第一讲：计算复杂性理论
密码学的计算复杂性理论
例如：Hanoi塔问题算法的时间复杂度，可以用一个指数函数O(2n)来表示， 显然，当n很大（如10000）时，计算机是无法处理的。相反，当算法的时间 复杂度的表示函数是一个多项式，如O(n2)时，则可以处理。因此，一个问 题求解算法的时间复杂度大于多项式（如指数函数）时，算法的执行时间将 随n的增加而急剧增长，以致即使是中等规模的问题也不能求解出来，于是 在计算复杂性中，将这一类问题称为难解性问题。人工智能领域中的状态图 搜索问题（解空间的表示或状态空间搜索问题）就是一类典型的难解性问题。
当n很大时，问题很难。 对于n=8,现已知此问题共有92种解，但只有12种是独立的，其 余的都可以由这12种利用对称性或旋转而得到。 设n=4，试一试。
编程试一试，看能解到n多大？
3）SAT问题
使可以得判(形定x1(式0一) , 化x个2(0地)n,元表,布x示n(0尔)为) 函：数。称为f (可x1(y0满) ,x足2(f0)(性,x1,问,xx2题n,(0) )（,xS1n a) tisfiab，il是ity否）存，在简一称组SA赋T,它值
启发式求解： • 子句检测：如果当前取值使得某个子句为假，则立即回溯 • 纯符号启发：所谓纯符号是指在所有子句中以同样形式出现的变量。例如
（A∨~B）∧（~B∨~C）∧（A∨C）中，A和~B是纯符号。对于所有的纯符号 都可以设它们的值为真。因为对于任何一种满足整个CNF的变量取值来说，如果 某个纯符号为假，把它变成真不会影响整个CNF的值。特别地，在判断纯符号时 可以忽略某些已经为真的子句。 • 单元子句启发：单元子句是指只有一个变量的子句。单元子句的符号取值必须为 真。特别地，如果某个子句中除了一个符号之外的所有符号值都为假，则这个子 句也是单元子句。
理解计算机中的计算理论与复杂性
理解计算机中的计算理论与复杂性计算机中的计算理论与复杂性计算理论是计算机科学的重要分支之一，它研究计算过程的本质和性质，为计算机科学提供了理论基础。
而复杂性理论则研究计算问题的复杂性，即问题的难解程度。
在计算机发展的不断推动下，计算理论与复杂性的研究越发重要。
本文将从计算理论和复杂性两个方面对相关概念和研究进行介绍和探讨。
一、计算理论计算理论是计算机科学中关于计算概念和过程的研究。
它主要分为可计算性理论和形式语言与自动机理论两大部分。
1. 可计算性理论可计算性理论研究的是什么问题可以用计算机算出，以及如何判断一个问题是否可计算。
它的核心思想是“图灵机”，即由英国数学家图灵提出的一种理论模型，用于描述计算过程。
可计算性理论的研究对象包括了函数的计算性、计算问题是否可判定、可计算函数的分类等。
2. 形式语言与自动机理论形式语言与自动机理论研究的是描述和处理信息的形式化语言和自动机模型。
形式语言的研究对象包括了正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
而自动机模型则包括了有限状态自动机、下推自动机和图灵机，用于描述和处理形式语言。
二、复杂性理论复杂性理论是研究计算问题的复杂性的学科。
它关注的是问题的求解难易程度，即问题的复杂性。
复杂性理论主要分为计算复杂性理论和各类计算问题的复杂性。
1. 计算复杂性理论计算复杂性理论研究的是计算问题的复杂性度量和分类。
其中最具代表性的是时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性研究的是计算问题在计算时间上的耗费，空间复杂性研究的是计算问题在计算空间上的耗费。
常用的时间复杂性度量是“大O记号”，用于表示问题在最坏情况下的耗时增长趋势。
