中考必考的几个几何模型[精排版](打印稿)
中考几何专题常考五大全等模型
EC OE
ED OE
,
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．
∴OC＝OD；
第3题图
专题四
五大常考的全等模型
(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE， ∴∠CEF＝∠DEF. 在△ECF和△EDF中，
CE DE CEF DEF , ∴ E△FECFE≌F△EDF(SAS)．
专题四
五大常考的全等模型
AG AE GAF EAF , AF AF
∴△AGF≌△AEF(SAS)．
∴EF＝GF. ∵GF＝DG＋DF＝BE＋DF， ∴BE＋DF＝EF.
例6题解图
专题四
五大常考的全等模型
基本模型
图示
等边三角 形含半角 (∠BDC＝120°)
等腰直角三 角形含半角
专题四
五大常考的全等模型
图示
正方形含半角
专题四
五大常考的全等模型
三角形全等属于中考的必考知识，为了在复习中更好掌握和快速解题 达到高分，本节专题把大常考的模型总结如下
模型一 平移模型 模型二 对称模型 模型三 三垂直型 模型四 旋转模型 模型五 半角模型
专题四
五大常考的全等模型
模型一 平移模型
例 1 如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝ DE.求证：AD＝CF. 【找一找】
专题四
五大常考的全等模型
基本模型
图示
模型 总结
有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等.
专题四
五大常考的全等模型
针对训练
4. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E.求证：DE＝AD＋BE.
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题-12章全
中考必会几何模型——31 个模型轻松搞定所有中考几何题目录第一章8 字模型与飞镖模型 (2)第二章角平分线四大模型 (5)第三章截长补短 (10)第四章手拉手模型 (12)第五章三垂直全等模型 (15)第六章将军饮马 (17)第七章蚂蚁行程 (24)第八章中点四大模型 (27)第九章半角模型 (33)第十章相似模型 (37)第十一章圆中的辅助线 (47)第十二章辅助圆 (54)ACD 第一章 8 字模型与飞镖模型模型 1 角的“ 8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点 O ，连接 AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
AD OBC模型分析8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
BEC图 1图热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E =； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
EBBD2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
2ABFEDAE OC 图 1AOC图 2 DM135OEFDG CHBA模型 2 角的飞镖模型如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
ABC模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形 ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与 CM 交于 M 。
探究 ∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
ABDC热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =；AECBFD2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D =。
DOC O CD120O105OA B模型 3 边的“ 8”字模型如图所示，AC、BD 相交于点O，连接AD、BC。
中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题专题
8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC +BD >AD +BC 。
模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB +BC +CD +AD >AC +BD ；（2）AB +BC +CD +AD <2AC +2BD .模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB +AC >BD +CD 。
模型实例如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO +BO +CO ）>AB +BC +AC ；105OO120D CBAODCBAODCBAOCB A（2）AB +BC +AC >AO +BO +CO .热搜精练1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD =CE 。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
有哪些初中几何的常见模型
有哪些初中几何的常见模型
1，倍长中线模型
2，截长补短模型
3，一线三垂直模型
4，将军饮马模型
常见的还有手拉手模型、半角模型、奔驰模型、十字架模型、胡不归模型等等
想学好几何模型，不仅要知道为什么，还要知道为什么。
只有明确了原理，很多模型才能举一反三，一些新问题才能指明解决问题的方向。
比如一般的马饮模型的原理就是轴对称和三角形的两边之和大于第三边。
