旋转第二篇：两个等腰直角三角形
中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析
中考数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及解析一、全等三角形双等腰旋转1．如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，BAC a ∠=，点P 是线段AB 的中点，将线段PC 绕点P 顺时针旋转α得到PD ，连接BD ．（1）如图2，若60α=︒，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD 和BC 之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）（2）如图3，若90α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系，并说明理由．（3）如图4，若120α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系为______．答案：（1）图形见详解，BC=AB=2BD ；（2）BC=BD+BP ，理由见详解；（3）BC =BD+BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可解析：（1）图形见详解，BC =AB =2BD ；（2）BC =BD 2BP ，理由见详解；（3）BC =BD 3BP【分析】（1）先补全图形，再连接CD ，可得CPD △是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可得到结论；（2）取BC 的中点F ，连接PF ，推出BPF △是等腰直角三角形，从而得BF 2BP ，再证≌，进而即可求解；明BDP FCP≌，可得BD=CF，从而得3PF=3BP=BF，进而即可得到结论．（3）由BDP FCP【详解】解：（1）补全图形如下：BC=2BD，理由如下：连接CD，∵线段PC绕点P顺时针旋转 =60°得到PD，∴CP=DP，∠CPD=60°，∴CPD△是等边三角形，∴∠CDP=∠DCP=60°，∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，∠ACB=30°，∴ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=12∴∠BCD=60°-30°=30°，∴BC平分∠PCD，∴BC是PD的垂直平分线，∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；（2）取BC的中点F，连接PF，∵∠A=90°，AB=AC，∴ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，△是等腰直角三角形，∴BPF∴BF2BP，BP=PF，∵∠DPC=∠BPF=90°，∴∠BPD=∠FPC，又∵PD =PC ，∴BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵BC =BF +FC ， ∴BC =BD +2BP ；（3）由第（2）题可知：BDP FCP ≌，∴BD =CF ，∵∠BAC =∠DPC =120°，PF ∥AC ，PF =12AC ， 又∵BP =12AB ，AB =AC ， ∴3PF =3BP =BF ，∴BC =BF +CF =BD +3BP ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．2．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．【分析】（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把绕点解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △∴DAE 90BAC ∠=∠=︒∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠∴D CAE BA ∠=∠∵BA=CA ，AD=AE∴ABD ACE ≅∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD∵ACB 45B ∠=∠=︒∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD故答案为：CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）如图②，把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABG ，连接DG ，则ACE ABG ≅∴AG=AE ，BG=CE ，ABG ACF 45∠=∠=︒∵BAC 90∠=︒，GAE 90∠=︒∴GAD DAE 45∠=∠=︒ 在ADG 和ADE 中，AG AE GAD DAE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADG ADE ≅∴ED=GD∵GBD 90∠=︒ ∴222BD BG DG +=即222BD EC DE +=（3）如图③，把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，∴AEC AFB ≅∴AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒∵CAB 120∠=︒，AB=AC∴ABC ACB ABF 30∠=∠=∠=︒∴FBD 60∠=︒∵EAF 120∠=︒，EAD 60∠=︒∴DAE DAF 60∠=∠=︒，且AF=AE ，AD=AD∴ADE ADF ≅∴DF=DE∵以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形∴以BD 、DF 、BF 为边的三角形是直角三角形∴BDF 是直角三角形若BDF 90∠=︒，且FBD 60∠=︒ ∴BF=2BD=EC ，DF 3BD DE == ∵()BC BD DE EC BD 2BD 33333BD BD =++=++=+=+∴BD 1=∴DE 3=∴BE BD DE 13=+=+若BFD 90∠=︒，且FBD 60∠=︒∴BD=2BF=2EC ，DF 3BF DE ==∵()BC BD DE EC 2BF BF 33333BF BF =++=++=+=+∴BF 1=∴BD=2，DE 3=∴BE 23=+【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．3．如图1，已知ABC 和EFC 都是等边三角形，且点E 在线段AB 上．（1）过点E 作//EG BC 交AC 于点G ，试判断AEG △的形状并说明理由；（2）求证：//BF AC ；（3）如图2，若点D 在射线CA 上，且ED EC =，求证：AB AD BF =+．答案：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根解析：（1）AEG △是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得60BAC ABC ACB ==︒=∠∠∠，再根据平行线的性质可得60AEG ABC ∠=∠=︒，然后根据等边三角形的判定即可得；（2）先根据等边三角形的性质可得,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=︒，从而可得ACE BCF ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBF CAE ∠=∠=︒，从而可得CBF ACB ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证；（3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAE EB AE F BF ∠=∠=，再根据等腰三角形的性质可得D ACE ∠=∠，从而可得D BCF ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理可得BEF BCF D ∠=∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得AD BE =，据此根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】（1）AEG △是等边三角形，理由如下：如图，过点E 作//EG BC 交AC 于点G ， ABC 是等边三角形，60BAC ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，60AEG ABC ∴∠=∠=︒， ∴AEG 是等边三角形；（2）ABC 和EFC 是等边三角形，,,60AC BC CE CF ACB ECF ==∠=∠=∴︒，ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠，即ACE BCF ∠=∠，在ACE △和BCF △中，AC BC ACE BCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCF SAS ∴≅，60CBF CAE ∴∠=∠=︒，CBF ACB ∴∠=∠，//BF AC ∴；（3）由（2）知，//BF AC ，ACE BCF ≅，DAE EBF ∴∠=∠，AE BF =，ED EC =，D ACE ∴∠=∠，由（2）已证：ACE BCF ∠=∠，D BCF ∴∠=∠， ABC 和EFC 是等边三角形，60ABC EFC ∠∴∠==︒，在BEF 中，180120BEF EBC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， 在BCF △中，180120BCF EFC CBF BFE CBF BFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-∠-∠， BEF BCF D ∴∠=∠=∠，在ADE 和BEF 中，DAE EBF D BEF AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE BEF AAS ∴≅，AD BE ∴=，AB BE AE AD BF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键．4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，90DAE ∠=︒，AD AE =.（1）如果AB AC =，90BAC ∠=︒.①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为_____________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由. （2）如图3，如果AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，点D 在线段BC 上运动。
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析
中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另一等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现.本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图1,已知ACB ?和ECD ?都是等腰直角三角形，90,ACB ECD D ∠=∠=°为AB 边上一点.(1)求证: ACE BCD ;(2)求证: 2222CD AD DB =+.分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶点进行旋转时，必会出现全等三角形，此题第(1)问运用“通性”直接证明全等.第(2)问借助第(1)问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2.如图2，在四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结,,,AG BG CG DG ，且AGD BGC ∠=∠.(1)求证: AD BC =;(2)求证: AGD EGF ??:;(3)如图3，若,AD BC 所在直线互相垂直，求AD EF的值.分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔细分析条件可以发现，DGC ?和AGB ?均为等腰三角形，当四边形ABCD 中AD BC ⊥时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第(1)问利用垂直平分线性质直接证全等;第(2)问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如图4, ,A B 分别在射线,OM ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段,OA OB 为斜边向MON ∠外侧作等腰直角三角形，分别是,OAP OBQ ??，点,,C D E 分别是,,OA OB AB 的中点.(1)求证: PCE EDQ ;(2)延长,PC QD 交于点R .①如图5，若150MON ∠=°，求证:ABR ?为等边三角形;②如图6，若ARB PEQ ??:，求MON ∠的大小和AB PQ的值.分析本题中两等腰直角三角形OAP ?与OBQ ?中的一底角顶点O 重合，通过OAP ?绕点O 旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC )过度，利用线段中垂线证线段相等;第(2)②问，需要对(2)①问逆向思考，通过证PE EQ ⊥这一中间环节，得出PEQ ?与ARB ?为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形Rt ABC ?和Rt CEF ?,90ABC CEF ∠=∠=°，连结,AF M 是AF 的中点，连结,MB ME .(1)如图7，当CB 与CE 在同一直线上时，求证: //MB CF ;(2)如图7，若,2CB a CE a ==，求BM ,ME 的长;(3)如图8，当45BCE ∠=°时，求证: BM ME =.分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第(1)问利用这个性质结合M 点为中点直接证全等;(2)问在(1)问的基础上，证明BEM ?为等腰直角三角形;第(3)问研究在CEF ?绕点C 旋转45°时，BME ?的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9，在Rt ABC ?中，90,BAC AB AD ∠=°=，点D 是AC 的中点，将一块等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与,A D 重合，连结,BE EC .试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角ADE ?的底角顶点A 与等腰直角ABD ?的直角顶点A 重合，借助BAE EDC 证明BEC ?为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形ADE ?与BEC ?旋转问题的逆问题.例6 如图10 , ABC ?和ACD ?是两个等腰直角三角形，90ACB ADC ∠=∠=°，延长DA 至点E ，使AE AD =，连结,,EB EC BD .(1)求证: BDA BEA ;(2)若BC =BE 的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直.第(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第(2)问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例7如图11，在等腰直角ABC ?中，90,ACB CO AB ∠=°⊥于点O ，点,D E 分别在边,AC BC 上，且AD CE =,连结DE 交CO 于点P ，给出以上结论:①DOE ?是等腰直角三角形;②CDE COE ∠=∠;③1AC =，则四边形CEOD 的面积为14; ④22222AD BE OP DP PE +?=?. 其中所有正确结论正确的序号是 .分析本题表面上看，是一个等腰直角三角形通过作出斜边上的高探究相关结论的问题，实质上是等腰直角DOE ?的直角顶点O 在等腰直角ABC ?斜边中点O 处的结论探究问题.对于选项④利用“四点共圆”，并借助“共角共边的母子”相似三角形，能起到事半攻倍的效果，五、一底角顶点和一底边中点重合的两个等腰直角三角形例8 如图12，等腰直角三角形ABC ?和ODE ?，点O 为BC 中点，90,BAC ODE OD ∠=∠=°交BA 于,M OE 交AC 于N ，试求,,BM NM NA 的关系，并说明理由.分析 DOE ?绕等腰直角ABC ?的底边中点O 旋转，在图12~图14三种情况中，对应的线段和差关系分别是,BM MN NA MN BM NA =+=+.此时DOE ?为等腰直角三角形并不是必备条件，本质上45MON ∠=°才是这一模型的必备条件，其基本的解题途径是，构造共直角顶点的两个等腰直角三角形，通过截长补短解决线段的和差问题.等腰直角三角形底边中点具有独特的性质，以双等腰直角三角形为背景的几何图形，常常具有中点(隐含中点)这一条件，并且图形中常常包含全等三角形，发现其中的全等三角形往往是解题的突破口，而基本的辅助线便是借助中点构造新的等腰直角三角形.。
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
