导数工具得()F x 的单调减区间为()()0,ln a -，单调增区间为()()ln ,a -+∞⇒()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性⇒()ln ln3a -≥⇒3a ≤-⇒a 的取值围是(],3-∞-；（2）由()()1110ax g x ax ex -⎛⎫=+-=⇒ ⎪⎝⎭′ 1ln x a x-=，设()()21ln ln 2,x x p x p x x x--==′利用导数工具得()()22min 1p x p e e ==-⇒1ln x a x -≤⇒110ax e x --≤，再根据单调性()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设(()()222110,,ln 10t t e g h t t t e a a e ⎛⎫⎤=-∈-==-+<≤ ⎪⎦⎝⎭⇒()()2110,h t h t e t =-≤′在(20,e ⎤⎦上递减⇒()()20h t h e ≥=⇒M 的最小值为0. 试题解析： （1）()()11,,0x ax f x a F x e a x x x-=-==+>′′， ()0,0a f x <<′在()0,+∞上恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递减.当10a -≤<时，()0F x >′，即()F x 在()0,+∞上单调递增，不合题意； 当1a <-时，由()0F x >′，得()ln x a >-，由()0F x <′，得()0ln x a <<-. ∴()F x 的单调减区间为()()0,ln a -，单调增区间为()()ln ,a -+∞.()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，∴()ln ln3a -≥，解得3a ≤-， 综上，a 的取值围是(],3-∞-. （2）()()111111ax ax ax g x eaxe a ax e x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭′，由110ax ex --=得到1ln x a x -=，设()()21ln ln 2,x x p x p x x x--==′，当2x e >时，()0p x >′；当20x e <<时，()0p x <′.从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增.∴()()22min 1p x p e e==-. 当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤， 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上，()()10,0,ax g x g x +>≤′递减； 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()()10,0,ax g x g x +<≥′递增.∴()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设(()()222110,,ln 10t t e g h t t t e a a e ⎛⎫⎤=-∈-==-+<≤ ⎪⎦⎝⎭， ()()2110,h t h t e t=-≤′在(20,e ⎤⎦上递减.∴()()20h t h e ≥=； ∴M 的最小值为0. 考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.7．（1）1m =-，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）[ln ,)m a a ∈--+∞. 【解析】试题分析：（1）由1x =是函数()f x 的极值点，得()01='f 可得m 得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；（2）由题意知1'()x mf x ex +=-，设1()x m h x e x+=-，知()0>'x h 得()x h 单调递增，即0x x =是'()0f x =在(0,)+∞上的唯一零点，得00ln x x m --=，()()0min x f x f =，使得()00≥x f 即可，结合ln 1a a =，得参数m 围.试题解析：（1）∵1x =是函数()f x 的极值点，∴1'(1)010mf e +=⇒-=.∴1m =-，1111'()x x xe f x ex x---=-=. 令1()1x g x xe -=-，111'()(1)0x x x g x e xe x e ---=+=+>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1g x g >=-，(1)0g =. ∴当(0,1)x ∈，()0g x <；当(1,)x ∈+∞，()0g x >. ∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 此时，当1x =时()f x ，取极小值.（2）1'()x mf x ex +=-，设1()x m h x e x +=-， 则21'()0x mh x e x+=+>.∴()h x 在(0,)+∞上单调递增，∴'()f x 在(0,)+∞上单调递增. ∵0x x =是函数()f x 的极值点，∴0x x =是'()0f x =在(0,)+∞上的唯一零点， ∴0000000011ln ln ln x mex m x m x m x x x x +=⇒+=⇒+=⇒=--. ∵00x x <<，0'()'()0f x f x <=，0x x >，0'()'()0f x f x >=，∴()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴()f x 有最小值. ∴0min 00001()()ln x mf x f x e x x m x +==-=++. ∵()0f x ≥恒成立，∴0010x m x ++≥，∴00001ln x x x x +≥+， ∴001ln x x ≥.∵ln 1a a =，∴0x a ≤， ∴00ln ln m x x a a =--≥--，[ln ,)m a a ∈--+∞.考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）恒成立问题. 【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立.考查函数的单调性，由()0>'x f ，得函数单调递增，()0<'x f 得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为()x h a >或()x h a <恒成立，即()x h a max >或()x h a min <即可，利用导数知识结合单调性求出()x h m ax 或()x h min 即得解.8．（1）见解析；（2）当01m <<时，有两个零点；当1m =时；有且仅有一个零点． 【解析】试题分析：（1）首先将1m =代入函数解析式，然后令()()33x g x f x =-，再通过求导得到()g x 的单调性，从而使问题得证；（2）首先求得()f x '，然后求得()0f x '=时x 的值，再对m 分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零点的个数．