第二章 年金
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金融数学--第二章 年金
n n n
1(1v )(1i) 1(1i) 1 1 n n ani (1i) ani (1i) ani 结论2.3
( 1 ) a ( 1 ia )n ,ai 1a ; n i i n n 1 i ( 2 ) s ( 1 is ) , s s 1 . n i n i n i n 1 i
2 n n k
n
上式变形可得
1 iani vn
n期标准期末年金终值
n ( 1 i )1 n 1 n 2 k s ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) 1 ( 1 i ) n i i k 0 n 1
这个终值可以写成
n
解 把每n项看做一个整体，则 X (, P P , , P , ) 这是一个每期为X的n期的永续年金。 那么它的现值为：
P P / (1 i)
k 1
( k 1) n
P1/ (1 i)
k 1
( k 1) n
P(1 i) n (1 i) 1
n
同样，可以用A来表示。
解 甲的受益相当于10年期的期末年金，现值 为
7 % 1 0 a 4 . 9 1 6 5 0 7 1 0 0 . 0 7
乙的受益相当于递延10年的10年期的期末年 金，现值为 1 0
7 % 1 0 v a 2 . 4 9 9 3 0 3 1 0 0 . 0 7
丙的受益相当于递延20年的永续年金，现值 2 0 为 7 % 1 0 v a 2 . 5 8 4 1 9 0 0 . 0 7 这三者的受益比例分别为49.2%，25.0%， 25.2%
例2.2 某人从现值开始每年定期地投入相同 的一笔钱，希望在第12年底得到100万元的 回报。如果年利率为7%，实际上每年的投入 金额。 解 假设投入的现金流为 （R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有 解得R=5.224485（万元）
1(1v )(1i) 1(1i) 1 1 n n ani (1i) ani (1i) ani 结论2.3
( 1 ) a ( 1 ia )n ,ai 1a ; n i i n n 1 i ( 2 ) s ( 1 is ) , s s 1 . n i n i n i n 1 i
2 n n k
n
上式变形可得
1 iani vn
n期标准期末年金终值
n ( 1 i )1 n 1 n 2 k s ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) 1 ( 1 i ) n i i k 0 n 1
这个终值可以写成
n
解 把每n项看做一个整体，则 X (, P P , , P , ) 这是一个每期为X的n期的永续年金。 那么它的现值为：
P P / (1 i)
k 1
( k 1) n
P1/ (1 i)
k 1
( k 1) n
P(1 i) n (1 i) 1
n
同样，可以用A来表示。
解 甲的受益相当于10年期的期末年金，现值 为
7 % 1 0 a 4 . 9 1 6 5 0 7 1 0 0 . 0 7
乙的受益相当于递延10年的10年期的期末年 金，现值为 1 0
7 % 1 0 v a 2 . 4 9 9 3 0 3 1 0 0 . 0 7
丙的受益相当于递延20年的永续年金，现值 2 0 为 7 % 1 0 v a 2 . 5 8 4 1 9 0 0 . 0 7 这三者的受益比例分别为49.2%，25.0%， 25.2%
例2.2 某人从现值开始每年定期地投入相同 的一笔钱，希望在第12年底得到100万元的 回报。如果年利率为7%，实际上每年的投入 金额。 解 假设投入的现金流为 （R ，R，R，……，0） 终值为100万元，则有 解得R=5.224485（万元）
第二章 年金
i
a n
(1 i)k 1 i (1 i)k 1 s
k
29
相应的，年金积累值为
(1 i)nk (1 i)n2k (1 i)k 1
1 1
(1 (1
i)n i)k
1 (1 i)n i
1
i (1
i)k
s n
s
k
也可以直接从年金现值推导得出年金积累值
a n
(1 i)n
s n
s
s
k
k
30
2. 期初付年金
26
付款频率与计息频率不同的年金
我们只讨论每次付款金额相同的情况， 解决方法：
1. 利用不同计息频率的利率之间的相互关系，调 整计息频率，使之与付款频率一致，然后按照 标准年金的计算办法计算
2. 利用已知的年金符号表示，然后根据不同频率 的年金之间的相互关系以及标准年金的计算得 到最后结果，这种方法称之为代数分析法。
21变动利率计息频率与支付频率不一致连续年金基本变化年金其它年金22变动利率年金各个付款期间的利率不同即不同时间段的利率不同23同理可以计算期初付年金的现值为年金积累值为各次付款所依据的利率不同即各次付款限制以及积累值的计算都基于该次付款时的利率值则所有付款的年金现值为25同理可以计算期初付年金的现值和积累值分别为年金积累值为26例221某人每年年初存入银行1000元前4年的年利率为6后6年由于通货膨胀率的提高年利率升到10计算第10年末时的存款积累值
1
38
显然
..
1 vn 1 vn d
d ..
a (m) n
d (m)
d
d (m)
d (m)
a n
..
