高数C下期末复习题

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经管类高数C期末练习及答案

2017-2018-2《高数C 》期末练习题答案一、选择题1、下面计算正确的是（ C ）A.201x dx x +∞-∞=+⎰B.1122102ln 211x x dx dx x x -==++⎰⎰ C. 121ln(1)0x x dx -++=⎰ D.121cos 0ln(3)xdx x -=+⎰2、设),(y x f z =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) （ D ） A ．不是f x y (,)的连续点 B.不是f x y (,)的极值点 C.是f x y (,)的极大值点 D.是f x y (,)的极小值点解:22222,,1,0,1z z z z zx y A B C x y x x y y∂∂∂∂∂========∂∂∂∂∂∂3、下列命题中正确的是（ C ）A. 若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑必定收敛 B. 若1n n u ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑必定发散C. 若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑必定收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑可能收敛4、下列级数中绝对收敛的是（ D ）A ．∑∞=-11)1(n nn B.∑∞=--11)1(n n nC. ∑∞=-+-111)1(n n n nD.∑∞=--11)32()1(n n n5、设},11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D },11,10|),{(1≤≤-≤≤=y x y x D },10,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D⎰⎰=Dd y x I σ23， ⎰⎰=1231D d y x I σ， ⎰⎰=2232D d y x I σ则下面正确的是（ C ）A.12I I =B.24I I =C.0=ID.0≠I6、幂级数nn x 21)31(∑∞=+的收敛域为（ A ） A.(-4,2) B.[-4,2] C. (-3,3) D.[-3,3]解:可用特殊值法,取2x =,此时2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散,排除其他三个选项若是填空题:22212113limlim 313n n n n n nx u x u x ++→∞→∞+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭当2113x +⎛⎫< ⎪⎝⎭,即42x -<<时,n n x 21)31(∑∞=+收敛当2x =时,2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散当4x =-时,2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散所以收敛域为(-4,2) 7、将21101(,)x xdx f x y dy --⎰⎰写成极坐标形式的二重积分为（ A ） A ．1210sin cos (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰B.110sin cos (cos ,sin )d f r r dr πθθθθθ+⎰⎰C.12sin cos 01(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰D.120(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰8、将cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰写成直角坐标形式的二重积分为（ C ）A ．2100(,)y y dy f x y dx -⎰⎰B.1100(,)dx f x y dy ⎰⎰C.21(,)x x dx f x y dy -⎰⎰D.2110(,)y dy f x y dx -⎰⎰9、下列方程中为一阶线性方程的是( C ) A.2x y xy e '+= B.x yy xy e '+= C.1x yy +'= D.22y x y x '=+10、设0a >，则1(1)(1cos )na n n ∞=--∑（ C ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D. 敛散性与a 有关 11、正项级数1nn a∞=∑若满足条件( D )必收敛A.lim 0n n a →∞= B.1lim1n n n a a →∞+< C.1lim 1n n n a a +→∞≤ D.1lim 1n n n aa →∞+>12、)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为 ( B ) A ．x sin 1+ B. x sin 1- C. x cos 1+ D. x cos 1- 解：211sin )(cos )(sin )(C x C x dx x f C x x f x x f ++-=⇒+-=⇒='⎰ 取1,021==C C 得B 若为填空题21sin C x C x ++-二、填空题3、微分方程y xy y '+=的通解y =____________________.22x x Ce -解: (1)dyy xy y y x dx'+=⇒=- 分离变量得(1)dyx dx y=- 两边积分(1)dyx dx y =-⎰⎰得21ln ln 2y x x C =-+ 即22x x y Ce-=4、020cos limxx t dt x→=⎰ ．