二体问题
第2章二体问题
在二体问题基本运动方程(2-10)式中， r (X 2 Y 2 Z2)1 2 ，
因此它是一个非线性的常微分方程组。该方程组由三个方
程组成，每个方程皆为二阶微分方程，所以求解后应有6
个独立的积分常数。下面我们就来解这个方程组。为方便
计，将二体运动基本运动方程(2-10)式写为矢量形式：
r
d 2r dt 2
10
牛顿运动定律只有在惯性坐标系中才成立，所以在讨论二体问题的
基本运动方程时首先播建立惯性坐标系 ，现假设空间有两个质
点 A 和 P。A 点在惯性坐标系中
的坐标为（A,A, A ）T，质量为 M 。
P 点在惯性坐标系中的坐标为
（A,A, A ）T，质量为 m。
从A点到P点的矢量为 r ，即：
p A
6
（二）二体问题
• 研究两个质点在万有引力作用下的运动规律何题称为二体 问题。
• 在二体问题中卫星的运动轨道是一个椭圆，该椭圆的大小 形状及其在空间的定向以及卫星在轨道上的位置均可精确 算出。
• 把二体问题中算得的椭圆轨道称为人造卫星的正常轨道。 • 把确定椭圆轨遣的形状、大小与空间的定向以及卫星在轨
X
p
A
Y p A
Z p A
将(2-9)式两边同时对时间 t 求二阶导数后可得：
（2-9）
X
p
A
G
M m r3
X
r3
X
Y
p
A
G
M r3
mY
r3
Y
Z
p
A
G
M r3
m
Z
r3
Z
（2-10）
式中的
G(M m) （2-11）
二体问题资料课件
03
二体问题的解析解法
微分方程的求解
建立二体问题微分方程
根据牛顿第二定律和万有引力定律，建立二体 问题的微分方程。
求解微分方程
通过解析方法或数值方法求解微分方程，得到 物体的运动轨迹和速度。
验证解的正确性
通过将解代入原微分方程进行验证，确保解的正确性。
椭圆轨道和双曲轨道
椭圆轨道
当两个物体之间的距离足 够远时，它们的运动轨迹 近似为椭圆。
二体问题资料课件
目录
• 二体问题简介 • 二体问题的数学模型 • 二体问题的解析解法 • 二体问题的近似解法 • 二体问题的实际应用 • 二体问题的发展前景
01
二体问题简介
二体问题的定义
二体问题是指两个质点在万有引力作用下的运动 01 规律问题。
它描述了两个物体在相互吸引的力（如地球和月 02 亮）作用下，如何运动的问题。
运动方程的建立
总结词
根据牛顿第二定律和万有引力定律建立的描述天体运动的方程
详细描述
在二体问题中，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可以建立描述两个天体之间相对位置和相对运动的运动方程 。这些方程通常是非线性的微分方程，用于求解天体的轨道和运动规律。通过对方程进行数值积分，可以得到天 体的精确运动轨迹。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。它揭示了力、质 量和加速度之间的联系，是描述物体运动状态变化规律的定律。在二体问题中，牛顿第二定律 用于分析两个天体之间的相互作用力和运动状态变化。
万有引力定律
总结词
描述任意两个质点之间引力作用的定律
详细描述
万有引力定律指出，任意两个质点之间都存在引力作用，其大小与两质点质量的 乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，即F=G*m1*m2/r^2。在二体问 题中，万有引力定律用于计算两个天体之间的引力，是天体运动分析的基础。
第三章 两体问题
第三章 两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。
教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。
教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。
§3.1 两体问题化为单粒子问题一：两体问题：1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。
2.分类：两体问题可分为三类。
（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。
入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。
（2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。
（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。
二：两体问题的处理方法1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。
每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。
2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：○1分解过程：首先约定用)z ,y ,x (r表示两粒子间相对位置矢量，用)z ,y ,x (r 0000 表示粒子在惯性系中位置，如图3.1所示。