试题解析：（1）当1m =时，令()()33x g x f x =-（10x -<≤），则()31x g x x-'=+，当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()33x f x ≤………①（2）()11mx x m m f x mx ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+………②，令()0f x '=，得10x =，21x m m =-，（i ）当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+……③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥，∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数， ∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=，故函数()y f x =，在1x >-上有且只有一个零点0x =； （ii ）当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥； ∴函数()y f x =的增区间为11,m m m ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m ⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >= ∴函数()y f x =，1,x m m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =； 又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则 ()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭……④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤，∴函数()y t ϕ=，01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……⑤ 构造函数()ln 1k x x x =-+（0x >），则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x > 时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m e x m m ----<<时，()21ln 11mx m+<--……⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+……⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m =++-<--++=……⑧ 又函数()y f x =在11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，21111m e m m m ---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， 综上所述：当01m <<时，函数()y f x =有两个零点， 当1m =时，函数()y f x =有且仅有一个零点．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系．【技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则．9．(1)证明见解析；(2)(],4-∞.【解析】 试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助题设条件运用导数的有关知识求解. 试题解析： （1）()()()()111112,,2ln 222x a e T x F x f x T x e x e x e ----=+=-∴=+-+-.()111110,'22.22x x x T x e e e e x ----∴>=-+-关于x 单调递增,()()11110,'220,x x T x e e T x x x-->=-+>>∴在()0,+∞上单调递增.（2）设()()()H x F x f x =-,则()11'21x H x e a x -=+--.设()1121x h x e a x-=++-,则()()()112211'2.1,22,1,' 1.x x h x e x e h x h x x x--=-≥∴≥-≥-≥∴在[)1,+∞单调递增.∴当1x ≥时,()()1h x h ≥. 即()'4H x a ≥-,∴当4a ≤时,()'40H x a ≥-≥. ∴当4a ≤时, ()H x 在[)1,+∞单调递增. ∴当4a ≤,1x ≥时,()()1H x H ≥, 即()()()111.1,'2122x x F x f x x H x e a e a x--≥≥∴=++-≤+-.当4a >时, 由 1220x e a -+-=得122x e a -+-关于x 单调递增, ∴当4,11ln 12a a x ⎛⎫>≤<+- ⎪⎝⎭时, ()H x 单调递减. 设01ln 12a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,则()()010H x H <=,即()()00F x f x <.∴当4a >时,()()0001ln 11,2a x F x f x ⎛⎫∃=+->≥ ⎪⎝⎭不成立.综上, 若()()1,,x F x f x a ∀≥≥的取值围(],4-∞.考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数()()()T x F x f x =-在()0,+∞上单调递增；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()1,x F x f x ∀≥≥恒成立的前提下实数a 的取值围.求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a 的取值围,从而使得问题简捷巧妙获解.10．（1）1-（2）1a ≥-时，增区间(0,)+∞，1a <-时，减区间()()0,ln a -，增区间()()ln ,a -+∞（3）1a ≤【解析】试题分析：（1）先求()()',f x fx ，根据导数的符号判断函数f （x ）在[-1，1]的单调性，从而求出f （x ）的最小值；（2）先求f ′（x ），讨论a ，判断导数符号，从而得出函数f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（3）将不等式变形为：()()1212f x a f x a x x ++<，所以令()()f x ag x x+=，从而得到g （x ）在（0，+∞）上为增函数，所以g ′（x ）＞0，所以20x x xe e a -+->，为了求a 的围，所以需要求x x xe e -的围，可通过求导数，根据单调性来求它的围，求得围是1x x xe e ->-，所以2-a ≥1，所以求得a 的围 试题解析：（1）当a=-1时，f(x)=e x-x+2, ()1,xf x e '=-()00()<0<0f x x f x x '>⇒>'⇒令；令[11]()[1]()[0]x f x f x ∈--因为，，所以在，0单调递减；在，1单调递增。