第二章 年金

常用概念：年金期、年金额
年金的分类
确定年金
基本年金
或有年金
广义年金
年金的分类
连续年金
期末付年金 期初付年金
定期年金 永久年金
1、确定年金和风险年金： 确定年金的支付时间和支付金额事先确定 风险年金的支付时间和支付金额不确定 2、定期年金和永续年金： 定期年金的支付期限是有限期间，有固定的到期日。付息 债券的息票 永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息 3、期初付年金和期末付年金： 期初付年金的支付是在每个周期的期初。月初发工资和养 老金 期末付年金的支付是在每个周期的期末。月末发工资和养 老金 4、即期年金和延期年金： 即期年金是指当期开始支付，延期年金是指一定时期后开 始支付 5、等额年金和变额年金： 等额年金的每期支付额相等，变额年金的每次支付额不全 相等
n
1 = 1 ≈ 1 (1 n 1i) ka n 2
n
i≈2(n-k)/[k(n+1)]
(2-19) (2-20)
2．插值法
例2-12 某人存入某基金10000元，这笔存 款恰好可以被分别在半年后和一年后的 6000元取款取空，求该基金的利率。
3．迭代法
Newton-Raphson方法
例2-13 在利率为i时，某人存入银行10000元， 然后每年年末从银行支取1000元，共支取 12年，恰好支取完毕，计算i值。
第二章 年金
学习要点
年金的标准型 年金的一般型
学习要求
1、 必须掌握以下基本概念：标准年金、 一般年金、期初年金、期末年金、连续年 金、永久年金、递增年金、递减年金、年 金现值、年金积累值等；
2、 理解期初年金、期末年金、连续年金 之间的关系以及递增年金、递减年金之间 的关系；
3、能够求解常见年金的现值和积累值问 题、与年金有关的利率或期限等利息问题。
1．付款频率小于计息频率的情况
（1）期末付年金
例2-10 某人拟每年年末在银行存款1000 元，以便在某年年末积累到10000元，设 年利率为3%，按照类似于非标准期年金 现值问题中的的三种还款方式，计算规则 的存款次数和零头存款额。
例2-11 若在上例中，利率改为6%，重新 计算规则的存款计数和零头存款额，看看 会发生什么变化。
2.1.6 年金的未知利率问题
（3）1980年1月1日；
（4）2000年1月1日；
（5）2019年1月1日；
（6）2020年1月1日；
（7）2060年1月1日。
答案：
2.1.4 永续年金
a&&
a
解释：某人投资1/i购买永续年金，投资利 率为i，每年年末可以获得数额为1的利息， 在n年年末已获得的利息在0时刻的现值 为 ，该人想收回投资，则收回的投资 额为n时刻起的永续年金现值 ，然后再 折现到0时刻，即为
例2-18某人贷款100000元，期限为10年， 每月末还款一次，每次还款额相等，贷款 年实质利率为10%，计算每次还款额。
例2-19 假设上例中还款均在每月初进行， 求相应的每月初的还款额。
例2-20 假设某人在1999年和2000年中的 每个1月1日和7月1日分别在银行存款 2000元，2001、2002年、2003年的每个 1月1日、4月1日、7月1日和10月1日在银 行存款2000元，银行利率为月度转换年名 义利率12%，计算这些存款在2003年12 月31日的积累值。
假定：计算的日期离开每次付款日期为整数个时期。
2.1.3任意时刻年金
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
a a&& nn
s &s&
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a a&&
5
5
s &s&
5
5
图（2-7） 年金时间图
2. 在支付期内任意时点上的年金现值
计算原则： 将年金分成两个期限较短的年金，年金在任意
时点上的值就等于前一个年金的终值加上后一 个年金的现值。 一般而言，一项经过m次付款（m﹤n）的n个时 期年金，其当前值为：
3.在最后一期付款后某时刻的年金积累值
计算原则：先计算年金的终值，再按复利往 后累计，计算出累计值即可。 1）期末付年金：
例2-16 若上例中，假设利率依付款而变， 即5%的年利率针对前4次付款，4%的年 利率针对后4次付款，计算整个存款在第8 年每末的积累值。
2-7 付款频率与计息频率不同的年金
付款频率小于计息频率； 付款频率大于计息频率 每次付款额相同的等额付款年金
例2-17 某人计划每年末存入银行10000元， 一共10年，第一次存款计划在第1年末。 假设银行月度转换的存款利率为6%，求 在第10年末全部存款的积累值。
年金的标准型（等额年金）： 间隔周期相等的等额资金流。
（1）每期的收付额相等 （2）收付的间隔时期相等 （3）付款的频率和计息的频率相同。
年金的一般型： 年金的各种变化形式为年金的一般型。
标准年金的现值与终值
年金现金流是许多复杂现金流的基础，是利率 计算的最直接的一种应用。
年金的计算问题主要包括年金的现值和终值计 算两大类
1．级数展开法：
f(i)= a = f(0)+ f′(0) i+ f ''(0) i2+…
ni
2!
=n- n(n 1) i+ n(n 1)(n 2) i2-…
2!
