高考理科数学第一轮小题训练8
新编高考理科数学第一轮阶段性测试题参考答案
新编高考理科数学第一轮阶段性测试题&参考答案阶段检测卷(一) (函数与导数) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．(2016年新课标Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0} ，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞ ,2]∪ [3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪ [3，＋∞)2．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2，或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2，或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}3．(2016年河北保定二模)已知函数f (x )＝x 2－2cos x ，则f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25的大小关系是( )A ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f (0)D ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x5．函数f (x )＝log a (ax －1)在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 6．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]7．(2016年新课标Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3| 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1mi i x =∑＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m8．若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )<xf ′(x )，则( ) A ．2f (1)<f (2) B ．2f (1)>f (2) C ．2f (1)＝f (2) D ．f (1)＝f (2)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．(2015年新课标Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝_____________________________.10．直线y ＝m (m >0)与函数y ＝|log 2x |的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，下列结论正确的是________．(填序号)①0<x 1<1<x 2；②x 1x 2＝1；③1222x x ＋<4；④1222x x ＋>4.11．(2015年福建)如图N11，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_____________．图N11三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．12．(14分)已知函数f(x)＝x22－(1＋2a)x＋4a＋12·ln(2x＋1)．(1)设a＝1时，求函数f(x)极大值和极小值；(2)a∈R时讨论函数f(x)的单调区间．13．(20分)(2016年北京)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．阶段检测卷(二) (三角函数、平面向量与解三角形)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，π)上单调递减的是()A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 2x D．y＝cos 2x2．对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b23．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB→＝0，则OC→等于( )A ．2OA→－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →4．(2016年江西赣中南五校一联)如图N21，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x∈R ，ω>0)图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω等于( )图N21A ．8 B.π8 C.π4 D.π25．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2π B ．图象C 关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0点对称C ．图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到 D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数6．如图N22，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105°的方向以9海里/时的速度行驶．若救生艇立即以21海里/时的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )图N22A.15小时B.13小时 C.25小时 D.23小时7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图N23，为了得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2的图象，只需将f (x )的图象( )图N23A ．向左平移π3个长度单位 B ．向右平移π3个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π6个长度单位8．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，ΑC →＝2a＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥ΒC→二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．如图N24，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．图N2410．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为____________．11．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC 的最大值是________．三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cosA ，tan A ＝13，求B .13．(20分)(2016年北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．阶段检测卷(三) (数列) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．已知数列1，－1,1，－1，…，则下列各式中，不能作为它的通项公式的是( )A ．a n ＝(－1)n －1B ．a n ＝sin(2n －1)π2C ．a n ＝－cos n πD ．a n ＝(－1)n2．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2015年浙江)设A ，B 是有限集，定义d(A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card (A )表示有限集A 中的元素个数：命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d(A ，B )>0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d(A ，C )≤d(A ，B )＋d(B ，C )．( ) A ．命题①和命题②都成立 B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立4．已知数列{a n }为等比数列，且a 5a 9＝2π3，则cos(a 2a 12)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－325．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于26．在等差数列{a n}中，a n>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5a6的最大值是()A．3B．6C．9D．367．设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin b|＝t.()A．若t确定，则b2唯一确定B．若t确定，则a2＋2a唯一确定C．若t确定，则sin b2唯一确定D．若t确定，则a2＋a唯一确定8．观察下列等式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*) D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律， 第n 个等式为____________________．10．(2014年新课标Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________．11．已知在等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，S 6>S 7>S 5，则：①数列的公差d <0；②S 11>0；③S 12<0；④S 13<0；⑤S 8>S 6；⑥S 8>S 3.其中正确的是______________． 三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(10分)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和T n ，求|T n －1|＜11000成立的n 的最小值．13．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝－2，a n＋1＋3S n＋2＝0(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)是否存在整数对(m，n)，使得等式a2n－m·a n＝4m＋8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m，n)；若不存在，请说明理由．14．(12分)设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n －1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出证明．阶段检测卷(四) (不等式) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．(2015年安徽)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．12．(2015年广东)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A.315 B ．6 C.235 D ．4 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]4．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是( )A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年5．(2016年浙江)若平面区域⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.3 55B. 2C.3 22 D. 56．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．7．(2013年大纲)记不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．8．(2015年山东)定义运算“⊗”： x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是________ .9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 10．已知S n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 2n －1的前n 项和，若不等式|λ＋1|<S n ＋n2n －1对一切n ∈N *恒成立，则λ的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或推演步骤．11．(10分)(2015年广东肇庆一模)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称 空调器 彩电冰箱工时121314产值/千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)12．(12分)(2016年四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－ee x，其中q∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x ＞1时，g (x )＞0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．13．(12分)已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取到极值2. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋ax .若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋72，求实数a 的取值范围．阶段检测卷(五) (圆锥曲线) 时间：50分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0垂直，则m 的值为( )A ．－8B ．0C ．10D ．22．若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或73．(2014年新课标Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．14．设过点(0，b )，且斜率为1的直线与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则b 的值为( )A ．2±2B ．2±2 2C ．－1±2 D.2±15．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12 B.3＋12C ．2 D.5＋126．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．967．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN ||AB |的最大值是( )A. 3B.32C.33D.348．如图N51，F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()图N51A．4 B.7 C.2 33 D.3二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．已知双曲线C1，C2的顶点重合，C1的方程为x24－y2＝1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为__________．10．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝__________.11．在△ABC中，∠A＝30°，|AB|＝2，S△ABC＝ 3.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝__________.三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为短轴长的3倍．(1)求椭圆E的离心率；(2)设椭圆E的焦距为2 2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2＋y2＝34相切．13．(20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，说明理由．阶段检测卷(六) (立体几何)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β2．如图N61，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°图N61 图N623．如图N62，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c4．(2016年辽宁大连测试)已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β，则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．如图N63，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD ，则在三棱锥A BCD 中，下列命题正确的是( )图N63A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC6．