r ,r ,r 0201中的位矢和相对位矢。
则有：20222011r m 21r m 21T +=（1.1），V )r (V V c 0)e ( +=（1.4），)r (V c 0)e ( 是两粒子处在外场中的势能，仅与c 0r )r (V )i (是两粒子相互作用的势能，仅与0201r r r -= （1.3）有关。
因两粒子的自由度为6，可取c 0r 、r为广义坐标，则有：r m m m r r 212c 001 ++=，r m m m r r 211c 002+-= （1.5）。
将两式代入动能T 的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V ，化简后可得：21)i (2r c 0)e (2C 021L L )r (V r m 21)r (V r )m m (21L +=-+-+= （1.6） 其中2121rm m m m m +=，称为折合质量；)()(210)(20211c e C r V r m m L -+=， （1.7） )(21)(22r V r m L i r -= （1.8）○2结论：从21L L L +=可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的)r ,r (L c0C 01 及反映两粒子间相对运动的)r ,r (L 2 两个相互独立的部分。
天体力学：第四章 二体问题1
天体力学
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第13页
第四章 二体问题
天体力学
面 积 积 分
说明相对运动轨道面为平面，而且A、B、 C的数值可确定轨道平面同坐标面的关系。 即轨道平面法线的方向余弦为：
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第14页
第四章 二体问题
天体力学
3 面积积分（矢量形式）
根据相对运动方程
r
r3
r
用r 对两边取矢量积：
第四章 二体问题
2 半长轴a 、偏心率e
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第四章 二体问题
3 、
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天体力学
第50页
第四章 二体问题
小结
天体力学
• 二体问题的运动方程（绝对、相对） • 运动方程的解
面积积分、轨道积分、活力积分 • 二体轨道分类 • 开普勒方程 • 轨道根数
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第9页
第四章 二体问题
天体力学
分量形式为：
m1x1 m2 x2 (m1 m2 ) xg 0 m1 y1 m2 y2 (m1 m2 ) yg 0 m1z1 m2 z2 (m1 m2 ) zg 0 上述积分可以得到：
xg 1t 1 yg 2t 2 zg 3t 3 1,2 ,3 , 1, 2 , 3为常数
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轨道积分
第27页
第四章 二体问题
5 活力积分
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第四章 二体问题
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第29页
第四章 二体问题
面积积分（常数A、B、C或h、i、Ω） 轨道积分（常数e、ω） 活力积分（常数E）
第二章二体问题资料
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
第二章二体问题
人卫真实轨道 人卫正常轨道 轨道摄动
综述
作用在卫星上的力 地球引力(1) 地球引力(2) 日、月引力 大气阻力 光压 其它作用力 总和
卫星轨道 人卫正常轨道
轨道理论 人卫正常轨道（二体问题）
摄 动 力
轨道摄动
人卫轨道摄动理论
人卫真实轨道
人卫轨道理论
2.2 开普勒行星运动三定律
开普勒（Johannes Kepler） 国籍: 德国 生卒日期:
左边(3-6)方程解的一般形式为：
二体问题微分方程的解
卫星运动的轨道平面方程 直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标
卫星运动的轨道方程 卫星运动的轨道方程为：
由于 ，所以（3-10）式可以真 近点角V表示： 另外由二体运动的微分方程可求出常用的表 示卫星运动速度U的活力积分：
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
二体问题与行星的运动轨迹
二体问题与行星的运动轨迹在天文学中，二体问题是指两个物体之间的相互作用。
这两个物体可以是恒星、行星、卫星等。
而行星的运动轨迹是由二体问题所决定的。
二体问题最早由牛顿在17世纪提出。
他的万有引力定律为我们解决了二体问题提供了基础。
根据牛顿的定律，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个引力的方向始终指向两个物体之间的连线上。
