二面角平面角的定义

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二面角,判定,性质

面面垂直
定义
性质定理
直线与平面垂直定义
直线与平面垂直判定定理
b
a
ol
ba
b a 任意, a ,
b . l a,l b, a b o,
l .
直线与平面垂直定义
l
a
l ,a ,
l a.
面面垂直定义面面垂直判定定理
面面垂直性质定理
AB
C
a
a
l
二面角ABC 90，
. a ,a ,
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在 ABC中，CM=AC sin 60 3.
M
在 PAB中，PM PA sin 60 3,
B
又 PC 3, PCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
16:20
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内引射线 PM 、 PN ，且 ∠ MPN=60º
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的平面的二面角的平面角.
A
E
C
D B
16:20
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
16:20
思考题（2001年高考题）
Bα
CA
D
β
16:20
平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .

二面角及其平面角

二面角及其平面角[引言]二面角相关问题的求解是必修二立体几何中的难点，也是许多同学较为头疼的问题.本文则主要讲解二面角类问题的常用解法.[概念]由一条直线出发的两个半平面组成的图形（或：一个半平面以其边界为轴旋转而成为图形）叫做二面角.直线叫做二面角的棱，半平面叫做二面角的面.图1 二面角ɑ-l-β由半平面ɑ-直线l-半平面β构成[二面角的度量]以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角的三个特征：1、点在棱上2、线在面内3、与棱垂直二面角的平面角的大小范围：0°≤θ≤180°平面角是90°的二面角叫做直二面角[二面角的平面角作法]做出二面角的平面角是运用几何方法求解二面角问题的关键，这里笔者提供找平面角的三种方法供同学们参考1、定义法：此法适用于过棱上一点找平面角.过二面角棱上一点P作平面ɑ内一条直线AP与平面β内一条直线BP分别与棱l垂直，则∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角.2、三垂线（逆）定理法：此法适用于过面上一点找平面角.过平面β上一点P作PA⊥ɑ于A，再过A作AB⊥棱l于B，连接BP.易证平面ABP⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角3、垂面法：此法适用于过二面角内一点找平面角.过二面角内一点P分别作平面ɑ、β的垂线PA、PB，连接B、O、A.易证平面PBOA⊥l，故∠APB即为二面角ɑ-l-β的平面角图2 二面角的平面角的三种作法[例题1]已知锐二面角ɑ-l-β，A为ɑ内一点，A到β的距离为2√3，到l距离为4，求二面角ɑ-l-β的大小此例题较简单，通过这个题我们可以将二面角的求法可以归纳为以下三步：1、找到或作出题目中二面角的平面角2、证明1中的角为所求二面角3、计算出角的大小一“作”二“证”三“计算”下面给出参考解法解：过A作AO⊥ɑ于O，过O作OD⊥l于D，连结AD.（对应1）由三垂线定理得AD⊥l∴∠ADO即为二面角ɑ-l-β的平面角（对应2）∵AO为A到β的距离，AD为A到l的距离∴AO=2√3，AD=4在Rt△ADO中∴sin∠ADO=√3/2∵二面角的范围是[0,π]故∠ADO=60°即二面角ɑ-l-β的大小为60°（对应3）需要注意的是，有时题目中并不直接给出点到平面的距离，此时点到平面的距离通常要用到简单几何体的体积或勾股定理求出.[思考]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.若PA=1，AD=2，试求二面角B-PC-A的正切值. 点拨：不妨证明BD⊥平面PAC，或利用面积法求出点到平面的距离.[拓展延伸]以下内容供有余力的同学参考面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦.”S射影面积＝S原图形面积×cosθ即cosθ=S射影图/S原图(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比.所以就是图形的长度（三角形中称高）的比.那么这个比值应该是平面所成角的余弦值.在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线）,那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可.运用这一方法可以解决求无棱二面角的大小问题,关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影（即找到从一个面内一点向另一面的垂线）通常求两个面内的三角形的面积比较容易.。

二面角的概念与求法讲义

二面角的概念与求法讲义考点一：二面角概念1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考点二：二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

三．补棱法D C BPA本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决四、射影面积法（cos s Sq =射影）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜射S S =θ）求出二面角的大小。

平面与平面垂直的判定与性质

记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的大小？二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作垂直于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC

利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--.2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直4、用法向量求二面角5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。

D CβαBA O m 2m 1n 2n 1DCβαl如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。

如图，设1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。

cos cos ,AB CD AB CD AB CDθ⋅==⋅小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角:二.求二面角的平面角:例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。