解:020cos limxx t dt x→=⎰20cos lim 11x x →-=- 5、改换二次积分的积分次序后，1(,)__________________.xxdx f x y dy =⎰⎰210(,)y y dy f x y dx ⎰⎰6、微分方程2sin (cos )ln ,()y x x y y y e π'==的解y = ．sin x e解:分离变量得cos ln sin dy xdxy y x= 两边积分cos ln sin dy xdx y y x=⎰⎰ 得lnln lnsin ln y x C =+ 即ln sin y C x =所以sin C x y e =,由2()y e π=得1C =,从而sin x y e = 7、极限2!lim n n n n n→∞=______________.考虑级数12!n n n n n∞=∑,1112(1)!(1)lim lim 2lim 2!1n n n n n n n n n nn u n n n u n n +++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 122lim 111n n e n →∞==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以级数12!n n n n n ∞=∑收敛,从而2!lim 0n n n n n →∞= 9、抛物线x y 22-=与直线4--=x y 所围图形的面积为 .解: 24824y x x y x y =--=-⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩所求面积23244224418262()()|y y y A y dy y --=-++=-++=⎰ 10、42x dx -=⎰____________________.10解:2240404202201022 ||x x x dx xdx xdx ---=-+=-+=⎰⎰⎰11、将函数13x -展开成x 的幂级数是 .10,(3,3)3nn n x x ∞+=∈-∑解：01111,(3,3)333413n n n x x x x ∞===∈---∑10,(3,3)3nn n x x ∞+==∈-∑ 12、设平面区域2222(,)|1,0,0x y D x y a b a b ⎧⎫=+≤>>⎨⎬⎩⎭,则35()D ax by c dxdy ++=⎰⎰__________________.35()DDa xb yc dxdy cdxdy abc π++==⎰⎰⎰⎰奇奇13、4222sin 1x xdx x -=+⎰ . 0 14、33()x f x dx e C =+⎰,则()f x = ．3x e 解：3()3xf x dx e C =+⎰333()(())()x x f x f x dx e C e ''⇒==+=⎰三、解答题1、计算二重积分arctan D y d xσ⎰⎰,其中D 是由圆周22221,4x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域.解：2401sin arctan arctan[]cos y xDd d d πρθσθρρρθ=⎰⎰⎰⎰2401d d πθρθρ=⎰⎰222444100033||2222d d πππρθθθθθ===⎰⎰2364π= 2、求由抛物线42+=x y ，直线4y x =±所围图形D 的面积，并求D 绕x 轴旋转所成立体的体积.解：244y xy x =⎧⎨=+⎩得28x y =⎧⎨=⎩则所求面积为2202(44)A x x dx =+-⎰32202(42)|3x x x =+-163=所求体积为222202[(4)16]V x x dx π=+-⎰53282(16)|53x x x π=-+1283π= 3、计算⎰⎰D y x xxd d sin 其中D 是直线π===x y x y ,0,所围成的闭区域．解: 取D 为X – 型域：⎩⎨⎧≤≤≤≤πx xy D 00:[]20cos d sin d d sin d d sin 000=-===∴⎰⎰⎰⎰⎰πππx x x y x x x y x x xx D 4、求幂级数∑∞=+1)12(n n x n 的和函数.解:先求收敛域（自己求）111()(21)2nnn n n n s x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑11122()11n n n n x xx nxx x x x ∞∞-=='=+=+--∑∑ x ∈(-1,1) 12()2()111n n x x xx x x x x x∞=''=+=+---∑ 223(1)x x x -=- x ∈(-1,1)当1x =时, 11(21)(21)nn n n x n ∞∞==+=+∑∑发散当1x =-时, 11(21)(1)(21)nn n n n x n ∞∞==+=-+∑∑发散223()(1)x x s x x -∴=- x ∈(-1,1) 5、设函数(,)z z x y =由方程ln x zz y=确定，求z x ∂∂及22z x ∂∂.