锐角三角形费马点的作法
三角形 几何 费马点
三角形几何费马点
费马点，又称斯泰纳点，是指在三角形中，使得三角形内任意两点到该点的距离之和最短的点。
费马点是三角形的一个重要几何概念，具有广泛应用。
在三角形中，费马点也可以被定义为使得三角形内任意两点到该点的距离之和最大的点。
费马点的求解方法有多种，其中最常用的是通过构造等边三角形来确定费马点的位置。
具体来说，可以将三角形中的每个角度构造一个等边三角形，然后将这些等边三角形连接起来，得到一个正三角形。
该正三角形的中心即为费马点。
费马点有着许多有趣的性质，例如：
1.费马点和三角形的其他重要点（重心、垂心、外心、内心）构成的四边形是一个菱形。
2.费马点到三角形三边的距离相等。
3.在任意三角形中，费马点、重心、垂心、外心、内心都在一条直线上，这条直线称为欧拉线。
通过研究费马点及其相关性质，可以深入理解三角形的几何性质，为解决三角形相关问题提供帮助。
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费马点做法依据
费马点做法依据
皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。
他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。
被誉为“业余数学家之王”。
费马，是当今常见译法，也翻译作费尔马。
80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况，但“费玛”则少见。
费尔马点：
如果存在一个点到三角形三个顶点的距离之和为最小,则这个点称为费尔马点。
证明：
情况一：当△ABC最大内角小于120°时
以C点为旋转中心，将△CDB逆时针旋转60度到△CEF 位置。
易知DB=EF，DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。
当A、D、E共线时，
∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。
情况二：当△ABC有一内角不小于120°时：
很显然此时点C就是费马点，由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时，费马点就是该内角顶点。
综上所得：我们知道,当△ABC最大内角小于120°时,F 在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。
费马点证明过程
费马点证明过程
费马点，也称为费马-托里拆利点，是在一个三角形内部的一个特殊点，从该点到三角形的三个顶点的距离之和最小。
这个点在三角形中的位置依赖于三角形的形状：在锐角三角形中，它位于三角形内部；在直角三角形中，它与直角顶点重合；在钝角三角形中，它位于三角形外部。
费马点的证明过程相对复杂，以下是其基本思路：
首先，考虑一个锐角三角形ABC。
假设P是三角形ABC内的任意一点。
不失一般性，我们可以假设角A是最小的角。
我们将三角形BPC绕点B旋转60度，使得BC与BA重合，得到新的点P'。
此时，点P'位于线段AP的延长线上。
然后，我们注意到三角形BPP'是一个等边三角形，所以BP=PP'。
因此，AP+BP+CP=AP+PP'+CP。
由于PP'+CP>PC'，我们得到AP+BP+CP>AP+PC'。
这表明，点P到三角形三个顶点的距离之和大于点A到三角形三个顶点的距离之和。
同理，我们可以证明对于三角形内的任意点P，其到三角形三个顶点的距离之和都大于点A到三角形三个顶点的距离之和。
因此，点A就是使得距离和最小的点，也就是费马点。
对于直角三角形和钝角三角形，我们可以使用类似的方法进行证明，只是旋转的角度和点的位置会有所不同。
这个证明过程利用了三角形的性质和几何变换，展示了费马点的存在性和唯一性。
同时，它也展示了数学证明中的严谨性和创造性。
三角形费马点的证明
三角形费马点的证明费马点是指在一个三角形中，使得从该点到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
现在我们来证明费马点的存在性和唯一性。
我们先来看费马点的存在性。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，我们要证明存在一个点P，使得PA + PB + PC的和最小。
假设P点不在三角形内，而在三角形的外部某个位置。
我们可以通过以下步骤来构造一个在三角形内的点P'，使得P'A + P'B + P'C 的和小于PA + PB + PC的和。
我们将三角形ABC的边AB和边AC的中垂线分别延长至点D和E。
然后，我们以D为圆心，AB的长度为半径作一个圆，以E为圆心，AC的长度为半径作一个圆。
这两个圆将会在点F相交。