2. 计算问题的复杂性计算问题的复杂性研究的是不同类型问题的复杂性分类以及它们之间的关系。
其中最经典的研究是关于P类问题和NP类问题的划分。
P 类问题指的是可以在多项式时间内求解的问题，而NP类问题指的是可以在多项式时间内验证的问题。
复杂性理论的研究则主要集中在P与NP问题之间的关系。
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论任忠乌鲁木齐石化公司计控中心摘要：本文阐述了计算复杂性理论的产生、定义、研究内容和发展。
关键词：算法分析；计算复杂性；起源；发展1.计算法复杂性理论的起源在几千年的数学发展中，人们研究了各式各样的计算，创立了许多算法。
但是，以计算或算法本身的性质为研究对象的数学理论，却是在20世纪30年代才发展起来的。
1936年，为了讨论对于每个问题是否都有求解算法，数理逻辑学家提出了几种不同的计算模型的定义。
K.Godel和S.C.Kleene等人创立了递归函数论，将数论函数的算法、可计算性刻画为递归可枚举性。
A.M.Turing和E.L.Post提出了理想计算机的概念，将问题算法可解性刻画为在具有严格定义的理想计算机上的可解性。
40年代以后，随着计算机科学技术的发展，研究的焦点从理论可计算法转移到现实可计算性上。
人们不仅需要研究理论上的、原则上的可计算性，还要研究现实的可计算性，即研究计算一个问题类需要多少时间，多少存储空间，研究哪些问题是现实可计算的，哪些问题虽然原则上可计算，但由于计算的量太大而实际上无法计算等。
因而一般算法设计方法研究和对一类问题算法解的难度分析便成为计算机科学的热点。
此后，计算复杂性的研究等不断有所发展。
由此产生了算法学和计算复杂性理论等新兴研究领域。
计算复杂性大的进展始于50年代末、60年代初，当时在美国有两个并行的中心，一个是通用电气公司设立于纽约州Schenectady的研究实验室，核心人物是J.Hartmanis和R.Stearns。
1964年11月，他们在普林斯顿举行的第五届开关电路理论和逻辑设计学术年会上发表了论文"Computational Complexity of recursivese quences"，论文中首次使用了"计算复杂性"这一术语，由此开辟了计算机科学中的一个新领域，并为之奠定了理论基础。
他们两人是1993年度图灵奖获得者。
计算复杂性的概念
Network Optimization
第 1 章
概 论
1.4 计算复杂性的概念
1
1.4.1 组合优化问题 1、定义
定义1.3 所谓组合(最)优化(Combinatorial Optimization)又称离散优 化（Discrete Optimization），它是通过数学方法去寻找离散事件的 最优编排、分组、次序或筛选等. 这类问题可用数学模型描述为：
15
1.4.3 多项式问题
定义1.5 对于给定的一个优化问题，若存在一个求解该问题
最优解的多项式时间算法，则称给定的优化问题是多项式可 解问题，或简称多项式问题，所有多项式问题集记为 P(Polynomial).
同样道理, 可以定义强多项式问题,伪多项式问题等.
16
布置作 业
目的 掌握图与网络的基本概念
2 | S | n 2 , S {1, 2 , , n }
x ij { 0 , 1}, i , j 1, 2 , , n , i j .
D= {0,1}n×(n-1)
4
例1.9 整数线性规划(Integer Linear Programming)
m in c x
(ILP)
a s 0 , a i {0 , 1} 。
正整数 x 输入长度的估计：
由不等式 2 s
2
lo g 2 x
x 2
s1
2
lo g 2 x 1
，可得：
log 2 x s 1 log 2 x 1
.