如图N64，四棱锥S ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )图N64A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角7．如图N65，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图N65A ．96B ．80＋4 2πC ．96＋4(2－1)πD ．96＋4(2 2－1)π8．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，命题“a ∥b 且a ⊥c ⇒b ⊥c ”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有________个．10．如图N66，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE 沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，正确的命题是________(填序号)．图N66①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.11．(2016年浙江)某几何体的三视图如图N67(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.图N67三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(10分)(2015年安徽)如图N68，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过点A1，D，E的平面交CD1于点F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角EA1DB1余弦值．图N6813．(12分)(2014北京西城二模)如图N69，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧视图如图N610.(1)证明：BC⊥平面PBD;(2)证明：AM∥平面PBC;(3)线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．图N69 图N61014．(12分)(2016年湖南师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考)如图N611，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB 与△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角APDB的余弦值．图N611阶段检测卷(七) (概率与统计)时间：50分钟满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分，有且只有一个正确答案，请将答案选项填入题后的括号中．1．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i2．(2016年新课标Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710 B.58 C.38 D.3103．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1365石4．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．如图N71，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()图N71A ．6B ．8C ．12D ．185．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图(如图N72)．下列结论不正确的是( )图N72A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6．(2015年广东惠州一模)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图N73，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )图N73A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x7．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12B ．p 1<12<p 2C ．p 2<12<p 1 D.12<p 2<p 18．如图N74，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为E (X )( )图N74A.126125B.65C.168125D.75二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，把答案填在题中横线上．9．在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)10．(2016年北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有______种．11．(2013年湖北)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为________．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.9974.)三、解答题：本大题共2小题，共34分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．(14分)甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是25，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是320，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是340，且乙通过测试的概率比丙大．(1)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；(2)求测试结束后通过的人数ξ的数学期望E(ξ)．13．(20分)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取1辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产1辆甲品牌轿车的利润为X1，生产1辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．阶段检测卷(一)1．D 解析：由(x －2)(x －3)≥0，解得x ≥3，或x ≤2.所以S ＝{x |x ≤2，或x ≥3}．所以S ∩T ＝{x |0<x ≤2，或x ≥3}．故选D.2．A 解析：由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2，或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p ，q 均为真命题．∴a ≤－2，或a ＝1.3．A 解析：f ′(x )＝2x ＋2sin x ，当x ∈[0,1]时f ′(x )>0.∴f (x )为增函数，所以f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，又f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25.4．D 解析：函数y ＝x 是非奇非偶函数；y ＝|sin x |和y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数．故选D.5．D 解析：由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －1为增函数，∴若函数f (x )为减函数，则f (x )＝log a u 必为减函数，因此0<a <1.又y ＝ax －1在[2,3]上恒为正，∴2a －1＞0，即a ＞12.故选D.6．B 解析：令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2， 则f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20，∴f (x )的最小值为f (2)＝－20.故m ≤－20.7．B 解析：因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m .故选B.8．A 解析：由于f (x )<xf ′(x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝f ′(x )x －f (x )x 2>0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递增函数，∴f (2)2>f (1)1，即f (2)>2f (1)．故选A.9．8 解析：由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0，且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.10．①②④ 解析：显然①正确．|log 2x 1|＝|log 2x 2|⇒－log 2x 1＝log 2x 2⇒log 2(x 1x 2)＝0⇒x 1x 2＝1，所以②正确；1222x x ＋>2＝＝2 22＝4.④正确．11.512 解析：阴影部分面积S ＝21(⎰4－x 2)d x ＝231143x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝53，∴所求概率p ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512. 12．解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 22－3x ＋52ln(2x ＋1)，x >－12. f ′(x )＝x －3＋52x ＋1＝(2x ＋1)(x －3)＋52x ＋1＝(2x －1)(x －2)2x ＋1. 令f ′(x )＝0，则x ＝12，或x ＝2.f (x )极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52ln2－118，f (x )极小＝f (2)＝52ln5－4. (2)f ′(x )＝x －(1＋2a )＋4a ＋12x ＋1＝(2x ＋1)(x －1－2a )＋4a ＋12x ＋1＝(2x －1)(x －2a )2x ＋1. 令f ′(x )＝0，则x ＝12，或x ＝2a ，(ⅰ)当2a >12，即a >14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，(2a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a ；(ⅱ)当2a ＝12，即a ＝14时，f ′(x )＝(2x －1)22x ＋1≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上恒成立，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞；(ⅲ)当－12<2a <12，即－14<a <14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，12； (ⅳ)当2a ≤－12，即a ≤－14时，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 综上所述，a ≤－14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12；－14<a <14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，12； a ＝14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞；a >14时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，(2a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2a . 13．(1)解：由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b .又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c )．所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解：由a ＝b ＝4，得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c . ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0. 解得x ＝－2，或x ＝－23.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)， x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0. 由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)证明：当Δ＝4a2－12b＜0时，即a2－3b＜0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)，此时函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增．所以f(x)不可能有三个不同零点．当Δ＝4a2－12b＝0时，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一个零点，记作x0.当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(－∞，x0)上单调递增；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在区间(x0，＋∞)上单调递增．所以f(x)不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有Δ＝4a2－12b＞0.故a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要条件．当a＝b＝4，c＝0时，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有两个不同零点，所以a2－3b＞0不是f(x)有三个不同零点的充分条件．因此a2－3b＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件．阶段检测卷(二)1．B解析：A，C为奇函数；y＝cos 2x在(0，π)上的单调性不确定．故选B.2．B解析：因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以选项A正确；当a与b 方向相反时，|a －b |≤||a |－|b ||不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2，所以选项D 正确．故选B.3．A 解析：由2AC →＋CB →＝0，得2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0.故OC →＝2OA →－OB→. 4．C 解析：由题意可得：OP ＝2，PM ⊥PN ，所以OM ＝ON ＝2；所以函数的周期为8，即ω＝π4.故选C.5．B 解析：f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，∴图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，∴图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到．函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是先增后减． 6．D 解析：设在点B 处相遇，所需时间为t 小时．在△ABC 中，∠ACB ＝120°，AC ＝10，AB ＝21t ，BC ＝9t .由余弦定理，得(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°.整理，得36t 2－9t －10＝0.解得t ＝23或－512(舍去)．故救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为23小时．7．D 解析：由图象知A ＝1，T 4＝7π12－π3⇒T ＝π，2πω＝π⇒ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝－1⇒2·7π12＋φ＝3π2＋2k π，|φ|<π2，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin(2x )的图象，所以只需将f (x )的图象向右平移π6个长度单位即可．故选D.8．D 解析：如图D173，由题意，BC→＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1；又AB→·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2ab＝2×2cos 60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误；设B ，C 中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD→，且AD →⊥BC →，而2AD →＝2a ＋(2a ＋b )＝4a ＋b ，所以(4a ＋b )⊥ΒC →.故选D.图D1739．2 解析：∵O 是BC 的中点，∴AO→＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.10．