..
s (m) (1 i)n a (m) (1 i)n
第二章 企业年金基本理论
• 1、中国的多支柱养老保障体系 • 目前，我国的养老保障体系为：国家最低 保障（政府担保）、企业补充保障（政府 监督、企业和个人担保）、个人自愿保障 （个人担保）、家庭赡养抚助和社区辅助 保障（无风险）的养老保障体系。 • （1）企业养老保障 • 企业养老保障，即企业年金，是由企业和 职工共同建立的养老保障计划。中国政府 将“企业年金”写进“十五发展纲要” （2001-2005）
• 4、延期支付理论 • 美国学者Albert de Roode提出的。他认为：要充 分了解退休金的概念，就必须将退休金视为给付 的一部分。 • 所谓延期支付：指雇员在增加货币工资与退休金 二者之间有选择权，如果选择后者，则视退休金 给付为雇主支付给员工的一种延期支付方式。这 一理论把企业年金视为劳动报酬的一部分。当然， 企业年金知识延期支付的一种形式，并不覆盖延 期支付的全部内容和形式。
• 对于运营机构： • 受托人、账户管理人、投资管理人、托管 人共同遵守的准则。 • 企业年金客户需求的集中反映。 • 运营机构企业年金业务人财物资资源配置 的目标。
三、企业年金与社会养老保障
• （一）养老保障 • 1、社会养老保障 • 家庭养老保障在多数国家具有悠久的历史传统， 即几代人组成的大家庭为其成员提供养老和疾病 保障。20世纪末，政府在养老保障领域的角色随 着社会经济与人文环境的变化而变化，继而人类 又进入了公共部门与私营部门混合管理、共同承 担养老保障责任的时代。如今，很多国家由政府 提供养老保障的财政责任和社会化服务义务正在 减轻，取而代之的是私营养老保障管理与服务。
• 公共养老保障改革的最新发展趋势是：由 现收现付的待遇确定模式向缴费确定的个 人积累账户模式转移，先行者的经验来自 拉美国家，如智利。企业年金在养老保险 体系中的作用日益增强，加拿大、美国和 荷兰等OECD国家的实践均可以说明这个趋 势。
第二章年金计算题1
（一）有关年金的相关概念1.年金的含义年金，是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。
2.年金的种类年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。
在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。
【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。
（）『正确答案』×『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。
注意如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。
即间隔期为一年，只是年金的一种情况。
【总结】（1）这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
（2）这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
【总结】在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。
递延年金和永续年金是派生出来的年金。
递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向于无穷大。
【小常识】诺贝尔奖是以瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗雷德·贝恩哈德·诺贝尔的部分遗产作为基金创立的。
诺贝尔奖包括金质奖章、证书和奖金支票。
在遗嘱中他提出，将部分遗产（920万美元）作为基金，以其利息分设物理、化学、生理或医学、文学及和平（后添加了经济奖）5个奖项，授予世界各国在这些领域对人类作出重大贡献的学者。
【例题·单选题】（2010年考题）2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。
保险精算 第2章2 任意时刻年金值
Ra 80000 R 1068.521 120 0.8719%
练习：
某人在30岁时计划每年初存入银行300元建 立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年 利率假设恒定为3％。
（1）求退休时个人帐户的积累值。 （2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年
金的方式在20年内每年年初领取一次，求 每年可以领取的数额。
基金会以基金利息来从事某种事业，则每期利息的支取会 永远持续下去，如诺贝尔奖等。
期末付和期初付永续年金
•期末付永续年金的现值用
a |
表示：
a |
lim
n
an
经济意义：
1 vn lim
1
i n
i
(0 i 1)
首期期初投资 1 （利率为 i ）,且不收回本金，则每期期
末可获得
a与 s之间的关系式
n|
n|
1. (1 i)n a s
n|
n|
2. 1 1 d
a s
n|
n|
期末与期初付之间的联系
1 1 1 ---1 1 1 ----
1 期初付年金 s s (1 i)
n|
n|
1 1 期末付年金
0 1 2 3 -------
n-1 n n+1
答案
i（4） 12% i 12.55% 2000 s 14457 .71
5 12.55%
练习
某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还 清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算 每次还款额.
例1.21答案
i 10.98% i（12） 0.8719% 12
V (0) va 或 V (0) v2a
练习：
某人在30岁时计划每年初存入银行300元建 立个人帐户，假设他在60岁退休，存款年 利率假设恒定为3％。
（1）求退休时个人帐户的积累值。 （2）如果个人帐户积累值在退休后以固定年
金的方式在20年内每年年初领取一次，求 每年可以领取的数额。
基金会以基金利息来从事某种事业，则每期利息的支取会 永远持续下去，如诺贝尔奖等。
期末付和期初付永续年金
•期末付永续年金的现值用
a |
表示：
a |
lim
n
an
经济意义：
1 vn lim
1
i n
i
(0 i 1)
首期期初投资 1 （利率为 i ）,且不收回本金，则每期期
末可获得
a与 s之间的关系式
n|
n|
1. (1 i)n a s
n|
n|
2. 1 1 d
a s
n|
n|
期末与期初付之间的联系
1 1 1 ---1 1 1 ----
1 期初付年金 s s (1 i)
n|
n|
1 1 期末付年金
0 1 2 3 -------
n-1 n n+1
答案
i（4） 12% i 12.55% 2000 s 14457 .71
5 12.55%
练习
某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还 清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算 每次还款额.