4、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都Байду номын сангаас等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
2、如图， 和 都是等边三角形， ，试说明： （综合全等和勾股定理）
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD。其中正确的有（）
（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：① ；② ；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（1）如图1，若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H．求证： ．
A 3个B 4个C 5个D 6个
等腰直角三角形
等腰直角三角形等腰直角三角形是指一个三角形的两条边相等，并且其中一个角度为90度。
它是几何学中的常见图形，具有一些独特的性质和特点。
下面将从不同的角度来探究等腰直角三角形的性质和应用。
首先，我们可以从等腰直角三角形的定义开始讨论。
等腰直角三角形由两条长度相等的边和一个90度的直角所构成。
根据直角三角形的性质，直角的两边相互垂直。
而等腰直角三角形的两条边又相等，因此我们可以得出结论：在等腰直角三角形中，直角的两边相互垂直且相等。
其次，等腰直角三角形还满足勾股定理。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
由于等腰直角三角形的两个直角边相等，那么我们可以得出：等腰直角三角形的直角边的平方等于等腰直角三角形斜边的平方的一半。
这一性质可以方便地用于解决一些与等腰直角三角形有关的问题。
在几何学中，等腰直角三角形的性质具有广泛的应用。
首先，等腰直角三角形被广泛应用于建筑和工程中的测量和布局。
在建筑设计中，往往需要根据一些特定的角度和尺寸来进行设计，而等腰直角三角形正好满足这些要求。
例如，在设计房屋的墙面、地面和天花板时，常常需要考虑到直角和相等的边。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们准确地测量和布局，确保建筑物的结构和比例符合要求。
此外，等腰直角三角形还在数学中有着重要的地位。
它是许多其他几何形状的基础，例如正方形和长方形。
等腰直角三角形的性质可以帮助我们理解和推导这些几何形状的性质和定理。
例如，我们可以通过将一个等腰直角三角形分成两个直角三角形，来证明正方形的对角线相等。
这种推理和证明方法在数学中起着重要的作用，有助于培养逻辑思维和推理能力。
此外，等腰直角三角形还有一些有趣的性质。
例如，等腰直角三角形的两个直角边的长度不一定是整数，也可能是无理数。
这一性质在数学中有着重要的地位，与勾股定理和平方根的概念有关。
等腰直角三角形还可以通过平移和旋转等变换产生其他形状，例如正方形和正五边形。
这种变换性质在几何学中起着重要的作用，有助于研究和理解不同形状之间的关系。
人教版八年级数学专题复习 两个等腰直角三角形共点专题
两个等腰直角三角形共点专题共锐角顶点直角开口方向相反基本方法：△EDB中与△ABC不共顶点B的那条线段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底边BC的另一个点C处的CF。
典型例题同侧型：连接DC(不共顶点的两个底角点的连线)，M是中点，求EM,AM的大小关系.方法：平移DE到CF，或倍长EM到MF思路:证明△AEB≌△AFC关键:证明∠ABE=∠ACF方法：∵DE⊥BE∴CG⊥BG∴∠ABE=∠ACF回头看：1.△ABC和△AEF是共直角顶点旋转2.四边形GBCA是共斜边的两个直角三角形共圆（外垂直）对侧型：四边形ABGC对角互补，共圆推广：两个等腰三角形，顶角互补也可以平移，或中线倍长提高．如图，在等腰Rt△ABC 与等腰Rt△DBE 中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE 在AB 边上,取AE 的中点F,CD 的中点G,连结GF.（1）FG 与DC 的位置关系是 ,FG 与DC 的数量关系是 ；（2）若将△BDE 绕B 点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.两个方法：已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN正方形逆向15、请阅读下列材料问题：如图，在正方形ABCD 和平行四边形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC 。
探究：当PG 与PC 的夹角为多少度时，平行四边形BEFG 是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG 是矩形；然后延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案。
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题。
（1）求证：四边形BEFG 是矩形；（2）PG 与PC 的夹角为多少度时？四边形BEFG 是正方形，请说明理由。
14、正方形ABCD 和正方形CEFG ，M 为AF 的中点，连接MD 、ME ．⑴如图①，B 、C 、G 依次在同一条直线上，求证：△MDE 等腰直角三角形；⑵如图②，将正方形CEFG 绕顶点C 旋转45°．使B 、C 、F 依次在同一条直线上，则△MDE 的形状是 ⑶如图③、将正方形CEFG 任意旋转，设∠DC E=α°，猜想△MDE 的形状？写出你的结论并给予证明． 反开口，两个中点变一个中点再找关系19.如图，△ABO 与△CDO 均为等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M 为BD 的中点，MN⊥AC，试探究MN 与AC 的数量关系，并说明理由。
两个等腰直角三角形旋转2教学文稿
两个等腰直角三角形旋转2已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF．∴DF=CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4，∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=∴线段CF的长为．【点评】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．。
等腰直角三角形旋转
等腰直角三角形旋转————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- 3 - / 4旋转的等腰直角三角形【变式典型题】原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？【练习】1．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ． （1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ∆≅∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．A D E BM CA D EBC ADE BM C BM C A DEA DE BMC AD EBMC ADEB MC AO (G)E B D CFl图1ACBM 图2NE DACBM 图3NED- 4 - / 42．（1）如图1，若点P 为正方形ABCD 边上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ．求证：BE DH ⊥．（2）如图2，将正方形AEFP 逆时针旋转，使点P 落在正方形ABCD 内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．在ABC ∆中，AD 是中线，O 为AD 的中点，直线l 过O 点，过A 、B 、C 三点分别作直线l 的垂线，垂足分别为G 、E 、F ，当直线l 绕O 点旋转到与AD 垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG ．当直线l 绕O 点旋转到与AD 不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE 、CF 、AG 又是怎样的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明．思考题：把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角形ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：︒<<︒900α），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设x BH =，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的165？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．作 业 完成时间：30分钟1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理．2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何分．4、如图所示的一块空地，︒=∠=∠90B A ，AE ∥BC ，AB ∥CD ，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙长最短），将这块地分成面积相等的两块．思考题：如何把任意四边形面积两等分？AC E G(O)B F 图1AC G(O) BF图2 KHA E F HB C D P 图1AE F H B C DP 图2AOEBDl图2 A CD EBN M图1·A BDC。