解：设(,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+, 则22111,,x y z x x zF F F z y z z z+===--=-，所以 21x z F z zz x z x F x z z ∂=-==+∂+ 从而2222231()()()()()xz z zz x z z zz x z x x xx z x z x z ∂∂-+-+∂+∂∂===-∂+++ 7、判定下列级数的敛散性（1）11ln(1),(0)n n n λλ∞=+>∑（2）∑∞=12cos n n n n （3）1001(1)2nn n ∞=+∑ （4）∑∞=--2ln )1(n nn n （5）2147(1)(2)(3)n n n n n n n ∞=+++++∑解：（1）11ln(1)lim 101lim ln(1)n n n n n nnλλλλ+→∞→∞+==>+而级数111n nλ∞+=∑收敛，所以，11ln(1),(0)n n nλλ+∞=+>∑收敛（2）cos ,1,2,,22n n n n n nv n ≤==且11112limlim 122n n n n nn n v n v ++→∞→∞+==<， 1cos 2nn n n∞=∑绝对收敛，所以它本身也收敛 (3) 10011100(2)2lim lim (1)2n n n n nnn u n u ++→∞→∞+=+1001001(2)1lim 12(1)2n n n →∞+==<+ 1001(1)2nn n ∞=+∴∑收敛（4）设2ln 1)(≥-=x xx x f2211102()(ln )(ln )x x f x x x x x x x --'=-=-<≥--()f x ∴在[2,)+∞上单调递减,所以当1n n <+时,()(1)f n f n ≥+即1111ln ln()n n n n ≥-+-+,又10lim ln n n n →∞=- 21()ln nn n n∞=-∴-∑收敛 11011limlim lim ln ln n x x n x n n x x x→∞→+∞→+∞===≠---21ln n n n ∞=∴-∑发散从而∑∞=--2ln )1(n nn n 条件收敛（5）243224747(1)(2)(3)limlim 101(1)(2)(3)n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞+++++++==≠+++Q 而级数211n n∞=∑收敛 , 故由比较审敛法的极限形式得级数11(1)(2)n n n n +∞=++∑ 收敛8、求幂级数111(1)n n n x n+∞-=-∑的收敛半径、收敛域及收敛区间内的和函数. 解：先求收敛域（自己求）1111()(1)(1)n n n n n n x x s x x n n +∞∞-===-=--∑∑，令1()(1)nnn x t x n ∞==-∑，显然(0)0t =111()(1)1n n n t x x x ∞-=-'=-=+∑||1x <所以()ln(1)t x x C =-++,由(0)0t =,得0C =()ln(1)t x x =-+ ||1x <所以()ln(1)s x x x =+ ||1x <当1x =时, 11111(1)(1)n n n n n x n n +-∞∞-==--=∑∑收敛当1x =-时, 11111(1)n n n n x n n+∞∞-==-=∑∑发散 ()ln(1)s x x x ∴=+ x ∈(1,1]-所以收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-,收敛域为(1,1]-.9、求幂级数11n n x n∞=∑的收敛区间，在收敛区间内的和函数()s x ，并计算数项级数1(1)2n nn n -∞=-∑的和. 解： 11()n n s x x n∞==∑,0)0(=s111()1n n s x x x∞-='==-∑(1,1)-C x dx xx s +--=-=⎰)1ln(11)(，由0)0(=s 得0=C 11)1ln()(<≤---=∴x x x s 11(1)2n nn n -∞=-∑的和为13()ln 22s --=10、.d d 11}0,1|),{(2222y x yx xyI x y x y x D D⎰⎰+++=≥≤+=，计算二重积分设区域122222212120222220011d d d d d d 1111111d d 2d d 2d d ln(1)|ln 2,11122DD D DD xy xyI x y x y x y x y x y x y x y x y r r r x yx yr ππθπ+=++++++====+=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解＝＋＋11、试求函数y x xy y x z ++-+=22在闭区域.3,0,0:-≥+≤≤y x y x D 上的最大值和最小值.解:先求驻点，解方程组⎩⎨⎧=+-==+-=012'012'x y z y x z yx 解得：1,1-=-=y x ，故得D 内唯一驻点：)1,1(1--p ，对应函数值为： 1)1,1(-=--z ；在边界03,0,1≤≤-=x y l 上，x x x z +=2)0,(在)0,21(2-p 处取最小值：41)0,21(-=-z ，在)0,3(3-p 处取最大值：6)0,3(=-z ；在边界03,0,2≤≤-=y x l 上，y y y z +=2),0(在)21,0(4-p 处取最小值：41)21,0(-=-z ，在)3,0(5-p 处取最大值：6)3,0(=-z ；在边界03,3,3≤≤--=+x y x l 上)1)(2(3)3,(++=--x x x x z 在)23,23(6--p 处取最小值：43)23,23(-=--z ，在在)0,3(3-p 与)3,0(5-p 处取最大值：6；比较上述六点的函数值得：1),(min ),(-=∈y x Z Dy x ,6),(max ),(=∈y x Z Dy x .12、求微分方程22(6)0ydx y x dy +-=的通解.解：方程可化为262dx x y dy y -=，即32dx yx dy y -=-，它对应的齐次微分方程为：30dx x dy y-= 分离变量，解得3x Cy =。