例1.21答案
i 10.98% i（12） 0.8719% 12
V (0) va 或 V (0) v2a
第二章 年金
sn i =k
(1 + is ) n − 1 − kis is+1=is 1 + (1 + is ) n −1[1 − is ( n − 1)] − 1 (2-21A)
an i =k：
1 − (1 + is ) − n − kis is+1=is 1 + − n −1 1 − (1 + is ) [1 + is (n + 1)] (2-21B)
(2-2B)
sn =1+(1+i)+ (1+i) +…+(1+i)
n-1
(1 + i ) n − 1 = i
(2-4B) (2-5A) (2-5B)
sn = an (1+i)n an = sn vn
例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每 年年末投资3000元，投资20年的现值 及积累值。
1 an
1 − vn && an = d 1+d &&n =(1+i)n s (1 + i ) n − 1 &&n = s d
(2-7A)
(2-8A) (2-7B)
(2-9A)
1 − vn && an =1+v +v2+…+vn-1= d (1 + i ) n − 1 &&n = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = s d
= ∑ (1 + it ) − t
t =1 n
(2-25)
(1 + is ) n − 1 − kis is+1=is 1 + (1 + is ) n −1[1 − is ( n − 1)] − 1 (2-21A)
an i =k：
1 − (1 + is ) − n − kis is+1=is 1 + − n −1 1 − (1 + is ) [1 + is (n + 1)] (2-21B)
(2-2B)
sn =1+(1+i)+ (1+i) +…+(1+i)
n-1
(1 + i ) n − 1 = i
(2-4B) (2-5A) (2-5B)
sn = an (1+i)n an = sn vn
例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每 年年末投资3000元，投资20年的现值 及积累值。
1 an
1 − vn && an = d 1+d &&n =(1+i)n s (1 + i ) n − 1 &&n = s d
(2-7A)
(2-8A) (2-7B)
(2-9A)
1 − vn && an =1+v +v2+…+vn-1= d (1 + i ) n − 1 &&n = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = s d
= ∑ (1 + it ) − t
t =1 n
(2-25)
应数13453119韩炯
其中利息额为：12522.85-10000=2522.85（元）
解：
令A=B
解之得K=1800。
五、某人想要在五年末从银行取出17000元，这五年中，他每半年末在银行存入一笔款项，前五次每次存入1000元，后五次每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
解：
设半年利率为j，依题意得:
代入数据整理得：
六、没年末付款为1的10年期年金，前六年利率为4%，后4年年计息4次的年名义利率为4%，给出年金现值表达式。
保险与精算第二章——年金
应数
一、证明贷款16万元，首期付款额为A，其余部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7%。计算贷款初期付款额A。
解：
则贷款的初期付款额A为79962.96元。
二、已知 。
解：
三、某人从孩子五岁时起，每年年初存入银行5000元，共存10年，自孩子15岁时每年年初从银行提款作为生活费用，拟提取十年。年利率恒为10%，计算每年生活费用。
解：
设与利率为j,则j=0.096/12=0.008
设正常还款次数为n，零头存款为X，
依题意得：
化简得：
所以
代入相关数据，整理得：
十五、A在2025年1月1日需要5万资金以及一个期初付、每半年领取一次的为期15年的年金，每次领取款项为k。这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k元，共25年，存入款项每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算K。
解:
前6年的利率为i，则i=0.04,则
七、某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第K年的实际利率为 ，计算 。
解：
八、某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领的年金，n年侯所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等，求V。
解：
令A=B
解之得K=1800。
五、某人想要在五年末从银行取出17000元，这五年中，他每半年末在银行存入一笔款项，前五次每次存入1000元，后五次每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。
解：
设半年利率为j，依题意得:
代入数据整理得：
六、没年末付款为1的10年期年金，前六年利率为4%，后4年年计息4次的年名义利率为4%，给出年金现值表达式。
保险与精算第二章——年金
应数
一、证明贷款16万元，首期付款额为A，其余部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7%。计算贷款初期付款额A。
解：
则贷款的初期付款额A为79962.96元。
二、已知 。
解：
三、某人从孩子五岁时起，每年年初存入银行5000元，共存10年，自孩子15岁时每年年初从银行提款作为生活费用，拟提取十年。年利率恒为10%，计算每年生活费用。
解：
设与利率为j,则j=0.096/12=0.008
设正常还款次数为n，零头存款为X，
依题意得：
化简得：
所以
代入相关数据，整理得：
十五、A在2025年1月1日需要5万资金以及一个期初付、每半年领取一次的为期15年的年金，每次领取款项为k。这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k元，共25年，存入款项每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算K。
解:
前6年的利率为i，则i=0.04,则
