互相关函数频率域描述

连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4
(-1)
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为 周期信号和非周期信号。
当且仅当 f t T f (t) t
则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号
非周期信号的频域分析方法
• 当T→∞ 时，求和变成了取积分，Δω变成dω ，nω1用ω表
示。因此有
f (t) 1
2
f
(t)e jt dte jt d
• 式中方括号是原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它 具有单位频带振幅的量纲，记作F(ω) 。即
F ( ) f (t)e jt dt
T / 2
•求出Cn，信号分解的任务就完成了。
C0 a0 A0
Cn
1 2
(an
jbn ),Cn
1 2
(an
jbn )
Cn
Cn
1 2
An
1 2
a
2 n
b2n
非周期信号的频域分析方法
• 对于定义于区间（-∞，+∞）上的非周期函数，也能分 解成许多正弦波的叠加。（也要满足狄利希莱条件）
• 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期T→∞， 则在整个时间内表示f(t)的傅立叶级数也能在整个时间 内表示非周期信号。
• 将原函数写成
f (t) 1 F e jtd
2
• 这就是非周期信号f(t)的傅立叶积分表示式，它与周期信号的
傅立叶级数相当。 F( j)d 和傅立叶级数中的复数振幅相当， 是无穷小量，频谱密度 函数反映了各分量振幅间的相对比例 关系。
• f (t)的指数傅立叶级数可写为
式中
f t
Cne jn1t
n
Cn
1 T
T /2
f
T / 2
t
e jn1tdt
• Fn是复数振幅，将其代入f(t),得到
f
(t)
1 T n
T /2 T / 2
f
(t)e jn1t dte jn1t
非周期信号的频域分析方法
• 当T 增加时，基频ω1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也 减小，但频谱的形状不变。在T→∞的极限情况下，每个频率
连续信号与离散信号
如果在某一时间间隔内，对于一切时间 值，除若干不连续点外，该函数都能给 出确定的函数值，此信号称为连续信号。
和连续信号相对应的是离散信号。代表 离散信号的时间函数只在某些不连续的 时间值上给定函数值。
一般而言，模拟信号是连续的（时间和 幅值都是连续的），数字信号是离散的。
连续信号模拟信号
δ tdt 1, t 0
δ t 0,
t0
• 当Δt无限趋小而成为dτ时，上式中不连续变量kΔt成了连
续变量τ，对各项求和就成了求积分。于是有
r
t
t
0
s ht d
这种叠加积分称为卷积积分。
频域分析
• 作为时间函数的激励和响应，可通过傅立叶 变换将时间变量变换为频率变量去进行分析， 这种利用信号频率特性的方法称为频域分析 法。频域是最常用的一种变换域。
分 t
系统对第k个冲激函数
的冲激响应函数
析
skt• t • ht kt
法
kΔt
t
示
r(kΔt)
意
图
0 kΔt
t
时域分析的方法（2）
• 式中h(t)是单位冲激函数δ(t)对应的响应，称为单位冲激 响应函数。
• 单位冲激函数δ(t) 也称狄拉克函数或δ函数，其定义是： 在t≠0时，函数值均为0；在t=0处，函数值为无穷大，而 脉冲面积为1，即
– 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平 均功率。
P lim 1 T / 2 | f (t) |2dt T T T / 2
– 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。
信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号； 考察信号能量在时域和频域中的表达式，非周期的单脉冲信 号就是常见的能量信号；信号平均功率为大于零的有限值而 信号总能量为无穷大，称为功率信号，考察信号功率在时域 和频域中的表达式。周期信号就是常见的功率信号。
• 例：周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该 信号的基波频率，周期的大或小分别对应着低 的或高的基波和谐波频率；
• 信号分析中将进一步揭示两者的关系。
不同频率信号的时域图和频域图
信号还可以用它的能量特点加以区分。 – 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就 消耗一定的信号能量。
E T /2 | f (t) |2dt T / 2
冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程 度）
以时间函数描述信号的图象称为时域图， 在时域上分析信号称为时域分析。
确定信号的频率特性
信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱 函数中，也包含了信号的全部信息量。
频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和 相位。
– 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许 多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和 相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低 次序排列成频谱。
• 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同 类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方 法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计 算。
• 根据欧拉公式
e jt cost j sint
cos n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
j sin
n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱
变成了连续频谱。这时，f(t)已不是nω1的离散函数，而是ω
的连续函数。
• 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为
周期T 可写为
Δω=(n+1)ω1-nω1=ω1
于是，有
2 2
T
1
f
(t )
n
1
2
T /2 T / 2
f
(t )e jn1t dt e jn1t
傅立叶级数还可以n1t n )
n1
式中：
A0 a0
An
a
2 n
b2n
tan n
bn an
An-，n-分别称为 幅值谱和相位谱，统
称为频谱。
带有直流分量的信号
指数傅立叶级数
• 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法 是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。
个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时
间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的
函数值。 lim f (t ) lim f (t )
• 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。
周期信号的频域分析方法
• 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成 分的正弦波之和。
• 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周 期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示：
f t a0 (an cos n1t bn sin n1t) n 1
• a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为
a0
1 T
T /2
f
T / 2
t dt
an
2 T
T /2
f
T / 2
t cosn1tdt
bn
2 T
T /2
f
T / 2
t sin n1tdt
• 傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦-余弦 表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。
• 如同时域分析把信号始终看成是时间的函数 一样，在频域分析中，任何信号又可看成是 频率函数。
• 频域分析的基本工具是傅立叶分析，包括傅 立叶级数和傅立叶变换。
周期信号的频域分析方法
• 考察信号
f
t
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
1 7
sin
71t
式中ω1=2πf1。ω1称为基波频率，简称基频，
信号分析
• 时域分析 –信号时域分析（线性系统叠加原理） –卷积积分的应用及其数学描述
• 频域分析 –周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级 数） –非周期信号的频域分析（傅立叶积分） –信号在频域与时域之间的变换（正反傅立 叶变换式） –频谱与时间函数的关系
时域分析
• 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 • 激励与响应都是时间的函数
复杂周期信号波形
数字信号的谐波
分解周期信号的条件
• 狄利希莱条件
要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期
信号的函数f(t)应当满足下列条件：
–
在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；
| t1 T t1
f t| dt
– 在一周期内，函数的极值数目为有限；
– 在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有限
– 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。
以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。
时域和频域
时域特性与频域特性的联系
• 信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含 了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点, 那么，信号的时间特性与频率特性必然具有密 切联系。