现在，我们来比较两个三角形PAB和P'AF。
根据三角形的性质，我们知道P'AF的边长之和小于PAB的边长之和，即P'A + AF < PA + AB。
同理，我们可以比较三角形PAC和P'AE，以及三角形PBC和P'BF。
根据上述比较过程，我们可以得出以下结论：P'A + AF < PA + ABP'B + BF < PB + BCP'C + CE < PC + CA现在，我们将点F作为新的点P'，根据上述不等式可以得出以下结论：P'A + P'B + P'C = P'A + AF + P'B + BF + P'C + CE < PA + AB + PB + BC + PC + CA = PA + PB + PC因此，P'点满足P'A + P'B + P'C的和小于PA + PB + PC的和，这与假设矛盾。
所以，我们可以得出结论：费马点一定存在于三角形的内部。
接下来，我们来证明费马点的唯一性。
假设存在两个费马点P和Q，我们要证明P和Q重合。
三角形费马点的证明及应用
三角形费马点的证明及应用费马点是指在平面上的任意三个不共线的点A、B、C中，使得∠ABC、∠ACB 和∠BAC的三个角的和最小的点。
费马点也称为斯纳尔·费马点，他是17世纪法国数学家斯纳尔·费马所研究的最小角三个角的位置问题。
为了证明费马点的存在，我们可以利用极限的思想进行推导。
首先假设在AB上存在一个点X使得∠CAX为等腰三角形CAX的顶角。
那么我们可以构造一个角为∠XAC的等腰三角形XAC。
显然，∠BAX=∠XAC，那么由三角形外角和定理可知∠ABC+∠AXC=180度。
由于AX是由三角形外一点引出的两条射线，所以AXC>180度，所以∠ABC<∠BAC。
同理，我们可以得到两个不等式：∠BAC<∠BCA，∠BCA<∠CAB。
将这三个不等式相加得到：∠ABC+∠BAC+∠BCA<∠ABC+∠BAC+∠CAB。
即∠ABC+∠BAC+∠BCA的和是最小的三个角的和。
我们可以进一步构造一个点P，在平面上使得∠BAP=∠BCP=∠CAP，即三角形ABP、BCP和CAP是等腰三角形。
由于三个等腰三角形所形成的角APB、BPC 和CPA的和一定是最小的，所以∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定是∠APB+∠BPC+∠CPA的和的一个下界。
我们可以发现，当P点与三角形ABC的内角A,B,C重合时，三角形ABP、BCP 和CAP都是等边三角形，此时∠APB+∠BPC+∠CPA=360度。
所以，∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定小于等于360度，在平面上一定存在一个点使得∠ABC+∠BAC+∠BCA的和为最小。
这个点就是费马点。
费马点的应用非常广泛，尤其是在物理学和工程学中。
例如，在导弹的航空导航中，费马点可以确定导弹的最短飞行路径，从而最大限度地节省燃料。
在通信网络中，费马点可以确定网络中的最佳传输路径，提高信息传输的效率。
此外，费马点还可以应用于地理学领域，确定地理坐标系统的最佳布局。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
三角形的费马点问题
项目
内容费马Βιβλιοθήκη 定义在一个三角形中，使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点。
费马点性质
- 费马点是三角形内部或边界上的一个点，具体位置取决于三角形的形状。- 对于任意三角形，费马点到三个顶点的距离之和是最小的。- 在某些特定情况下（如等边三角形），费马点与三角形的重心、垂心、外心等重合。
钝角三角形
- 费马点位于三角形的外部，且位于钝角的补角所对应的边的垂直平分线上。- 通过构造以钝角顶点为顶点的两个等腰三角形（腰长等于原三角形的钝角两边），然后连接这两个等腰三角形的底边中点，得到的交点（在三角形外部）即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这两个等腰三角形的腰长之和减去钝角两边之差（或加上它们的和，但通常我们关注的是减去的情况，因为费马点是使距离和最小的点）。
锐角三角形
- 费马点位于三角形的内部。- 通过构造等边三角形（以原三角形的每一边为底边向外作等边三角形），然后连接这些等边三角形的顶点，得到的交点即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这三个等边三角形的高之和。
直角三角形
- 费马点位于斜边的中点上（对于直角而言，该点也是直角三角形的重心和垂心）。- 费马点到直角顶点的距离等于斜边的一半，到另外两个顶点的距离之和等于斜边的另一半加上直角边之差（或和，取决于具体直角三角形的边长关系）。
特殊情况