七、某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第K年的实际利率为 ，计算 。
解：
八、某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领的年金，n年侯所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等，求V。
培训学校的年金管理制度
第一章总则第一条为加强培训学校年金管理，保障教职工合法权益，促进学校和谐发展，根据国家有关法律法规，结合我校实际情况，特制定本制度。
第二条本制度适用于我校全体在职教职工。
第三条本制度遵循公平、合理、公开、透明的原则。
第二章年金制度第四条年金是指为教职工退休后提供一定经济保障的一种补充养老保险制度。
第五条年金分为基本年金和个人年金两部分。
第六条基本年金由学校按国家规定比例和标准缴纳，教职工个人不缴费。
第七条个人年金由学校和教职工按约定的比例共同缴纳。
第八条年金缴费比例和标准由学校根据国家政策、经济发展水平、教职工收入水平等因素确定。
第三章年金缴纳与支付第九条年金缴纳：（一）基本年金：按国家规定比例和标准，由学校定期缴纳。
（二）个人年金：按约定的比例，由学校和教职工分别在每月工资中扣除，分别缴纳至年金个人账户。
第十条年金支付：（一）教职工退休后，可按月领取基本年金和个人年金。
（二）教职工因故提前退休，其个人年金按实际缴费年限和缴费比例计算。
第四章年金管理与监督第十一条学校设立年金管理办公室，负责年金的管理工作。
第十二条年金管理办公室的主要职责：（一）制定年金管理制度，组织实施年金缴纳、支付等工作。
（二）定期向学校领导和教职工通报年金管理情况。
（三）接受教职工对年金管理的咨询和投诉。
（四）建立健全年金管理制度，确保年金安全、合规。
第十三条年金管理办公室应定期对年金账户进行审计，确保年金资金的安全。
第五章附则第十四条本制度由学校人力资源部负责解释。
第十五条本制度自发布之日起施行。
原有年金管理制度与本制度不一致的，以本制度为准。
第十六条本制度未尽事宜，按国家有关法律法规执行。
精算学原理课件第二章
v (1 − v n ) 1 − v n an| = v + v 2 + L + v n = = 1− v i
五、年金现值系数表，请你代付房租，每年租金1000 元，设银行存款利率10%，他应当现在给你在 银行存入多少钱？ 答案： 2486.9元 例 假设以10%的利率借款20000元，投资于某个 寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金 才是有利的？ 答案：3255元
m n
=
i i
m
an
同理： 同理：
(m) n
s
=
i i
m
sn
2.期初付年金 期初付年金 • 假设年利率为i，每次初的支付额为1⁄m，每 年支付额为1元。
m 0 1/m 1 1/m
m 2 1/m
---n-1 1/m
m n 1/m
（1）每年支付m次的期初付年金现值
1 1 n− 1 1− vn &&m an = 1 + v m + L + v m = m m d
0.25
40
1 − v 40 (1 + i )4 − 1 0.25 这个表达式还可以写做 1 − v 40 4 a40 = 4 S4 (1 + i ) − 1 i 4 i
三、延期m年的 年期年金 延期 年的n年期年金 年的 • 1）期末付延期年金 • 现值
0 m m+1 1 Vm+1 m+n-1 1 m+n 1
第二章 年金理论与应用
学习目的 学完本章后,应掌握以下内容: 1.明确普通年金终值、普通年金现值的概念 及计算方法 2.明确期初支付的年金终值和年金现值的概 念及计算方法 3.进行每年支付多次和多年支付一次年金 的计算
五、年金现值系数表，请你代付房租，每年租金1000 元，设银行存款利率10%，他应当现在给你在 银行存入多少钱？ 答案： 2486.9元 例 假设以10%的利率借款20000元，投资于某个 寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金 才是有利的？ 答案：3255元
m n
=
i i
m
an
同理： 同理：
(m) n
s
=
i i
m
sn
2.期初付年金 期初付年金 • 假设年利率为i，每次初的支付额为1⁄m，每 年支付额为1元。
m 0 1/m 1 1/m
m 2 1/m
---n-1 1/m
m n 1/m
（1）每年支付m次的期初付年金现值
1 1 n− 1 1− vn &&m an = 1 + v m + L + v m = m m d
0.25
40
1 − v 40 (1 + i )4 − 1 0.25 这个表达式还可以写做 1 − v 40 4 a40 = 4 S4 (1 + i ) − 1 i 4 i
三、延期m年的 年期年金 延期 年的n年期年金 年的 • 1）期末付延期年金 • 现值
0 m m+1 1 Vm+1 m+n-1 1 m+n 1
第二章 年金理论与应用
学习目的 学完本章后,应掌握以下内容: 1.明确普通年金终值、普通年金现值的概念 及计算方法 2.明确期初支付的年金终值和年金现值的概 念及计算方法 3.进行每年支付多次和多年支付一次年金 的计算
第二章 等额年金 (上)分解
v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m
或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
3、永续年金
1）期末付年金现值
1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。
解: Pa10 20000
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金
第二章 等额年金(上)知识讲解
a ln i man ＝lim1 vn n i ＝1 i
注：更一般的，若每年末支付的金额为A元，则现值为 A
Aa i
例：某人在今后的30年内，年初向一基金存入10000元。从第30年 开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6％. （1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？ （2）如果无限期领下去（当他死亡后，由继承人领取），每次可 以领取多少元？
解： a71-iv7,a11 1-iv11 ,a18 1-iv18
1-v7-v11v18
a7.a11
i2
11-v7 1v11 1v18
( )
3i i
i
i
1
3i
(a7
a11a1
8)
i8.278% 47
2、期初付定期年金的现值