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)
等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华）1、图（D中，C点为线段AB上一点，△ACM, ZkCBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2） C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3） C点为线段AB外一点，AACM, △CBN是等边三角形，AN与BM相等吗？说明理由.2、如图（1）所示，点C为线段AB上一点，AACM、4CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E, 直线BM、CN交于点F.（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90° ,其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形, 并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由.3、如图，已知^幽是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D,使得4CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ZkCMN是等边三角形.（根据△ACDgZkBCE,得出 AD=BE, AM=BN；又△AMCgZkBNC,可得 CM=CN, ZACM=ZBCN,证明NNCM=ZACB=60°即可证明△CMN是等边三角形;）1、（锦州）如图A, /XABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C,连接AF 和BE. （1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图A中的4CEF绕点C旋转一定的角度，得到图B, （1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的4ABC 绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立.（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A,大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C,则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF二BE.2、如图，AA。
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。
本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。
现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。
在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。
通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。
人教版八年级数学专题复习 两个等腰直角三角形共点专题
人教版八年级数学专题复习两个等腰直角三角形共点专题本文介绍了两个等腰直角三角形共点的相关知识和解题方法。
基本方法：对于两个等腰直角三角形，如果它们共点，但顶点直角开口方向相反，可以通过平移其中一个三角形，使它们的底边重合，从而进行相关问题的求解。
典型例题：考虑同侧型问题，如图所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF中，连接DC，M是中点，求EM,AM的大小关系。
我们可以将DE平移到CF，或者将EM倍长到MF，然后证明△XXX≌△AFC，关键在于证明∠ABE=∠ACF。
由于DE⊥BE，CG⊥XXX，因此有∠ABE=∠ACF。
这样就可以得到EM=MF，AM=MC，即EM=AM/2.对于对侧型问题，如图所示，在两个等腰直角三角形ABC和AEF中，顶角互补，我们可以将AE平移到BC，或者将中线AF倍长到BC，从而进行相关问题的求解。
提高：考虑如图所示，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DBE中，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF。
我们需要探究FG与DC的位置关系和数量关系，以及△BDE绕B点逆时针旋转180°时，(1)中的结论是否仍然成立。
首先可以证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以得到FG与DC垂直且FG=DC/2.当且仅当FG=EF时，平行四边形BEFG是正方形，即△BDE绕B点逆时针旋转180°时，(1)中的结论仍然成立。
最后，我们还介绍了一个关于正方形的问题：如图所示，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG、PC。
我们需要探究当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形。
我们可以先证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以得到PG与PC的夹角为60°时，平行四边形BEFG是正方形。
专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ． 则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】 由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ， 即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒， 根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论： 如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。
等腰直角三角形的概念
等腰直角三角形1. 概念定义等腰直角三角形是指一个三角形的两个边长度相等，并且其中一个角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，对称轴是斜边的中线，也就是说斜边将这个三角形分成了两个完全相同的部分。
2. 重要性等腰直角三角形在几何学中具有重要的地位和作用。
它具有独特的性质和特点，被广泛应用于各个领域。
2.1 基础几何学在基础几何学中，等腰直角三角形是最简单且最常见的一类三角形。
通过研究等腰直角三角形，我们可以掌握很多基本的几何性质和定理，例如勾股定理、正弦定理、余弦定理等。
这些定理不仅适用于等腰直角三角形本身，还可以推广到其他类型的三角形中。
2.2 测量和计算在实际测量和计算中，等腰直角三角形具有简单明了的性质，使得我们可以利用这些性质进行各种测量和计算。
例如，当我们知道一个等腰直角三角形的斜边长度和其中一个直角边的长度时，可以通过勾股定理快速计算出另外一个直角边的长度。
这在建筑设计、工程测量等领域中具有重要意义。
2.3 几何推理和证明等腰直角三角形也是几何推理和证明中常用的基本形状之一。
通过利用等腰直角三角形的性质，我们可以进行各种几何推理和证明。
例如，当我们需要证明两条线段相等时，可以构造一个等腰直角三角形来辅助证明。
3. 关键性质3.1 边长关系在等腰直角三角形中，两个直角边（也就是两条相等的边）记为a，斜边（也就是最长的一条边）记为c。
根据勾股定理可得：a^2 + a^2 = c2，即2a2 = c^2。
进一步求解可得：c = a√2。
3.2 角度关系在等腰直角三角形中，除了一个90度的直角外，另外两个锐角相等且为45度。
这是因为对称轴将等腰直角三角形分成了两个完全相同的部分，所以每个部分的锐角都是45度。