当我们考虑一个行星绕着太阳运动时，可以将太阳看作是一个质量非常大的物体，而行星则是一个质量相对较小的物体。
根据牛顿的定律，太阳对行星的引力将使其绕太阳运动。
行星的运动轨迹可以是椭圆、抛物线或者双曲线。
这取决于行星的初始速度。
如果行星的初始速度足够大，它将离开太阳，形成一个双曲线轨道。
如果初始速度恰好等于逃逸速度，行星将运动到无穷远处，形成一个抛物线轨道。
而如果初始速度小于逃逸速度，行星将绕太阳运动，并形成一个椭圆轨道。
椭圆轨道是最常见的行星轨道。
地球绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。
椭圆轨道有两个焦点，太阳位于其中一个焦点上。
行星在椭圆轨道上运动时，距离太阳的距离是不断变化的。
当行星离太阳较远时，它的速度较慢；当行星离太阳较近时，它的速度较快。
这就是著名的开普勒第二定律，也被称为面积定律。
根据这个定律，行星在相同时间内扫过的面积是相等的。
另一个重要的定律是开普勒第一定律，也被称为椭圆定律。
根据这个定律，行星的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
这就解释了为什么行星绕太阳运动而不是绕其他物体运动。
除了椭圆轨道，行星也可以有其他类型的轨道。
例如，哈雷彗星的轨道是一个椭圆，但它的轨道非常扁平，接近于一个抛物线。
这意味着哈雷彗星只会经过太阳一次，然后再离开太阳系。
总的来说，二体问题和行星的运动轨迹是天文学中非常重要的研究课题。
通过研究二体问题，我们可以了解行星的运动规律，揭示宇宙中的奥秘。
而行星的运动轨迹也是天文学家们观测和研究行星的重要依据。
通过观测行星的轨道，我们可以了解行星的运动速度、轨道周期等信息，进一步研究行星的性质和演化过程。
二体问题
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
能量积分 1 r ⋅r − µ = C. C 是常数，所以可以取任意时刻的值
2
r
不妨取近点时刻：
r = a (1− e), r = 0
r
=
rer
+ rθeθ
=
h r
eθ
C
=
1 2
a2
h2
(1− e)2
−
µ
a (1− e)
=
−
µ 2a
C 仅与 a, µ 有关
3nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比
(2.1.1) T 2 = ka3
k对所有的行星而言是同一常数
1
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律在太阳系内的体现.
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler第三定律的应用. 两个天体 m, m′ 围绕中心天体M 运动, 那么
在椭圆运动中真近点角 f 可以用 M 或 E 代替,在采用 M 时,M 中只含有 a, t, 而 E, f 中则含有 a, e, t, 并且 M 对时间的导数在二体运动中是常数.
2
2.3.1 二体运动的轨道类型:椭圆
Kepler方程的数值解法
E − esin E = M
这是一个超越方程
不动点迭代法 :
引入辅助量 F :
r = a (e cosh F −1)
代入积分，得到：
ν (t −τ ) = esinh F − F
这是双曲运动的Kepler方程.
( ) eF + e−F
cosh F =
, 双曲余弦函数
2
( ) eF − e−F
第3章二体问题
r
r01
r02
r1
r2
比较（3.10）式和（3.3）式，有
r1
m2 m1 m2
r
r2
m1 m1 m2
r
体系相对运动动能为
（3.10） （3.11） （3.12）
T
1 2
m1r12
1 2
m 2 r22
1 2
m1
(
m2 m1 m2
r)2
1 2
m2
(
m1 m1 m
2
r)2
1 2
m1m2 m1 m2
相互作用势只和粒子的相对距离r有关而和相对方向无关，即
V
(
i
)
(r )
V
(r
)
，称为中心势场。这是最重要的一类两体相互作用势。
本节讨论在中心势场 V (r) 中粒子的运动问题。
3.2.1 单粒子在中心势场中的运动
（1）运动特征和规律 • 受中心力作用
粒子在中心势场中受中心力作用
F V
( V r
1 3 rm r
其中 rm 2ma / L2 为轨道曲线极值点，于是稳定条件A>0变为
r 3rm
即在距离力心远处轨道是稳定的，在近处（包括在 r rm 处作圆周运动
）是不稳定的。
③
V kr 2 ，这时
A 1 2m (2kr) 2m r 4 (2k)1 6mk r 4 0
L2
L2
e 1 2EL2 ma 2
（3.26）
r P
1 e cos
（3.27）
上式为以坐标原点为焦点的圆锥曲线方程，式中P为半通径，e为偏心率。
• E < 0时，e < 1，为椭圆；
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
理论力学 两体问题