假 设 年 金 支 n个付 时期 期限 ，为 在 支 每 1付 元 个， 时其 期
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
解：
季实际利率： 6％／4＝1.5%
年金的终值: 10.s050675.159402
现值: 67.1595(4 10 0.021 )559 325.8679998
例：甲持有 A股票100股，乙持有 B股票100股。A股票每年底得 到红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每2元股的价 格将所有的股票出售 而， 且甲以年利6率 ％的收益率将红利收入 和股票出售的收入进 投行 资。B股票在前10年没有红利收入，从 第11年底开始每年得到红 0.8利0元，如果乙也是以年 率6利％进行 投资，并且n在年后出售股票。为了 甲使 乙在乙的股票出售 刻时 的累积值相同，分别 n 对15、50、25三种情况计算乙的股 出票 售 价格。
注：更一般的，若每年末支付的金额为A元，则现值为 A
Aa i
例：某人在今后的30年内，年初向一基金存入10000元。从第30年 开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6％. （1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？ （2）如果无限期领下去（当他死亡后，由继承人领取），每次可 以领取多少元？
解： a71-iv7,a11 1-iv11 ,a18 1-iv18
1-v7-v11v18
a7.a11
i2
11-v7 1v11 1v18
( )
3i i
i
i
1
3i
(a7
a11a1
8)
i8.278% 47
2、期初付定期年金的现值
假 设 年 金 支 n个付 时期 期限 ，为 在 支 每 1付 元 个， 时其 期
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
解：
季实际利率： 6％／4＝1.5%
年金的终值: 10.s050675.159402
现值: 67.1595(4 10 0.021 )559 325.8679998
例：甲持有 A股票100股，乙持有 B股票100股。A股票每年底得 到红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每2元股的价 格将所有的股票出售 而， 且甲以年利6率 ％的收益率将红利收入 和股票出售的收入进 投行 资。B股票在前10年没有红利收入，从 第11年底开始每年得到红 0.8利0元，如果乙也是以年 率6利％进行 投资，并且n在年后出售股票。为了 甲使 乙在乙的股票出售 刻时 的累积值相同，分别 n 对15、50、25三种情况计算乙的股 出票 售 价格。
第二章 等额年金(上)知识讲解
500 0(10 00 .0)8 10＝10794.6520
利息：107 .5 9 0 54 06 0 52 0 70 .5 90 0 462
所以应付利息约为五十八万元
方式B：
每年末应付利息：5000.00 80 40000 十年应付利息： 10 40004000000
所以应付利息为四十万元
方式C： 假设每年末偿付金额为R元
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。
5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末 支付A元,则现值B为：
B＝A.an
例1 现在向银行存入一笔钱,希望在5年中每年末得到4000元,如 果年实际利率为8%,现在应存入多少钱?
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系 列款项。
年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如： 投保、房贷。
年金的类型：
1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年 金和风险年金。
注：确定年金就简称为年金。
2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年 金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
利息：107 .5 9 0 54 06 0 52 0 70 .5 90 0 462
所以应付利息约为五十八万元
方式B：
每年末应付利息：5000.00 80 40000 十年应付利息： 10 40004000000
所以应付利息为四十万元
方式C： 假设每年末偿付金额为R元
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。
5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末 支付A元,则现值B为：
B＝A.an
例1 现在向银行存入一笔钱,希望在5年中每年末得到4000元,如 果年实际利率为8%,现在应存入多少钱?
解：假设每年的退休金为A 25年后资金的总额：100(100.08)25
..
Aan10(0100.0)825
A 1 0 .0a 8 n 10 1 0 00 .2 0 5 8
1( 1 )15
A 10.08 10.08101 00.0258
0.08
A8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系 列款项。
年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如： 投保、房贷。
年金的类型：
1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年 金和风险年金。
注：确定年金就简称为年金。
2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年 金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
第2章 年金0
ia、n 、的sn形si n式，符如号中不必an标0出.06计、算所an依0据.08的、利率sn，0.在等07一。个问题中涉及多个利率时，为避免引起混淆，
【例题2.1】甲年金在36年内每年底支付4，乙年金在18年内每年底支付5，在某一年利率i下两个年金的现值相
等，则要使某一以i为收益率的投资翻倍，需要的投资年限为（ ）。[2008年春季真题]
A．167.45 B．177.45 C．180.13 D．194.27 E．204.18 【答案】D 【解析】设每次领取的金额为P，则有：