掌握原理后，你就可以轻松掌握一般马饮水的几个变形问题了。
此外，胡不归模型也是一般饮马的变形。
把握两种模式的区别和联系，可以快速学习胡不归模式。
郭老师，初中数学老师，从教15年。
开放式公益教学课程:郭数学公益课系列。
教初中数学各年级各章节考点和解题方法。
欢迎关注郭数学，免费学习。
初中数学四十八个几何模型
初中数学四十八个几何模型1. 直线与角直线是任意两点之间的最短路径。
角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
直线与角是几何学的基本概念。
线段是直线上两个点之间的部分。
线段具有长度，可以进行比较。
射线是由一个端点和延伸的直线组成的。
射线有起点，但没有终点，可以无限延伸。
4. 平面与平行线平面是一个没有边界的二维图形。
平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
三角形是由三条线段连接而成的图形。
三角形的内角和为180度。
6. 等腰三角形等腰三角形是具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的底角也相等。
7. 直角三角形直角三角形是具有一个内角为90度的三角形。
直角三角形的斜边是其他两条边的平方和的开方。
8. 锐角三角形锐角三角形是所有内角都小于90度的三角形。
9. 钝角三角形钝角三角形是具有一个内角大于90度的三角形。
10. 正方形正方形是四条边相等且四个角都是直角的四边形。
11. 长方形长方形是具有两对相等且每一对内角都是直角的四边形。
12. 平行四边形平行四边形是具有两对平行边的四边形。
梯形是具有一对平行边的四边形。
梯形的非平行边也可以不等长。
菱形是具有四个边相等且对角线相等的四边形。
圆是具有相同半径的所有点的集合。
圆上任意两点与圆心构成的线段称为弦。
16. 圆心角圆心角是以圆心为顶点的角。
弧是圆上两个点之间的部分。
弦是圆上任意两点之间的线段。
切线是与圆只有一个交点的直线。
弧长是圆上一部分的长度。
扇形是以圆心为顶点的角所对应的圆上的区域。
22. 对称与相似对称是指一个图形通过某条线、点或平面进行折叠后与自身完全重合。
相似是指两个图形的形状相同但大小不同。
23. 二维几何体二维几何体包括平面图形。
24. 立体几何体立体几何体是具有实体和体积的图形。
25. 正方体正方体是六个面都是正方形的立体几何体。
26. 长方体长方体是六个面都是矩形的立体几何体。
27. 正圆柱体正圆柱体是圆和矩形结合形成的立体几何体。
初中几何十大模型 无水印
初中几何十大模型模型，可理解为数学定理（培训辅导机构总结归纳出来的定理）。
但是不是课本上出现的定理，故不能在证明题中直接使用其结论（需要证明一遍）。
模型主要作用还是简化图形，为证明或者添加辅助线提供思路。
一、 中位线模型 多个中点构造中位线【例】①在Rt △ABC 中，F 为斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，且满足∠DFE=90°，AD=3，BE=4，求线段DE 长度．②如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=°，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA二、 角平分线模型角平分线+垂线=等腰三角形角平分线+垂线=等腰三角形【例】如图所示，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 是△ABC 的角平分线，交于F 点，求证：DF=EF三、 三垂直模型与弦图【例】在平面直角坐标系中，A （0,3），点B 的纵坐标为2，点C 的纵坐标为0，当A 、B 、C 三点围成的等腰直角三角形时，求B 、C 坐标。
四、 手拉手模型【例】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC五、 倍长中线与婆罗摩笈多模型倍长中线、倍长类中线、中点遇平行延长相交条件：1、两个等腰三角形2、顶角相等3、顶点重合结论：1、手相等2、三角形全等3、手的夹角相等4、顶点连手的交点得平分D【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG .AD 为ABC ∆中线．求证：AD EG ⊥．六、 弦图与婆罗摩笈多模型【例】如图，向ABC ∆的外侧作正方形ABDE 、ACFG ．过A 作AH BC ⊥于H，AH 与EG 交于P ．求证：①EP PG =，②2BC AP =．七、 将军饮马模型费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
初中数学中考常见几何模型
初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
初中几何八大经典模型大盘点
初中几何八大经典模型大盘点
1.初中几何八大经典模型（一）中点模型
2.初中几何八大经典模型（二）角分线模型
3.初中几何八大经典模型（三）相似基本模型
4.初中几何八大经典模型（四）一线三等角模型
5.初中几何八大经典模型（五）三垂直模型
6.初中几何八大经典模型（六）手拉手模型
7.初中几何八大经典模型（七）旋转模型
8.初中几何八大经典模型（八）“将军饮马”模型