8 解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154.又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24.解方程组⎩⎨⎧ b －c ＝2，bc ＝24得⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64.所以a ＝8.11．22 解析：BC 边上的高与BC 边长相等，根据面积得12BC 2＝12AB ·AC ·sin A ，即BC 2＝AB ·AC ·sin A .AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝AC 2＋AB 2＋BC 2AB ·AC ＝BC 2＋2AB ·AC ·cos A ＋BC 2AB ·AC ＝2AB ·AC ·sin A ＋2AB ·AC ·cos AAB ·AC＝2sin A ＋2cos A ＝2 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤2 2.12．解：由题设和正弦定理，得3sin A cos C ＝2sin C cos A . 左、右同时除以cos A ，得3tan A cos C ＝2sin C . ∵tan A ＝13，∴cos C ＝2sin C ，即tan C ＝12. ∴tan B ＝tan[180°－(A ＋C )]＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1.∴B ＝135°.13．解：(1)由余弦定理及题设，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又∵0<∠B <π，∴∠B ＝π4. (2)由(1)知，∠A ＋∠C ＝3π4.2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4，因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.阶段检测卷(三)1．D2．B 解析：∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列．∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．3．A 解析：命题①显然正确；通过文氏图D174验证d (A ，C )与d (A ，B )＋d (B ，C )的关系，得命题②也成立，故选A.图D1744．B 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2a 12＝a 5a 9＝2π3. ∴cos(a 2a 12)＝cos 2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－12.5．D 解析：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.6．C 解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)×102＝30，∴a 5＋a 6＝a 1＋a 10＝6.∴a 5a 6≤a 5＋a 62＝3，a 5a 6≤9.7．B 解析：因为|a ＋1|＝|sin b |＝t ，所以(a ＋1)2＝sin 2b ＝t 2.所以a 2＋2a ＝t 2－1.故当t 确定时，t 2－1确定，所以a 2＋2a 唯一确定．故选B.8．D 解析：观察，得第n 行等式的左边有n ＋1个奇数，右边是(n ＋1)2.故选D.9．(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)．10．A 解析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：11．①②④⑥ 解析：S 6>S 7>S 5⇒a 6>0，a 7<0，a 6＋a 7>0，则a 7－a 6＝d <0①正确；S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，②正确；S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2>0，③错误；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，④正确；S 8－S 6＝a 7＋a 8<0，⑤错误；S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6>0，⑥正确． 12．解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n >1)，即a n ＝2a n －1(n >1)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)．所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)．解得a 1＝2.所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .(2)由(1)，得1a n＝12n .所以T n ＝12＋122＋123＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|<11000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n >1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n ≥10. 于是，使|T n －1|<11000成立的n 的最小值为10. 13．解：(1)当n ＝1时，得a 2＋3S 1＋2＝0.解得a 2＝4. 当n ＝2时，得a 3＋3S 2＋2＝0，S 2＝a 1＋a 2＝2. 解得a 3＝－8.(2)当n ≥2时，(a n ＋1－a n )＋3(S n －S n －1)＝0， 即(a n ＋1－a n )＋3a n ＝0，a n ＋1＝－2a n (n ≥2)．另由a 2＝－2a 1，得a n ＋1＝－2a n .所以数列{a n }是首项为－2，公比为－2的等比数列． ∴a n ＝(－2)n .(3)把a n ＝(－2)n 代入a 2n －m ·a n ＝4m ＋8中， 得(－2)2n－m ·(－2)n＝4m ＋8，即m ＝(－2)2n －8(－2)n ＋4.∴m ＝(－2)2n －16＋8(－2)n ＋4＝(－2)n－4＋8(－2)n ＋4.要使m 是整数，则需8(－2)n ＋4是整数，∴(－2)n ＋4能被8整除． 当n ＝1时，(－2)n ＋4＝2，8(－2)n ＋4＝4，此时m ＝－2；当n ＝2时，(－2)n ＋4＝8，8(－2)n ＋4＝1，此时m ＝1；当n ＝3时，(－2)n ＋4＝－4，8(－2)n ＋4＝－2，此时m ＝－14；当n ≥4，|(－2)n ＋4|≥20，8(－2)n ＋4不可能是整数．综上所述，所求满足条件的整数对有(－2,1)，(1,2)，(－14,3)． 14．解：(1)当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0.解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0.解得a 2＝16. (2)由题意知，(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1， 代入上式整理，得S n S n －1－2S n ＋1＝0. 解得S n ＝12－S n －1.由(1)得，S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23. 猜想S n ＝nn ＋1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n ＝1时，结论成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时结论成立． 由①②知，S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．阶段检测卷(四)1．A 解析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如图D175： 令z ＝－2x ＋y ⇒y ＝2x ＋z ，可知在图中A (1,1)处，z ＝－2x ＋y 取到最大值－1.故选A.图D175 图D1762．C 解析：如图D176，先画出可行域，由l ，得y ＝－32x ＋z 2.结合上图可知目标函数经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235.故选C. 3．D4．B 解析：汽车使用n 年平均费用为15＋1.5n ＋0.3n ＋n (n －1)2×0.3n＝15n ＋3n 20＋1.65≥2 15n ×3n 20＋1.65＝4.65(万元)，当且仅当15n ＝3n 20，3n 2＝300，n 2＝100，n ＝10，即n ＝10时“＝”成立，故这辆汽车报废的最佳年限为10年．5．B 解析：画出不等式的平面区域如图D177，则⎩⎨⎧x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0.得A (1,2)．则⎩⎨⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0.得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.图D1776．A 解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x ，不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 解析：如图D178，将点A (0,4)，C (1,1)分别与点B (－1,0)求斜率得最小值为12，最大值为4.图D178 图D1798.2 解析：由新定义运算知，x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，(2y )⊗x ＝(2y )2－x 22yx ＝4y 2－x 22xy ，因为x >0，y >0，x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥2 x 2·2y 22xy ＝2 2xy2xy ＝2，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是 2.9．[4,12] 解析：∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22.∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．－3<λ<1 解析：由S n ＝1＋2×12＋3×122＋…＋(n －1)·12n －2＋n ·12n －1，12S n＝1×12＋2×122＋…＋(n －1)·12n －1＋n ·12n ，两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n ·12n ＝2－n ＋22n .所以S n ＝4－n ＋22n －1，于是由不等式|λ＋1|<4－22n －1对一切n ∈N *恒成立，得|λ＋1|<2.解得－3<λ<1.11．解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱120－x －y 台，产值为z 千元，则依题意，得z ＝4x ＋3y ＋2(120－x －y )＝2x ＋y ＋240， 且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋13y ＋14(120－x －y )≤40，120－x －y ≥20，x ≥0，y ≥0.即⎩⎨⎧3x ＋y ≤120，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0.可行域如图D179.解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，得⎩⎨⎧x ＝10，y ＝90， 即M (10,90)．让目标函数表示的直线2x ＋y ＋240＝z 在可行域上平移， 可得z ＝2x ＋y ＋240在M (10,90)处取得最大值，且 z max ＝2×10＋90＋240＝350(千元)．答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元．12．解：(1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减． 当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝1x －1e x －1>0.(3)由(2)，当x >1时，g (x )>0.当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0.当0<a <12时，12a>1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎪⎫12a <f (1)＝0，从而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0. 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立． 当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x>x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>(x －1)2x 2>0.因此h (x )在区间(1，＋∞)单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.13．解：(1)f ′(x )＝m (x 2＋n )－2mx 2(x 2＋n )2＝－mx 2＋mn(x 2＋n )2.由f (x )在x ＝1处取到极值2，故f ′(1)＝0，f (1)＝2. 即⎩⎪⎨⎪⎧mn －m(1＋n )2＝0，m 1＋n ＝2，解得m ＝4，n ＝1.经检验，m ＝4，n ＝1时f (x )在x ＝1处取得极值．故f (x )＝4x x 2＋1.(2)由(1)知，f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数，且f (0)＝0. 当x ＞0时，f (x )＞0,0<f (x )＝4x ＋1x ≤2， 当且仅当x ＝1时取“＝”； 当x <0时，－2≤f (x )＝－4(－x )＋1(－x )<0，当且仅当x ＝－1时，取“＝”．故f (x )的值域为[－2,2]．从而f (x 1)＋72≥32. 依题意有g (x )最小值≤32.函数g (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.①当a ≤1时，g ′(x )＞0函数g (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为g (1)＝a ≤1<32，符合题意；②当1<a <e 时，函数g (x )在[1，a )上有g ′(x )<0，单调递减，在(a ，e]上有g ′(x )>0，单调递增，所以函数g (x )最小值为g (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1≤32，得0<a ≤ e.从而知1<a ≤e 符合题意；③当a ≥e 时，显然函数g (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为g (e)＝1＋a e ≥2>32，不符合题意．综上所述，a 的取值范围为a ≤ e.阶段检测卷(五)1．D 解析：由条件知，4－mm ＋2·(－2)＝－1，∴m ＝2. 2．D 解析：m －8＝1，或8－m ＝1，∴m ＝9，或m ＝7.故选D. 3．D 解析：双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为e ＝a 2＋3a ＝2.解得a ＝1. 4．C 解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，圆心(1,0)到直线l 的距离等于半径1，∴|1＋b |2＝1，即b 的值为－1± 2.故选C.5．D 解析：由题意得△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理，得(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1－PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2＋4ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，∴e 2－e －1＝0，。