故，数 x 的二进制输入的位数为 s 1 lo g 2 x 或 lo g 2 x 1 。
计算理论复杂性理论基础知识
计算理论复杂性理论基础知识计算理论复杂性是计算机科学中一项重要的研究领域，旨在研究计算问题的解决难度和算法的效率。
本文将介绍计算理论复杂性的基础知识，包括问题的分类、计算模型和基本概念。
一、问题的分类在计算理论复杂性中，问题可以分为两类：P类问题和NP类问题。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
P类问题是计算理论中研究的主要对象，它代表了计算机科学界能够有效解决的问题。
例如，求两个数的和、排序问题等都属于P类问题。
NP类问题则代表了计算机科学界尚未找到高效解决方法的问题，它所包含的解的搜索空间非常大。
例如，旅行推销员问题、图着色问题等都属于NP类问题。
虽然目前还没有找到多项式时间内解决NP类问题的方法，但可以通过验证一个解是否正确来验证解的正确性。
二、计算模型计算理论复杂性研究中使用的计算模型主要有图灵机、非确定有限自动机和布尔电路模型。
图灵机是计算理论中最经典的计算模型之一，它由带有读写头的无限长纸带和一系列状态转移规则构成，可以模拟所有现代计算机的功能。
非确定有限自动机是另一种计算模型，它是图灵机的一种简化形式，特点是能够在某个状态下拥有多个可能的转移选项。
布尔电路模型是计算理论复杂性研究中较为特殊的一种计算模型，它通过使用与门、或门和非门等基本逻辑门来构建复杂的逻辑电路，从而解决特定的计算问题。
三、基本概念在计算理论复杂性研究中，有一些基本概念是必须了解的，包括计算问题的规模、算法的时间复杂度和空间复杂度等。
计算问题的规模指的是问题输入的大小。
例如，排序问题的规模可以是待排序数组的长度。
算法的时间复杂度是衡量算法执行所需时间的度量，通常用大O符号表示。
时间复杂度越低，表示算法的效率越高。
算法的空间复杂度是衡量算法所需内存空间的度量，也用大O符号表示。
空间复杂度越低，表示算法的内存利用率越高。
此外，还有一些复杂性理论中的重要问题，如P=NP问题、NP完全问题等，这些问题都是该领域中的研究热点。
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
计算复杂性理论
课程地位
• 本课程为信息安全专业以及与通信相关的各专业 的本科生奠定一定的数学基础，提高他们认识、 分析和解决信息安全问题的能力。本课程是学科 基础课，系统的介绍与信息安全理论与技术相关 的数学知识以及一些常用的计算方法，并通过一 些应用实例使学生了解数学知识在信息安全中的 应用，同时通过这些实例帮助学生更好的理解抽 象的数学知识，为进一步应用数学知识解决信息 安全领域的理论与实践问题奠定扎实的数学基础。
計算量(4)
Q5. ｛a1, a2,..., an｝：n個整数
求其和为最大的部分集合.
所有的部分集合的和进行比較 2n (n-1) +(2n-1) → O(n2n)算法.
计算量的膨胀(1)
10行×10列棋盘上米粒的数量 （第1格内放1粒米，以后每格顺次增加1倍……)
格序号 米粒数 重量 (kg)
第一讲：计算复杂性
•计算复杂性的概念 •计算量的表示 •算法与计算量 •计算复杂性 •影响计算复杂性的因素
计算复杂性的概念（1）
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时 所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能 的节省这些资源。 • 计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时 间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解 决问题时需要多少内存）。其他资源亦可考虑， 例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解 决问题。
n! 10141世紀 → 10120世紀 10255題都可能有多个算法存在． • 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： • 赝品金币問題： • 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是 假的（重量轻）． • 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用 几次？