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初中数学几何必杀技八大模型(pdf)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD；②ZAEB= 60°；③EO平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD均为等腰直角三角形.结论:①左QAC丝△OBD ；②ZAEB= 90°；③EO平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD. 结论:①左OAC^/\OBD；② ZAEB=ZAOB；③ EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB, AOACco AOBD；②延长AC交BD于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB, AOACco AOBD,②连接AC,BD交于点E,必有ZBEC=ZBOA；®|^ = ^ = ^ = tanZOCD；@BD±AC;⑤连接AD,BC,必有AD2 +BC2=AB2+CD2；⑥S mABCD = yACX BD（对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB = ZDCE= 90°；②OC平分ZAOB.结论：®CD=CE；② OD+OE=7^OC；③=扌8气证明提示：①过点C作CM丄OA于点M,CN丄OB于点N,如图②，证明△ CDM^△ CEN；②过点C作CF丄。
C,如图③，证明△ ODC^AFEC.当ZECD的一边交A。
的延长线于点D时，如图④，结论：（DCD=CE（不变）；②OE— OD=72OC；③ S ACCE—S A0CD =yOC2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试. A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB = 2ZDCE= 120°；②OC平分ZAOB.结论:① CD= CE；② OD+OE= OC；③ S* + S ACCE =^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ ECF 丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD= OC；®S ACCE—Sg =^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB = 2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD + OE=2OC - cosa;③S A0CD + S ACCE = OC2• sina •cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C 平分ZAOB OD = 2OC - cosa；③S ACC£ -S ACCD = 0C2• sina , cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。
初中数学十大模型
初中数学中考总复习几何十大模型1、模型一：“12345”模型
2、模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
3、模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角
形
角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
4、模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
5、模型五：“将军饮马”模型
6、模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
7、模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
8、模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
9、模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
10、模型十：费马点。
中考常考基本几何模型16类
中考常考基本几何模型16类模型是对基础知识的深刻认识与提炼出的基本类型，注重基本知识的教学是强化模型思想意识的前提，注重模型在知识与知识中的应用，在具有实际背景中的应用等，可有效提高学生数学建模与解题能力．(数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．)模型1:将军饮马模型 如图1，已知直线l 和直线l 外同侧两定点A 、B ，在直线l 上求一点P ，使PA PB +的值最小． 作法：作A （B ）点关于直线对称点D ，连接BD 与直线l 点，则此点为所求作的P 点，PA +的值也最小．说明：为一定直线异侧两定点问题来达到求解的目的．细细分析这个基本几何模型，会发现隐含有如下两个基本结论：其一：同侧两三角形相似的问题 如图1，若连接AD ，交直线l 于点E，并过点B 作BF ⊥l 于点F ，则有AEP DEP BFP ∆∆∆≌∽，如图2所示．例 如图2-1，点E 为长方形ABCD 边CD 上一点，在线段AD 上作一点P，使ABP DEP ∆∆∽（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．解：由于点B 、点E 均为定点且在定直线AD 的同侧，要在AD 上求一点P ，使ABP DEP∆∆∽，所以本题符合基本模型中隐含的第一类问题，于是作B 点（或E 点）关于AD 的对称点B '点（或E '点），连接B E '（或E B '），B E '（或E B '）与AD 的交点即为所求作的P 点，如图2-2所示．其二：同侧两线段差值最大的问题 如图3所示 ，连接AB (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线AB 交于点P ，边关系，可证PA PB AB -≤． 即：图2-2图2-1E D C值是两定点的距离． 同侧两线段差值最大问题的变式：如图4所示，作点A 关于直线l 的对称点D ，连接BD (不妨假设点A 到直线l 的距离大于点B 到直线l 的距离)，设直线BD 与直线l 相交于P 点，借助三角形的三边关系，可证明：PA PB BD -≤．即：一定直线异侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大值等于其中一定点关于这条直线对称后的点与另一定点之间的距离．