Pa 2000
15 0.06
又
a15
0.06
11.0615 0.06 1.06
10.2950，
故P＝2000/10.295=194.27（元）。
【例题2.5】某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月转换一次，年名义利率为12%，则该年金现值为
（3）在最后一期付款后某时刻的年金积累值 ①第1期开始支付，每期期末付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：
V (m n) sn 1 i m smn sm 2.7
②第1期开始支付，每期期初付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：
1
1
1ip1 dq
i
vq p dpq 。
1ip1 dq
3．任意时刻的年金值 （1）延期年金 ①定义：指以当前时刻为0时刻，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。 ②三种一般的延期年金： a．首期付款前某时刻的年金现值； b．最后一期付款后某时刻的年金积累值； c．付款期间某时刻年金的当前值。 图2.1为三种一般的延期年金的范例
A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.8 E．1.9 【答案】D 【解析】设年利率为i，则（1+i）10=2，即v10=0.5，v20=0.25，由题意有：
第二章-年金计算题1
（一）有关年金的相关概念1.年金的含义年金，是指一定时期内每次等额收付的系列款项。
具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。
2.年金的种类年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。
在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。
【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。
（）『正确答案』×『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。
注意如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。
即间隔期为一年，只是年金的一种情况。
【总结】（1）这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
（2）这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。
【总结】在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。
普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。
递延年金和永续年金是派生出来的年金。
递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向于无穷大。
【小常识】诺贝尔奖是以瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗雷德·贝恩哈德·诺贝尔的部分遗产作为基金创立的。
诺贝尔奖包括金质奖章、证书和奖金支票。
在遗嘱中他提出，将部分遗产（920万美元）作为基金，以其利息分设物理、化学、生理或医学、文学及和平（后添加了经济奖）5个奖项，授予世界各国在这些领域对人类作出重大贡献的学者。
【例题·单选题】（2010年考题）2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。
第二章 企业年金的历史沿革
• 三支ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理论的兴起
– 重新审视本国社会保障制度模式，并提出调整和改革探索， 企业年金制度被纳入到整个社会保障制度的视野中，因而备 受关注。此时，社会养老保险体系的“三个支柱”理论广为 传播，该理论认为，企业年金和基本养老保险、商业养老保 险共同构成了社会保障体系的三个支柱。
• 企业年金取得长足发展
• 争议处理：第二十二条
–因履行企业年金合同发生争议的，当事人可以依法提请仲 裁或者诉讼； 因订立或者履行企业年金方案发生争议的， 按国家有关集体合同争议处理规定执行。
• 附则
–第二十三条：参加企业基本养老保险社会统筹的其他单位， 可参照本办法的规定执行。
–第二十四条：本办法自2004年5月1日起实施。原劳动部 1995年12月29日发布的《关于印发<关于建立企业补充养 老保险制度的意见>的通知》同时废止。
第二，覆盖范围迅速扩大，日益加大了其养老保障的功能。 第三，企业年金计划的多样性促进了金融市场的深度发展，在一些OECD
国家，保险业因投资回报较高，取代了银行账户管理的角色而进入企业年 金市场，而后又形成了较发达的养老金市场，企业年金与资本市场得以互 动发展。 第四，企业年金在发展中国家还处于覆盖率低、不规范的初期发展阶段。
的关注与争论
• 法案内容
–保护雇员的福利权利 –对《税收法》的修改 –《保障法》的有关规定 –对退休金计划终止的保险
斯图特贝克事件
• 工厂关闭
–1963年工厂关闭，导致11000多名工的退休金计划终止
• 退休金计划的终止协议
–60岁及以上工人,3600：全部退休金，150万美元 –45-59岁，工龄10年以上，4000：已获既得受益权，250万
概念界定
– 重新审视本国社会保障制度模式，并提出调整和改革探索， 企业年金制度被纳入到整个社会保障制度的视野中，因而备 受关注。此时，社会养老保险体系的“三个支柱”理论广为 传播，该理论认为，企业年金和基本养老保险、商业养老保 险共同构成了社会保障体系的三个支柱。
• 企业年金取得长足发展
• 争议处理：第二十二条
–因履行企业年金合同发生争议的，当事人可以依法提请仲 裁或者诉讼； 因订立或者履行企业年金方案发生争议的， 按国家有关集体合同争议处理规定执行。
• 附则
–第二十三条：参加企业基本养老保险社会统筹的其他单位， 可参照本办法的规定执行。
–第二十四条：本办法自2004年5月1日起实施。原劳动部 1995年12月29日发布的《关于印发<关于建立企业补充养 老保险制度的意见>的通知》同时废止。
第二，覆盖范围迅速扩大，日益加大了其养老保障的功能。 第三，企业年金计划的多样性促进了金融市场的深度发展，在一些OECD