3.3 对称性等腰直角三角形具有对称性。
通过对称轴，我们可以将等腰直角三角形的一个部分映射到另外一个部分。
这种对称性在几何推理和证明中经常被利用。
4. 应用4.1 测量和计算在实际测量和计算中，等腰直角三角形被广泛应用。
双等腰直角三角形旋转问题
双等腰直角三角形旋转问题《双等腰直角三角形旋转的奇妙世界》我觉得数学里有好多特别神奇的东西，就像双等腰直角三角形旋转这个问题，可有趣啦。
咱们先来说说等腰直角三角形是啥样的吧。
等腰直角三角形呀，就像是一个规规矩矩的小角落，它有两条边是一样长的，就像两个小伙伴手拉手一样，然后还有一个直角呢，这个直角就像是一个站岗的小士兵，站得笔直笔直的。
我每次看到等腰直角三角形，就感觉它特别对称，特别好看。
那两个等腰直角三角形凑在一起，再让它们旋转起来，那就更不得了啦。
想象一下，有两个这样的三角形，它们就像两个小舞者。
当我们开始让它们旋转的时候，就好像是一场独特的舞蹈表演开始了。
我和我的同桌有一次讨论这个双等腰直角三角形旋转的事儿呢。
我跟他说：“你看啊，这两个三角形一转，肯定会有好多特别的情况。
”我的同桌一开始还不太明白，他就说：“这有啥特别的呀，不就是两个三角形在转嘛。
”我急得直跺脚，我说：“你可不能这么想呀。
你想啊，如果把这两个等腰直角三角形看作是两个小机器人，它们在旋转的过程中，肯定会有一些特定的位置关系，就像小机器人在执行特定的任务一样。
”我又接着给他讲：“你看，当其中一个等腰直角三角形绕着某个点旋转的时候，它和另外一个等腰直角三角形的边呀，角呀，就会产生各种各样的联系。
比如说，它们的斜边可能会在某个时候重合，这就像是两条小路突然合并成了一条大路一样神奇。
”我的同桌好像有点开窍了，他眼睛亮了起来，说：“哦，我好像有点懂了，那它们的直角边呢？”我兴奋地说：“直角边就更有趣啦。
有时候，一个三角形的直角边会和另一个三角形的直角边平行，这就像两根铁轨一样，整整齐齐的。
”在这个双等腰直角三角形旋转的过程中，我们还可以发现很多和面积有关的事情呢。
我在做数学题的时候就发现，当它们旋转到特定的角度时，所形成的图形的面积会有一些奇妙的变化。
这就好比是搭积木，不同的搭法会有不同的占地面积一样。
你要是问我怎么发现的，那可真是费了我不少脑细胞呢。
初二数学全等三角形双等腰旋转知识点总结及解析
初二数学全等三角形双等腰旋转知识点总结及解析一、全等三角形双等腰旋转1．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为线段AB 上一点，线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒能与线段CE 重合，点F 为AC 与BE 的交点．（1）若52BC =，42CE =，求线段BD 的长；（2）猜想BD 与AF 的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）设36CA DA ==，点M 在线段CD 上运动，点N 在线段CA 上运动，运动过程中，DN MN +的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．答案：（1），（2）BD=2FA ，证明见解析（3）．【分析】（1）由,可求AC ，再根据，求出AD 即可；（2）延长BA 至M,使AM=AB ，连接ME 、MC ，证ME=BD 即可；（3）作点D 关于AC 的对称 解析：（1）57-2）BD=2FA ，证明见解析（3610 【分析】（1）由52BC =可求AC ，再根据42CE =AD 即可；（2）延长BA 至M,使AM=AB ，连接ME 、MC ，证ME=BD 即可；（3）作点D 关于AC 的对称点G ，过点G 作CD 的垂线，垂足为H ，交AC 于点K ，连接AG ，求出GH 即可．【详解】解：（1）由旋转可知，42CE CD ==∠DCE=90°，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，52BC =∴5AB AC ==，∠ABC=45°，∴2222(42)57AD CD AC =-=-=∴57BD =（2）BD 与AF 的数量关系是：BD=2FA ，证明：延长BA 至M,使AM=AB ，连接ME 、MC ，∵90BAC ∠=︒，∴BC=MC ，∴∠CBA=∠CMA=45°，∴∠ACM=90°，∵∠DCE=90°，∴∠BCD=∠MCE ，∵CD CE =，∴△BCD ≌△MCE ，∴BD=EM ，∠CME=∠CBD=45°，∴∠EMA=90°，∴AF ∥EM ，∴EM=2AF ，即BD=2AF ；（3）作点D 关于AC 的对称点G ，过点G 作CD 的垂线，垂足为H ，交AC 于点K ，连接AG ，由作图可知，当M 、N 与H 、K 重合时，MN+DN 最小，∵∠BAC=90°，∴D 、A 、G 在一条直线上，∵36CA DA ==，∴DA=2，由对称可知，DG=4，∵∠ACD+∠ADC=90°，∠G+∠ADC=90°，∴∠G=∠ACD ，∵tan ∠ACD=13AD AC =， ∴tanG=13DH GH =， 设DH=x ，GH=3x ， 222(3)4x x +=，∵x>0，解得x=105, ∴GH=6105，∴最小值为6105．【点睛】本题考查了全等三角形，三角函数，勾股定理，中位线等知识，解题关键是恰当的作辅助线，构造全等三角形或最短路径．2．在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以BC 为斜边作直角三角形BCP ，连接OP ．（1）如图所示，易证：2CP BP OP =+；（2）当点P 的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP 、BP 、OP 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．答案：（1）见解析；（2）第二幅图：，第三幅图：【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明，得到是等腰直角三角形，所以有，从而证得；（2）第二幅图的证解析：（1）见解析；（2）第二幅图：2BP CP OP =+，第三幅图：2BP CP OP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有2PE OP =，从而证得2CP CE PE BP OP =+=；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得2BP CP OP =+；第三幅图的结论是2BP CP OP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，90BOC ∠=°，∵BP CP ⊥，∴90BOC BPC ∠=∠=︒，∵OFC PFB ∠=∠，∴OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()OCE OBP SAS ≅，∴OE OP =，COE BOP ∠=∠，∵BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∴90EOP BOC ∠=∠=︒，∴EOP △是等腰直角三角形， ∴2PE OP =，∴2CP CE PE BP OP =+=；（2）第二幅图：2BP CP OP =+， 第三幅图：2BP CP OP +=， 证明第二幅图的结论：如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∴2EP OP =，∴2BP BE EP CP OP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形， ∴2EP OP =， ∵EP EB BP CP BP =+=+， ∴2OP CP BP =+．【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．3．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，15AD =，6DM =．（1）在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长；（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90︒，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D处，即1290D AD ︒∠=，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ︒∠=，2202CD =，求2BD 的长． 答案：（1）①21或9；②或；（2）【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然不能为直角．当为直角时，根据，计算即可，当时，根据，计算即可． （2）连接．首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的解析：（1）①21或9；②321或329；（2）252【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可．