（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小。

cos cos ,AB CDAB CD AB CD θ⋅==⋅1A例1：在棱长为1的正方体1AC 中，求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角正弦值大小.解：过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：36sin 1=∠COC ，所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角的正弦值大小为36 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过D 作BC DF ⊥于F ，过D 作AC DE ⊥于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ， FED ∠为二面角B AC D --的平面角，又AB ⊥平面BCD ，∴AB DF ⊥，AB CD ⊥，∴DF ⊥平面ABC ， ∴DF EF ⊥又∵AB CD ⊥，BD CD ⊥，∴CD ⊥平面ABD ，∴CD AD ⊥，设BD a =，则2AB BC a ==，在RtBCD ∆中，1122BCD S BC DF BD CD ∆=⋅=⋅，∴DF =同理，Rt ACD ∆中，DE =，∴sin 5DF FED DE ∠===，所以，二面角B AC D --．AB C DEF通过观察探究利用法向量解决：例1：解：建立空间直角坐标系得：)1,1,0(1=DC ，)0,1,1(=DB ，)0,1,0(=DC设平面1C BD 的法向量),,(1111z y x n =，平面CBD 的法向量),,(2222z y x n =，可得)1,1,1(1-=n ，)1,0,0(2=n ，33cos 21=n n ，即二面角的平面角36sin =θ 例2:解:建立空间直角坐标系得： )2,21,23(),2,0,0(),2,2,0(-==-=AD BA AC 设平面BAC 的法向量),,(1111z y x n =，平面DAC 的法向量),,(2222z y x n =得：)1,0,0(1=n ，)33,33,1(2=n ，515cos 21=n n 所以，二面角B AC D --10．。

二面角及二面角的平面角

09:17
C
B
β
B
p
α
O
ι
A
二面角
例 1.如图，已知 P是二面角 α-AB-β棱上一点，过 P分别在 α 、 β 内引射线 PM 、 PN ，且 ∠ MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。 C 在PB上取不同于P 的一点O， α 解： M 在α内过O作OC⊥AB交PM于C， O P A 在β内作OD⊥AB交PN于D， B 连CD，可得 D N ∠COD是二面角α-AB-β的平面角 β 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º ∴CO=a， DO= a ， PC 2 a ， PD 2 a C 又∵∠MPN=60º ∴CD=PC 2 a
1 OE 2 BC
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º ∴OE∥BC且 OE⊥AB ，因此 PE⊥AB A ∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角 1 3 在Rt△PBE中，BE 2，PB=1，PE 2
E B O
C
在Rt△POE中， OE 2 tan PEO ∴ 2 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2 09:17
09:17
∴∠COD=90º 因此，二面角的度数为90º
P
a
O
二面角
例 3 ．如图，三棱锥 P-ABC的顶点 P在底面 ABC上的射影是底面 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ，若 PB=AB=1 ， BC= 2，求二面角P-AB-C的正切值。
P
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
ι
β α
二、二面角的平面角

二面角

D1 A1 C1 B1
F
E D O A B C
D1 A1
C1
B1 G
F
H D C
A
B
例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是AD的中点， G是PB的中点。 P （1）求证：EG∥面PDC （2）求二面角E-PC-B的大小
F
G E A
D
总结：
构造二面角的平面角只需满足以上三个特征。
三：二面角的构造方法
1.定义法（垂面法）：通过作棱的垂面，
垂面与二面角的两个半平面相交的两条射线构成的角。
2.垂线法：在棱上取恰当的一点，过这一点
在两个半平面内引棱的垂线构成的角。如：⑴.在几何体ABCD中， A 已知AB=AC,BD=CD 求作二面角A-BC-D B 的平面A l 作β的垂线AB，垂足为B。 O B 在过B作l的垂线BO交l于O， β 连结AO 因为AB⊥β所以OB为AO在β内的射影。又因为l⊥OB，由三垂线定理得：l⊥OA （过A作l的垂线AO交l于O，连结OB） α 或如图，在β内找一点作α的 B l 垂线，再利用三垂线定理 β O 构造出二面角的平面角。 A
高三（Ⅱ）部备课组
一：二面角的相关概念
1.半平面的定义：
一个平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分都叫做半平面。如图 α
l β
2.二面角的定义：
从一条直线出发的棱为l，两个半平面分别为α，β的二面角两个半平面所组成的图形叫做二面角。可表示为α—l—β
二：二面角的平面角
1.二面角平面角的定义：
在棱l上取一点O，过O作一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，则∠AOB叫做二面角 α-l-β的平面角。

【高中数学】高中数学知识点：二面角

【高中数学】高中数学知识点：二面角半平面的定义：一条直线把一个平面分成两部分，每一部分都被称为半平面二面角的定义：从一条直线开始由两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的边，这两个半平面称为二面角的面。

