3.2 三维波动方程初值问题ppt课件
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3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
波动大学物理-PPT文档资料
Y(x,t)的函数形式称为波函数，它也就 是波传播时媒质质元的运动函数。
x 称为行波的波函数。 y (x ,t） f （ t ） u
(二) 简谐波(波函数) 一、一维简谐波的表达式(波函数) 讨论:沿+x方向传播的一维简谐波(u , )
波速ｕ 假设 : 媒质无吸收 参考点 a 任一点p (质元振幅均为A) o ·x d · 已知:参考点a的振动表达式为 x
§1
机械波的产生和传播
一. 机械波的产生 1. 产生条件: 波源 媒质 2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播 • 横波 • 纵波 3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · ·· ·
结论：
u
a b 沿波的传播 · · 方向 , 各质元的相 x 位依次落后。 2 图中b点比a点的相位落后 x
传播方向
x
三. 波形曲线(波形图) y u t • 不同时刻对应有 o 不同的波形曲线 • 波形曲线能反映横 波 纵波的位移情况 四. 波的特征量 1.波长 : 两相邻同相点间的距离 2. 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数 3. 波速u : 单位时间波所传过的距离
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
波动方程初始问题的求解
当 1/2a t 3/4a
x, 1 2 at , u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ), 0 x1 2 at 1 2 at x 1 at 1 at x at at x 1 2 at
第二节 特征线方法
弦振动方程的初始问题
2 2u u 2 a , x , t 0 t 2 2 x u ( x, 0) ( x), x ut ( x, 0) ( x),
等价问题
u u a v, t x x , t 0 v a v 0, x t u ( x, 0) ( x), v( x, 0) ( x) a ( x), x
第四节 球平均法
三维波动方程的初始问题
p x, y , z R 3 , t 0 p x, y , z R 3
2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 , y z t x u ( p, 0) ( p), u ( p, 0) ( p), t
r
p
M u ( p,0, t ) u( p, t )
M ( p,0) ( p)
M ( p,0) ( p)
2 2 rM u 2 a rM u , r R, t 0 2 2 t r rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), rR rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), t
依赖区间
影响区域
§32三维波动方程的泊松公式
3
3.2.1 三维波动方程的球对称解 如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
2 1 2 u 1 1 u u r 2 sin q 2 2 2 2 r r r r sin q q q r sin q
1
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
2 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为 ru=f1(r+at)+f2(rat). 或 f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
5
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
这就是三维波动方程的关于原点为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
18
令r0, 并利用洛必达(L'Hospital)法则得到
(at ) t1 (at ) u (0, t ) 0 (at ) at0 1 2 0 ( x at sin q cos , y at sin q sin , z at cos q ) a t 0 0 at (at ) 2 sin q d d q t 4
3.2.1 三维波动方程的球对称解 如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
2 1 2 u 1 1 u u r 2 sin q 2 2 2 2 r r r r sin q q q r sin q
1
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
2 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为 ru=f1(r+at)+f2(rat). 或 f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
5
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
这就是三维波动方程的关于原点为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
18
令r0, 并利用洛必达(L'Hospital)法则得到
(at ) t1 (at ) u (0, t ) 0 (at ) at0 1 2 0 ( x at sin q cos , y at sin q sin , z at cos q ) a t 0 0 at (at ) 2 sin q d d q t 4
波动方程第二章PPT课件
A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
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9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
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21
2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
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5
2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
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求解三维泊松问题的方法
~ ~ ~ ~ utt a 2 ( uxx u yy uzz ) 0 ~ u t 0 ( x , y ) u ~ t t 0 ( x , y )
由Possion公式
~ ( x , y , z , t ) lim u 1 M dS M dS u Sat r 0 4a t Sat r r 球面 S rM 在平面 上投影 为 at 0 M 2 2 2 又上、下两球面的投影有对称关系，故2 ( x ) ( y ) a t
x r sin cos , y r sin sin , z r cos
S1M 表示以 M 为中心的单位球面，
d 表示单位球面上的面积元素，d sin d d
M 2 dS 表示 Sr 上的面积元素， dS r d
u( r , t ) 1 S1M u( x r sin cos , y r sin sin , z r cos , t ) d 4
(at r ) ( r at ) at[ (at r ) (at r )] lim [ r 0 2 2r
1 ( at ) at ' ( at ) [at ( at )] at
1 at r lim J 2 at r ( )d r 0 2ar 1 (at r ) (at r ) lim 2a r 0 r 1 1 2' (at ) [at (at )] 2a a
在 ,
上的球平均值 S rM
r 满足如下定解问题： u
2 ( r u) 2 ( r u) a2 0 2 2 r t ( r u) |t 0 r ( r u) | r t 0 t ( r u) |r 0 0 0 r , t 0 0r 0r t0
3.2三维波动方程初值问题
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
u(x, y, z,t)
( )d,
r at 0.