例 如图4-1，在正方形ABCD 中，8AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且6BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为 ．解：由于点M 、点N 是两个定点，并在定直线BD 的异侧，要在BD 上求一点P ，使PM PN -的值最大，这显然属于基本模型中隐含的第二类问题中的变式形式，于是不妨作N 点关于BD 的对称点N '点，则PM PN -的最大值就是线段MN '的长，如图4-2所示．∵四边形ABCD 是正方形，8AB =，点O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是AO的中点，6BM =，∴OA OC =， BD AC ⊥，2CM =，则点N '在OC 上，且是OC 的中点，∴14CM CN CB CA '==，则CBA CMN '∆∆∽，∴14MN BA '=即2MN '=． 练习：2015年陕西中考副题第14题；2018年陕西中考副题第25题(三线段共线问题)模型2：三垂直模型如图5，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，B 点在直线l 上，若过A 、C 点分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E ，则ADB BEC ∆∆∽；若AB BC =时，则有ADB BEC ∆∆≌．练习：2014年陕西中考副题第14题模型3:边定角等模型如图6，已知A ∠及其所对边BC 的长均为定值时，求所有符合条件的A 点或符合条件的三角形的最大面积．作法：先作一个符合条件的特殊ABC ∆，再作它的外接圆⊙O ，那么在¼BAC 上任取一点D （不与B 、C 重合），它与BC 所构成的三角形都满足BC 的长及BC 所对的角是定值的要求．由圆的知识可知：所有符合题意的三角形就是上面点D 与BC 所构成的三角形．要它的面积最大，只要三角形BC 边上的高最长即可．作BC 的垂直平分线，设它与¼BAC 交于E 点，与BC 交于F 点，于是ABC S ∆的最大值就是12EF BC ⋅．图5图6图4-2图4-1D C例如图6-1，以正方形ABCD 的一边BC 为边向四边形内作等腰BCE ∆，BE BC =，过E 作EH BC ⊥于H ，点P 是Rt BEH ∆的内心，连接AP ，若2AB =，则AP 的最小值为 （请在图中画出点P 的运动路径）.解：∵点P 是Rt BEH ∆的内心，∴连接PE 、PB ，如图6-2所示，∵90EHB ∠=︒，∴135BPE ∠=︒，又∵等腰BCE ∆是以BC 为边向正方形ABCD 内作的，且2BE BC ==，∴BE 的长是确定的，位置是不确定的.若连接PC ，由等腰三角形的性质可知：BPE ∆与BPC ∆关于BP 所在的直线ι成轴对称，且P 点在直线ι上，于是在BPE ∆中研究P 点与A 点的关系，就可转化在BPC ∆中来研究P 点与A 点的关系，在BPC ∆中，∵BC 为定边，135BPC ∠=︒，∴P 点应在以B 、P 、C 三点确定的圆上，设圆心为O ，则P 点的运动路径为»BC （不含B 、C 两点），如图6-3所示.∴求AP 的最小值就转化为求圆外一点到圆上一点的最短距离了，于是连接OA 、OB 、OC ，过O 作OF AB ⊥于F ，∵135BPC ∠=︒，则»BC为90︒的弧，∴90BOC ∠=︒，则BOC ∆为等腰直角三角形，∴BOF ∆也是等腰直角三角形，又∵2AB =，∴OB =即圆半径为，则1OF BF ==，∴由勾股定理得：OA ==AP 的练习：2014年陕西中考第25题、中考副题第25题；2016年陕西中考第25题第⑶问（存在性作图）；2017年陕西中考副题第25题.模型4:点、线平移模型如图7所示，在直角坐标系中，当线段AB 平移至CD若已知A 点坐标为11（x ,y ），B 点坐标为22（x ,y ），C 11（x +k,y +h ），则D 点坐标就是22（x +k,y +h ）．练习：2014年陕西中考副题第14题；第24题常用．模型5:平行四边形中，过中心的线平分平行四边形的面积模型 如图8，ABCD Y 中，AC 与BD 相交于O 点．若过O 点任作一条直线l ，则l 将ABCD Y 平分成两部分，且这两部分全等（面积相等）．练习：2013年陕西中考第25题；2017年陕西中考第25题第⑵问．D图6-2图6-1模型6：角的顶点在一圆中相切线上，则这些角中必有最大值的问题模型如图9，直线l 与O e 相切于P 点，1P 是直线l 上任意一点，则有1APB APB ∠∠≥. 练习： 2015年陕西中考第25题2015年陕西中考副题第25题模型7：共斜边的直角三角形的所有顶点在同一圆上的问题模型如图10，在ACB ∆与ADB ∆中，90ACB ADB ∠=∠=︒，则A 、 D 、B 、C 四点在同一个圆上，且圆心在AB 的中点上，AB 就是圆的直径．例（2017陕西中考第14题）：如图11，在四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠=∠=︒，连接AC ，若6AC =，则四边形ABCD 的面积为 ．∵90BAD BCD ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，过B 作BE AC ⊥于E ，过D 作DF AC ⊥于F ，如图12所示，则90AEB DFA ∠=∠=︒，又∵BAD ∠90=︒=BAE DAF ∠+∠，∴ABE DAF ∠=∠，又∵AB AD =，则ABE DAF ∆∆≌，45DCA BCA ∠=∠=︒，∴E=B AF ，45CDF DCF ∠=∠=︒，则DF CF =，∴6BE DF AF CF +=+=． 则ABCD S 四边形=BCA DCA S S ∆∆+1122AC BE AC DF =⋅+⋅1+2AC BE DF =⋅（）=18．模型8：点到直线上的所有连线中，垂线段最短的问题模型如图13，定点A 与定直线m 上各点的连线中，垂线段AP 最短．