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高三理科数学选择、填空训练题(1)一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）若复数z 满足iz 1 2i ，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（）（ A ）( 2, 1)（B）(2,1)（C）(2,1)（D）(2, 1)（ 2）已知全集U R ，集合A x 0 2x 1 ， B x log3 x 0 ，则A I C U B（）（ A）x x 0（B）x x 0（C）x 0 x 1（D）x x1（ 3）如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF ＝（）（ A ）1AB1AD（ B）23（ C）1 uuur1 uuur（ D）AB AD321 uuur1 uuurAB AD421 uuur2 uuurAB AD23（ 4）已知a n为等比数列， a4a7 2 ， a5a68 ，则 a1 a10（）（ A）7（ B）7（ C）5（ D）5（ 5）已知随机变量服从正态分布 N (1,1)，若 P(3) 0.977 ，则 P( 13)（）（ A）0.683（ B）0.853（ C）0.954（ D）0.977（ 6）已知双曲线x2y21(a0,b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a2b2c （c为双曲线的半焦3距），则双曲线的离心率为（）（ A）7（ B）3 7（C）3 7（ D）3 7 327（ 7）设S n是等差数列{ a n}的前n项和，若a69S11＝（）a5，则S911（ A）1（ B）1（ C）2（D）1 2（ 8）如图给出了计算1 1 1 1 24 L L的值的程序框图，660其中①②分别是（）（ A ） i 30 ， n n 2 （ B ） i 30 ， n n 2 （ C ） i30 ， n n 2（ D ） i30 ， n n 1（ 9 ）已知函数 f ( x) sin( x )( 0,0) 的最小正周期是，将函数f (x) 图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1) ，则函数3 f ( x) sin( x) （）（ A ）在区间 [, ] 6 3（ C ）在区间 [, ]3 6上单调递减 （B ）在区间上单调递减 （ D ）在区间[, ] 上单调递增 6 3[, ] 上单调递增 3 61 n（ 10） 若 x 6的展开式中含有常数项，则 n的最小值等于 （）x x（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6（ 11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几3何体的（）1 13正视图 （ A ）外接球的半径为（B ）表面积为73 13（ C ）体积为3（ D ）外接球的表面积为 4俯视图（ 12）已知定义在R 上的函数 y f ( x) 满足：函数 yf (x 1) 的图象关于直线 x 1 对称，且当x (,0),f (x) xf '( x)0 成立 ( f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数 ), 若 a(sin 1) f (sin 1) ，22b (ln2) f (ln 2) ，c 2 f (log 211) ,则 a, b, c 的大小关系是（）4（ A ） a b c（ B ） b a c（ C ） c a b（ D ） a c b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量8
高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2球的切、接问题题型一特殊几何体的切、接问题例1(1)已知正方体的棱长为a，则它的外接球半径为________，与它各棱都相切的球的半径为________．答案32a22a解析∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，为3a，∴它的外接球的半径为32a，∵球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，而正方体的面对角线长为2a，∴与它各棱都相切的球的半径为2 2a.(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案2 3π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面P AB，如图所示，则△P AB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB中，P A＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝2 2，故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π.思维升华 (1)正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球的半径R ＝64a ，内切球的半径r ＝612a ，其半径R ∶r ＝3∶1(a 为该正四面体的棱长)．跟踪训练1 (1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( ) A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π 答案 B解析 如图所示，设球O 的半径为R ，由球的体积公式得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r ＝2cos α， 圆柱的高为4sin α，∴圆柱的侧面积为4πcos α×4sin α＝8πsin 2α， 当且仅当α＝π4，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________． 答案9π2解析 易知AC ＝10.设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ， 所以r ＝2. 因为2r ＝4>3，所以最大球的直径2R ＝3，即R ＝32，此时球的体积V ＝43πR 3＝9π2.题型二 补形法例2 (1)在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 答案 C解析 由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2＋y 2＝3，x 2＋z 2＝5，y 2＋z 2＝4，则有(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6(R 为外接球的半径)，得2R 2＝3，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD 为矩形，CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．答案 136π解析 如图添加的三棱锥为直三棱锥E －ADF ，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF －BCE ， 因为CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1， 所以S △CBE ＝12CE ×BC ＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF －BCE 的体积为 V ＝S △EBC ·DC ＝12×2＝1，添加的三棱锥的体积为13V ＝13；如图，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连接MN ，与AE 交于点O ，因为四边形AFEB 为矩形，所以O 为AE ，MN 的中点，在直三棱柱ADF －BCE 中，CE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，即∠ECB ＝∠FDA ＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O ，连接DO ，DO 即为球的半径， 连接DM ，因为DM ＝12AF ＝22，MO ＝1，所以DO 2＝DM 2＋MO 2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4π·DO 2＝6π. 思维升华 补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解．跟踪训练2 已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.7143π B ．14π C ．56π D.14π答案 B解析 以线段P A ，PB ，PC 为相邻三条棱的长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′被平面ABC 所截的三棱锥P －ABC 符合要求，如图，长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′与三棱锥P －ABC 有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP ′，设外接球的半径为R ， 则(2R )2＝PP ′2＝P A 2＋PB 2＋PC 2 ＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S ＝4πR 2＝π·(2R )2＝14π. 题型三 定义法例3 (1)已知∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，若P A ＝AB ＝BC ＝1，则四面体P ABC 的外接球(顶点都在球面上)的体积为( ) A ．π B.3π C ．2π D.3π2答案 D解析 如图，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，由题意得P A ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB ， 所以BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，OB ＝12PC ，同理OA ＝12PC ，所以OA ＝OB ＝OC ＝12PC ，因此P ，A ，B ，C 四点在以O 为球心的球面上， 在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝3， 球O 的半径R ＝12PC ＝32，所以球的体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝3π2.延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体P －ABC 的内切球的半径为________． 答案2－12解析 设四面体P －ABC 的内切球半径为r . 由本例(1)知，S△P AC＝12P A·AC＝12×1×2＝22，S△P AB＝12P A·AB＝12×1×1＝12，S△ABC＝12AB·BC＝12×1×1＝12，S△PBC＝12PB·BC＝12×2×1＝22，V P－ABC＝13×12AB·BC·P A＝13×12×1×1×1＝16，V P－ABC＝13(S△P AC＋S△P AB＋S△ABC＋S△PBC)·r＝13⎝⎛⎭⎫22＋12＋12＋22·r＝16，∴r＝2－1 2.(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－P AD的外接球的表面积为() A．12π B．34πC．68π D．126π答案 C解析如图，由题意可知，MP⊥P A，MP⊥PD.且P A∩PD＝P，P A⊂平面P AD，PD⊂平面P AD，所以MP⊥平面P AD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得ADsin ∠APD ＝2r ，即4sin 150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －P AD 的外接球的半径为R ， 则(2R )2＝PM 2＋(2r )2，即(2R )2＝4＋64＝68，所以4R 2＝68， 所以外接球的表面积为4πR 2＝68π.思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 跟踪训练3 (1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________．答案4π3解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＝3，98＝6×34x 2h ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝12，球心到底面的距离d ＝32.∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π3.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，其中AD ＝1，AB ＝2，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为( ) A.16π3 B.76π3 C.64π3 D.19π3 答案 A解析 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ＝PD ，取AD 的中点E ，则PE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥AB ，由AD ⊥AB ，AD ∩PE ＝E ，AD ，PE ⊂平面P AD ，可知AB ⊥平面P AD ， 由△P AD 为等边三角形，E 为AD 的中点知，PE 的三等分点F (距离E 较近的三等分点)是三角形的中心，过F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心O 作平面ABCD 的垂线，两垂线交于点I ，则I 即外接球的球心． OI ＝EF ＝13PE ＝13×32＝36，AO ＝12AC ＝52，设外接球半径为R ， 则R 2＝AI 2＝AO 2＋OI 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫362＝43， 所以四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为S ＝4πR 2＝4π×43＝16π3.课时精练1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为( ) A. 3 B ．3 3 C ．3 D.13答案 C解析 设正方体的外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R ＝3，所以R ＝32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r ＝1，即r ＝12，所以R r ＝3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4πR 24πr 2＝R 2r2＝3.2．(2022·开封模拟)已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( ) A ．36π B ．48π C ．36 D ．24 2答案 A解析 设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，得2πr ＝23π3×26，解得r ＝2 2.作出圆锥的轴截面如图所示．设圆锥的高为h ， 则h ＝262－222＝4.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ，则有R ＝h －R 2＋r 2，即R ＝4－R2＋222，解得R ＝3，所以该圆锥的外接球的体积为 4πR 33＝4π×333＝36π. 3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 答案 A解析 如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，O 1为底面对角线的交点，O 为外接球的球心．V P －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ×3＝6，所以S 正方形ABCD ＝6，即AB ＝ 6. 因为O 1C ＝126＋6＝ 3.设正四棱锥外接球的半径为R ， 则OC ＝R ，OO 1＝3－R ，所以(3－R )2＋(3)2＝R 2，解得R ＝2. 所以外接球的表面积为4π×22＝16π.4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为( ) A.68π B.64π C.38π D.34π 答案 A解析 如图将棱长为1的正四面体B 1－ACD 1放入正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，且正方体的棱长为1×cos 45°＝22， 所以正方体的体对角线 AC 1＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝62， 所以正方体外接球的直径2R ＝AC 1＝62， 所以正方体外接球的体积为 43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫643＝68π， 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为68π. 5．(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A ．3π B ．4π C ．9π D ．12π 答案 B解析 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3∶1， 即AD ＝3BD ，设球的半径为R ，则4πR 33＝32π3，可得R ＝2，所以AB ＝AD ＋BD ＝4BD ＝4， 所以BD ＝1，AD ＝3，因为CD ⊥AB ，AB 为球的直径， 所以△ACD ∽△CBD ，所以AD CD ＝CDBD ，所以CD ＝AD ·BD ＝3，因此，这两个圆锥的体积之和为 13π×CD 2·(AD ＋BD )＝13π×3×4＝4π. 6．(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9 cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：6≈2.45，π≈3.14)( )A ．20 cm 3B ．22 cm 3C ．26 cm 3D ．30 cm 3答案 C解析 如图，正四面体ABCD ，其内切球O 与底面ABC 切于O 1，设正四面体棱长为a ，内切球半径为r ，连接BO 1并延长交AC 于F ，易知O 1为△ABC 的中心，点F 为边AC 的中点．易得BF ＝32a ， 则S △ABC ＝34a 2，BO 1＝23BF ＝33a ， ∴DO 1＝BD 2－BO 21＝63a ， ∴V D －ABC ＝13·S △ABC ·DO 1＝212a 3，∵V D －ABC ＝V O －ABC ＋V O －BCD ＋V O －ABD ＋V O －ACD ＝4V O －ABC ＝4×13×34a 2·r ＝33a 2r ，∴33a 2r ＝212a 3⇒r ＝612a ， ∴球O 的体积V ＝43π·⎝⎛⎭⎫612a 3＝43π·⎝⎛⎭⎫612×93＝2768π≈278×2.45×3.14≈26(cm 3)． 7．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝6，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝23，点D 为AB 的中点，过点D 作球的截面，则截面的面积不可以是( ) A.