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
z r cos ,
0
第三节、二维与三维波动方程
第三节、二维与三维波动方程 研究波在空间传播问题.归结为求下列三维波动方程的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞=+∞<<-∞=>+∞<<-∞=∆-==),,(),,(),,(),,()0,,,(0002z y x z y x uz y x z y x u t z y x u a u t t t tt ψϕ一、 球对称情形 在球坐标系⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x 下：2222222sin 1)(sin sin 1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆u r u r r u r r r u 若初位移、初速度),,(),,,(z y x z y x ψϕ仅是r 的函数，则解);,,(t z y x u 也仅是r 和t 的函数，此时称定解问题是球对称的．．．．。
且 222222222r ur u r zu y u x u u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∆这时波动方程可简化为0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂r u r u r a t u 进一步有0)()(22222=∂∂-∂∂rru a t ru 所以球对称情形下，三维波动方程边值问题可化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂==∂∂-∂∂===0|)(|)()(|)(0)()(0022222r t t ru r r tru r r ru r ru a tru ψϕ 由D ’Alembert 公式，⎪⎩⎪⎨⎧⎰≤-+---++⎰>-+--+++=+-+-rat r at atr at r at r d arr r at r at at r at r at r d arr at r at r at r at r t r u 0)(212)()()()(0)(212)()()()(),(ξξξψϕϕξξξψϕϕ二. 一般情况 令ωςηξπςηξπd t u dS t u rt r u M M rS S ⎰⎰=⎰⎰=1),,,(41),,,(41),(2),(t r u —函数),,,(t z y x u 在球面M r S 上的平均值。
2-3 初值问题(高维情形)
at
2
2
0
(sin cos )d sin 2 d
0
d sin cos d 0 0 x y z. at
2
2
例2. 求解初值问题
2 3 u a ( u u u ), ( x , y , z ) R ,t 0 tt xx yy zz 3 u ( x , y , z , 0) yz , u ( x , y , z , 0) xz , ( x , y , z ) R t 解. 法一. 此处 yz, xz, 由Poisson公式得
由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为
1 x at u z d xzt , 2a x at 1 2 u [ z ( y at ) z ( y at )] yz , 2 u 3 0, 因此 u xzt yz.
1
例4. 求解初值问题
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
u ( x, y , z , t ) 1 2 t sin ( y at sin sin )( z at cos )d d 4 t 0 0
1 4
0
2
0
sin ( x at sin cos )( z at cos )d d
(a)先看三维情形：
特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面， 这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。 (b)二维情形：
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
波动方程推导过程ppt课件
tantandxdxdxdxdx一维非齐次波动方程二维非齐次波动方程三维非齐次波动方程
一维波动方程推导：
四个条件
横振动 微小振动 弦是柔软的 弦是均匀的
张力沿切线方向 密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
Q
x
x+Δx
x 0
精品课件
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
xt
精品课件
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
x2
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
z, t
a2
2u x, y,
x2
z, t
2u x, y, z, t
y2
2u x, y, z, t
z 2
f
x,
y,
z, t
三维非齐次波动方程
注： 在没有外力f的作用下，方程变为齐次。
精品课件
4
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
精品课件
3
可得：
一维波动方程推导：
四个条件
横振动 微小振动 弦是柔软的 弦是均匀的
张力沿切线方向 密度均匀 ρ
u ux+Δx
ux
单位长度外力 F(x,t)
P
α1
T1(x,t)
x
α2 张力T2(x,t)
Q
x
x+Δx
x 0
精品课件
1
由牛二定律：
因运动为微小横振动，可得：
注：
tan 1 x
0
u
x
dx,t
x
u
xt
精品课件
2
可得：
即： T2 T1 T
u x dx,t u x,t
T
x
dx
x
dx
F
x,
t
dx
dx
2u
t
x,
2
t
T
2u x,t
x2
dx
F
x, t
dx
dx
2u x,t
z, t
a2
2u x, y,
x2
z, t
2u x, y, z, t
y2
2u x, y, z, t
z 2
f
x,
y,
z, t
三维非齐次波动方程
注： 在没有外力f的作用下，方程变为齐次。
精品课件
4
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t 2
T a2, f x,t F x,t
记：
精品课件
3
可得：
第三章 三维波动方程的定解问题-2
t 0
2 F (r a t )
t 0
(ru ) r u r a t
t 0
( 3.35)
考虑到先前有一个动作 ：令 r 0 ，得到了（ 3.33 ）：
u (0, t ) 2F (a t )
另一方面，令 r 0 ，正是
u( M , t ) lim u ( r , t ) u (0, t )
深圳大学电子科学与技术学院
物理意义
1 1 1 u(M , t ) (M ' ) dS (M ' ) dS 2 2 4 a t t S M 4a t S M at at
T0 d
M'
D
M
at
S
M at
如果D< at，u(M,t) = 0 (扰动阵尾已过)
( 3.32)
上式的结果代入（ 3.30 ）式，得
u (0, t ) 2F (a t )
( 3.33)
u (r u ) u (r , t ) r F ( r a t ) G( r a t ) r r u r aF ( r a t ) aG( r a t ) t
d
, , 0
,
0 2 .