二面角的平面角：以二面角边上的任意点为顶点，使两条光线垂直于两个面的边。

这两条光线形成的角称为二面角的平面角。

平面角度的大小可以通过平面的大小来测量。

多少度是二面角的平面角，也就是说，多少度是二面角。

二面角的取值范围为[0180°]。

直二面角：平面角是直角的二面角，称为直二面角。

如果两个相交平面形成的二面角是直二面角，则两个平面垂直；相反，如果两个平面垂直，则产生的二面角为直二面角。

二面角的平面角具有下列性质：a、二面角的边缘垂直于其平面角所在的平面，即L⊥ 飞机AOBb．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c、二面角所在的平面垂直于二面角的两面，即平面AOB⊥ α、飞机AOB⊥ α.求二面角的方法：（1）定义方法：通过二面角的平面角计算；找出或制作二面角的平面角；符合其定义的证明；通过求解三角形，计算出二面角的平面角。

上述过程可概括为“一项工作（发现）、两项证明和三项计算”(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．（3）垂直面法：当已知二面角中从一点到两个平面的垂直线时，该平面与穿过两条垂直线的两个半平面相交形成的角度即为平面角。

因此，可以看出，二面角的平面角所在的平面垂直于边缘(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中s是平面图形在一个二面角平面上的面积，s'是平面图形在另一个平面上投影图形的面积，α是二面角的大小(5)向量法：设二面角的平面角是θ。

①如果那个②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是否相等或互补取决于具体数字。

对二面角定义的理解：根据这个定义，两个平面相交成四个二面角，其中两个相对的二面角大小相等。

二面角的平面角及求法

二面角的平面角及求法1、半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

3、二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。

二面角大小的取值范围是［0，180°］。

4、直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

5、二面角的平面角具有下列性质：a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.6、求二面角的平面角的方法：(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。

二面角及其平面角课件

有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。
如右图，在三棱锥A-BCD中，面 ABC与面BCD所成的二面角可以记作二面角A-BC-D.
3. 画法
⑴ 平卧式：
l
A
B
A
l
B
⑵ 直立式： A
l
B
三、二面角的平面角
1.定义在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
D'
C'
A'Βιβλιοθήκη B'D A
C B
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
① 二面角的两个面重合： 0o ② 二面角的两个面合成一个平面： 180o ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． 90o
二面角的范围： [ 0o, 180o ]
例: 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角C'-BD-C；（2）二面角C'-BD-A；
（3）二面角D'-DC-A；（4）二面角D'-AB-D.
二面角及其平面角
一、半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每
一部分都叫做半平面．
二、二面角

立体几何二面角专题方法总结(定义法、向量法、三垂线法、补棱法)

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
如图 1，在二面角 —l 一中，过平面内一点 A 作 AO⊥平面，垂足为 O，过点 O 作 OB⊥l 于 B(过 A 点作 AB⊥于 B)，连结 AB(或 OB)，由三垂线定理(或逆定理)知 AB⊥ l(或 OB⊥l)，则∠ABO 为二面角 —l— 的平面角．
4 . 三垂线法三部曲（两垂一连）（ 1 ）作面的垂线（任一个半平面的垂线）（ 2 ）作棱的垂线
（ 3 ）连线例 1 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠BCA=90°，AC=BC，A1 在底面 ABC 的射影恰为 AC 的中点 M，又知 AA1 与底面 ABC 所成的角为 60°． (1)求证：BC⊥平面 AA1CC1； (2)求二面角 B 一 AA1—C 的正切值．
3
五、射影法
若多边形面积为 S, 它在一个平面上的射影的面积为 S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角 θ, 满足 S0=Scosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.
例 1 过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD, 若 AB=PA, 则平
→→
→
b=
a b
．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．
→
→
| a ||b|
例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面 ABCD．求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值．

立体几何中二面角的平面角的定位

立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】立体几何中的二面角是一个重要的概念，而平面角的定位在二面角中有着特殊的作用。