π2 B ．π C ．9π D ．13π答案 A解析 三棱锥P －ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球， ∴2R ＝62＋22＋232＝213，∴R ＝13，取BC 的中点O 1，∴O 1为△ABC 的外接圆圆心，∴OO 1⊥平面ABC ，如图． 当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ＝OO 21＋O 1D 2＝32＋32＝23，此时截面圆的半径为r ＝R 2－OD 2＝1， ∴截面面积为πr 2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR 2＝13π， 故截面面积的取值范围是[π，13π]．8．(2021·全国甲卷)已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O －ABC 的体积为( ) A.212 B.312 C.24 D.34答案 A解析 如图所示，因为AC ⊥BC ，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥平面ABC ， OO 1＝1－⎝⎛⎭⎫AB 22＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 所以三棱锥O －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212.9．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA ＝1，SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径是________． 答案 32解析 如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R ，则(2R )2＝12＋22＋22＝9， ∴4R 2＝9，R ＝32.即这个外接球的半径是32.10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________． 答案2－1解析 如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE .因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2. 所以S 三棱锥表＝3×12×23×2＋3 3＝36＋3 3. 因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝ 3.设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由13S 三棱锥表·r ＝3， 得r ＝3336＋33＝2－1.11．等腰三角形ABC 的腰AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将它沿高AD 翻折，使二面角B －AD －C 成60°，此时四面体ABCD 外接球的体积为________． 答案2873π 解析 由题意，设△BCD 所在的小圆为O 1，半径为r ，又因为二面角B －AD －C 为60°，即∠BDC ＝60°，所以△BCD 为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，2r ＝3sin 60°＝23，即DE ＝23，设外接球的半径为R ，且AD ＝4，在Rt △ADE 中，(2R )2＝AD 2＋DE 2⇒4R 2＝42＋(23)2＝28， 所以R ＝7， 所以外接球的体积为 V ＝43πR 3＝43π×(7)3＝2873π.12．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为________．答案32π3解析 设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23， ∠BAC ＝2π3，∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2，即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3，∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，即直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球半径R ＝2， ∴V 球＝43π×23＝32π3.。
2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：8-10圆锥曲线的综合问题含解析
4k 2＋1＋4课时规范练(授课提示：对应学生用书第 317 页)A 组 基础对点练x 2 y 2 31．已知点 A(0，－2)，椭圆 E ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的离心率为 2 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF2 3的斜率为 3 ，O 为坐标原点．(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．2 2 3解析：(1)设 F(c,0)，由条件知，c ＝ 3 ，得 c ＝ 3.c 3又a ＝ 2 ，所以 a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.x 2 故 E 的方程为 4 ＋y 2＝1.(2)当 l ⊥x 轴时不合题意，故设 l ：y ＝kx －2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， x 2将 y ＝kx －2 代入 4 ＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当 Δ＝16(4k 2－3)>0，3 8k ±2 4k 2－3 即 k 2>4时，x 1,2＝ 4k 2＋1.4 k2＋1· 4k 2－3 从而|PQ|＝ k 2＋1|x 1－x 2|＝ .又点 O 到直线 PQ 的距离 d ＝2， k 2＋11所以△OPQ 的面积 △S OPQ ＝2d |PQ|＝4 4k 2－3 4k 2＋1.设 4k 2－3＝t ，则 t >0， 4t 4 △SOPQ ＝t 2 ＝ 4.t ＋ t4因为 t ＋ t ≥4，当且仅当 t ＝2，c2 从而|BM|＝|1－y M |＝1＋x －02⎪.直线 PB 的方程为 y ＝ 0x x ＋1. 令 y ＝0，得 x N ＝－ x 0从而|AN |＝|2－x N |＝2＋y －1.所以|AN |·|BM|＝⎪2＋y －1⎪· ⎪1＋x －02⎪·⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4⎪ x 0y 0－x 0－2y 0＋27即 k ＝± 2 时等号成立，且满足 Δ>0，7 7所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝ 2 x －2 或 y ＝－ 2 x －2.x 2 y 2 32．(2016· 高考北京卷)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的离心率为 2 ，A(a,0)，B(0，b )，O(0,0)，△OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 P A 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴交于点 N .求证：|AN |·|BM|为定值．⎧⎪a ＝ 23，解析：(1)由题意得⎨1⎪⎩2ab ＝1，a 2＝b 2＋c 2，x 2所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设 P(x 0，y 0)，则 x 20＋4y 0＝4. 当 x 0≠0 时，直线 P A 的方程为 y ＝ y 0(x －2)．x 0－2解得 a ＝2，b ＝1.令 x ＝0，得 y M ＝－ 2y 0 x 0－2，⎪ 2y ⎪ ⎪ 0⎪y －1 0y 0－1，⎪ x 0 ⎪ ⎪ 0⎪ ⎪ x 0 ⎪ ⎪ 2y ⎪ ⎪ 0 ⎪⎪ 0 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪4x y －4x 0－8y 0＋8⎪ ⎪ x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ⎪ (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A ，B 且使得OP 2＝4P A · P B 成立？若 解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a ＝4， Δ＝32(6k ＋3)>0，∴k >－ .∵OP 2＝4P A · P B ， 3＋4k 23＋4k 2＝⎪ 0 0⎪＝4.当 x 0＝0 时，y 0＝－1，|BM|＝2，|AN |＝2，所以|AN |·|BM|＝4.综上，|AN |·|BM|为定值．x 2 y 23．已知椭圆 E ：a 2＋b 2＝1 的右焦点为 F(c,0)且 a >b >c >0，设短轴的一个端点为 D ，原点 O 到直3 → →线 DF 的距离为 2 ，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C ，G 两点，且|GF|＋|CF|＝4.(1)求椭圆 E 的方程；→ → →存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．→ →∴a ＝2.3 又原点 O 到直线 DF 的距离为 2 ，bc 3∴ a ＝ 2 ，∴bc ＝ 3，又 a 2＝b 2＋c 2＝4，a >b >c >0，∴b ＝ 3，c ＝1.x 2 y 2故椭圆 E 的方程为 4 ＋ 3 ＝1.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件．故可设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 l 的方程为 y ＝k(x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k(2k－1)x ＋16k 2－16k －8＝0，8k (2k －1)∴x 1＋x 2＝ ，16k 2－16k －8 x 1x 2＝，12→ → →即 4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5，－2× ＋4⎥·(1＋k 2)＝4× ＝5，解得 k ＝±2，3＋4k 2 3＋4k 2 ⎣ 3＋4k 28k (2k －1) ⎤ 4＋4k 2 ∵MD · ME ＝(x 1－4，y 1－4)·(x 2－4，y 2－4) ＝ 4 · 4 －4 4 ＋ 4 ⎪＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋161 2 ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即 4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，⎡16k 2－16k －8 1 ∴4 ⎢ ⎦1k ＝－2不符合题意，舍去，1∴存在满足条件的直线 l ，其方程为 y ＝2x.4．(2018· 广西柳州摸底)已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点 P(4，a)到焦点的距离为 5.(1)求该抛物线 C 的方程；(2)已知抛物线上一点 M (b,4)，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ⊥ME ，判断直线 DE是否过定点？并说明理由．解析：(1)由题意设抛物线方程为 y 2＝2px(p >0)，p其准线方程为 x ＝－2，∵P(4，a)到焦点的距离等于 P 到准线的距离，p∴4＋2＝5，∴p ＝2.∴抛物线 C 的方程为 y 2＝4x.(2)由(1)可得点 M (4,4)，可得直线 DE 的斜率不为 0，⎧x ＝my ＋t ，设直线 DE 的方程为 x ＝my ＋t ，联立⎨⎩y 2＝4x ，得 y 2－4my －4t ＝0，则 Δ＝16m 2＋16t>0.(*)设 D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t.→ →＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋16y 21 y 2 ⎛y 2 y 2⎫ ⎝ ⎭(y y )2 ＝ 16 －(y 1＋y 2)2＋3y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋32＝t 2－16m 2－12t －16m ＋32＝0，即 t 2－12t ＋32＝16m 2＋16m ，得(t －6)2＝4(2m ＋1)2，∴t －6＝±2(2m ＋1)，即 t ＝4m ＋8 或 t ＝－4m ＋4，1．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A －2，4⎪，B 2，4⎪，抛物线上的点P(x，y) －2<x<2⎪，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.x＋⎪⎩x＋ky－9k－3＝0，因为|P A|＝1＋k2 x＋2⎪＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－，所以f(k)在区间 －1，2⎪上单调递增， 2，1⎪上单调递减，242(k2＋1)1⎫代入(*)式检验知t＝4m＋8满足Δ>0，当t＝－4m＋4时，直线DE过点M，不合题意，舍去．∴直线DE的方程为x＝my＋4m＋8＝m(y＋4)＋8.∴直线过定点(8，－4)．B组能力提升练⎛11⎫⎛39⎫⎝⎭⎝⎭⎛13⎫⎝⎭(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|P A|·|PQ|的最大值．解析：(1)设直线AP的斜率为k，k＝1x2－412113＝x－2，因为－2<x<2，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．⎧⎪kx－y＋1k＋1＝0，(2)联立直线AP与BQ的方程⎨42－k2＋4k＋3解得点Q的横坐标是x Q＝.⎛1⎫⎝⎭(k－1)(k＋1)2k2＋1所以|P A|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，⎛⎛1⎫⎝⎭⎝⎭2y 0－1 －y 0－1 1－y 2011 k AB · k AC ＝ x·＝ x 2 ＝ x 2 ＝2≠4，不合题意，故直线 BC 的斜率存在．设直线 BC 的方由 k AB · k AC ＝ x · x ＝4，1＋2k 2 1 27因此当 k ＝2时，|P A |·|PQ|取得最大值16.22．已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 2 ，它的一个焦点恰好与抛物线 y 2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆 C 的方程；1(2)设椭圆的上顶点为 A ，过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB ，AC ，若直线 AB ，AC 斜率之积为4，直线 BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．x 2 y 2解析：(1)设椭圆 C 的标准方程为a 2＋b 2＝1(a >b >0)，c 2则 e ＝a ＝ 2 ，c ＝1，故 a 2＝2，b 2＝1，x 2 椭圆 C 的标准方程为 2 ＋y 2＝1.(2)由(1)知 A(0,1)，当直线 BC 的斜率不存在时，设 BC ：x ＝x 0， 设 B(x 0，y 0)，则 C(x 0，－y 0)，1x 2 0x 00 0程为 y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，① 由 Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)>0，得 2k 2－m 2＋1>0.②设 B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则 x 1，x 2 是方程①的两根，由根与系数的关系得， 4km 2(m 2－1)x 1＋x 2＝－1＋2k 2，x 1· x 2＝ ，y 1－1 y 2－1 11 2 得 4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k(m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又因为 m ≠1，所以 m＝3，此时直线 BC 的方程为 y ＝kx ＋3.所以直线 BC 恒过一定点(0,3)．由根与系数的关系，得 x p ＝ 2 ，从而 y p ＝ 2 ， ∴点 P 的坐标为 2 ， 2⎪. ＋4 y 2 x 23．(2017· 湘中名校联考)如图，曲线 C 由上半椭圆 C 1：a 2＋b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线 C 2：3y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1 与 C 2 的公共点为 A ，B ，其中 C 1 的离心率为 2 .(1)求 a ，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C 1，C 2 分别交于点 P ，Q(均异于点 A ，B)，是否存在直线 l ，使得以 PQ 为直径的圆恰好过点 A ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)在 C 1，C 2 的方程中，令 y ＝0，可得 b ＝1， 且 A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆 C 1 的左、右顶点．