- 对于等边三角形，费马点与重心、垂心、外心等重合，位于三角形的中心。- 对于等腰三角形，费马点位于底边的垂直平分线上，且到两个底边顶点的距离相等。
三角形费马点的证明
三角形费马点的证明费马点是指平面上的一个点，它到三角形的三个顶点的距离之和最小。
这个问题最早由法国数学家费马在17世纪提出，并且给出了一个简洁而美观的证明。
我们先来看一个特殊的情况，当三角形是等边三角形时，费马点就是三角形的重心。
重心是指三角形三条中线的交点，它到三个顶点的距离之和是最小的。
这个结论是很容易证明的，因为等边三角形的三个顶点到重心的距离都是相等的，所以它们的距离之和一定是最小的。
然而，当三角形不是等边三角形时，费马点的位置就不那么容易确定了。
我们可以通过以下步骤来证明费马点的存在，并且给出一个简单的构造方法。
我们将三角形的一条边延长，然后以这条边为直径画一个圆。
然后，我们再以另外两条边的延长线为切线，将圆与两条延长线相切于点A和点B。
接下来，我们连接点A和点B，并将这条线段的中点记为点C。
根据切线定理，我们知道切线与半径的垂线相互垂直。
所以，线段AC和线段BC与圆的切点A和B相互垂直。
而根据垂线定理，垂线的长度最短，所以线段AC和线段BC是与圆相切的两条线段中最短的。
现在我们来证明一下，点C就是三角形费马点的位置。
假设点C不是费马点，而是另外一个点D。
那么，三角形的三个顶点A、B和D 之间的距离之和一定小于三角形的三个顶点A、B和C之间的距离之和。
我们可以通过以下步骤来证明这一点。
首先，连接点A和点D，并延长线段AD，将圆与延长线段相交于点E。
然后，连接点B和点D，并延长线段BD，将圆与延长线段相交于点F。
现在我们来比较一下线段AE、线段CF和线段BC的长度。
根据切线定理，线段AE和线段BD是最短的。
而线段CF是线段AE和线段BD 的一条中线，根据中线定理，线段CF的长度一定小于等于线段AE 和线段BD的长度。
所以，线段CF的长度一定小于等于线段BC的长度。
同样的道理，我们可以比较一下线段BF、线段DE和线段AC的长度。
根据切线定理，线段BF和线段DE是最短的。
而线段AC是线段BF 和线段DE的一条中线，根据中线定理，线段AC的长度一定小于等于线段BF和线段DE的长度。
三角形的费尔马点
三角形的费尔马点（求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值）2012-05-26 22:38:43| 分类：默认分类|字号订阅三角形的费尔马点在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。
如果一个物体或系统当所处的位置，使它的势能是最小，那么这点就是它的平衡位置。
”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。
首先用铁线作和原三角形同大小的三角形，在每个顶点放上一个滑轮。
每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。
假定吊物体另外一端的线都绑在一起，这结点称为 P 。
现在让重物重挂下来，这结点最初会移动，可是过一会儿它就不动了，这时正是整个系统处于平衡状态。
这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。
为什么会如此呢？假定三角形与地面的距离是 h 。
滑轮 A ， B ， C 挂的重物与地面距离分别为 a ， b ， c 。
绑重物的所有绳子长是 t 。
现在令整个系统的重心是 G ，并且距离地面是 r 。
则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= （ 3m ）· rr=(a+b+c)/3在平衡位置时，重心最靠近地面，因为这样它的势能才是最小，因此此时 a+b+c 也是最小。
吊在滑轮下的绳子共长（ h-a ） + （ h-b ） + （ h-c ）即 3h- （ a+b+c ）。
因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于： * s=t-[3h- （ a+b+c ） ]= （ t-3h ） + （ a+b+c ）。
t-3h 是一个固定数， s 的长最小当且仅当 a+b+c是最* 小。
因此只有在系统平衡时，结点的位置必须是“费马点，才能使到 a+b+c 为最小。
你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。
现在在铁三角形里的结点 P 受到三个相等的拉力拉。
从物理学我们知道：“平面三力成平衡，那么三力线或者平行，或者交于一点。
三角形的费马点公式
三角形的费马点公式费马点是指平面上与三个给定点之间的距离之和最小的点。
在三角形中，费马点是指与三个顶点之间的距离之和最小的点。