（2）连接1CD ．首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可．【详解】解：（1）①由题意可得：21AM AD DM =+=，或9AM AD DM =-=．②显然MAD ∠不能为直角．当AMD ∠为直角时，22222156189AM AD DM =-=-=，321AM ∴=或321-（舍弃）．当90ADM ∠=︒时，22222156261AM AD DM =+=+=，293AM ∴=或932-（舍弃）．综上所述，满足条件的AM 的值为321或329．（2）如图2中，连接1CD ．由题意：1290D AD ∠=︒，1215AD AD ==，2145AD D ∴∠=︒，12152D D =2135AD C ∠=︒，2190CD D ∴∠=︒，()()22221212202152252CD CD D D ∴=+=+=，1290BAC D AD ∠=∠=︒，2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠，21BAD CAD ∴∠=∠，AB AC =，21AD AD =，21()BAD CAD SAS ∴∆≅∆，21252BD CD ∴==．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．答案：（1）见解析；（2）BE=CD ，理由见解析；（3）EF= ．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥解析：（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF 3105【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．5．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝12AD，OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．答案：（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；（2）如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明解析：（1）见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；（2）如图2中，结论：OH=12AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；【详解】（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．∴OC＝OD，OA＝OB在△AOD 与△BOC 中OA OB AOD BOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC （SAS ）∴∠ADO ＝∠BCO ，∠OAD ＝∠OBC ，BC ＝AD∵点H 是BC 的中点，∠AOB ＝90°∴OH ＝HB ＝12BC ∴∠OBH ＝∠HOB ＝∠OAD ，OH ＝12AD ∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°∴∠ADO ＋∠BOH ＝90°∴OH ⊥AD（2）（1）中结论成立；如图，延长OH 到E ，使得HE ＝OH ，连接BE ，CE∵CH ＝BH∴四边形BOCE 是平行四边形∴BE ＝OC ，EB ∥OC ，OH ＝12OE ∴∠EBO ＋∠COB ＝180°∵∠COB ＋∠BOD ＝90°，∠BOD ＋∠1＝90°∴∠1＝∠COB∵∠AOD ＋∠1＝180°∴∠AOD ＝∠EBO∴△BEO ≌△ODA∴∠EOB ＝∠DAO ，OE ＝AD∴OH ＝12AD ∴∠DAO ＋∠AOH ＝∠EOB ＋∠AOH ＝90°∴OH ⊥AD【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.6．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP<PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．答案：（1）①详见解析；②DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG-DF=DP【解析】【分析】（1）①根据矩形性质证△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD为等腰直解析：（1）①详见解析；2；（2）不成立，数量关系式应为：DG-2【解析】【分析】（1）①根据矩形性质证△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，根据直角三角形性质可得2DP；（2）过点P作PH⊥PD 交射线DA于点H，得到△HPD为等腰直角三角形，证△HPG≌△DPF，得HG=DF，DH=DG-HG=DG-DF，2DP．【详解】（1）①∵由矩形性质得∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵PHG PDF PH PDGPH FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=2DP ，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=2DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=2DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG-DF=2DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，2DP，∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵GPH FPDGHP FDP PH PD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG-HG=DG-DF，∴2DP．【点睛】考核知识点：矩形性质的运用,等腰直角三角形.综合运用全等三角形判定和等腰直角三角形性质是关键.7．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=12 BC．[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．答案：（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相解析：（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）5 2或72．【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；应用：如图3，过点A 作AH ⊥BP 于点H ，连接AP ，过A 作AD 垂直于AP ，交PB 于点D ，可得△APC ≌△ADB ，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH ⊥DP ，即可得点A 到BP 的距离；同理如图4，过点A 作AH ⊥BP 于点H ，连接AP ，将△APC 绕点A 顺时针旋转90度到△ADB ，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A 到BP 的距离．【详解】解：发现：（1）证明：∵AH ⊥BC ，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC ．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B ，在△ABH 和△CAH 中，CAH B AHC BHA AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABH ≌△CAH ．（AAS ）．∴BH=AH ，AH=CH ．∴AH=12BC ． 拓展：∠DCE 的度数为90°，线段AH 、CD 、CE 之间的数量关系为：CE+2AH=CD ，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC ，∵AD=AE ，AB=AC ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴∠ABD=∠ACE ，∵AB =AC ，∠BAC =90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D 、B 、C 三点共线，∴DB+BC=CD ，∵DB=CE ，AH=12BC ， ∴CE+2AH=CD ．应用：点A 到BP 的距离为：52或72．