c 3设 C 1 的半焦距为 c ，由a ＝ 2 及 a 2－c 2＝b 2＝1，得 a ＝2，∴a ＝2，b ＝1.y 2 (2)存在．由(1)知，上半椭圆 C 1 的方程为 4 ＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y ＝k(x －1)(k ≠0)，代入 C 1 的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*)设点 P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线 l 过点 B ，∴x ＝1 是方程(*)的一个根．k 2－4 －8k ⎛k 2－4 －8k ⎫k ＋4 k ＋4 ⎝k ＋4 k ＋4⎭⎧y ＝k (x －1)，k ≠0，同理，由⎨⎩y ＝－x 2＋1，y ≤0，得点 Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k)．∵以 PQ 为直径的圆恰好过点 A ，∴AP ⊥AQ ，→ →－2k 2 ∴AP · AQ ＝0，即k 2 [k －4(k ＋2)]＝0.8∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得 k ＝－3.∴点 H 的坐标为 － ，－7⎪，y ＝ y 1y 2 x 1－2 x 2－2⎛ ⎛ y 2 ⎫ x 1－2⎪⎭，N ⎝ x 2－2⎪⎭，⎛ y (x －2)＋y 2(x 1－2)⎫ 2(x 1－2)(x 2－2) ⎭ ∴k · k ′＝4×＝ 4 × 1 2＋1 ＋1 8经检验，k ＝－3符合题意．故直线 l 的方程为 8x ＋3y －8＝0.x 2 y 24．已知焦距为 2 3的椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为 F 1，上顶点为 D ，直线 DF 1 与椭圆C 的另一个交点为 H ，且|DF 1|＝7|F 1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点 A 是椭圆 C 的右顶点，过点 B(1,0)且斜率为 k(k ≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E ，F 两点，直线 AE ，AF 分别交直线 x ＝3 于 M ，N 两点，线段 MN 的中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ′，求证：k · k ′为定值．解析：(1)∵椭圆 C 的焦距为 2 3，∴F 1(－ 3，0)，又 D(0，b )，|DF 1|＝7|F 1H|，⎛ 8 3 b ⎫ ⎝ 7 ⎭64×3 1则 49a 2 ＋49＝1，解得 a 2＝4，则 b 2＝a 2－3＝1，x 2 ∴椭圆 C 的方程为 4 ＋y 2＝1.(2)证明：根据已知可设直线 l 的方程为 y ＝k(x －1)．⎧y ＝k (x －1)，由⎨⎩x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.8k 2 4k 2－4设 E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝4k 2 ，x 1x 2＝4k 2 .直线 AE ，AF 的方程分别为(x －2)，y ＝ (x －2)，令 x ＝3，则 M 3， 3， ⎝∴P 3， 1 2⎪.⎝k k (x 1－1)(x 2－2)＋k (x 2－1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2) k 22x x －3(x 1＋x 2)＋4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋48k 2－8－24k 2＋16k 2＋4k 2 4k 2＋1＝ 4 ×4k 2－4－16k 2＋16k 2＋44k 2＋1k2－4＝4×4k21＝－4.。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
高三数学一轮复习第一次检测考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校澧县一中2021届高三一轮复习第一次检测考试数学〔理科〕试题一、选择题(一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．)1.集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，那么集合A的真子集个数为〔〕A.3B.4C.31D.32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．应选：A．【点睛】此题考察集合真子集的个数的求法，考察真子集等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．：“，〞的否认为A.,B.,C.,D.,【答案】C【解析】“〞的否认：，应选C.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，应选B.点睛：此题考察指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于根底题.，那么等于〔〕A. B. C.1D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法那么计算即可【详解】由题应选：D．【点睛】此题考察了定积分的计算，关键是求出原函数，属于根底题，f(x)=lnx+在点〔1，f〔1〕〕处的切线的倾斜角为，那么a的值是〔〕A.1B.﹣4C.﹣D.﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f〔x〕在x=1处的倾斜角为得f′〔1〕=﹣1，由此可求a的值.详解:函数〔x＞0〕的导数，∵函数f〔x〕在x=1处的倾斜角为∴f′〔1〕=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．应选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，那么以的切点的切线方程为：．假设曲线在点的切线平行于轴〔即导数不存在〕时，由切线定义知，切线方程为．6.偶函数f〔x〕在[0，+∞〕单调递增，假设f〔2〕=﹣2，那么满足f〔x﹣1〕≥﹣2的x的取值范围是〔〕A.〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕B.〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕C.[﹣1，﹣3]D.〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得假设，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，假设，即有，可得，解可得：即的取值范围是；应选：B．【点睛】此题考察函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.定义在R上的奇函数f〔x〕满足f〔x+2〕=﹣f〔x〕，假设f〔﹣1〕＞﹣2，f〔﹣7〕=，那么实数a 的取值范围为〔〕A. B.〔﹣2，1〕C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，那么又，即，即解得应选C．【点睛】此题考察函数的周期性和奇偶性的应用，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．8.假设函数f〔x〕=a x﹣a﹣x〔a＞0且a≠1〕在R上为减函数，那么函数y=log a〔|x|﹣1〕的图象可以是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，应选：C．【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.函数f〔x〕是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈〔0，〕时f〔x〕=ln〔x2﹣x+1〕，那么方程f〔x〕=0在区间[0，6]上的解的个数是〔〕A.5B.7C.9D.11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进展分析不难得到结论．【详解】∵时，令，那么，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数那么方程在区间的解有0，1，，2，3，4，，5，6一共9个应选：D．【点睛】此题考察函数零点个数的判断，考察函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题.10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，那么当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f〔x〕的图象的形状大致是图中的〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，应选：A．【点睛】此题主要考察了分段函数的图象，分段函数问题，应实在理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．∈R，函数f〔x〕满足f〔2﹣x〕=﹣f〔x〕，且当x≥1时，函数f〔x〕=lnx，假设a=f〔2〕，b=f〔log3π〕，c=f〔﹣〕那么a，b，c大小关系是〔〕A.b＞a＞cB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．应选：A．12.设函数f'〔x〕是函数f〔x〕〔x∈R〕的导函数，f'〔x〕＜f〔x〕，且f'〔x〕=f'〔4﹣x〕，f〔4〕=0，f〔2〕=1，那么使得f〔x〕﹣2e x＜0成立的x的取值范围是〔〕A.〔﹣2，+∞〕B.〔0，+∞〕C.〔1，+∞〕D.〔4，+∞〕【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设那么即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点〔的对称点〔也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是应选：B．【点睛】此题考察了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题〔一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．〕“存在x∈R，使〞，假设“非p〞_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R，4x+2x+1+m0〞，假设－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章 第五节 双曲线 Word版含解析
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·石家庄模拟)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 24y 212x 212y 24C.－＝1 D ．－＝1x 210y 26x 26y 210解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，即双曲线方程为－＝1，故选A.x 24y2122．(2018·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：－＝1(－2≤m ＜0)x 2m 2y 22m ＋6的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±x222C ．y ＝±2xD ．y ＝±x12解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.y 243．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－＝1的右焦点，Py 23是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A. B ．1312C. D ．2332解析：选D.解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，y 23因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝|PF |·|AP |＝×3×1＝.故选D.121232解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，y 23因为点A (1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，AP → PF → AP → PF →所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝|PF |·|AP |＝×3×1＝.故选D.1212324．(2018·武汉市武昌区调研考试)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＞|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则＋2e1e 22的最小值为( )A ．6B ．3C.D ．63解析：选A.设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知，2a ＝2a ′＋4c ，所以＋＝{|PF 1|＋|PF 2|＝2a|PF 1|－|PF 2|＝2a ′)2e 1e 22＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2ac c 2a ′2a ′＋4ccc 2a ′2a ′c c 2a ′2a ′时取“＝”，故选A.5．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)x 2a 2y 2b2的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若＝2，且||＝4，则双曲线C 的方程为( )BA → AF → BF →A.－＝1B ．－＝1x 26y 25x 28y 212C.－＝1 D ．－＝1x 28y 24x 24y 26解析：选D.不妨设B (0，b )，由＝2，F (c ，0)，可得A ，BA → AF →(2c 3，b 3)代入双曲线C 的方程可得×－＝1，即·＝，所以＝，49c 2a 21949a 2＋b 2a 2109b 2a 232①又||＝＝4，c 2＝a 2＋b 2，BF →b 2＋c 2所以a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线C 的方程为－＝1，故选D.x 24y 266．已知点P ，A ，B 在双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)上，直线ABx 2a 2y 2b2过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为，则双曲线的离心率为13( )A. B ．233153C ．2D ．102解析：选A.根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，P (x ，y )，所以－＝1，－＝1，x a 2y b 2x 2a 2y 2b 2两式相减得＝，即＝，因为直线PA ，PB 的斜率之x －x 2a 2y －y 2b 2y －y 2x －x 2b 2a2积为，所以k PA ·k PB ＝·＝＝＝，所以双曲线13y 1－y x 1－x －y 1－y －x 1－x y －y 2x －x 2b 2a 213的离心率为e ＝＝＝.故选A.1＋b 2a 21＋132337．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1x 2m y 23m y 2n x 2m的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为－＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3my 2－3mx 2－m－m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为＋x 2＝1，且n ＞0，y 2n椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：58．(2018·四川绵阳模拟)设F 1，F 2分别为双曲线C ：－＝1(a ＞x 2a 2y 2b 20，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为12c 2，则该双曲线的离心率为________．解析：设M ，根据矩形的性质，(x ，bax )得|MO |＝|OF 1|＝|OF 2|＝c ，即x 2＋＝c 2，(b a x )2则x ＝a ，所以M (a ，b )．因为△AMN 的面积为c 2，12所以2××a ×b ＝c 2，1212所以4a 2(c 2－a 2)＝c 4，所以e 4－4e 2＋4＝0，所以e ＝.2答案：29．设P 为双曲线x 2－＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、y 212右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－，0)，F 2(，0)，|F 1F 2|＝2.131313设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为×2|y 0|＝12.故y ＝，将P12132012213点坐标代入双曲线方程得x ＝，不妨设点P ，则＝202513(51313，121313)PF 1→ (，)，＝，可得·＝0，即－181313－121313PF 2→ (81313，－121313)PF 1→ PF 2→ PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝.π2答案：π210．