dS si n dd 球立体角元 r2
x
dS r 2 sin d d 球面上的面积元 dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元
dV dSdr r 2dr sin d d 球的体积元 r 2drd 球的体积元
因此，以下我们将先求 出 u (r , t ) 。 （这比求解 u( M , t ) 方便得多了） 。
波动方程初值问题
波动方程初值问题波动方程初值问题是在物理学中经常遇到的一类问题，研究的是在给定初始条件下的波动现象。
下面将详细介绍波动方程初值问题的相关知识点。
一、波动方程初值问题的基本概念波动方程初值问题是指，在已知波动方程及其初值条件的情况下，求解波动过程中各时刻的波动状态的问题。
波动方程通常描述的是波动的传播过程，具有一定的数学形式，解析解往往难以直接求得，需要利用适当的数值方法进行逼近求解。
二、波动方程初值问题的求解方法1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法，适用于求解一类边值问题。
对于某些特定的波动方程，可以采用分离变量法，将其转化为一系列常微分方程，进而求解出波动状态函数。
2.有限差分法有限差分法是通过离散化波动方程，在网格节点处计算差分近似值，并通过求解差分方程组来求解问题。
它是一种基本且有效的数值方法，被广泛地应用于求解波动方程初值问题。
3.有限元法有限元法是将具有一定连续性的结构或介质离散成若干个有限单元，在有限单元内进行数值计算，最终求解整个问题的方法。
比起有限差分法，有限元法的适用范围更广，也更为精确，但计算量较大，在实际应用时需要考虑计算效率和求解精度之间的平衡。
三、波动方程初值问题的应用波动方程初值问题广泛应用于物理学、化学工程、机械制造等领域中，如声波、电磁波、光波、地震波等的传播与反射，可以通过波动方程初值问题来描述和计算这些物理现象。
总之，波动方程初值问题是一类具有一定难度的数学问题，求解该类问题需要掌握一定的数值计算方法和物理知识，并且需要对实际问题进行具体分析才能得出最优的求解方案。
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( )d
xat
1
其中 2at
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
8
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
r at 0.
2ar atr
7
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
4
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
6
1 2r
[(r
at
) (r
at)(rFra bibliotekat)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
4 a2 t SaMt
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
5
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。 从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
Partial Differential Equations
Autumn 2013
Instructor : Y. Huang ylhuang@
Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
10
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
t
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
乙 1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
乙 u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
9
乙 1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
乙 u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin,
z r cos ,
r 0, 0 , 0 2 ,
12
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
11
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
3
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
即
y
r
sin
sin ,
1
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
xat
1
其中 2at
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
8
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
r at 0.
2ar atr
7
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
4
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
6
1 2r
[(r
at
) (r
at)(rFra bibliotekat)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
4 a2 t SaMt
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
5
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。 从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
Partial Differential Equations
Autumn 2013
Instructor : Y. Huang ylhuang@
Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
10
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
t
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
乙 1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
乙 u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
9
乙 1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
乙 u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin,
z r cos ,
r 0, 0 , 0 2 ,
12
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
11
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
3
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
即
y
r
sin
sin ,
1
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
2.1 三维齐次波动方程的球对称解