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论
计算复杂性理论是计算机科学中一个重要的领域，它有助于我们理解
计算机如何工作，帮助我们知晓如何使用计算机以有效的方式来解决各种
问题。
而在过去的几十年里，人们研究了计算机的性能，从而开发出有用
的表示，以及有效地分类计算机上的问题，这就是计算复杂性理论。
计算复杂性理论被用来表示计算机程序的复杂性以及它们的处理效率。
它不仅可以度量一个问题的复杂度，还可以度量一系列问题的复杂度，以
及不同的处理器在处理不同问题时所花费的时间。
它还可以用来分析算法
的有效性，以及在最佳的情况下使用不同算法的优劣。
计算复杂性理论目前分为不同的分支，如理论计算机科学、算法分析、最优性和可实现性。
理论计算机科学主要研究计算机能够处理任何问题的
理论基础，包括计算机中可用的空间和时间复杂度等。
算法分析是指利用
不同的技术指标，比如时间和空间复杂度，来评估算法性能的过程。
最优
性跟理论计算机科学相关，它研究给定问题的最优解，并将其复杂度限制
在最低要求。
而可实现性则专注于研究计算机中实现这些最佳解的方法和
算法。
计算复杂性理论的研究是一个新兴的研究领域。
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文Abstract:计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域。
本文从该领域的起源、基本概念和主要研究内容三个方面探讨计算复杂性理论的重要性及其在实际应用中的作用。
首先介绍了计算复杂性理论的起源和发展历程，接着解释了计算问题、计算模型、算法和复杂性的基本概念。
随后探讨了计算复杂性理论在计算机科学中的核心问题，包括P与NP问题、NP完全性和NP难度、多项式时间可解问题等。
最后，讨论了计算复杂性理论在实际应用中的作用和价值，并对其未来发展进行了展望。
1. 引言计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域，是研究计算机算法和问题的困难程度的理论基础。
自20世纪60年代以来，计算复杂性理论逐渐发展成为理论计算机科学的基石之一。
计算复杂性理论的研究成果不仅为计算机科学的发展提供了理论依据，也为解决实际问题提供了方法和策略。
2. 计算复杂性理论的起源与发展计算复杂性理论的起源可以追溯到20世纪50年代末和60年代初，其最早的研究动机源于对计算问题的困难性的认识。
此后，随着计算机技术的快速发展，计算复杂性理论逐渐形成并得到广泛应用。
计算复杂性理论的发展受益于图灵机模型、多项式时间可解、NP完全性等基本概念的提出和研究。
3. 计算问题的基本概念与模型在计算复杂性理论中，计算问题是研究的基本对象。
计算问题可以通过算法解决，而算法又可以由计算模型来描述。
计算模型是一个形式化的数学模型，用于描述计算过程中使用的有限资源和约束条件。
计算问题的本质是找到一种有效的算法来解决它，而算法的复杂度则是刻画算法的时间和空间资源使用情况的度量。
4. 计算复杂性理论的核心问题计算复杂性理论的核心问题之一是P与NP问题。
P和NP是两个重要的复杂性类，前者表示在多项式时间内可解的问题，后者表示在非确定性多项式时间内可解的问题。
P与NP问题的解答关系到计算理论的基础性问题。
另一个核心问题是NP完全性和NP难度的研究，它们是复杂性理论中的重要概念。
计算机算法复杂性理论
计算机算法复杂性理论计算机算法复杂性理论是计算机科学的重要分支之一，着重研究算法在解决问题时所需的计算资源的使用情况。
通过对算法的复杂性进行分析，可以评估算法解决实际问题的效率和可行性，并提供指导原则来选择合适的算法。
一、算法复杂性的定义和表达方式算法复杂性理论主要关注算法在最坏情况下的行为，而不是其平均行为。
为了研究算法的复杂性，一般采用大O表示法来表示算法的运行时间或空间消耗。
大O表示法给出了算法运行时间或空间消耗与问题规模的增长趋势。
例如，如果一个算法的运行时间为O(n)，表示算法的运行时间随问题规模的增加而线性增长。
二、算法复杂性的分类常见的算法复杂性分类包括时间复杂性和空间复杂性。
1. 时间复杂性时间复杂性是衡量算法运行时间消耗的指标。
常见的时间复杂性包括：- O(1)：常数时间复杂性，表示算法的运行时间不随问题规模的增加而增加。
- O(log n)：对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加而增加，但增长速度相对较慢。