(2018·河北石家庄质检)已知F 为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞x 2a 2y 2b20)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且·＝0，MF → NF →△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F ′，则MF → NF → MF → NF →由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF |·|NF |＝122ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得＝1，所以e ＝＝ ＝.b a ca1＋(b a )2 2答案：2B 级 能力提升练11．(2018·江西宜春调研)已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)x 2a 2y 2b2的焦距为2c ，直线l 过点且与双曲线C 的一条渐近线垂直，(2a3，0)以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于M ，N 两点，若|MN |＝c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )423A ．y ＝±xB ．y ＝±x 23C ．y ＝±2xD ．y ＝±4x解析：选B.由题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，设垂直ba 于直线l 的渐近线方程为y ＝x ，则直线l 的斜率k 1＝－，直线l 的b a ab 方程为y ＝－，整理可得，ax ＋by －a 2＝0，焦点(c ，0)到直a b (x －23a )23线l 的距离d ＝＝，则|MN |＝2＝2|ac －23a2|a 2＋b 2|ac －23a2|cc 2－d 2＝c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0，即e 4－c 2－(ac －23a2)2c24329e 2＋12e －4＝0，即(e －1)(e －2)(e 2＋3e －2)＝0，又双曲线的离心率e ＞1，所以e ＝＝2，所以b ＝a ，故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，c a33故选B.12．(2018·甘肃兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞x 2a 2y 2b20)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. B ．25C.D ．352解析：选A.如图，连接PF 2，QF 2.由|PQ |＝2|QF 1|，可设|QF 1|＝m ，则|PQ |＝2m ，|PF 1|＝3m ；由|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝3m －2a ；由|QF 2|－|QF 1|＝2a ，得|QF 2|＝|QF 1|＋2a ＝m ＋2a .∵点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2.由|PQ |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，得(2m )2＋(3m －2a )2＝(m ＋2a )2，解得m ＝a ，∴|PF 1|＝3m ＝4a ，|PF 2|＝3m －2a ＝432a .∵|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|F 1F 2|＝2c ，∴(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，化简得c 2＝5a 2，∴双曲线的离心率e ＝＝，故选A.c2a2513．已知双曲线E ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，x 2a 2y 2b2F 2，|F 1F 2|＝6，P 是双曲线E 右支上一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与AF 2相切于点Q .若|AQ |＝，则双曲线E 的离心率是3( )A ．2B ．35C.D ．32解析：选C.如图，设△PAF 2的内切圆与PF 2相切于点M .依题意知，|AF 1|＝|AF 2|，根据双曲线的定义，以及P 是双曲线E 右支上一点，得2a ＝|PF 1|－|PF 2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF 1|＝|AF 1|＋|PA |＝|AF 1|＋(|PM |＋|AQ |)，|PF 2|＝|PM |＋|MF 2|＝|PM |＋|QF 2|＝|PM |＋(|AF 2|－|AQ |)．所以2a ＝2|AO |＝2，即a ＝.因为|F 1F 2|＝6，所以c ＝3，所以双曲线E 的33离心率是e ＝＝＝，故选C.ca33314．(2018·江西吉安一模)已知抛物线C 1：y 2＝8ax (a ＞0)，直线l 的倾斜角是45°且过抛物线C 1的焦点，直线l 被抛物线C 1截得的线段长是16，双曲线C 2：－＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线C 1x 2a 2y 2b2的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线C 2的一条渐近线的距离是( )A ．2B ．3C.D ．12解析：选D.抛物线C 1的焦点为(2a ，0)，由弦长计算公式有＝16a ＝16，a ＝1，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝8x ，8a sin 2 45°准线方程为x ＝－2，故双曲线C 2的一个焦点坐标为(－2，0)，即c ＝2，所以b ＝＝＝，渐近线方程为y ＝±x ，直线l 的方c 2－a 222－1233程为y ＝x －2，所以点P (0，－2)，点P 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为＝1，选D.|－2|3＋115．已知双曲线－＝1，过双曲线的上焦点F 1作圆O ：x 2＋y 2y 225x 2144＝25的一条切线，切点为M ，交双曲线的下支于点N ，T 为NF 1的中点，则△MOT 的外接圆的周长为________．解析：如图，∵F 1M 为圆的切线，∴OM ⊥F 1M ，在直角三角形OMF 1中，|OM |＝5.设双曲线的下焦点为F 2，连接NF 2，∴OT 为△F 1F 2N 的中位线，∴2|OT |＝|NF 2|.设|OT |＝x ，则|NF 2|＝2x ，又|NF 1|－|NF 2|＝10，∴|NF 1|＝|NF 2|＋10＝2x ＋10，∴|TF 1|＝x ＋5.由勾股定理得|F 1M |2＝|OF 1|2－|OM |2＝132－52＝144，|F 1M |＝12，∴|MT |＝|x －7|，在直角三角形OMT 中，|OT |2－|MT |2＝|OM |2，即x 2－(x －7)2＝52，∴x ＝.又△OMT 是直角三角形，故其外接圆的直径为377|OT |＝，∴△MOT 的外接圆的周长为π.377377答案：π37716．(2018·江西上饶质检)如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝＝2x 2a 2y 2b 2ca知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，故b ＝a ，所以A (0，a )，C (0，－a )，B (－333a ，0)，F (－2a ，0)，则＝(a ，a )，＝(－2a ，a )，结合题图BA → 3CF →3可知，cos ∠BDF ＝cos 〈，〉＝＝＝.BA → CF →BA → ·CF→|BA → |·|CF → |－2a 2＋3a 22a ·7a714答案：714。
2016届高考理科数学第一轮课时作业题8
探究课一 基本初等函数与函数应用中的热点题型(建议用时：80分钟)一、选择题 1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝lg 1－x1＋xB ．y ＝x ＋1x C ．y ＝tan xD ．y ＝1x解析 对于选项B ，C ，D ，函数在定义域内是奇函数，但不是减函数． 答案 A2．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(0,1)∪(1,2]D ．(－∞，2]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≠0，2－x ≥0，又x ＞0，解得0＜x ≤2且x ≠1.答案 C3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 因为f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．因为f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，所以f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，即f (1)＋g (1)＝1. 答案 C4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，若f (a )＋f (－1)＝3，则a ＝( )A ．e B.1e C ．1 D ．e 或1e 解析 因为f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以f (a )＝3－2＝1.当a ＞0时，|ln a |＝1，解得a ＝e 或1e ； 当a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝1，无解．答案 D 5．若0＜m ＜1，则( )A ．log m (1＋m )＞log m (1－m )B ．log m (1＋m )＞0C ．1－m ＞(1＋m )2D ．(1－m )＞(1－m )解析 若0＜m ＜1，则f (x )＝log m x 在定义域内单调递减，所以log m (1＋m )＜log m (1－m )，log m (1＋m )＜log m 1＝0，选项A ，B 错误；(1＋m )2＞1＞1－m ，选项C 错误；0＜1－m ＜1，所以f (x )＝(1－m )x 在定义域内单调递减，所以(1－m )＞(1－m )，选项D 正确． 答案 D6．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A ．R B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析 指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内单调递减，而2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12.所以函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 B7．函数f (x )＝2x 2e x 的图象大致是( )解析 f ′(x )＝4x e x －2x 2e x (e x )2＝4x －2x 2e x ＝2x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，所以f (x )＝2x 2e x 在(－∞，0]，[2，＋∞)上单调递减，在[0,2]上单调递增．故选A. 答案 A8．(2015·温州联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x (x ＞0)，x 2－2x －3(x ≤0)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)当x ≤0时，f (x )＝x 2－2x －3，由f (x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.因为x ≤0，所以x ＝－1. 此时函数f (x )只有一个零点．(2)当x ＞0时，f (x )＝ln x －x 2＋2x ，令f (x )＝0，得ln x ＝x 2－2x ，如图，分别作出函数y ＝ln x 与y ＝x 2－2x (x ＞0)的图象，由图可知两个函数图象有两个交点，所以此时函数f (x )有两个零点． 综上，函数f (x )的零点有三个．故选D. 答案 D9．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3)解析 ∵偶函数f (x )的定义域为R ，在[0，＋∞)上单调递增，∴在区间(－∞，0]上，f (x )是减函数，f (－π)＝f (π)，∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)． 答案 A10．(2014·金华十校联考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析 设F (x )＝f (x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )，该函数的定义域为R . 而F (－x )＝f (－x )－1＝ln(1＋9x 2＋3x )，所以F (x )＋F (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln[(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )]＝ln 1＝0，所以函数F (x )为奇函数．又lg 12＝－lg 2，所以F (lg 2)＋F ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝F (lg 2)＋F (－lg 2)＝0，即[f (lg 2)－1]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12－1＝0，整理，得f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2.故选D.答案 D11．方程2x ＋ln 1x －1＝0的解为x 0，则x 0所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)解析 设f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数在(1,2)内没有零点． 因为f (2)＝22－ln 1＝1＞0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23，又8＝22≈2.828，所以8＞e ，故ln e ＜ln 8，即1＜12ln 8＝32ln 2，所以2＜3ln 2，即f (3)＜0. 又f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3＜0，根据零点存在性定理，可知函数f (x )在(2,3)上必存在一个零点x 0， 即方程2x ＋ln 1x －1＝0的解x 0∈(2,3)．故选B.答案 B12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且函数f (x )为奇函数．给出下列结论：①函数f (x )的最小正周期为4； ②函数f (x )的图象关于点(0,0)对称； ③函数f (x )的图象关于x ＝2对称； ④函数f (x )的最大值为f (2)． 其中一定正确的命题序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析 由f (x ＋2)＋f (x )＝0，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴其最小正周期是4；由函数f (x )为奇函数，可知函数f (x )的图象关于点(0,0)对称；函数的轴对称性、最值无法作出判断． 答案 A 二、填空题13．设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的最大值为________．解析 函数f (x )图象的对称轴x ＝－a －22，则函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－a －22上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a －22，＋∞上单调递增，所以2≤－a －22，解得a ≤－2. 答案 －214．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝1，则不等式f (x 2－x )＜f (0)的解集为________．解析 ∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝1， ∴f (0)＝0，当x ＜0时，f (x )＝－1.当x 2－x ＞0时，可得f (x 2－x )＝1＞f (0)＝0，不满足条件； 当x 2－x ＝0时，可得f (x 2－x )＝f (0)，不满足条件；当x 2－x ＜0，即0＜x ＜1时，f (x 2－x )＝－1＜f (0)＝0，满足条件．综上，可得0＜x ＜1. 答案 (0,1)15.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ， 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，解得a ＝14.综上，函数f (x )在[－1，＋∞)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤014(x －2)2－1，x ＞016．已知a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析 当a ＞1时，要使y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，12a ≤3，9a －3＞0，解得a ＞1.当0＜a ＜1时，要使y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递减，且y ＝ax 2－x ＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a ≥4，16a －4＞0，此时无解．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)17．