高等数学下期末试题（七套附答案）

⾼等数学下期末试题（七套附答案）⾼等数学（下）试卷⼀⼀、填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为（2）已知函数，则（3）交换积分次序，＝（4）已知是连接两点的直线段，则（5）已知微分⽅程，则其通解为⼆、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则（） A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交（2）设是由⽅程确定，则在点处的（） A.B.C. D.（3）已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域，将在柱⾯坐标系下化成三次积分为（） A. B. C.D.（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A.B. C.D.三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线:且平⾏于直线：的平⾯⽅程2、已知，求，3、设，利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分，其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题（共22分）1、利⽤⾼斯公式计算，其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）⾼等数学（下）试卷⼆⼀．填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为；（2）已知函数，则在处的全微分；之间的⼀段弧，则；（5）已知微分⽅程，则其通解为 .⼆．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则与的夹⾓为（）；A. B. C. D.（2）设是由⽅程确定，则（）； A.B.C. D.（3）微分⽅程的特解的形式为（）； A.B.C. D.（4）已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为（）； A B.C.D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（）.B. C.D.三．计算题（每题8分，共48分）得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知，求，.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算，为抛物⾯的下侧⾼等数学（下）模拟试卷三⼀．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）⽆穷（D）振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。

高数C下

高等数学C （下）综合练习题一、单选题（每小题2分） 1.下列等式中正确的是（）.(A) )()( x f dx x f dx d b a =⎰ (B) C x f dx x f dx d +=⎰)()( (C))()( x f dt t f dx d xa =⎰ (D) ()()f x dx f x '=⎰2.下列广义积分收敛的是（）.(A) dx x11 ⎰+∞(B) ⎰+∞e dx x xln (C)⎰+∞0 cos xdx (D) ⎰+∞-0 2dx xe x 3.微分方程x y y ''-'=0满足条件'==y y (),()11112的解是 (A) y x =+2414 (B) y x=22(C) y x =-212 (D) y x =-+212 4.平面A xB y C zD +++=0过x 轴，则（） (A) AD ==0 (B) B C =≠00, (C) B C ≠=00, (D) BC ==0 5.22limx y xy x y→→=+（）.(A) 0 (B) 1 (C)21(D) 不存在 6.设y e z xsin =,则=∂∂∂yx z2（）. (A) y e x cos - (B) y e e x x sin + (C) y e e x x cos - (D) y e x cos 7.设)(x f 在],[b a 上连续,则下列各式中不正确的是（）.(A)⎰⎰=babadx x f dt t f )()( (B)⎰⎰-=babadx x f dt t f )()( (C)0)( =⎰aadx x f (D) 若,0)( =⎰badx x f 则0)(=x f8.若,0),(,0),(0000==y x f y x f y x 则),(y x f 在),(00y x 处有（）.(A) 连续且可微 (B) 连续但不一定可微 (C) 可微但不一定连续 (D) 不一定可微也不一定连续 9.在空间直角坐标系中,点)3,2,1(-关于原点的对称点的坐标是（）.(A) )3,2,1(-- (B) )3,2,1(-- (C) )3,2,1(--- (D) )3,2,1(-- 10.=+→→2200limy x xyy x （）.(A) 0 (B) 1 (C)21(D) 不存在 11.设,xye z =则=∂∂∂yx z2( ). (A) )1(xy e xy + (B) )1(y e xy + (C) )1(x e xy + (D) xy e xy 12.设D 由0,==y x y 及122=+y x 所围 ,则=⎰⎰Dd σ( ).(A) π (B) 2π (C) 4π (D) 8π 13.下列积分等于0的是（）. (A) ⎰dx 0 (B)⎰+11- sin )1(xdx x (C) ⎰11- 31dx x (D) ⎰11- 3cos xdx x14.yoz 平面内的直线14=+z y 绕y 轴旋转一周所得的曲面方程为（）.(A) )(16)1(222z x y +=- (B) 116)(222=++z x y (C)1)(4=++z x y (D) 11622=+z y 15.设)ln(),(22y x x y x f --=,其中0>>y x ,则=-+),(y x y x f （）.(A) )ln(2y x - (B) )ln(y x - (C))ln (ln 21y x - (D) )ln(2y x -16.=+→→4220lim y x xy y x （）. (A) 0 (B) 1 (C) 21(D) 不存在 17.,xy e z =则=dz ( ).(A) dx e xy (B) )(xdy ydx e xy + (C) xdy ydx + (D) )(dy dx e xy + 18.设D 由0,==y x y 及122=+y x 所围 ,则=⎰⎰Dd σ( ). (A) 1 (B)21 (C) 41 (D) 81 19.设⎰=-a 0,2)32(dx x x 则常数a ＝（）（A ） 1 （B ） -1 （C ） 0 （D ） 220.设向量}6,3,2{-=a ，则与a同向的单位向量为（）（A ） }6,3,2{- （B ） }6,3,2{71-- （C ） }6,3,2{71-± （D ） }6,3,2{71-21.设,26+=''x y 则通解=y ( ).（A ）C x x ++232 （B ） 1232++x x （C ） C x x ++23 （D ） 2123C x C x x +++ 22.设22),(y x y x xy f +=-，则 =+),('),('y x f y x f y x ( )（A ）y 22+ （B ） y 22- （C ） y x 22+ （D ） y x 22- 23.函数)y ,x (f z =在点(x 0,y 0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的( ).（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件 24.若区域D 为122≤+y x ，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为累次积分为（）（A ）⎰⎰----111 1 22),(x x dy y x f dx （B ）⎰⎰--1112 02),(x dy y x f dx （C ）⎰⎰---11 1 22),(x x dy y x f dx （D ）⎰⎰----111 1 22),(x x dx y x f dy其中r r r f r F )sin ,cos (),(θθθ=25.=+⎰∞+∞ - 21x dx（）(A) 2π(B)π (C) 2π- (D)π-26.设空间直线 210zy x == ，则该直线过原点，且（）（A ）与X 轴垂直 (B) 垂直于Y 轴，但不平行X 轴 (C) 与X 轴平行 (D) 垂直于Z 轴，但不平行X 轴 27.若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y 。

2011-2012(2)高数C试题(2)