例 如图14-1，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点P 是BC 上任意一点，连接PA ，以PA 、PC邻边作PAQC Y ，连接PQ PQ 的最小值为 ．解：∵PAQC Y 是以PA 、PC 为邻边作的平行四边形，∴对角线PQ 与AC 的交点O 点应平分PQ 与AC ，而AC的图11C 图12图102！图13图14-2图14-1A长与位置是固定的，则O 点就是一个定点，又∵点P 是BC 上任意一点，因此要PQ 最小，只要OP BC ⊥即可，如图14-2所示．∵90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，∴2OC =，由勾股定理可得：5BC =，∴sin AB OP BCA BC OC ∠==，则65OP =，∴PQ 的最小值为125． 练习： 2016年陕西中考副题第14题模型9:过圆内一点，有最长（短）弦的问题模型如图15，在O e 中，点A 是O e 内部异于圆心O 的一点，则过点A 所作的弦中，有最长弦直径EF 即过点A 、过圆心O 的弦；有最短弦CD 即过点A 、且与EF 垂直的弦．例 如图16，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且45ACB ∠=o .若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是 .解：由于点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则12MN AC =.要MN 最大，则只要AC 最大.由于AC 是O e 的弦，点C 是O e 上的一个动点，当C 点运动时，AC就有可能过圆心O ，于是AC 就变为圆中最长的弦直径了，如图17所示. ∵45ACB ∠=o ，AB =6，∴AC最大为MN =.练习：2014年陕西中考副题第16题2016年陕西中考副题第25题模型10：借三边关系可求最值的问题模型如图18，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =（a b ＞）.则AC 的最大值为a b +；AC 的最小值为a b -.例 如图19，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将BCP ∆沿CP 所在的直线翻折，得到B CP '∆，连接B A '，则B A '长度的最小值为 ．解：在图19中，∵90ACB ∠=︒，5AB =，3BC =，∴由勾股定理得：4AC =；由折叠性质知：3CB CB '==．在ACB '∆中，由三角形的三边关系有：CA CB '-＜B A '，∵CA 、CB '的长均为定值，要B A '的长有最小值，只要有CA CB '-＝B A '即B '点能落在AC 上时，B A '的长有最小值（这解决了求B A '长度有最小值的可能性问题）．另一方面：当CP 所在的直线是ACB ∠的平分线时，将BCP ∆沿CP 所在的直图17图16C ＇CBA图19图20C B A B ＇图15线翻折，得到B CP '∆，此时B '点恰好落在AC 上即有CA CB '-＝B A '（这解决了求B A '长度有最小值的存在性问题），如图20所示，∴B A '长度的最小值是1．练习：2014年陕西中考副题第23题2016年陕西中考副题第25题模型11:圆（内）外一点到圆上一点的最值问题模型如图21所示，M 点是O e 的圆内或圆外的任意一点，则过圆心O 点、M 点的直线与圆交于F 点，H 点，则线段MF 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最大值；线段MH 的长就是M 点与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析：当过M 点的直线与过M 点直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF 的长也就越大了.例 如图22，在矩形ABCD 中，2AD =，3AB =，点E 是AD 边的中点，点F 是射线AB 上的一动点，将AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到A EF '∆，连接A C '，则A C '的最小值为 ．解：∵点E 是AD 边的中点，2AD =，A EF '∆是AEF ∆沿EF 所在直线翻折得到的，∴1EA EA '==，又∵点F 是射线AB 上的一动点，∴点A '也随着点F 的运动而变化，但点A '到定点E 的长是定值1，则点A '在以E 点为圆心，1为半径的圆弧（在矩形ABCD 内）上，如图23所示,从而把求A C '的长转化成求圆外一点到圆上一点的最短距离问题，如图24所示，连接CE，则CE =A C '1．练习： 2017年陕西中考第25题第⑶问模型12:直角三角形中，三边的函数关系问题模型如图25，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，当a 为定值时，对222c a b =+来说：当b 有最大（小）值时，则c 也有最大（小）值；反之，当c 有最大（小）值时，则b 也有最大（小）值；当c 为定值时，对222b c a =-来说：当a 有最大（小）值时，则b 也有最小（大）值．例 如图26，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且AF EF ⊥，则AE 的最小值为 .解：设CF x =（0x ＜＜3），则3DF x =-.∵四边形ABCD 是正方形，且AF EF ⊥，∴ADF FCE ∆∆∽，则=AD DF CF CE ，∴(3)3x xCE -⋅=.由于AB 为定值，在直角三角形图21FB A F B图24图23图22 图25BCABE 中，要AE 最小，则要BE 最小即要CE 最大即可.∵2133()324CE x =--+，又∵103-＜且0x ＜＜3，∴当32x =时，CE 有最大值34，则BE 最小为94，∴由勾股定理可得：AE 的最小值为154.