§3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性 d 2u 2 2 比耐公式 : u ( 2 + u ) = mF(r ) / L dθ d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中:A = 3 + + 2 2 2 2 dθ u o dθ u o L du 线性增加; 若A=0,ε 随 θ ( 从而随 t ) 线性增加; , 若A<0,ε 随 t 线性增加. , 线性增加. 若A> 0,ε 作简谐振动,轨道稳定. , 作简谐振动,轨道稳定. 轨道稳定条件: 轨道稳定条件: 2 2m 3 dU m 4 d U A = 1+ 2 r + 2r >0 2 L dr L dr
2
d 2u o d 2 ε m 2 2 (u o + 2u o ε + ε ) + 2 + u o + ε = 2 F(u o + ε ) 2 dθ dθ L dF F ( u o + ε ) = F (u o ) + uo ε + du d 2ε 2 d 2u o m dF 其中: + Aε = 0. 其中: A = 3 + + 2 2 uo 2 2 dθ u o dθ u o L du
例:如质点受有心力作 用而作双纽线 r = a cos 2θ
2 2
3ma 4 h 7 的运动时, 试证明之. , 试证明之. 的运动时,则 F = 7 r 1 1 证明: 证明: u = = r a cos 2θ du 1 3/ 2 = sin 2θ(cos 2θ ) dθ a d 2u 1 = [ 2(cos 2θ ) 1 / 2 + 3 sin 2 2θ(cos 2θ ) 5 / 2 ] 2 dθ a
二体问题运动的六个轨道参数
二体问题运动的六个轨道参数
在二体问题中，六个轨道参数被用来描述物体的运动轨迹。
这六个参数包括：半长轴、偏心率、倾角、真近点角、升交点赤经和近心点幅角。
1. 半长轴（Semi-major axis）：这是椭圆轨道的一半长度，用于描述轨道的大小。
2. 偏心率（Eccentricity）：这是一个衡量轨道形状的参数，值为0表示完美的圆形轨道，值越大，椭圆形状越明显。
3. 倾角（Inclination）：这是指从地球中心到椭圆平面的夹角，也就是轨道面与地球赤道面的夹角。
4. 真近点角（True anomaly）：这是描述天体在轨道上位置的一个参数，可理解为从某一特定起始点开始沿着轨道移动的角度。
5. 升交点赤经（Ascending node longitude）：这是连接地心与升交点的直线与黄道的夹角。
6. 近心点幅角（Perigee argument）：这是连接地心与近心点的直线与黄道的夹角。
在这六个参数中，只有真近点角可以用来描述特定时刻行星在轨道上的位置，已知时间求位置或者已知位置求时间就需要用到开普勒方程。
二体问题
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
8
3/21/2013
轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
16
3/21/2013
过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2
为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r
a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
两体问题
将 r 变为 w ≡ 1/r
dw d 1 1 dr d d r 2 d r
1 0 d 2w dU w w d 2 l 2 dw
Binet 公式
对具体的作用，求解该方程给出轨道形状 分析方程可给出轨道的一个一般性的性质
d 2w k w d 2 l2
l2 p k
wh A cos 0
线性非齐次方程的解等于特解加上齐次方程的解 特解
wp
k
l2
1 p
齐次方程(频率为1的谐振子)的解 一般解 w w p wh
1 1 A cos 0 1 cos 0 p p
U eff
E
双曲线
抛物线 椭圆 圆
近日点
E
rmin
p 1
rmin
r
k 2 1 2p
2 pE 2 El 2 1 1 k k 2
圆轨道要求
l2 r0 p k
ε>1 E>0 ε＝1 E＝0 ε<1 E<0 ε＝0 E＝－μk2/2l2＝－k/2p
双曲线 抛物线 椭圆 圆
E
r很小时，－1/r3为主要项(递增) r很大时， 1/r2为主要项(递减) 中间有一个极大值
r
对于给定的能量E，根据初始时距离力心的远近，粒子可能 作无界运动或者有界运动(“落向”力心)
稳定圆轨道
稳定圆轨道发生在有效势能的极小值处
l2 k U eff r 2 r 2 r 3
另一种方法:
2 U l U r r 2 Feff r 3 r r r
二体问题解法
二体问题解法
二体问题是指研究两个物体在引力作用下的运动问题。
其解法可以分为几个步骤：
1. 确定问题的初始条件：包括两个物体的质量、位置和速度等信息。
2. 应用牛顿定律：根据牛顿第二定律F = ma，计算每个物体
受到的引力和惯性力。
3. 计算引力：根据万有引力定律F = G * (m1 * m2) / r^2，计算两个物体之间的引力。