2011-2012年高等数学C （下）期末考试试题一、选择题（每小题4分，共16分） 1.极限00x y →→= ( )．A ．0B ．∞C ．14-D ．142.设1D ：11x -≤≤，22y -≤≤；2D ：01x ≤≤，02y ≤≤；则12231()D I x y d σ=+⎰⎰，与22232()D I x y d σ=+⎰⎰之间的关系是（） A . 12I I = B . 12I I ≤ C. 124I I = D. 不确定 3.下列级数中, 收敛的是( ).A . 11n n n ∞=+∑ B . 11sin n n ∞=∑ C . n ∞=D . 1sin 2n n π∞=∑4. 微分方程220d yy dx+=的通解是（）, 其中A 、B 是任意常数.A . sin y A x =B . cos y B x =C . sin cos y x B x =+D . sin cos y A x B x =+ 二、填空（每小题4分，共20分） 1. 函数(,)f x y =的定义域为 .2.设sinxz y=，则dz = . 3.当(,)f x y 在有界闭区域D 上时，(,)Df x y d σ⎰⎰的几何意义是以(,)z f x y =为曲顶，以D 为底的曲顶柱体体积.4.将函数21()1f x x=-展开成x 的幂级数为. . 5. 微分方程56(3)()0x y yy ''-=的阶数是 . 三、计算题（每小题6分，共42分）1.已知z =求其偏导数.2. 设u v z e -=，而x u y =，43v x y =-，求z x∂∂，z y ∂∂. 3. 计算函数2ln()z x y =+的全微分. 4. 计算二重积分22Dy d xσ⎰⎰，其中D 是由直线2y =,=y x 及双曲线1=xy 所围成的图形.5. 计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域. 6. 判别级数211sin 4n n nπ∞=∑的收敛性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛. 7. 求幂级数111(3)(1)3nn nn x n ∞-=--∑的收敛域.四、求微分方程的通解（每小题7分，共14分）1.2(1)tan 0y xdx dy -+=.2. 212dy y x dx x-=五、(8分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量x 、y 间有关系式2(,)0.005P x y x y =，已知原料A 、B 的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产的数量最多？（“已知原料A 、B 的单价分别为1元、2元”好像没有用到）。

高数下册复习题

高数下册复习题# 高数下册复习题一、极限与连续性1. 极限的定义：- 定义极限的概念，并给出一个函数极限存在的条件。

2. 无穷小的比较：- 比较两个无穷小量的大小，并说明如何比较。

3. 极限的运算法则：- 给出极限运算的基本法则，并举例说明。

4. 连续性的定义：- 定义函数在某点连续的条件。

5. 间断点的判定：- 描述如何判断一个函数在某点的间断点类型。

6. 连续函数的性质：- 列举连续函数的基本性质。

二、导数与微分1. 导数的定义：- 描述导数的几何意义和物理意义。

2. 基本导数公式：- 列出基本的导数公式。

3. 导数的运算法则：- 给出导数的四则运算法则。

4. 复合函数的求导法则：- 描述复合函数求导的链式法则。

5. 隐函数求导：- 给出隐函数求导的方法。

6. 高阶导数：- 解释什么是高阶导数，并给出求高阶导数的步骤。

7. 微分的概念：- 定义微分，并说明微分与导数的关系。

三、中值定理与泰勒公式1. 罗尔定理：- 描述罗尔定理的条件和结论。

2. 拉格朗日中值定理：- 给出拉格朗日中值定理的表述。

3. 柯西中值定理：- 解释柯西中值定理。

4. 泰勒公式：- 介绍泰勒公式，并给出一个函数的泰勒展开。

四、不定积分1. 不定积分的定义：- 定义原函数和不定积分。

2. 基本积分公式：- 列出基本的积分公式。

3. 换元积分法：- 描述第一类换元积分法和第二类换元积分法。

4. 分部积分法：- 解释分部积分法的适用条件和计算步骤。

5. 有理函数的积分：- 给出有理函数积分的方法。

五、定积分1. 定积分的定义：- 定义定积分，并说明其几何意义。

2. 定积分的性质：- 列举定积分的基本性质。

3. 定积分的计算：- 描述如何计算定积分。

4. 定积分的应用：- 给出定积分在几何、物理等领域的应用实例。

六、级数1. 级数的概念：- 定义无穷级数，并说明其分类。

2. 正项级数的判别法：- 列出正项级数的几种判别法。

3. 交错级数的判别法：- 描述交错级数的判别方法。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACE

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u u u u u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22uη∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂2．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d Lx y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π．故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t aa t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x=⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lx xy x y xy yx x x x x x x xx x x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰3．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。

第二学期高数(下)期末考试试卷及答案

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。

高数c下学期期末考试试题及答案

高数c下学期期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A2. 极限lim(x→0)(sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为：A. 3x^2-12x+11B. x^3-6x^2+11C. 3x^2-12x+6D. 3x^2-6x+11答案：A4. 定积分∫(0,1)x^2dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)收敛，则以下级数收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞)(1/n)B. ∑(n=1 to ∞)(1/n^3)C. ∑(n=1 to ∞)(1/n^4)D. ∑(n=1 to ∞)(1/n^5)答案：C6. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x * e^x + CD. 1/e^x + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为________。