(2014·嘉兴高三联考)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________. 解析 由题意得－log 2m ＝log 2n ，1m ＝n,0＜m ＜1，n ＞1.∵函数f (x )＝|log 2x |在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，0＜m 2＜1，n ＞1，∴f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值在端点处取得，∴|log 2m 2|＝2或log 2n ＝2.当|log 2m 2|＝2时，1m 2＝4，结合n ＝1m ，解得n ＝2，m ＝12，满足条件； 当log 2n ＝2时，n ＝4，则m ＝14，此时，f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 2 116＝4，不满足条件．综上，m ＝12，n ＝2. 答案 12 2 三、解答题18．(1)f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4，m 为何值时．①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大．(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)①∵f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， ∴方程f (x )＝0有两个相等的实根，∴Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0， ∴m ＝4或m ＝－1.②由题意，知⎩⎨⎧Δ>0，－m >－1，f (－1)>0，即⎩⎨⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0.∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )，h (x )的图象如图所示．由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为(－4,0)．19．(2014·南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x (单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F (x )为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立F (x )关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少平方米时，F (x )取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0)＝k100＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15×2 40020x＋100＋0.5x＝1 800x＋5＋0.5x(x≥0)．(2)因为F(x)＝1 800x＋5＋0.5(x＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x＋5＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5万元.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
高三理科数学第一轮小题精做检测题8
一、选择题（共6小题）1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则（ ）（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A.032=-+y xB.032=--y xC.034=--y xD.034=-+y x4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 5.【2013年全国高考新课标（I ）理科】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A 、x 245＋y 236＝1B 、x 236＋y 227＝1错误！未找到引用源。
C 、x 227＋y 218＝1D 、x 218＋y 29＝16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：)(i {}S x x f T ∈=)(；)(ii 对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A. N B N A ==*,B. {}{}1008,31≤<-==≤≤-=x x x B x x A 或C. {}R B x x A =<<=,10D. Q B Z A ==,二、填空题（共2小题）7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】在xOy 平面上，将两个半圆弧。
高三数学第一轮小题训练8理试题
平江四中12届高三数学〔理〕第一轮小题训练〔八〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
一．选择题 (每一小题５分，一共40分〕1．假设复数341i z i-=+，复数z 的一共轭复数z 等于〔 〕A ．1722i --B ．1722i -C ．1722i -+ D ．1722i + 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设4518a a =-，那么8S =〔 〕 A ．68 B ．72 C ．54 D ．903．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的选项是〔 〕A B C D 4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的选项是〔 〕 A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰ C ．120()S y y dy =-⎰ D ．1(S y y dy =⎰5．3cos()25πα+=，且3ππα∈（，）22，那么tan α=〔 〕A ．43B ．34C ．34-D ．34±6．假如命题“()p q ⌝或为假命题，那么〔 〕A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 中至少有一个为真命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题7．从2-、1-、0、1、2、3这六个数中任选3个不重复的数字作为二次函数2y ax bx c =++ 的系数a b c 、、，那么可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为〔 〕 A ．6 B ．20 C ．100 D ． 1208．O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，那么ABC ∆的面积与OAC ∆的面积之比是〔 〕 A ．32 B ．53C ．2D ．5 二、填空题〔本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分〕9．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为10、在ABC ∆中，角A B C 、、对应边分别是12a b c a b ==、、，若，，那么角A 的取值范围是 .11、04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标 轴；围成一个四边形，那么使得这个四边形面积最小的值是k12、为了理解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100名年龄为17岁~18岁的男生体重〔kg 〕，得到频率分布直方图如下。
高考数学第一轮复习测试题8 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高考理科数学第一轮复习测试题8(时间是：40分钟总分值是：60分)1．点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.假设点B的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标．解＝.设A(a，b)，那么由＝，得所以即A(－2,3)．2．(2021·调研测试)在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.解设M＝，那么＝，＝，即解得所以M＝.3．(2021·模拟)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y)．由＝，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以×＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.4．矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．解矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1，由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1.5．求矩阵的特征值及对应的特征向量．解特征多项式f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3.由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入特征方程组，得⇒x＋y＝0，可取为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由⇒x－y＝0，所以可取为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于λ1＝1的一个特征向量为，属于λ2＝3的一个特征向量为.6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，务实数a，b的值．解法一在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′.因为＝，所以点A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以点B′的坐标为(－2a，－8)．由题意，点A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.法二设P(x，y)为直线x＋y＋2＝0上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x′，y′)，那么＝，得解得因此＋＋2＝0，即(b－4)x′＋(a－1)y′＋(2ab－8)＝0.因为直线l在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：x－y＝＝.解得a＝2，b＝3.。
高考数学第一轮总复习试卷8
高考数学第一轮总复习试卷（八）综合训练第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M和集合N都是实数集R，映射f：M→N把集合M中的元素x映射到集合N中的元素，则在映射f下，象1的原象所成的集合是（）A．{-1，1} B．{3} C．{3，0} D．{3，-3}2．如果函数为减函数，那么的图象是（）3．某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4。
参加抽奖的每位顾客从0，1，…，9这十个号码中抽出六个组成一组。
如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（）A．B．C．D．4．是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上的任一点，从任一焦点向的顶角Q的外角平分线作垂线，垂足为P，点P的轨迹是曲线C的一部分，则曲线C是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．已知双曲线C：，给出下列四个命题：①双曲线C的渐近线方程是；②直线与双曲线C只有一个交点；③双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为3；④将双曲线向左平移1个单位，并向上平移2个单位可得到双曲线C。
其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④6．用一块长为a，宽为b（a>b）的矩形木板，在二面角为γ的墙角处，围出一个直三棱柱的谷仓，在下面四种设计中，容积最大的是（）7．在数列中，若，则下列各不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．8．当时，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥3 B．C．D．9．已知直线l的方程是y=2xsinθ+1（θ∈R），则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．[arctan(-2)，arctan2]B．（-∞，arctan(-2)]∪[arctan2，+∞）C．D．[0，arctan2]∪[π+arctan(-2)，π）10．三棱锥A-BCD中，，BD=BC=1，∠ADB=∠DBC=90°，AD与BC所成的角为45°，则三棱锥A-BCD的体积是（）A．B．C．D．111．设，则tan(α-2β)的值等于（）A．B．C．D．12．无穷等比数列中，，记，则等于（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．若二项式展开式中含的项是第3项，则n的值是______________。
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命题人：何跨海 班次 学号 . 姓名 .
一．选择题 (每小题５分，共40分）
1．若复数341i z i
-=+，复数z 的共轭复数z 等于（ ）
A ．172
2
i -- B ．172
2
i - C ．172
2
i -+ D ．1722
i +
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A ．68 B ．72 C ．54 D ．90 3．设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（ ）
A B C D
4．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（ ） A ．120()S x x dx =-⎰ B ．120()S x x dx =-⎰ C ．1
20()S y y dy =-⎰
D ．1
0(S y dy =-⎰
5．已知3
cos()2
5
π
α+=，且3ππ
α∈（，）
22
，则tan α=（ ） A ．
43 B ．34 C ．3
4
- D ．34
±
6．如果命题“()p q ⌝或为假命题，则（ ）
A ．p 、q 均为真命题
B ．p 、q 均为假命题
C ．p 、q 中至少有一个为真命题
D ．p 、q 中至多有一个为真命题
7．从2-、1-、0、1、2、3这六个数中任选3个不重复的数字作为二次函数2y ax bx c =++ 的系数a b c 、、，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）
A ．6
B ．20
C ．100
D ． 120
8．已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与OAC ∆的面积之比是（ ） A ．
32 B ．5
3
C ．2
D ．5
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
9．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为
10、在ABC ∆中，角A B C 、、对应边分别是12a b c a b ==、、，若，，则角
A 的取值范围是 .
11、已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标
轴；围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 12、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区 100名年龄为17岁~18岁的
男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下。
根据
下图可得这100名学生中体重在 [56.5,64.5]的
学生人数是
.
13．如右图所示为某一函数的求值程序框图。
根据框图，
如果输出的y 的值为23，那么应输入x = .
14．把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大
于另一段长度的2倍”的概率为
15、过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 和虚轴端点B 作一条直
线，若右顶点A 到直线FB
，则双曲线的离心率
e = .
9、__________ 10、__________ 11、__________ 12、__________ 13、__________ 14、__________ 15、___________ 三、解答题
16. )a R,(a cos )6
sin()6
sin()(是常数已知函数∈++-++=a x x x x f ππ
（1）求函数f (x )的最小正周期；
.,1 )(, ]2,2[)2(的值求的最大值为时若a x f x π
π-∈
（八）
答案 C B D B B C A B 9、________2
5-_ 10、______36.0___ 11、_0.32__ 12、______),4
9
[+∞____ 13、_____4
π___,3 14、___34______ 15、___)4)(2(________ 三、解答题 17、（1）π （2）2。