模型13:已知四边形两条对角线的长，求四边形面积最大值的问题模型如图27，四边形ABCD 中，已知AC 、BD 的长是确定的，要求四边形ABCD 面积的最大值，则1=2ABCD S AC BD ⋅四边形.练习：如图27-1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D ，E 在ABC ∆所在的平面内，且1CE =，点D 在AC 的上方，连接AE ，BD .若AE BD =，则四边形ABED 面积的最大值为 .模型14:已知三角形两边之和为定值，且夹角确定，求三角形面积最大值的问题模型 如图28，已知中ABC ∆，ABC θ∠=︒，点D 、E 分别是AB 、BC 上的两动点，且BD BE m +=.则有BDES ∆1sin 2BD BE θ=g 221sin ()sin 228m m BD θθ=--+，当2mBD =时，BDE S ∆有最大面积为2sin 8m θ︒[当90θ＞时，最大面积为2sin 180-8m θ︒（）]. 练习：如图28-1，在边长为1的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E 、F 分别为AD 、CD 上的动点，连接BE 、BF 、EF .若60EBF ∠=︒，则DEF ∆面积的最大值为 .FD C 图26C图27-1图28-1A模型15:圆上一点到与圆相离直线的距离，有最值的问题模型 如图29，O e 与直线ι相离，点P 是O e 上的一个动点，设圆心O 到直线ι的距离为d ，O e 的半径为r .则点P 到直线ι的最小距离为d r -d r +.例如图29-1，在矩形Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =3BC =，点D 是AC 的中点，将CD 绕着点C 过程中点D 的对应点为点E ，连接AE 、BE ，则AEB ∆为 .解：∵90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D 是AC 的中点，CD 是绕着点C 逆时针旋转的，∴由勾股定理可得：5AB =，E 点在以C 为圆心，2为半径的圆上动，如图29-2所示，求AEB ∆面积的最小值，就转化为求圆上一点到直线的最短距离了.于是过C 作CF AB ⊥于F ，则有125AC BC CF AB ⋅==，∴E 点到AB 的最短距离为25，∴AEB ∆面积的最小值为125=125⨯⨯.模型16:四点共圆的四边形有一条对角线的长是定值，则圆有最小直径的问题模型如图30，已知直线ι垂直平分AC ，交AC 于E 点，四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆O e 上，且AC 的长是定值.由图易知：O e 有最小直径，其最小值为AC .图29-2图29-1图29。
初中数学几何模型大全(精心整理)
三线八角同位角找F型内错角找Z型同旁内角找U型拐角模型1.锯齿形∠2=∠1+∠3 ∠1+∠2=∠3+∠42.鹰嘴型鹰嘴+小=大∠2=∠1+∠3 ∠2=∠1+∠33.铅笔头型∠1+∠2+∠3=360° ∠1+∠2+∠3+∠4=540°180×（n-1）等积变换模型S△ACD=S△BCD 八字模型∠A+∠B=∠C+∠DAD+BC>AB+CD飞镖模型∠D=∠B+∠C+∠AAB+AC>BD+CD内内角平分线模型∠A∠D=90°+12内外角平分线模型∠D=1∠A2外外角平分线模型∠D=90°-1∠A2平行平分出等腰模型HG=HM等面积模型 D是BC的中点S△ABD= S△ACD 倍长中线模型：D是BC的中点S△FBD= S△ECD角平分线构造全等模型角平分线垂直两边角平分线垂直中间角平分线构造轴对称以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，垂直也可以做为轴进行对称全等。
三垂模型拉手模型大小等边三角形虚线相等且夹角为60°大小等腰三角形顶角为a，虚线相等，且夹角为a大小等腰直角三角形虚线相等且夹角为90°大小正方形虚线相等，且夹角为90°半角模型正方形ABCD ∠EDF=45°得：EF=AE+CFCD=AD,∠ADC=90°,∠EDF=45°,∠A+∠C=180°得：EF=AE+CF∠BADAB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=12得：EF=BE+DFAB=AC,∠BAC=90°，∠DAE=45°得：DE2=BD2+CE2△CEF为直角三角形上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
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模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A
的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较
PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。
A A
P
； 。
A B
A
B
EF
C DEΒιβλιοθήκη 图1图2热搜精练
1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
（2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
A
E
B
O
D
C
图1
A
B
O
C
图2
C D
； 。
E
D
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
。
E
F
D
G H
C B A
-1-
模型 2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C。
P
B
C图 1
D
B
D
C
图2
热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段 BC 的长。 A
B
D
C
2．已知，在△ABC 中，AB=AC，∠A=108°，BD 平分∠ABC。