本文首先介绍了二面角和平面角的基本概念，然后探讨了二面角的特性和分类。

接着重点讨论了二面角的平面角的定位问题，并探讨了平面角与二面角之间的关系。

我们详细阐述了平面角的测量方法。

通过深入理解平面角的定位，我们可以更好地解决立体几何中的问题，提高解题效率。

掌握平面角的定位对于学习立体几何具有重要意义，可以帮助我们更好地理解立体几何中的概念和定理，解决相关问题。

【关键词】二面角、平面角、定位、立体几何、特性、分类、关系、测量方法、重要意义、解决问题、提高效率。

1. 引言1.1 二面角的概念二面角是立体几何中一个重要的概念，指的是由两个相邻平面夹角所确定的角。

在几何中，我们通常将两个相邻平面的交线称为边线，而边线延伸至无穷远处，形成一个平面角。

这个平面角就是二面角。

二面角可以用来描述空间中两个平面的夹角大小和方向，是立体几何中的基本概念之一。

二面角的大小可以通过其所包含的两个平面的夹角来确定，通常用度数来表示。

二面角的方向则取决于两个相邻平面的相对位置。

在立体几何中，我们经常需要根据二面角的平面角来确定点、线、面等的位置关系，从而推导出更复杂的结论。

掌握二面角的概念和特性对于解决立体几何中的问题至关重要。

通过深入理解二面角的平面角的定位，我们可以更好地理解空间中的几何关系，提高解题效率，解决更为复杂的几何问题。

1.2 平面角的定义平面角是指在几何中由两条射线或直线段围成的角，这两条射线或直线段共同形成了一个平面。

平面角的大小可以通过角度来度量，常用的单位包括度、弧度等。

在平面几何中，平面角的概念是非常基础和重要的，它帮助我们描述和理解不同几何对象之间的位置关系和相互作用。

平面角的定义可以用于描述各种几何形状之间的相对位置关系，比如直线和直线、直线和平面、平面和平面等。

平面角的大小取决于形成该角的两条射线或直线段之间的夹角大小，这个夹角可以通过工具如量角器或通过数学方法进行测量和计算。

二面角的平面角的求法

二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。

二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。

其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。

所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。

由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。

平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。

(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。

人教A版数学必修2课件：2.3.3二面角

如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？
方法1

A O
由定义知：过A作 AO l 交l于O,在面β内作 OB l 则∠AOB为所求的角。
l
B

----“定义法”
3、二面角的平面角的求法:
如图，点A在二面角α-l-β的半平面α上一点，过点A如何作出二面角α-l-β的平面角？
D
A O B
C
练习：指出下图中的二面角的平面角：
A, B l

B D O A’ D A B
二面角A--BC--D

B D’
A
AC BD C
AC⊥l BD ⊥l A
l
D
C’
B’ O C
E
O
C
二面角--l--
二面角B--B’C--A
例2:如图,已知P是二面角 AB 棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM =∠BPN =450，求此二面角的度数。
l
B
A
F B D
E
二面角－ l－

C
二面角C－AB－ E
上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定？
二、二面角的平面角:
1、二面角的平面角的定义：定义一：以二面角的棱上任意 O 。 1 一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则∠ABC=45°∠ABO=30°，∠ACO 就是所求二面角的平面角。
α A B

平面所成的角与二面角

βB ιO
P α
A
二面角
例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在
底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜
边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，
求二面2角P-AB-C的正切值。
P
P
A
E
B
E
O
O
C
二面角
已知：A为二面角α– CD –β的棱CD 上一点， AB 在平面 α 内且与棱 CD 成 45º角，又AB与平面β成30º，求二面
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
二面角
例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN,且 ∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º，求此二面角的度数。
C
P
O
a
C Mα
AP O
B
D Nβ
二面角
例 2 ．如图 P 为二面角 α–ι–β 内一点， PA⊥α,PB⊥β, 且 PA=5 ， PB=8 ， AB=7，求这二面角的度数。
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
二面角

二面角的平面角的定位

二面角的平面角的定位空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。

一、重温二面角的平面角的定义如图（1），α、β是由l出发的两个平面,O是l上任意一点,O∈α，且OC⊥l；CD∈β，且OD⊥l。

这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：⑴过棱上任意一点，其平面角是唯一的。

⑵其平面角所在平面与其两个半平面均垂直。

另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征⑵可知AB⊥β.突出L、OC、OD、AB，这便是另一特征。

⑶体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。

对以上特征进行剖析：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征⑴表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

例1：已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。

由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。

正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。

特征⑵指出：如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，而交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。

二面角的平面角定义

二面角的平面角定义
二面角是三维几何中的一个角度概念，它是由四个不同的平面相交而形成的角度。

简单来说，二面角就是由四面体四个面中的任意两个相邻面所围成的角度。

而平面角是指在同一个平面内，两条射线之间的夹角。

因此，二面角的平面角可以理解为在四面体的任意两个相邻面内部的平面角。

例如，在四面体的一个棱上，它所对的两个面分别是两个平面，这两个平面在该棱上的平面角就是它们所围成的二面角。

需要注意的是，由于二面角的形成是依据四面体的不同排列情况而定的，因此不同的四面体所形成的二面角大小也是不同的。

二面角的定义

，12 PB=1，PE
，22 PO
1 2
3 2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
P
E
B
O
C P
E
O
例5 已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的
高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC
②
∠
BAC
=
D 在Rt△PBE中，BE ，PB=1，PE
1
求（1）平面C BD与平面 1 ∵直线B1C与平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= ，∴AQ=1。
C1
∵AB=AC=a，∠BAC=90。
P
ABCD所成角的大小； A 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。
的大小。 BD=DC=BC/2=2/2
例4．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正
切值。已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
D
C
面分别相交于射线PA、PB
取AB 的中点为E，连PE，OE ∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角
⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。
ABCD－A B C D 中， ∵AB=AC=a，∠BAC=90。
1 ∠COD是二面角α-AB-β的平面角
求（1）平面C1BD与平面