4. 分析力的方向：根据引力的方向和两个物体之间的距离，确定每个物体受到的引力的方向。
5. 计算加速度：利用牛顿第二定律F = ma，计算每个物体的
加速度。
6. 计算速度和位置：利用加速度和初始条件，通过积分计算每个物体的速度和位置随时间的变化。
7. 分析运动轨迹：根据速度和位置的变化，分析两个物体的运动轨迹。
8. 进一步讨论：根据具体的问题，进一步讨论两个物体的碰撞、合并或者分离等情况。
以上是解决二体问题的一般步骤，具体的问题可能还需要根据实际情况进行适当的调整和计算。
第二章二体问题
偏心率e
这两个参数确定了开普勒椭圆的形状和大小。 升交点赤经Ω:即地球赤道面上升交点与春分点之间 的地心夹角。 轨道倾角I:即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹 角。这两个参数唯一地确定了卫星轨道平面与地球 体之间的相对定向。
近地点角距ω:即在轨道平面上，升交点与近地点之间的 地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的定向。
非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、光辐射压力 以及地球潮汐力等。摄动力使卫星的运动产生一些小的附 加变化而偏离理想轨道，同时偏离量的大小也随时间而改 变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为受摄运动，相 应的卫星轨道称为受摄轨道。
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❖ 地球引力 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心力
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开普勒（Johannes Kepler） 国籍:
德国 生卒日期:
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就:
发现了行星运动三定律
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一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
研究内容除定轨外，还包括轨道设计、卫星回收等 问题
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二、作用在卫星上的外力
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫 星上的各种力按其影响的大小分为两类：一类是假设 地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中心）， 称为中心力，决定着卫星运动的基本规律和特征，由 此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是分析卫星实 际轨道的基础。另一类是摄动力或非中心力，包括地球
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第6讲--两体问题
一．两体问题，质量约化1．两体问题中的拉格朗日函数体系的动能：221012021122T m r m r=+质心坐标：10120212ocm r m rrm m+=+相对坐标：0102r r r=-体系的势能：()()()()e iocV V r V r =+两个粒子6个自由度，取;ocr r为广义坐标，拉格朗日函数：其中：约化质量上式中()11,oc ocL L r r=是关于质心的拉格朗日函数，()22,L L r r=是两个粒子间相对运动的拉格朗日函数。
rm为约化质量（折合质量）。
0oc r =， 拉格朗日函数：2()()21()()2e i oc mr V r V r mr U++=+2m 时，1010212;oc ocm r r rr r r m m m =≈=-≈）角动量守恒，等面积定律：在有心立场中，角动量J r P =⨯守恒，运动中，位矢r 与角动量J 始终垂直，质点始终在垂直J 德平面上运动，选取极坐标，拉格朗日函数为：()()2221r r U r θ+-为循环变量，对应的广义动量：2L mr θθ= ()r t ，经过∆()r t t +∆，该过程2P mθθ=()r t 扫过的面积为常数！即在有心力场中，位置矢经在相同时间内扫过的面等面积定律。
)222()r r V r θ++=2L mr θθ=代入上式：222222111()()222P E mr mr V r mr V r const mrθθ=++=++=r，类似于一维运动的情况，其中：：22mr2θθ转动的坐标运动的分类：等效势能()effV r随r的变化有两种，一种是单调下降的（能量0E>），另一种如图：（1）r→∞时，()0;()0effV r V r→→（2）0r→时，()V r可能趋于正无穷（相斥）也可能趋于负无穷（相吸）假定，即使两质点相吸，使得()V r趋于负无穷，但是也不能和离心势能相抵消，也就是说，假定吸引力不是太强，因而，当0r→时，()V r的绝对值仍然这一条件限制了质点的运动区域。