- O(n)：线性时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性增长。
- O(nlog n)：线性对数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成线性对数增长。
- O(n^k)：多项式时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成多项式增长。
- O(2^n)：指数时间复杂性，表示算法的运行时间随问题规模的增加成指数增长。
2. 空间复杂性空间复杂性是衡量算法空间资源消耗的指标。
常见的空间复杂性与时间复杂性类似，也使用大O表示法来表示。
三、算法复杂性的分析方法算法的复杂性分析可以通过以下几种方法进行。
1. 渐进分析渐进分析是最常用的算法复杂性分析方法，通过关注算法在问题规模无限增长时的行为来评估其复杂性。
渐进分析的关键是确定算法运行时间或空间消耗的增长趋势。
2. 最坏情况分析最坏情况分析是一种悲观的算法复杂性评估方法，认为算法在最坏情况下的表现是最能代表其复杂性的。
计算机算法复杂性理论与实际应用
计算机算法复杂性理论与实际应用计算机算法是现代计算机科学的核心之一，它是解决问题的一系列指令集。
算法的优劣对计算机程序的效率和性能有着直接的影响。
在计算机算法领域，复杂性理论一直是一个重要的研究方向。
本文将探讨计算机算法复杂性理论以及它在实际应用中的重要性。
一、计算机算法复杂性理论的概述A. 算法复杂性理论的定义计算机算法复杂性理论是研究算法运行时间、空间需求以及资源消耗的一门学科。
该理论的目标是分析和描述算法在不同输入规模下的表现，以及最优算法的存在性与可行性。
B. 计算机算法复杂性理论的分类1. 时间复杂性时间复杂性是指算法执行所需的时间，包括最佳情况、最差情况和平均情况。
通常用大O表示法表示，例如O(n)、O(n^2)等。
2. 空间复杂性空间复杂性是指算法执行所需的内存空间量，包括最佳情况、最差情况和平均情况。
同样使用大O表示法表示。
3. 算法正确性与完备性算法正确性是指算法在给定输入下是否得出正确的输出。
算法完备性则是指算法是否能够解决所有该问题的实例。
4. 可计算性理论可计算性理论研究的是计算过程的可行性和限制，探讨了计算机算法概念上的极限问题。
二、计算机算法复杂性理论的实际应用A. 算法设计和优化1. 算法设计算法复杂性理论为算法设计提供了指导，通过分析和评价算法的时间和空间复杂性，可以选择合适的算法来解决问题。
2. 算法优化通过复杂性理论，可以发现算法中的瓶颈和性能瓶颈，并进行相应的优化。
这可以提高计算机程序的效率和性能，减少资源的浪费。
B. 网络流量优化1. 网络流量控制复杂性理论可以帮助我们分析和优化网络流量控制算法，以降低网络拥塞，提高网络吞吐量。
2. 网络路由算法复杂性理论可以帮助我们设计更优的网络路由算法，提高传输效率，减少数据丢失和延迟。
C. 数据压缩和加密1. 数据压缩算法算法复杂性理论为数据压缩提供了理论基础，通过算法的设计和分析，可以实现更高效的数据压缩算法。
2. 数据加密算法复杂性理论也对数据加密算法的设计和分析起到了指导作用，保障数据的安全性和隐私性。
计算复杂性理论
计算复杂性理论
复杂性理论是指研究复杂系统和复杂行为的理论，它是一种非常广泛的学科，涉及物理、生物、社会、经济等多个领域。
其基本思想是把复杂系统看作是一个复杂整体，而这个整体受到许多不同因素的影响。
复杂性理论的研究方法包括计算机模拟、可视化技术、统计分析、数学建模等，旨在从多种不同的角度分析复杂系统。
它可以帮助我们更好地理解复杂系统中的不同行为，从而更好地控制和预测这些行为。
例如，复杂性理论可以用来研究高维度的社会系统，比如说，可以利用复杂性理论来研究社会、经济和政治系统中的复杂性，从而更好地了解它们如何发展和演化。
同样，复杂性理论也可以用来研究物理系统，比如环境系统、气候系统和动力系统。
另外，复杂性理论也被广泛应用于生物学领域，比如利用复杂性理论来研究生物系统，如生物多样性、生态系统、行为学等，以及利用复杂性理论来探索疾病的发展历程、行为变化以及治疗策略等。
总之，复杂性理论是一种非常有用的理论工具，它可以帮助我们更好地理解复杂系统，从而更好地控制它们。
它也可以用来研究社会、物理和生物等领域中的复杂性，这些研究对于改善我们的生活有着
重要的意义。
第3章 问题复杂性
第2节 问题的难度下界
例5：求中位数问题。
..
..
..
mid
..
..
..