3!
k= a ≈n- n(n 1) i
n
2!
i≈2(n-k)/[n(n+1)]
(2-18)
1 = 1 (1 n 1i n2 1i2 L ) a n 2 12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为 i1、i2、…、in，如果利率依时期而变，则
a n
= (1
i1 )1
+
(1
i2 )2
+…+ (1
in )n
n
= (1 it )t t 1
(2-25)
s n
=1+(1+in-1)
+(1+in-2)2+…+(1+i2)n-2+(1+i1)n-1
n
= (1 it )nt t 1
(2-26)
例2-15 某人每年年初存入银行3000元钱， 共存款8年，前4年的年利率为5%，后4年 银行调低利率，将年利率降至4%，假设 利率依时期而变，计算第8年末时的存款 积累值。
(1 in )1
nt
=
(1 is )1
t 1 s1
s n
=1+(1+in)
+(1+in)
(1+in-1)+…+(1+in)…(1+i2)
(2-23)
n t 1
=
(1 ins1)
t 1 s0
(其中令 in+1=0) (2-24)
（2）利率依付款时点而变
假设 n 期年金的各付款期上的利率分别
V(1)= a ；V(2)= a&& ；
5
5
V(6)= s ；V(7)= &s&。
5
5
1.在首期付款前某时刻（m）上的年金现值
A 期末付定期年金：1）将现值往前贴现，2） 计算总的现值，再减去前m个时期的现值
B 期初付定期年金：1）将现值往前贴现，2） 计算总的现值，再减去前m个时期的现值
当m为非整数时，上述结论同样成立
例 2-14 推导如下的求解未知利率问题
a =k 的初值公式 ni
1- ( k )2
i0=
n k
并应用该公式求解上例。
(2-22A)
解：
(v+v2+…+vn)/n=
a n
=k/n
n
1+ 2+ L + n 1+ n
v n =v 2 ，
注意到代数平均总大于其几何平均，所以有
1+ n
k/n> v 2 ，
11
= +d
a&& &s&
n
n
(2- 8B)
(2-9B) (2-10A) (2-10B)
(2-11)
例2-5在例2-1的条件下，若将投资支付改 为发生在每年年初，其它条件不变，计算 投资20年末的现值及积累值。
回顾： 例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年年末投资
3000元，投资20年的现值及积累值。
例2-6 在例2-2中，若存款改为每年年初进 行，其它条件不变，计算每年需存入的款 项。
例2-2 某人希望通过等额的年度存款在10年后攒够 100000元，在年度实质利率8%的情况下，问每年 末需存入多少钱，才能达到其要求。
2.1.3任意时刻年金
延期年金
1、年金在支付期限开始前任意时点上的值 2、年金在支付期限内任意时点上的值 3、年金在支付期限结束后任意时点上的值
2.1.2 期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金支出
1
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
1=d a&& +vn n
(2-7A)
i0=
n k
(2-22B)
第二节 年金的一般型
2.2.1 变利率年金
（1）利率依时期而变
假设 n 期年金的各付款期上的利率分别 为 i1、i2、…、in，如果利率依时期而变， 则所有付款的年金现值为：
a n
= (1 i1)1 + (1 i1)1(1 i2 )1 +…+ (1 i1)1(1 i2 )1 L
as
n
n
(2-6)
例2-1 计算年利率为2.5%的条件下，每年 年末投资3000元，投资20年的现值及积 累值。
例2-2 某人希望通过等额的年度存款在10 年后攒够100000元，在年度实质利率8% 的情况下，问每年末需存入多少钱，才能 达到其要求。
例2-3 某人在银行存入10000元，计划分 4年等额支取完，每年末支取一次，银行 的年度实质利率为7%。计算该人每次可 支取的金额。
一次支付在基金设立一年后。甲、乙、丙经协 商，决定由甲为前8年的支付出资，乙为接下来 的10年的支付出资，余下的款项由丙出。假设 基金可以以年实质利率8%计息。分别计算甲、 乙、丙三人的出资额。
2.1.5 非标准期的年金问题
a nk
例2-9 某人借款500000元用于购买住房， 并计划每年年末还款50000元，直到还完， 贷款利率为年度实质利率6%。分别以上 文讨论过的三种还款方式，计算借款人还 款的整数次数n以及最后的还款零头。
我们将上式右边稍微放大，然后令其近似相等，即有
k/n≈vn/2，也即(1+ i)- n ≈(k/n)2
再由 i= 1 (1 i)n k
1，所以有 i0=
( k )2 n k
将该式用于上例中，有
i0=3.0556% 已经比较接近真实解。
类似地，可以推导求解未知利率问题 s =k 的初值公式 ni
( k )2 - 1
第一节 年金的标准型
何为年金？
所谓年金是指一系列按照相等时 间间隔支付的款项。
年金在经济生活中较常见。房屋的租金，抵 押付款，汽车的分期付款，以及投资款项的利息付 款、保险费的缴纳、保险费的领取及养老金、手机 和电话的月租费、公用事业费等都是年金的例子。
“年金”一词的原始意义是限于每年一次的付 款，但现已被推广到按任何正规的时间间隔付款。
标准年金：定期、定额、每期支付一次、每次支付 一个单位金额的基本年金。
2.1 年金的标准型
2.1.1 期末付年金
年金的现金流在第一个付款期末首次发生，随后 依次分期进行
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
1 = 1 +i
2）期初付年金：
例2-7 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐 款，每年捐款支付3000元，到2005年1月1日为 止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到 2019年1月1日为止。假设年实质利率为6%，分 别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：
（1）1960年1月1日；
（2）1979年1月1日；
例题
A留下一笔100000元的遗产，这笔遗产头十年的利 息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C， 此后的均付给慈善事业D，若此项财产的年实际利 率为7%，所有年金的领取都在期末发生，试确定B、 C、D在此项财产中各得多少份额？
B所占的份额为：
C所占的份额为：
D所占的份额为：
例2-8 有甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额 100万元的奖学基金。该基金以永续年金的方式 每年支付一次用作该校部分学生的奖学金，第
a&& = 1 vn nd 1+d &s&=(1+i)n
n
(2-8A) (2-7B)
&s&= (1 i)n 1
n
d
(2-9A)
a&& =1+v +v2+…+vn-1= 1 vn
n
d
&s&= (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
&s&= a&& (1+i)n
n
n
a&& = &s&vn nn