答案：02. 曲线y=x^3在x=1处的切线斜率为________。

答案：33. 定积分∫(0,2)x dx的值为________。

答案：44. 若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

答案：1/x三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的导数。

答案：f'(x)=3x^2-3，所以f'(2)=9。

2. 计算定积分∫(1,2)(2x-1)dx。

答案：[(2x^2-x)](1,2) = (2*2^2-2) - (2*1^2-1) = 4。

3. 求级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)的和。

高数下册期末试题及答案

高数下册期末试题及答案第一题：已知函数 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1，求 f(x) 的导函数。

解析：要求 f(x) 的导函数，即求 f'(x)。

根据求导法则，对于多项式函数 f(x) = ax^n：1. 当 n 不等于 0 时，f'(x) = anx^(n-1)。

2. 当 n 等于 0 时，f'(x) = 0（常数项的导数为 0）。

所以，对于 f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x + 1：f'(x) = d/dx (2x^3 - 4x^2 + 3x + 1)= 6x^2 - 8x + 3。

答案：f'(x) = 6x^2 - 8x + 3。

第二题：已知函数 f(x) = e^x * ln(x)，求其不定积分。

解析：要求函数 f(x) 的不定积分，即求∫ f(x) dx。

根据积分法则，对于函数 f(x) = e^x * ln(x)：1. 对于∫ e^x dx，由指数函数的积分法则得知∫ e^x dx = e^x + C1（其中 C1 为常数）。

2. 对于∫ ln(x) dx，由对数函数的积分法则得知∫ ln(x) d x = x * ln(x) - x + C2（其中 C2 为常数）。

所以，对于 f(x) = e^x * ln(x)：∫ f(x) dx = ∫ (e^x * ln(x)) dx= ∫ e^x dx * ∫ ln(x) dx= (e^x + C1) * (x * ln(x) - x + C2)= xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)（其中 C(x) 为常数）。

答案：∫ f(x) d x = xe^x * ln(x) - xe^x + e^x * ln(x) - e^x + C(x)。

第三题：已知函数 f(x) = sin^2(x) + cos^2(x)，证明 f'(x) = 0。

高等数学下册期末复习试题及答案

高等数学下册期末复习试题及答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=k j i n (4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分)2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=D y x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r e I r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xye yz F F x z z z x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x '=+，即x e x f x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x +⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分) 5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解：因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim 221n n n n u u n n n n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim 2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=，令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z y x (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n n n x 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim 1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1=x 时，级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nn x x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=x x x S x S 0d )()(x x x d 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=y x x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )( 对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ．解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分) 上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分) 由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x x x f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ．因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ． (5分)八．（5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．解1：由线性微分方程解的结构定理知x e2与x e -是对应齐次方程的两个线性无关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-'' 将x xe y =代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知x e2与x e -是对应齐次方程的两个线性无关的解，x xe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y-++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212， x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B 一、填空题（共30分每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ ． 5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰L y x x y d d π2． 6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ． 7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为C xy =． 10．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*．二、解答题（共42分每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=k j i n (4分)所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂．解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32cos(33)32cos(1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一：原式⎰⎰=211d ]d [x x y xy (2分) x y x x d ]2[2112⎰⋅=x x x d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分) 解法二：原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分) 4．计算⎰⎰--D y x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解：选极坐标系原式⎰⎰-=20102d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=1022564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=1046d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分) 6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性．解：因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim 11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分)7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解．解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r 通解为 x x e C eC y -+=241， (3分) x x e C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解 x x e e y -+-=4． (3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分)四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQ y P ∂∂=∂∂，得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以 )d ()(d 21d 21C x e e x f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x +=⎰-)32(2321C x x +=-， (3分) 代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分) 五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值．解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(x y xf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因 ),()(xy f x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为 ))(())](()([)(00000000000000y y x y f x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=-即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、填空题（每小题3分，共21分）1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂xu21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yzx z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分）设022=-++xyz z y x ，求xz ∂∂解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=xyzyzxyz F x-=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx x dy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x五、（共6分）计算⎰-+-L x xdy y e dx y y e)1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nnn x 的收敛域解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x 时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[ 七、（共5分）计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2 dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f xx )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C ,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分每题31. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7.函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8. 设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-． 9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10.交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14.设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是发散．16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是收敛．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是收敛． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程．19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz ∂∂．解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解：由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-，即 xxx f x x f sin )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分)计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是（A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p p n n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为（B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ）（A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ）（A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-2 7．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是（ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n nu的敛散性是发散．3．级数∑∞=12cos n n n的敛散性是绝对收敛． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高数复习参考卷答案(2)