费马点的位置可以用费马点公式来计算。
假设有一个三角形ABC，其中A、B、C分别为三个顶点。
我们需要找到一个点P，使得AP + BP + CP的值最小。
这个点P就是费马点。
费马点公式可以用三个步骤来计算：步骤一：将三角形ABC的三个顶点A、B、C连接起来，得到三个边AB、BC和CA。
在三角形外部，以边AB为直径画一个圆，记为O1；以边BC为直径画一个圆，记为O2；以边CA为直径画一个圆，记为O3。
步骤二：找到O1、O2和O3的两两交点，分别记为D、E和F。
这个交点D就是费马点。
步骤三：将费马点D连接到三个顶点A、B和C，得到线段AD、BD和CD。
这三条线段就是费马点到三个顶点的最短路径。
费马点公式的推导过程非常复杂，涉及到数学中的优化问题和最小路径问题。
但是我们可以通过图形直观地理解费马点的概念和计算方法。
费马点的特点是，它到三个顶点的距离之和是最小的。
这也意味着，费马点是三个顶点所对应的三个角的角平分线的交点。
换句话说，费马点是使得三个角的角平分线之和最小的点。
费马点在几何学和物理学中有广泛的应用。
在建筑设计中，费马点被用来确定最佳位置，以最小化建筑物与周围环境的距离。
在交通规划中，费马点被用来确定最佳交通节点，以最小化行程时间和交通拥堵。
在电信网络中，费马点被用来确定最佳信号传输路径，以最大化网络效率。
费马点公式是计算三角形中费马点位置的数学公式。
费马点是使得三个顶点之间的距离之和最小的点。
费马点的计算可以通过将三个顶点与圆的交点相连来实现。
费马点在几何学和物理学中有重要的应用。
它可以用来确定最佳位置、最佳交通节点和最佳信号传输路径，以优化各种问题的解决方案。
费马点的两证明方法
费马点的两证明方法费马点是指一个三角形内的一点，满足从该点出发，到三角形的三个顶点的线段之和最小。
费马点也可以称为斯托纳点或费马点。
下面将介绍两种费马点的证明方法。
方法一：使用垂线定理来证明费马点证明费马点的方法之一是使用垂线定理。
垂线定理指出，从一个点到与一条直线垂直的两点的距离之和最小。
因此，通过构造以费马点为顶点的两条垂线，可以证明费马点的存在性。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
首先，将边AB、BC和CA的中垂线分别延长，分别延长到点D、E和F上。
根据垂线定理，可以知道P到BC的中垂线所在直线的距离最小，因此P和D应当重合。
同样地，P也应当重合于E和F。
这样，可以得到三条线段PD、PE和PF的和是最小的。
接下来，我们需要证明PD、PE和PF相交于一个点。
如果三条线段的和最小，那么它们应当相交在一个点上。
假设线段PD和PE相交于点G，线段PD和PF相交于点H。
那么，根据三角形的性质，可以知道三角形PGC是等边三角形，三角形PHB也是等边三角形。
因此，G和H应当重合于转角C和B，即点G、H、B、C是共线的。
同样地，可以得到点G、H、C、A也是共线的。
因此，可以得知P应当在直线AC和BC所在的延长线上。
综上所述，我们证明了费马点存在于直线AC和BC所在的延长线的交点上。
方法二：使用无理数几何证明费马点证明费马点的第二种方法是使用无理数几何。
无理数几何是一种集合代数学的分支，它研究的是实数域上的代数无理数几何结构。
假设ABC是一个三角形，P是费马点。
为了证明费马点的存在性，我们首先需要构造一个与费马点相对的点Q。
点Q应当满足条件：∠AQB=∠CQB=120°，即角AQB和角CQB都应当等于120°。
接下来，我们需要证明三角形AQB是等边三角形。
为了证明这一点，我们可以使用割线定理。
割线定理指出，如果一个凸多边形的每两个相邻顶点之间的距离形成一个无理数序列，那么该多边形就是等边多边形。
费马点问题（含答案）
费马点问题（含答案）费马点的问题定义：数学上称，到三⾓形3个顶点距离之和最⼩的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三⾓形有⼀个⾓⼤于或等于120°，这个⾓的顶点就是费马点；2. 如果3个⾓均⼩于120°，则在三⾓形部对3边⾓均为120°的点，是三⾓形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯⼀的。
我们称这⼀结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩。
2．费马点连接三顶点所成的三夹⾓皆为120°。
3．费马点为三⾓形中能量最低点。
4．三⼒平衡时三⼒夹⾓皆为120°，所以费马点是三⼒平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三⾓形。
求证：GA+GB+GH最⼩证明：∵△ABH是等边三⾓形。