国家，保险业因投资回报较高，取代了银行账户管理的角色而进入企业年 金市场，而后又形成了较发达的养老金市场，企业年金与资本市场得以互 动发展。 第四，企业年金在发展中国家还处于覆盖率低、不规范的初期发展阶段。
的关注与争论
• 法案内容
–保护雇员的福利权利 –对《税收法》的修改 –《保障法》的有关规定 –对退休金计划终止的保险
斯图特贝克事件
• 工厂关闭
–1963年工厂关闭，导致11000多名工的退休金计划终止
• 退休金计划的终止协议
–60岁及以上工人,3600：全部退休金，150万美元 –45-59岁，工龄10年以上，4000：已获既得受益权，250万
概念界定
财务管理第二章年金
〔0 ：表示第一期期初；1：表示第一期期末〕 0 1 A 2 A 3 A 4 A n-1 A n A A*(F/P,i ,1)
A*(F/P,i ,n-2) A*(F/P,i ,n-1) To Top
普通年金终值的计算公式（已知年金A，求年金终值 n F） ： (1 i ) 1
F A
(1 i ) n 1 式中的分式 称作“年金终值系数”， i
• 某企业发行长期债券，合同规定该债 券从第4年起每年年末还本付息，每张 债券还本付息金额为100元，8年后到 期。 若i＝10％，要求计算债券的现值？
• 债券的现值：
• 方法一：100*(P/A，10%，5)×（P/F， 10% ，3）
=100×3.791×0.751
=284.7元
方法二：100×[（P/A， 10% ，8）-（P/A， 10% ，3）]
=100（5.335-2.487）
=284.8元
四、永续年金 • 永续年金是指无限期定额收付的年金。 • 永续年金没有终止时间，因此没有终值， 但可以求现值 永续年金现值计算公式为 ： P=A×1/i
（三）、时间价值计算中的几个特殊问题 • 1、计息期短于1年的时间价值的计量：
名义利率：当利息在一年内要复利几次时，所给出 的年利率即为名义利率，用r表示。 实际利率：是指一年复利一次的年利率，用i表示 实际利率与名义利率的换算： 方法：实际利率用 i,名义利率用 r ，复利次数为m i=(1+r/m)m-1
【例】甲企业投资一个新项目，投资金额为5万元， 年利率为6%，每半年复利一次，5年后甲企业能 得到的本利和是多少？ 解答：
根据名义利率与实际利率的关系i=(1+ r/m) m-1， 本例中，r=6%，m=2，则 i=（1+ 6%/2)2-1=6.09%
A*(F/P,i ,n-2) A*(F/P,i ,n-1) To Top
普通年金终值的计算公式（已知年金A，求年金终值 n F） ： (1 i ) 1
F A
(1 i ) n 1 式中的分式 称作“年金终值系数”， i
• 某企业发行长期债券，合同规定该债 券从第4年起每年年末还本付息，每张 债券还本付息金额为100元，8年后到 期。 若i＝10％，要求计算债券的现值？
• 债券的现值：
• 方法一：100*(P/A，10%，5)×（P/F， 10% ，3）
=100×3.791×0.751
=284.7元
方法二：100×[（P/A， 10% ，8）-（P/A， 10% ，3）]
=100（5.335-2.487）
=284.8元
四、永续年金 • 永续年金是指无限期定额收付的年金。 • 永续年金没有终止时间，因此没有终值， 但可以求现值 永续年金现值计算公式为 ： P=A×1/i
（三）、时间价值计算中的几个特殊问题 • 1、计息期短于1年的时间价值的计量：
名义利率：当利息在一年内要复利几次时，所给出 的年利率即为名义利率，用r表示。 实际利率：是指一年复利一次的年利率，用i表示 实际利率与名义利率的换算： 方法：实际利率用 i,名义利率用 r ，复利次数为m i=(1+r/m)m-1
【例】甲企业投资一个新项目，投资金额为5万元， 年利率为6%，每半年复利一次，5年后甲企业能 得到的本利和是多少？ 解答：
根据名义利率与实际利率的关系i=(1+ r/m) m-1， 本例中，r=6%，m=2，则 i=（1+ 6%/2)2-1=6.09%
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2.1.2 期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金支出
1
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
1=d a&& +vn n
(2-7A)
as
n
n
(2-6)
例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年 年末投资3000元，投资20年的现值及积 累值。
例2-2 某人希望通过等额的年度存款在10 年后攒够100000元，在年度实质利率8% 的情况下，问每年末需存入多少钱，才能 达到其要求。
例2-3 某人在银行存入10000元，计划分 4年等额支取完，每年末支取一次，银行 的年度实质利率为7%。计算该人每次可 支取的金额。
11
= +d
a&& &s&
n
n
(2- 8B)
(2-9B) (2-10A) (2-10B)
(2-11)
例2-5在例2-1的条件下，若将投资支付改 为发生在每年年初，其它条件不变，计算 投资20年末的现值及积累值。
回顾： 例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资
3000元，投资20年的现值及积累值。
例2-10 某人拟每年年末在银行存款1000 元，以便在某年年末积累到10000元，设 年利率为3%，按照类似于非标准期年金 现值问题中的的三种还款方式，计算规则 的存款次数和零头存款额。
例2-11 若在上例中，利率改为6%，重新 计算规则的存款计数和零头存款额，看看 会发生什么变化。
2.1.6 年金的未知利率问题
(1 in )1
nt
=
(1 is )1
t 1 s1
s n
=1+(1+in)
+(1+in)
(1+in-1)+…+(1+in)…(1+i2)
(2-23)
n t 1
=
(1 ins1)
t 1 s0
(其中令 in+1=0) (2-24)
（2）利率依付款时点而变
假设 n 期年金的各付款期上的利率分别
2. 在支付期内任意时点上的年金现值
计算原则： 将年金分成两个期限较短的年金，年金在任意
时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一 个年金的现值。 一般而言，一项经过m次付款（m﹤n）的n个时 期年金，其当前值为：
3.在最后一期付款后某时刻的年金积累值
计算原则：先计算年金的终值，再按复利往 后累计，计算出累计值即可。 1）期末付年金：
1．付款频率小于计息频率的情况
（1）期末付年金
年金的标准型（等额年金）： 间隔周期相等的等额资金流。