高等数学期末复习参考卷一、选择题：1。

下列函数中，（ B ）是基本初等函数。

A 。

()x x f sin 2=； B 。

()2xx f =; C 。

()()x x f +=1ln ; D.()2arcsin x x f =。

2.下列各对函数中,( D )中的两个函数相等。

A 。

()2)(x x f =,x x g =)(; B 。

11)(2--=x x x f ，1)(+=x x g ； C.2ln )(x x f =,x x g ln 2)(=； D 。

2)(x x f =,x x g =)(。

3.函数4ln y x=的定义域为（ D ）。

A. ［-2，2]; B. (0.)+∞； C.［—2，0］ ∪(0，2］； D.（0，1)∪(1，2］. 4。

变量（ D ）是无穷小量。

A 。

()2339x x x -→-; B.()1sin0x x→； C 。

()10xex →； D.()ln 1x x →。

5。

当0→x 时,下列无穷小量中与x 等价的是（ D ）.A 。

x cos 1-;B 。

x 2tan ；C 。

2arctan x ；D 。

x x +2. 6。

函数)(x f 在点0x 处有定义,是()x f 在点0x 处连续的（ A ）。

A.必要不充分条件; B 。

充分不必要条件； C.充分必要条件； D.既非必要又非充分条件。

7.函数)(x f 在[]b a ,上连续，是()x f 在[]b a ,上可导的（ B ）。

A. 充分不必要条件； B 。

必要不充分条件; C 。

充分必要条件； D. 既非必要又非充分条件. 8。

设)(x f 在点0x 处可导，则下列结论错误的是( B ）。

A 。

()x f 在0x 处有定义; B.()A x f x x =→0lim ,但()0x f A ≠;C 。

()x f 在0x 处连续;D 。

()x f 在0x 处可微.9。

能导出“()f x 在0x 可微"的条件是( D )。

高数下册期末考试复习题

高数下册期末考试复习题一、选择题1. 函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的导数定义为：A. \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \)B. \( f(x_0) \)C. \( \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)D. \( \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x} \)答案：A2. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \ln x \)答案：C二、填空题1. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)的导数为 \( f'(x) = \) __________。

答案：\( 3x^2 - 6x + 2 \)2. 若\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3 dx = \) __________。

答案：\( \frac{1}{4} \)三、计算题1. 计算函数\( f(x) = \ln(x) \)在区间\( [1, e] \)上的定积分，并求其几何意义。

答案：首先计算定积分：\[\int_1^e \ln(x) dx = [x\ln(x) - x]_1^e = (e\ln(e) - e) -(1\ln(1) - 1) = e - 1\]几何意义：表示以\( e \)为底的自然对数函数在区间\( [1, e] \)上曲线与x轴和直线x=1所围成的曲边梯形的面积。

2. 已知函数\( g(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求其在点\( x = 1 \)处的切线方程。

答案：首先求导数：\[g'(x) = 6x + 2\]然后计算在\( x = 1 \)处的导数值和函数值：\[g'(1) = 6(1) + 2 = 8, \quad g(1) = 3(1)^2 + 2(1) - 5 = 0\]切线方程为：\[y - g(1) = g'(1)(x - 1) \Rightarrow y = 8(x - 1) + 0\Rightarrow y = 8x - 8\]四、证明题1. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则定积分\( \int_a^b f(x) dx \)存在。

2011-2012学年第二学期高数C(二)A卷

安徽大学2011—2012学年第二学期《高等数学C(二)》考试试卷（A 卷）院/系年级专业姓名学号答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷时间120分钟）考场登记表序号__________题号一二三四五总分得分阅卷人得分一、填空题（每小题2分，共10分）1．设A 为矩阵，且||33×1A =，把A 按列分块为123(, , )A ααα=，那么行列式3123|, 4, 2|αααα−−==⎜⎜⎟⎝⎠A ___________．2．若矩阵，123045002A ⎛⎞⎜⎟⎟∗为其伴随矩阵，则1()A ∗−=____________．3．若向量组，1(1, 3, 6, 2)T α=2(2, 1, 2, 1)T α=−，线性相关，3(1, 1, , 2)T a α=−−则___________． a =4．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是___________．5. 如果n 阶矩阵A 满足()()r A E r A E n ++−=，且A E ≠，其中E 为阶单位矩阵，n那么矩阵A 必有一个特征值为___________．得分二、选择题（每小题2分，共10分）6．下列条件中，哪个不能．．作为n 阶实矩阵A 可逆的充要条件 ( )A ．A 的特征值全为非负实数B ．A 可以表示为一些初等矩阵的乘积C ．A 的列向量组线性无关D ．当0x ≠时，0Ax ≠，其中12(,,,)T n x x x x ="7．设向量组12,,,s αα"α线性无关，则下列说法错误．．的是 ( ) A ．12,,,s αα"α都不是零向量B ．12,,,s αα"α中至少有一个向量可由其余向量线性表示C ．12,,,s αα"α中任意两个向量都不成比例D ．12,,,s αα"α中任一部分向量组都线性无关8．设A 是矩阵，m n ×B 是n m ×矩阵，对线性方程组()AB x 0=，有 ( ) A ．时，方程组仅有零解 n m >B ．时，方程组必有非零解 n m >C ．时，方程组仅有零解 m n >D ．时，方程组必有非零解m n >9．如果两个n 阶矩阵A 与B 相似，那么下列结论一定正确的是 ( ) A ．A 与B 都相似于同一个对角矩阵 B ．A 与B 的秩可能不相等 C ．A 与B 有相同的特征向量 D ．A 与B 有相同的行列式10．若A 是矩阵，，，则43×()2r A =102020103B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠()r AB = ( ) A ． B ．1 C ． D ． 023三、计算题（每小题10分，共60分）得分11．计算n 阶行列式12341110000022000003300000011n n n n−−−−−−"""""""" ．12．设矩阵，求满足方程101210325A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟X A AX −=的矩阵X ．答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．求向量组，，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示． 1(1,1,2,4)T α=−2(0,3,1,2)T α=3(3,0,7,14)T α=4(1,2,2,0)T α=−−5(2,1,5,10)T α=14．求齐次线性方程组的基础解系．123412345023x x x x x x x x +−−=⎧⎨−++=⎩015．设1α，2α，3α是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，若，，求方程组1(1, 1, 1, 1)T α=23(2, 3, 4, 5)T αα+=Ax b =的通解．16．已知是矩阵111ξ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠212512A a b −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟3⎟−−⎝⎠的一个特征向量，（1）求参数a ，b 及特征向量ξ所对应的特征值．答题勿超装订线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2）问A 能否相似于对角矩阵？并说明理由．四、分析计算题（每小题12分，共12分）得分17．已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =−+−+++的秩为2．（1）求a 的值．（2）利用正交变换求出f 的标准形，并写出相应的正交矩阵Q ．得分五、证明题（每小题8分，共8分）18．设A ，B 均为n 阶方阵，（1）若，证明：0AB =()()r A r B n +≤．（2）若，且2A =A E 为阶单位矩阵，证明：n ()()r A r A E n +−=．。