第一章-二体问题
function dy = orbit(t,y,flag,mu) %函数说明输入输出 dy =zeros(6,1); r = sqrt(y(1)^2 + y(3)^2 + y(5)^2); dy(1) = y(2); dy(2) = -mu/r^3*y(1); dy(3) = y(4); dy(4) = -mu/r^3*y(3); dy(5) = y(6); dy(6) = -mu/r^3*y(5); end
成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括： 确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。
10
1.3 学科发展史
古典天文学的社会需求 1. 制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气 2. 预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学
是没有明显的区别的） 古典天文学研究方法
没有理论指导，没有先进的观测手段 兴趣，长期不懈的观测，积极思考
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1.5 考核方式和成绩评定
考核方式
考核内容
成绩比例（%）
平时到课率、课堂回 答问题及研讨
基础知识，学习主动性
20
课后作业
综合应用知识解决具体 工程问题的能力
10
文献阅读与专题报告
自主学习，分析问题和 主动交流的能力
20
期末闭卷理论考试
学生掌握基本概念及基 本理论的程度
50
16
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
26
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
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3.1 近似方法
d 2r = r
dt 2 r3
非线性微分方程
关于二体问题经相对论修正后的解
关于二体问题经相对论修正后的解释
二体问题是物理学中描述两个物体之间的相互作用的一个经典问题。
在相对论的帮助下，它得以有效地解释。
根据相对论，空间时间是不独立的，而是相互结合在一起的，受到物体的质量和运动影响，因此，两个物体之间的相互作用也会受到这些影响。
通过相对论修正后，二体问题的解释主要集中在两方面：一是引入新的力学参数——引力波，使得两个物体之间的相互作用可以有效地描述；二是将物体的质量和运动影响考虑在内，从而改变一般相对论的力学表达式，使得在多物体情况下可以更准确地计算力度和作用范围。
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1.3 学科发展史
从严格意义上来说，航天器动力学开始于上世纪50年代前 苏联发射第一颗人造地球卫星，但它的起源非常久远。 古典天文学 1. 中国是世界上天文学起步最早，发展最快的国家之一。
早在尧舜时代就设置了天文官。 2. 古希腊也是古典天文学什么发达的国家，取得了辉煌的
轨道高度决定了： •发射成本 •效载荷规模。如雷达、光学相机、通信卫星发射机 •对地球的覆盖范围。 •对热点地区的覆盖特性 •决定了一些有特殊用途的轨道
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1.2 课程的作用
对于深空探测器，航天器轨道设计决定了整个任务过程
卡西尼号是17国参与的土星 探测任务，历时过6年8个月、 32亿千米。 为什么这样设计？直接飞行
成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括： 确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。
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1.3 学科发展史
古典天文学的社会需求 1. 制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气 2. 预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学
是没有明显的区别的） 古典天文学研究方法
没有理论指导，没有先进的观测手段 兴趣，长期不懈的观测，积极思考
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2.1 万有引力定律和牛顿第二定律
牛顿第二定理：Force = Mass× Acceleration
万有引力定理：任意两个质点有通过连线方向上的力相 互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们 距离的平方成反比。