(n-1)/2个，记”<“
(n-1)/2个，记”>”
把能够确定状态信息的比较称为决定性比较。 把不能够确定状态信息的比较称为非决定性比较。 决定性比较有n-1次，算法的总工作量为决定性比 较次数+非决定性比较的次数。
第2节 问题的难度下界
41 10 15 40
30
第2节 问题的难度下界
例4：求次大值问题。
为确定直接被最大值淘汰的元素个数的下界，按如下规则来构造最坏输入： 为输入元素定义权值ω(x)，ω(x)=1表示x还未参加比较，ω(x)=0 表示x在某次比较中已经被淘汰，ω(x)>1表示以x为根的比较子树上 的结点个数。 初始ω(x)=1，当x与y做必要比较时，有ω(x)>0, ω(y)>0。 若ω(x)≥ω(y)，则构造输入令x>y；若ω(x)<ω(y)，则构造输入令x<y。 即令比较胜出者继续胜出，以使被最大值直接淘汰的元素个数达到最多。
例5：求中位数问题。
对任意求中位数算法，可用如下规则构造最坏输入：
(1) 任意确定一个中位数mid； (2) 若算法比较x和y，且x和y都没有确定值，则置x<mid，y>mid； (3) 若算法比较x和y，且x<mid，y没有确定值，则置y>mid； (4) 若算法比较x和y，且x>mid，y没有确定值，则置y<mid； (5) 若已有(n-1)/2个元素被置小于mid，则剩余未确定元素均置为大于mid；
x2:x5
x1:x6
W:W
L:L
保持不变
3 计算复杂性理论
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
目录[隐藏]• 1 简介• 2 历史• 3 基本概念和工具o 3.1 计算模型与计算资源o 3.2 判定性问题和可计算性o 3.3 算法分析o 3.4 复杂性类o 3.5 归约• 4 NP与P关系问题及相关理论o 4.1 NP和P的定义o 4.2 NP与P关系问题o 4.3 NP完备理论o 4.4 电路复杂性o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论• 5 理论与实践• 6 参考•7 外部链接[编辑]简介计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。
其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。
时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。
时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。
空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。
它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。
我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。
复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。
而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。
[编辑]历史在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。
而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。
代数方程和数值计算的复杂性理论简介
电子科技大学计算机学院 顾小丰
54 - 6
计算的复杂性
第一章 代数方程和数值计算的复杂性理论简介
不动点迭代法
代数方程都可以表示成
f(x)=a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋·· n-1x＋an=0，a0≠0 ·＋a
这里f(x)是一个n次多项式。如果能够把方程 f(x)=0
改写成
2013年7月30日
电子科技大学计算机学院 顾小丰
54 - 8
计算的复杂性
第一章 代数方程和数值计算的复杂性理论简介
不动点迭代法
从上面可以看出，把代数方程改写成不动点方程是容易的，难的是怎 样得到不动点x*。为此，我们采用迭代方法：找一个点，记作x0 ， 代入函数φ，得到φ(x0)，记作x1，再代入函数φ，得到φ(x1)，记作x2 ，·，如此一直做下去，可以得到一个序列 · · x0, x1, x2, ·, xn, · · · · · 其迭代关系可以表示成 xn+1=φ(xn)，n=0,1,2,· · · 有趣的是，这个迭代序列有时候可以帮助我们找到所要的不动点，这 就是不动点迭代方法。
2013年7月30日
电子科技大学计算机学院 顾小丰
54 - 14
计算的复杂性
第一章 代数方程和数值计算的复杂性理论简介
为此，我们做3个迭代，数据如下：
n 0 1 2 3 4 5 6 xn -2.1 -2.2847653 -3.5446962 -32.801317 -2233620.6 xn 1.9 1.5741759 0.6862608 0.1266060 0.1176489 0.1176483 0.1176483 xn 2.1 2.5200594 6.0963224 495.44315