求证：BC=AB+CD。
A
D
B
C
3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON
上截取 OB=OA，连接 PB。
M
结论：△OPB≌△OPA。
A
P
模型分析
O
BN
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对
应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种
解题技巧。
BD 至 E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。
A DE
B
C
-6-
模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
第一章 8 字模型与飞镖模型
模型 1 角的“8”字模型
如图所示，AB、CD 相交于点 O，
A
连接 AD、BC。
结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
模型分析 8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
B
D O
C
模型实例 观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
A
A
A
B
CB
P
图1
P
CB 图2
P1 P2 C
图3
-4-
第二章 角平分线四大模型
模型 1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 M
A
P
模型分析
O BN
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为
A
B
D
C
模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型实例
如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，AM 与 CM 交于 M。
探究∠AMC 与∠B、∠D 间的数量关系。
A
B
M
D
C
热搜精练
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = A
A
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
O
B
D C
A
模型 4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD。
BO C
模型实例 如图，点 O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
B
A
O C
-3-
热搜精练 1．如图，在△ABC 中，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE。
目录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第十章 第十一章 第十二章
8 字模型与飞镖模型 ..............- 1 角平分线四大模型 ...............- 5 截长补短 ...................... - 10 手拉手模型 .................... - 13 三垂直全等模型 ................ - 15 将军饮马 ...................... - 17 蚂蚁行程 ...................... - 25 中点四大模型 .................. - 29 相似模型 ...................... - 39 圆中的辅助线 .................. - 50 辅助圆 ........................ - 55 -
E
135O
C
B
F
D
第 1 题图
。
C D
120O
105O
A
B
第 2 题图
-2-
模型 3 边的“8”字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。 结论：AC+BD>AD+BC。 A
D O
C B
模型实例
如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。
求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
求证：AB+AC>AD+AE。
A
BD
C E
2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边 BC 上一点，请比较 BP+PC 与 AB+AC 的大小，并 说明理由； （2）如图②，将（1）中的点 P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周 长的大小，并说明理由； （3）图③将（2）中的点 P 变为 P1、P2，请比较四边形 BP1P2C 的周长与△ABC 的 周长的大小，并说明理由。
边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例
（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到
直线 AB 的距离是
；
（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 A 求证：AP 平分∠BAC。
A
B
2
C
34
1
C
D
B
图1
P图 2
热搜精练
1. 如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
2. 求证：∠BAD+∠BCD=180°。
A
D
B
C
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，
若∠BPC=40°，则∠CAP=
。
P
A
B
-5-
C
D
模型 2 截取构造对称全等