如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BP-BD=6-1=5，∵AH⊥DP，∴AH=12DP=52；如图4，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH=12DP=72．综上所述：点A到BP的距离为：52或72．本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．8．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．答案：（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BC解析：（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠B=∠ACE ．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∵∠ACE+∠ACB=β，∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∵DAE BAC ∠=∠，∴DAB EAC ∠=∠，在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△ADB AEC(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．9．在Rt △ABC 中,AB=AC,D 为BC 边上一点(不与点B,C 重合),将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE.(1)连接EC ，如图①，试探索线段BC ，CD ，CE 之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2)连接DE ，如图②，求证：BD 2+CD 2=2AD 2(3)如图③,在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=13，CD=1，则AD 的长为 ▲ .(直接写出答案）答案：（1）BC=DC+EC ，理由见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据本题中的条件证出△BAD ≌△CAE （SAS ）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.（2）由（1）中的条件可得∠ 解析：（1）BC=DC+EC ，理由见解析；（2）见解析；（36【分析】（1）根据本题中的条件证出△BAD ≌△CAE （SAS ）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果. （2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE 2+CD 2=ED 2,可推出BD 2+CD 2=2ED ,再根据勾股定理可得出结果.（3）作AE ⊥AD,使AE=AD ，连接CE,DE,可推出△BAD ≌△CAE （SAS ）,所以13再根据勾股定理求得DE.【详解】解：（1）结论：BC=DC+EC理由：如图①中,∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE,在△BAD 和△CAE 中,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）;∴BD=CE,∴BC=BD+CD=EC+CD,即：BC=DC+EC.（2）BD 2+CD 2=2AD 2,理由如下：连接CE,由（1）得，△BAD ≌△CAE,∴BD=CE ，∠ACE=∠B,∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,∴CE 2+CD 2=ED 2,即：BD 2+CD 2=ED 2;在Rt △ADE 中,AD 2+AE 2=ED 2,又AD=AE,∴ED 2=2AD 2;∴BD 2+CD 2=2AD 2; （3）AD 的长为6(学生直接写出答案）.作AE ⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD 与△CAE 中,AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE.∴△BAD≌△CAE（SAS）,∴BD=CE=13,∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,∴∠EDC=90°,∴DE2=CE2-CD2=（13）2-12=12,∴DE=23,∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,∴AD=6.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．（1）当点D在线段BC上运动时，①求证：BD=CE；②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．答案：（1）①见解析；②四边形ADCE的面积不变；（2）当点D在线段BC 上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE【分析】（1）①根据等腰解析：（1）①见解析；②四边形ADCE的面积不变；（2）当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，从而得出∠BAD=∠CAE，然后利用SAS即可证出△BAD≌△CAE，从而得出BD=CE；②根据直角三角形的面积公式即可求出S△ABC，然后根据全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，然后根据S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC和等量代换即可得出结论；（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）①中证全等的方法和全等三角形的性质即可推出结论．【详解】解：（1）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD ＋∠DAC=90°，∠CAE ＋∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE∴BD=CE ；②∵已知Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴S △ABC =12AB·AC=2 ∵△BAD ≌△CAE∴S △BAD =S △CAE ∴S 四边形ADCE =S △CAE ＋S △ADC =S △BAD ＋S △ADC = S △ABC =2∴四边形ADCE 的面积不变；（2）当点D 在线段BC 上时，如下图所示由（1）①的结论知BD=CE∴CB=BD ＋CD= CE ＋CD ；当点D 在点C 右侧时，如下图所示∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD －∠DAC=90°，∠CAE －∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE∴BD=CE∴CB=BD －CD= CE －CD ；当点D 在点B 左侧时，如下图所示∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠DAC －90°，∠CAE=∠DAC － 90°∴∠BAD=∠CAE在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE∴BD=CE∴CB= CD －BD = CD －CE ．综上所述：当点D 在线段BC 上时，CB=CE ＋CD ；当点D 在点C 右侧时，CB = CE －CD ；当点D 在点B 左侧时，CB= CD －CE ．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、分类讨论的数学思想和三角形的面积公式是解决此题的关键．二、全等三角形手拉手模型11．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E ，A ，D 在同一条直线上），发现BE =DG 且BE ⊥DG ．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE =DG 吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG 和菱形ABCD ，将菱形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG 与∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE =DG 仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，AE =4，AB =8，将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转（如图3），连接DE ，BG ．