a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(
a ，准线方程是：a
x 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(
a ，准线方程是：a
x 41
-=． 典型例题二
例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线
斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．
解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x
y kx y 82
2可得：04)84(22=++-x k x k ．
∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28
422
21=+=+∴
k
k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．
解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22
212
188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即
2
121218
y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，
4
48
-=
∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．
典型例题三
例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12
MM AB =，
则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作
l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：
BF BB AF AA ==11,
在直角梯形A A BB 11中：
AB BF AF BB AA MM 2
1
)(21)(21111=+=+=
AB MM 2
1
1=
∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
典型例题四
例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．
解：（1）由⎩⎨⎧+==k
x y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x
设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4
,12
2121k x x k x x =⋅-=+
[][]
)
21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴
53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高55
65
392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即
5
5
6124022
20=
+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）
． 典型例题五
例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．
分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，
l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可． 证明：如图所示，连结PA 、PN 、NB ．
由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形PABN 为菱形．即有PN PA =．
..l PN l AB ⊥∴⊥
则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．
典型例题六
例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条
焦点弦，F 为C 的焦点，求证：
p F P F
P 2
1121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．
证法一：)0,2(p
F ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P F
P 2
111121=+=+∴
．