G是其重⼼。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上⽅作等边三⾓形△DBH.以HG为边向右上⽅作等边三⾓形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴A、G、P三点⼀线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三⾓形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点⼀线。
∴AG=GP=PD,且同在⼀条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三⾓形到三个顶点的距离之和最⼩的哪⼀点，费马点。
也就是重⼼。
例2：已知：△ABC是等腰三⾓形，G是三⾓形⼀点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最⼩证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三⾓形。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BCP 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE，则这个正方形边长为____________．PEDCBAABCPAB CPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABCP A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BCP是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】．（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE，则这个正方形边长为____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋＋2x)2＝2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′E FP′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABCP A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12A ＋2PB＋PC )，将△APCC 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
三角形的费马点
三角形的费马点
费马点是指在平面上给定一些点，费马点是这些点到达的其他点距离之和最短的点。
对于一个三角形来说，费马点就是使得三个顶点与费马点的距离之和最小的点。
在一个三角形中，费马点即为三条角平分线的交点，它也被称为费马点、斯坦纳点，或者直角三角形中的乌尔什拉斯点。
以一个三角形ABC为例，设费马点为P。
费马点满足三个角度相等的条件，即∠APB = ∠BPC = ∠CPA = θ。
在三角形ABC中，任意取一点P，可以得到AP、BP、CP与∠APB、∠BPC、∠CPA的关系：
1.根据三角形内角和定理，有∠APB + ∠BPC + ∠CPA = 180°。
2.根据正弦定理，有AP/sin(∠APB) = BP/sin(∠BPC) =
CP/sin(∠CPA)。
由于AP + BP + CP是常数，求解使得AB + BC + CA最小的点P，等价于求解使得AP + BP + CP最小的点P。
因此可以通过构造三个角等于θ的角平分线，找到这个最小值。
通过计算三个角度相等的角平分线的交点，即可确定费马点的位置。
这个点既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，它到三角形的各个顶点的距离之和是最小的。
费马点问题(含答案)
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵ AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴ A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵ HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴ G、P、D三点一线。
∴ AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
锐角三角形费马点的作法
一道竞赛题，在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA+PB+PC最短并证明
