二面角 平面角的定义

＝ 62＋ 42＋ 82＋ 2× 6× 8× cos120 ＝ 62＋ 42＋ 82－ 2× 6× 8× ＝ 68 ∴ | CD |＝ 2
17
○
1 2
例 2、如图所示，在正方体 AC1 中，求 二面角 A1－BD－C1 的大小。
解： （方法一） 由正方 体的 面对 角线 长都相 等可 知， △ A 1BD 与△ C1BD 是全等的正三角形， 取 BD 的中点 O， 连结 A 1O 、 C1O， 则 A 1O⊥BD， C 1O ⊥BD， ∴∠A1OC 就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。 ∵A1C1＝
(6)二面角的范围
[0 ,180 ]
（7）直二面角
平面角为直角 的二面角叫做 直二面角
。
。
2. 课
堂 诊 断
）
当 堂 小 测
1、二面角指的是（
A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。
B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。
D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
2
∴OA1⊥BD，OC1⊥BD， ∴＜ OA 1 ，OC 1 ＞就是二面角 A1－BD－C1 的平面角。 ∴cos＜ OA 1 ，OC 1 ＞＝
OA OC | OA | | OC
1 1
1
1
|
1 ＝ ＝ 。 6 6 3 2 2
1 2
例3、如图，设E、F、G是正方体相应棱的
中点，求二面角E－FG－A的大小。 解：如图，过点A作AH交CF的延长线于点H， 连结EH。由EA⊥平面AC及三垂线定理可得： EH ⊥FG， 故∠EHA就是二面角 E－FG－A 的平面角。
在 Rt△EAH 中，易得
2 AH＝ EF，EF＝EA， 2 ∴tan∠EHA＝ 2 ，
∴∠EHA＝arctan 2 。
H
1、二面角的定义
本 节 小 结
2、二面角的平面角的定义 3、二面角的平面角的求解： ①找（或作）出平面角 ⑴定义法 ⑶三垂线定理法 ②求解 解三角形或用向量的夹角公式 ⑵棱的垂面法 ⑷向量法 等
分析
D
A
B
要求CD 的长， 可考虑用向量法， 即求C | D |， AB 、 BD 要求|CD |，须先用已知向量CA 、 AB + BD 表示它，不难得到：CD =CA +
a 求出结果. 最后根据 |a | =a ·
2
解：由已知得： ＜ CA ， BD ＞＝ 180 － 60 ＝ 120 ，
○ ○ ○
？
(5)二面角的平面角——
垂直于二面角的棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角 。 O 。 叫做二面角的平面角。 或： 从二面角的棱上任一点在 两个半平面内分别作垂直于棱 的射线，则这两条射线所成的 角叫做二面角的平面角。
B B A A α
β
小结： 1.二面角就是用它的平面
B 。 O 角来度量的。一个二面角的平 面角多大，我们就说个二面角 A B1 是多少度的二面角。 。 O1 复习回顾 等角定理 若一个角的两边与 β A1 2.二面角的平面角与点（或 另一个角的两边分别平行且方 α 向相同，则这两个角相等。 垂直平面）的位置无任何关系， 只与二面角的张角大小有关。
D(0，0，0)，B(1，1，0)， O(1 ，1 ，0)，
2 2
A1(1，0，1)，C1(0，1，1) ∴ BD＝(0，0，0)－(1，1，0)＝（－1，－1，0）
OA OC
， ，0)＝（ ，－ ，1） 1 ＝(1 ，0 ，1) －( ， ，0)＝（－ ， ，1） 1 ＝(0 ，1 ，1) －(
1 2 1 2 1 2 1 2
2
a，A1O＝C1O＝
(
3 2 2
a＝ 2
6
a
6 6 a) 2 ( a ) 2 ( 2a ) 2 1 2 ∴cos∠A1OC ＝ 2 ＝ 3 6 6 2 a a 2 2 1 ∴∠A1OC＝arccos 。 3
故二面角 A1－BD－C1 的大小为
1 arccos 3
。
解： （方法二） 如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，BD 的中点为 O，则
CA · AB ＝ 0，AB · BD ＝ 0
2 | | ＝（ CA ＋AB ＋BD ） 2 CD ∴ 2 2 2 | | ＋ | | ＋ | | CA AB BD ＋ 2CA ·BD ＝ 2 2 2 CA | | ＋ | | ＋ | | AB BD ＋ 2|CA |× |BD |cos＜CA ， BD ＞ ＝
2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上， 角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱 ＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。
3.有关二面角的题型
。
例1 在60 的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分 别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm， AC=6cm，BD=8cm，求CD的长。 C
如： ①以直线a为棱，以α 、β 为半平面的二面角记作： “α —a—β ” ②以直线l为棱，以平面 ABCD、平面A1B1C1D1为半 平面的二面角记作：
1 1 1 1
？
O
B
？ “面ABCD—l—面A B C D ”
或“A—l—A1”，等等。
a
A
β
α
③以直线AB为棱，平面CAB、 平面DAB为半平面的二面角 记作： “C—等等。 AB—D”
1 2
1 2
1 2
1 2
1 ∴ BD● OA 1 ＝－1×1 ＋（－1）×（－ ）＋0×1＝0 2 2
BD● OC ＝（－1）×（－1 ）＋－1×1 ＋0×1＝0 2 2
1
1 OA ●OC ＝1 ×（－1 ）＋（－1 ）×1 ＋1×1＝ 2 2 2 2 2
1 1
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6 OA OC ｜ ｜＝｜ ｜＝
1 1
1 、二面角及二面角的平面角 的有关定义
（1）半平面 平面的一条直线把平面分为两部分，
其中的每一部分都叫做一个半平面。
α α
（2）二面角
l
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面。
l
(3)常见二面角的画法
（4）二面角的记法
“面1—棱—面2”