12高数C期末复习题

一．填空题：1．设积分上限函数1sin ()xtx dt tΦ=⎰，则()π'Φ＝． 2．已知函数()f x 的一个原函数为tan x ，则()f x '= ． 3、直线l 与x 轴平行,且与曲线x y x e =-相切,则切点坐标是． 4、设'()f x 为连续函数,则= ．5．设0>R ，则=-⎰-dx x R RR22 ．6．2220lim xx t x e t e dt x-→+∞=⎰．7．反常积分2x xe dx +∞-=⎰．8．设22z x y xy =++，则dz ＝． 9．设sin xyz e=，则dz ＝．10．设2tan y z x=，则dz ＝．11．设(1)arctan z xy x =+-(1,0)y z = ，(0,0)x z = ．12．积分3Ddxdy ⎰⎰= ，其中区域D 是22149x y +≤． 13．由二重积分几何意义得=⎰⎰，其中{}222:(,)D x y x y R +≤．14．设级数1nn aq∞=∑收敛，其中a 为非零常数，则q 的取值范围是． 15．设级数11p n an∞+=∑收敛，其中a 为非零常数，则p 的取值范围是．16．lim 0n n a →∞=是级数1nn a∞=∑收敛的条件．17．已知sin 2,,(),x x f x x a x ππ>⎧=⎨+≤⎩是连续函数，则=a ．18．函数31=+y x 的图形的拐点是． 19．设函数0()arctan =⎰x F x tdt ，则()'=F x ．20．反常积分x e dx +∞-=⎰．21．幂级数02∞=∑n n x 的收敛区间是． 22．已知函数,0,(),0x e x f x x a x ⎧≥=⎨-<⎩在点0x =处连续，则=a ．23．函数32y x =的图形的凸区间是．24．设函数0y =⎰，则dy ．25．反常积分21dxx +∞-∞=+⎰ ．26．级数12n n n n x ∞=∑的收敛半径R = ．二．选择题：1．arctan d bad x x dx =⎰（）．（A ）arctan x （B ） 211x + （C ） arctan arctan b a - （D ）0．2．0131d x x -+=⎰　（）．（A ）32 （B ）32- （C ）56 （D ）56-． 3．设()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰dx x f d（）（A ）()x F （B ）()C x F + （C ）()x f （D ）()dx x f 4．设()x f 连续，则下列等式正确的是（）（A ）()()x f dx x f dx d b a =⎰ （B ）()()C x f dx x f dx d +=⎰ （C ）()()x f dt t f dx d ax-=⎰ （D ）()()x f dx x f ='⎰5．()='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰202x dt t f （）（A ）()4xf （B ）()4t f （C ）()42x f x （D ）()42x xf6．设函数()x f 在[]a a ,-上连续，则()=⎰-dx x f aa（）（A ）()dx x f a⎰2（B ）0 （C ）()()[]⎰-+adx x f x f 0（D ）()()[]⎰--adx x f x f 0（A ）无定义；（B ）不连续；（C ）可导；（D ）连续但不可导。

高等数学下期末试题(七套附答案)

高等数学（下）试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为（2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（）A.dx dy +B.dx ++D.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A. 2B. 1C. 12D.（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、（1）判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.B. 1C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的间断点（A ）可去（B ）跳跃（C ）无穷（D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。