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是理论计算机科学的分支学科，使用数学方法对计算中所需的各种资源的耗费作定量的分析，并研究各类问题之间在计算复杂程度上的相互关系和基本性质，是算法分析的理论基础。
计算模型与计算资源计算复杂性理论的研究对象是算法在执行时所需的计算资源，而为了讨论这一点，我们必须假设算法是在某个计算模型上运行的。
常讨论的计算模型包括图灵机（Turing machine）和电路（circuit），它们分别是一致性（uniform）和非一致性（non-uniform）计算模型的代表。
而计算资源与计算模型是相关的，如对图灵机我们一般讨论的是时间、空间和随机源，而对电路我们一般讨论电路的大小。
由邱奇-图灵论题（Church-Turing thesis），所有的一致的计算模型与图灵机在多项式时间意义下是等价的。
而由于我们一般将多项式时间作为有效算法的标志，该论题使得我们可以仅仅关注图灵机而忽略其它的计算模型。
判定型问题和可计算性我们考虑对一个算法问题，什么样的回答是我们所需要的。
比如搜索问题：给定数组A，和一个数s，我们要问s在不在A中（判定性问题，decision problem）。
而进一步的，s如果在A中的话，s的位置是什么（搜索型问题，search problem）。
再比如完美匹配问题（perfect matching）：给定一个二分图G=(V,E)，我们问是不是存在边集E，使得二分图中每个结点恰好属于该边集的一条边（判定型问题）。
而进一步的，E存在的话，E具体是什么（搜索型问题）。
自然的，我们会发现对于一般的算法问题A，我们都可以这样来问：首先，解是不是存在的？其次，如果解存在，这个解具体是什么？这就是A的判定型问题和A的搜索型问题（又称函数型问题）区分来源的直观解释。
对判定型问题的回答只需是“是”或“否”，而对搜索型问题，需要返回解的具体形式或者“解不存在”。
所以一个对A 的搜索型问题的算法自然的也是对A的判定型问题的算法。
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大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
优化问题的分类（ ）（根据算法） ）（根据算法 优化问题的分类（3）（根据算法） NP-complete problem:
计算量的膨胀(1) 计算量的膨胀
10行×10列棋盘上米粒的数量 （第1格内放1粒米，以后每格顺次增加1倍……)
格序号 米粒数 重量 (kg)
1 9 18 27 36 45 54 63 72 81
1 256 131072 67108864 34359738368 17592186044416 9007199254740992 4611686018427387904 2361183241434822606848 1208925819614629174706176 2.4×108亿吨
n n n2 n3 2n n!
10 100 1,000 10,000 10-5秒 10-4秒 10-3秒 0.01秒 10-4秒 0.01秒 1秒 100秒 0.001秒 1秒 16.6分 277時間 0.001秒 1014世紀 10284世紀 0.036秒 10141世紀 102551世紀 宇龄： 宇宙的年齢 1.5×108 世紀 （１５０億年）
2.68時間
23.8 日
3.86世紀
3.05時間
204 日
893年
130 日
26798 宙齢
0.015宙齢
2.68×108宙齢 1.09×1022宙齢
1宙齢=150億年
旅行商问题的计算量（ ） 旅行商问题的计算量（1）
n個都市訪問的可能的巡回路线：
(n −1)×(n − 2)×L×3×2×1= (n −1)!
计算机速度增加的效果（ ） 计算机速度增加的效果（1）
10秒間的計算量？ 100MIPS 10倍 100倍 1000倍 n 107 108 109 1010 n2 3千 1万 3万 10万 n3 215 462 1千 2千 2n 23 27 30 33 n! 10 11 12 13 1000倍⇒ 1step 用 10-9秒 ⇒ 10-9秒 光可以行进30cm
計算量(3) 計算量
Q3. 計算：a1b1+･･･+anbn. 2n-1 steps. Q4. 2个ｎ×ｎ阶矩阵相乘. n2(2n-1) steps（ n2(n+n-1)）.
計算量(4) 計算量
Q5. ｛a1, a2,..., an｝：n個整数 求其和为最大的部分集合. 所有的部分集合的和进行比較 2n (n-1) +(2n-1) → O(n2n)算法.
能用多項式時間算法求解的问题的 集合称为P （polynomial）问题 某一个问题属于P问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题不属于P问题的証明 不存在？没找到？（困难）
优化问题的分类（ ）（根据算法） ）（根据算法 优化问题的分类（2）（根据算法） NP class problem:
使用2次天秤,就可以鉴别出假币.