（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.设锐角△ABC。
线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明)。
下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。
（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短)。
====)AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。
（注：以上仅供你参考。
）
若点P为锐角三角形ABC的费马点，且角ABC=60度，PA=3，PC=4，则PB的值为
从而BP^2=AP*CP，即BP=2√3。
三角形的费马点式方程
三角形的费马点式方程
费马点是指在三角形内部，到三个顶点的距离之和最小的点。
设三角
形的三个顶点分别为A、B、C，费马点为P，我们需要求解点P的坐标。
费马点的坐标可以通过费马原理求解。
费马原理是指在给定的两点A
和B之间找一个点P，使得PA+PB的长度最短。
我们可以利用费马原理求
解费马点的坐标。
假设三角形的边长分别为a、b、c，我们需要求解的点P的坐标为(x,y)。
设PA=d1、PB=d2和PC=d3、费马原理要求PA+PB+PC的长度最小，即d1+d2+d3的长度最小。
根据三角形的余弦定理，可以得到以下关系式：
- d1^2 = x^2 + y^2 - 2xy·cos(A)
- d2^2 = (a-x)^2 + y^2 - 2(a-x)y·cos(B)
- d3^2 = (b-x)^2 + (c-y)^2 - 2(b-x)(c-y)·cos(C)
其中，A、B、C分别为三角形的角度。
根据费马原理，d1+d2+d3最小，即要使得d1^2+d2^2+d3^2最小。
我们可以利用最小二乘法来求解上述方程。
将d1^2+d2^2+d3^2作为
目标函数，对x和y求导，并令导数为0，可以得到关于x和y的方程。
经过一系列的计算和化简，可以得到以下费马点的式方程：
x=(a^2+b^2-c^2)/(2a)
y=(b^2+c^2-a^2)/(2c)
其中，a、b、c分别为三角形的边长。
这就是三角形的费马点的式方程。
根据这个方程，我们可以计算出给定三角形的费马点的坐标。
尺规作图费马点
何为费马点？某平面上有一三角形ABC，在该平面上有一点P，使得PA+PB+PC
之和最小的点P，叫做三角形ABC的费马点。
费马点有如下一条重要性质：若三角形的三个角都小于120°，那么∠APB＝∠BPC＝∠CPA；若其中有一个角大于120°，那么该角的顶点就是费马点。
利用上面这条性质，可以用尺规作图的方法找出费马点。
方法如下：
㈠判断：先用尺规作出120°的角
⑴ 取定圆心O，用任意半径长度画一圆，过圆心作出直径交圆于A、B
⑵ 在圆上取一点C，连接AC、BC，则∠ACB＝90°
⑶ 以A（或B）为圆心，AO（或BO）为半径画弧交圆于D，则∠DBA（或∠DAB）＝30°
⑷ 将上述两角相加即为120°
⑸ 用已画的角与三角形的内角比较，若有大于120°的则该角顶点为费马点。
㈡若三内角均小于120°，那么任取一边（设为a）向外作正三角形（设外顶点为M）
㈢作出该正三角形的外接圆圆心，画出外接圆
㈣把边a所对的顶点与点M连结起来，交圆于P
那么点P就是该三角形的费马点。
证明:
去掉作图的痕迹，得到下面这个图。
△BCD为等边三角形，∠BDC＝60°，那么∠BPC＝120°，∠BPD＝∠BCD＝60°，则∠APB＝120°，故∠APC＝120°，所以P是△ABC的费马点。
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一道竞赛题，在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA+PB+PC最短并证明
（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.设锐角△ABC。
线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明)。
下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。
（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短)。
====)AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。
（注：以上仅供你参考。
）
若点P为锐角三角形ABC的费马点，且角ABC=60度，PA=3，PC=4，则PB的值为
从而BP^2=AP*CP，即BP=2√3。