小组发现：在旋转过程中， BG 2+DE 2是定值，请求出这个定值．解析：（1）见解析；（2）当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；理由见解析；（3）22260BG DE +=．【分析】（1）根据四边形ABCD 和AEFG 是正方形的性质证明△EAB ≌△GAD 即可；（2）根据菱形AEFG 和菱形ABCD 的性质以及角的和差证明△EAB ≌△GAD 即可说明当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立；（3）如图：连接EB ，BD ,设BE 和GD 相交于点H ，先根据四边形AEFG 和ABCD 为矩形的性质说明△EAB ∽△GAD ，再根据相似的性质得到90GHE EAC ︒∠=∠=，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形∴AB =AD ，90DAB ︒∠=∵四边形AEFG 为正方形∴AE =AG ，90EAG ︒∠=∴EAB GAD ∠=∠在△EAB 和△GAD 中有：AE AG EAB GAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAB ≌△GAD∴BE =DG ；(2)当∠EAG =∠BAD 时，BE =DG 成立。
两个等腰直角三角形旋转2
已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF．∴DF=CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4，∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=∴线段CF的长为．【点评】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．。
两个等腰直角三角形旋转2
已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF，∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF，同理得：∠CFE=2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF=CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∵AD=DE，∴AD=GB，∵AC=BC，∴AC﹣AD=BC﹣GB，∴DC=GC．∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF=GF．∴DF=CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．∴∠AED=∠ABC=45°，∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF=BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED=HB，∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4，∵AD=1，∴ED=BH=1，∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH=，∴DF=，∴CF=∴线段CF的长为．【点评】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．。
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旋转试题篇：抓基本图形，看变化
接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。
如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。
不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。
图甲图乙
在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况：
情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示：
情况②：一边在△ABC上，如图2所示：
情况③：两边都在△ABC外，如图3所示：
图1图2图3
这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。
请看题：
一、对接情况①的常考题。
【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。
填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为；
⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。
【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
二、对接情况②的常考题。
【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF；
⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF;
⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。
【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；
③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。
三、对接情况③的常考题。
【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。
（1）试说明：△ADC≌△ABE；
（2）判断CD与BE有怎样的位置关系；
（3）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由。
【例6】在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一个动点（不与B,C重合）。
以AD为边作正方形ADEF，连接CF。
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出线段CF,BC,CD的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变。
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
2，对角线AE,DF相交于点O，连接OC，求OC的长度。
②若正方形ADEF的边长为2
上面只是部分常考试题，由于篇幅原因，这里不再放题。
接下来，我们看看这些图的变化。
我们来看看线段AD的长度变化，是否可以产生新的题型出来。
若将△ADE的边AD变长，使得长度大于BC的一半，小于AB，如图甲，这时，在△ADE旋转的过程中，就会出现一个新的特殊位置，如图乙：
图甲图乙
四、这个新的特殊位置，又成试题命制的一个好图，请看题：
【题7】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，△ADE的顶点D在BC上，若BD=2，CD=8。
求：（1）AD的长；（2）三角形重合部分的面积；（3）你能找出图中相似的三角形吗？
【题8】如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，AD=AE，F为斜边BC上一点，∠EFN＝90°，BF：FC=3:4，四边形AEFD的面积为25，求△ABC的面积。
若把【题8】的点D移动BC的中点，则产生了【题9】：
【题9】如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点，以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC 交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．
若把题【9】的条件改一改呢？则产生了【题10】。
【题10】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点。
（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证，△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
由于篇幅原因，不再放题。
下一篇会继续讲这些图的变化。
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