（1）每期的收付额相等 （2）收付的间隔时期相等 （3）付款的频率和计息的频率相同。
年金的一般型： 年金的各种变化形式为年金的一般型。
标准年金的现值与终值
年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率 计算的最直接的一种应用。
年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计 算两大类
例2-18某人贷款100000元，期限为10年， 每月末还款一次，每次还款额相等，贷款 年实质利率为10%，计算每次还款额。
例2-19 假设上例中还款均在每月初进行， 求相应的每月初的还款额。
例2-20 假设某人在1999年和2000年中的 每个1月1日和7月1日分别在银行存款 2000元，2001、2002年、2003年的每个 1月1日、4月1日、7月1日和10月1日在银 行存款2000元，银行利率为月度转换年名 义利率12%，计算这些存款在2003年12 月31日的积累值。
假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。
2.1.3任意时刻年金
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
a a&& nn
s &s&
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a a&&
5
5
s &s&
5
5
图（2-7） 年金时间图
例 2-14 推导如下的求解未知利率问题
a =k 的初值公式 ni
1- ( k )2
i0=
n k
并应用该公式求解上例。
(2-22A)
解：
(v+v2+…+vn)/n=
a n
=k/n
n
1+ 2+ L + n 1+ n
v n =v 2 ，
注意到代数平均总大于其几何平均，所以有
1+ n
k/n> v 2 ，
例2-16 若上例中，假设利率依付款而变， 即5%的年利率针对前4次付款，4%的年 利率针对后4次付款，计算整个存款在第8 年每末的积累值。
2-7 付款频率与计息频率不同的年金
付款频率小于计息频率； 付款频率大于计息频率 每次付款额相同的等额付款年金
例2-17 某人计划每年末存入银行10000元， 一共10年，第一次存款计划在第1年末。 假设银行月度转换的存款利率为6%，求 在第10年末全部存款的积累值。
n
1 = 1 ≈ 1 (1 n 1i) ka n 2
n
i≈2(n-k)/[k(n+1)]
(2-19) (2-20)
2．插值法
例2-12 某人存入某基金10000元，这笔存 款恰好可以被分别在半年后和一年后的 6000元取款取空，求该基金的利率。
3．迭代法
Newton-Raphson方法
例2-13 在利率为i时，某人存入银行10000元， 然后每年年末从银行支取1000元，共支取 12年，恰好支取完毕，计算i值。
V(1)= a ；V(2)= a&& ；
5
5
V(6)= s ；V(7)= &s&。
5
5
1.在首期付款前某时刻（m）上的年金现值
A 期末付定期年金：1）将现值往前贴现，2） 计算总的现值，再减去前m个时期的现值
B 期初付定期年金：1）将现值往前贴现，2） 计算总的现值，再减去前m个时期的现值
当m为非整数时，上述结论同样成立
2）期初付年金：
例2-7 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐 款，每年捐款支付3000元，到2005年1月1日为 止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到 2019年1月1日为止。假设年实质利率为6%，分 别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：
（1）1960年1月1日；
（2）1979年1月1日；
第一节 年金的标准型
何为年金？
所谓年金是指一系列按照相等时 间间隔支付的款项。
年金在经济生活中较常见。房屋的租金，抵 押付款，汽车的分期付款，以及投资款项的利息付 款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机 和电话的月租费、公用事业费等都是年金的例子。
“年金”一词的原始意义是限于每年一次的付 款，但现已被推广到按任何正规的时间间隔付款。
a&& = 1 vn nd 1+d &s&=(1+i)n
n
(2-8A) (2-7B)
&s&= (1 i)n 1
n
d
(2-9A)
a&& =1+v +v2+…+vn-1= 1 vn
n
d
&s&= (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
&s&= a&& (1+i)n
n
n
a&& = &s&vn nn
我们将上式右边稍微放大，然后令其近似相等，即有
k/n≈vn/2，也即(1+ i)- n ≈(k/n)2
再由 i= 1 (1 i)n k
1，所以有 i0=
( k )2 n k
将该式用于上例中，有
i0=3.05 s =k 的初值公式 ni
( k )2 - 1
常用概念：年金期、年金额
年金的分类
确定年金
基本年金
或有年金
广义年金
年金的分类
连续年金
期末付年金 期初付年金
定期年金 永久年金
1、确定年金和风险年金： 确定年金的支付时间和支付金额事先确定 风险年金的支付时间和支付金额不确定 2、定期年金和永续年金： 定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息 债券的息票 永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息 3、期初付年金和期末付年金： 期初付年金的支付是在每个周期的期初。月初发工资和养 老金 期末付年金的支付是在每个周期的期末。月末发工资和养 老金 4、即期年金和延期年金： 即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开 始支付 5、等额年金和变额年金： 等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全 相等
例2-6 在例2-2中，若存款改为每年年初进 行，其它条件不变，计算每年需存入的款 项。
例2-2 某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够 100000元，在年度实质利率8%的情况下，问每年 末需存入多少钱，才能达到其要求。
2.1.3任意时刻年金
延期年金
1、年金在支付期限开始前任意时点上的值 2、年金在支付期限内任意时点上的值 3、年金在支付期限结束后任意时点上的值