１ 2 3
4 7 8 9
5
6
右边軽
左边軽
平衡
１ 2 3 中有偽币 １
左边軽
7 2 3
平衡 右边軽
8
9
4
5
6
中有偽币
中有偽币
１
3
2
7
8
9
4
5
6
计算量的表示法: 计算量的表示法 上界值表示法
O記号：(Big O Notation)
•定義: O(f(n)) 读作order f(n), 或阶 f(n) 即： g(n)=O(f(n)) –表示对于任意定数c 和 m，以及对所有 n＞m，
第一讲： 计算复杂性理论 (Complexity Theory) 计算量的概念 计算量的表示 算法与计算量 计算复杂性 影响计算复杂性的因素
优化问题及其计算的复杂性 例：
１ 2 3 4 5 3 4 5 6 7 9 3
0 1 2
组合优化问题： 組合数虽然有限，但因其数量太多，寻找最优解很难。 背包问题（knapsack problem）： n个物品, 2n实行可能解。 旅行商问题（traveling salesperson problem）： 都市n个, (n‐1)!实行可能解。 用有限時間可以求解，但计算时间太长，成本太高
时间复杂度： 计算量:计算各基本操作的实行回数 （time complexity） 空间复杂度 各计算时点内存中保持数据个数的最大值 （space complexity）
两者的总称： 两者的总称：
计算的复杂度
计算复杂度的影响因素
简化模型 例：
R T 1/2 r
3
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型1.
有下式成立：
g(n)＜ cf(n)
计算量的表示法——例 例 计算量的表示法
n２+1000n→O(n２) log n+n3+1000n2 →O(n3) 判断： n! → O(nn)？ 10n2 → O(n3)？ log n → O(n)？ 思考： n是奇数时 1,
g ( n) = 2 n , n是偶数时
n!的Stirling近似公式
n n!= 2πn e
≈
n
1 1 139 1 1+ 12n + 288n2 − 51840n3 + O n4
n
n 2πn e
Big Oh 記法
4 関数1/ n 的定数倍的大小可以忽略
旅行商问题的计算量（ ） 旅行商问题的计算量（2）
探索空间2 探索空间2---解空间大小 例：桌子上有6根火柴，要求构建出4个三角形。
计算复杂度的影响因素
探索策略的选取
计算复杂度的影响因素
问题本身 P问题 NP问题（NP-hard，NP困难问题） NP完全问题
优化问题的分类（ ）（根据算法） ）（根据算法 优化问题的分类（1）（根据算法） P class problem:
集合NP中的問題=NP問題 如果某个NP問題能够求解，则因 所有NP問題都可以经过归结，转 化为该问题，从而可以求解所有 NP問題。 这样的NP問題=NP完全問題 ——集合NP中的最难的问题= NP完全问题
P、 NP、 NP完全的包容关系 、 、 完全的包容关系
NP NP完全
旅行商問題 背包問題 。。。
2.82×10−6 秒 2.5×10−5秒 1.25×10−3秒 6.64×10−6 秒 1×10−4秒 9.97×10−5秒 1×10−2秒
1.33×10−3秒
3.13秒 1.67分
0.01秒 10秒
115 日
31世紀
1秒
2.78時間
指数时间算法的计算时间
100MIPS(million instructions per second) 计算机的情形
计算机速度增加的效果（ ） 计算机速度增加的效果（2）
计算速度
1 2 10 100 1000 10000
100000 1000000
O(2n) 100 101 103 107 110 113 117 120
1秒可以求解问题的规模 O(n) O(n2) O(n5) 100 100 100 200 141 115 1000 316 158 10000 1000 251 100000 3162 398 1000000 10000 631 10000000 31623 1000 100000000 100000 1585
1×10−4秒
−5
3.32×10−7 秒 1×10−6秒 8.64×10−7 秒 4×10−6 秒 1.47×10−6 秒 2.13×10−6秒 9×10−6 秒 1.6×10−5秒
n
2
1×10−5秒 8×10−5秒 2.7×10−4 秒
n
3
n