Gm1m2 r2
r2
r1 r
m1
d 2r1 dt 2
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1.5 考核方式和成绩评定
考核方式
考核内容
成绩比例（%）
平时到课率、课堂回 答问题及研讨
基础知识，学习主ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性
20
课后作业
综合应用知识解决具体 工程问题的能力
10
文献阅读与专题报告
自主学习，分析问题和 主动交流的能力
20
期末闭卷理论考试
学生掌握基本概念及基 本理论的程度
50
16
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
3
1.1 课程的主要研究内容
课程主要研究内容： 1、航天器运动数学建模（物理规律的研究） 2、数学模型的求解（微分方程的求解） 3、数学模型解算条件的提供（微分方程解算条件的提供） 4、航天器运动规律的应用（具体的工程实践） 物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理 非线性微分方程的求解： &r& f (r,r&,u,t) 数学模型解算条件的提供：初始轨道的测量和最优控制 航天器运动规律的应用：各种航天任务的轨道设计
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1.4 教程和参考书
1、航天器轨道动力学，赵钧编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外 经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：MIT教材）
4
1.2 课程的作用
航天器质心运动规律的研究是一切航天任务的开始的基础 任何航天任务的设计都要满足其基本的运动规律（例如： 在万有引力作用下，航天器作圆锥曲线运动） 讨论问题：有没有可能设计任意飞行的航天器？
5
1.2 课程的作用
航天器相对运动实例
6
1.2 课程的作用
对于人造地球卫星来说，航天器轨道高度是任务设计的关 键参数。 为什么？
只需12.5亿千米
行星助力飞行，节省燃料。如
卡西尼号的诡异飞行轨迹
果直接飞往土星，需要70吨推 进剂，卡西尼号总重6.4吨
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1.2 课程的作用
亚星三号卫星 亚星三号是美国休斯公司
为香港亚洲卫星公司制作的 通信卫星，于1997年12月由 质子火箭发射进入地球静止 轨道，但由于火箭故障，进 入了轨道倾角为51°的无用 轨道，发射失败，香港卫星 公司向保险公司索赔2亿美金。
第一章 航天器运动
主讲教师：杏建军 2020年3月25日
授课内容
1. 绪论 2. 二体相对运动方程 3. 二体相对运动方程的求解
2
1.1 课程的主要研究内容
课程名称：航天器动力学基础与应用
主要包括天体引
主要研究内力容和：大人气造阻物力体（航天器）在空间（距离地面100 km以上）自然力和人为控制力作用下运动的一门学科。 航天器的运动：包括质心运动和姿态运动，相应的课程 为航天器质心动力学和航天器姿态动力学。 航天器质心运动和姿态运动是解耦的，因此可以分开研 究和控制。为什么？
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1.3 学科发展史
天体力学的发展 •发展期（从十九世纪后期到二十世纪50年代）。研究对 象新增加了太阳系的小天体。研究方法新增了定性方法 和数值方法，定性方法由庞加莱和李雅普洛夫创建，数 值方法最早追溯到高斯（最小二乘定轨）。 •新时期（二十世纪50年代以后，航天器动力学出现）。 研究对象新增了人造物体，物体运动的预报精度与观测 精度大大提高，相应的摄动分析方法、定性方法和数值 方法也有了相应的发展。
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1.3 学科发展史
天体力学：应用力学规律研究天体的运动和形状 天体力学以数学为主要研究手段（微积分），以牛顿万 有引力定律为基础。
天体力学的发展 •奠基期（从古典天文学到十九世纪后期），标志性成果： 开普勒提出三大定理；牛顿创立微积分，发现万有引力 定理；欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯创立分析 力学，建立了天体力学的力学基础，提出了摄动理论的 分析方法；海王星的发现（理论的实际应用）。
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1.3 学科发展史
航天器动力学 •二十世纪50年代以后，随着人造天体的发射，航天器动 力学出现。 •与天体力学相比，研究对象发生了变化（人造物体）。 与自然天体相比，人造物体的受力物体增加了人为控制力， 运动形式更为复杂；物体的预报精度与观测精度大大提高。 •研究的基本方法没有变化：以微积分为数学基础，以摄 动分析方法、定性分析方法和数值方法为手段。