反馈系统的传递函数

一个反馈控制系统在工作过程中，一般会受到两类信号的作用，统称外作用。

一类是有用信号或称输入信号、给定值、指令等，用)(t r 表示。

通常)(t r 是加在控制系统的输入端，也就是系统的输入端；另一类则是扰动，或称干扰)(t n ，而干扰
)(t n ，可以出现在系统的任何位置，但通常，最主要的干扰信号是作用在被控对象
上的扰动，例如电动机的负载扰动等。

一、系统的开环传递函数
系统反馈量与误差信号的比值，称为闭环系统的开环传递函数，
二、系统的闭环传递函数
1、输入信号)(s R 作用下的闭环传递函数
令0)(=s D ，这时图1可简化成图2(a)。

输出)(s C 对输入)(s R 之间的传递函数，称输入作用下的闭环传递函数，简称闭环传递函数，用)(s Φ表示。

而输出的拉氏变换式为
2、干扰)(s D 作用下的闭环传递函数
同样，令0)(=s R ，结构图1可简化为图3(a)。

以)(s D 作为输入，)(s C 为在扰动作用下的输出，它们之间的传递函数，用)(s n Φ表示，称为扰动作用下的闭环传递函数，简称干扰传递函数。

系统在扰动作用下所引起的输出为
三、系统的误差传递函数
系统的误差信号为)(s E ,误差传递函数也分为给定信号作用下的误差传递函数和扰动信号作用下的传递函数。

前者表征系统输出跟随输入信号的能力，后者反映系统抗扰动的能力。

1、输入信号)(s R 作用下的误差传递函数
为了分析系统信号的变化规律，寻求偏差信号与输入之间的关系，将结构图简化为如图2)(b 。

列写出输入)(s R 与输出)(s ε之间的传递函数，称为控制作用下偏差传递函数。

用表示。

)()()()()()
()()(2
1s H s G s H s G s G s E s B s G K ===)()()(21s G s G s G =)()(1)
()()()(1)()()()()(2121s H s G s G s H s G s G s G s G s R s C s +=
+==
Φ)()
()()(1)()()(2121s R s H s G s G s G s G s C +=)
()(1)()()()(1)()()
()(2212s H s G s G s H s G s G s G s N s C s n +=
+==
Φ)
()
()()(1)
()(212s N s H s G s G s G s C +=
)
()()(s R s s εΦε=
2、干扰)(s D 作用下的误差传递函数
同理，干扰作用下的偏差传递函数，称干扰偏差传递函数。

用)(s n εΦ表示。

以)(s N 作为输入，)(s ε作为输出的结构图，如图3)(b 。

显然，系统在同时受)(s R 和)(s D 作用下，系统总输出，根据线性系统的叠加原理，应为各外作用分别引起的输出的总和，将给定作用和扰动作用相加，即为总输出的变换式
式中，如果系统中的参数设置，能满足1)()()(21>>s H s G s G 及1)()(1>>s H s G ,则系统总输出表达式可近似为
上式表明,采用反馈控制的系统,适当地选配元、部件的结构参数，系统就具有很强的抑制干扰的能力。

同时，系统的输出只取决于反馈通路传递函数及输入信号，而与前向通路传递函数几乎无关。

特别是当1)(=s H 时，即系统为单位反馈时，)()(s R s C ≈，
表明系统几乎实现了对输入信号的完全复现，即获得较高的工作精度。

同理，得系统总的偏差为
)()()()(s N s R s s n e εΦΦε+=
将上式推导的四种传递函数表达式进行比较，可以看出两个特点
（1）它们的分母完全相同，均为)]()()(1[21s H s G s G +，其中)()()(21s H s G s G 称为开环传递函数。

所谓开环传递函数，是指在图2-48所示典型的结构图中，将)(s H 的输出断开，亦即断开系统主反馈回路，这时从输入)(s R （或)(s ε）到)(s B 之间的传递函数。

（2）它们的分子各不相同，且与其前向通路的传递函数有关。

因此，闭环传递函数的分子随着外作用的作用点和输出量的引出点不同而不同。

显然，同一个外作用加在系统不同的位置上，对系统运动的影响是不同的。

例题：
求图4所示系统的 。

解：1、输入信号)(s R 作用下，系统结构图简化为图5.
)
()()(1)()()
()
()(212s H s G s G s H s G s N s s n +-=
=
εΦε)
()
()()(1)
()()()()(1)()()(2122121s N s H s G s G s G s R s H s G s G s G s G s C +++=
)()
(1
)(s R s H s C ≈
)()()()(s D s C s R s C ，)()((s))()(-1)
()()()
()(-1)()(1)()(-1)
()()
()
(3212221322212221s H s G G s H s G s G s G s H s H s G s G s G s H s G s G s G s R s C +=
+=
2、扰动信号)(s D 作用下，系统结构图简化为图6.
图1 闭环控制系统的典型结构图
图2 给定作用时的系统结构图
图3 扰动作用时的系统结构图
图4 闭环控制系统的典型结构图
)
()((s))()(-1)]()(1)[()()()()(-1)(1)]
()(1[)
()(-1)
()()(321221123122211222s H s G G s H s G s H s G s G s H s G s H s G s G s H s G s H s G s G s D s C +-=
+-=)
(1s G )
(2s G )
(3s H +
)
(1s H )
(2s H +
)
(s C )
(s R )
(s D R(s)
)
(1s G E(s)D(s)
B(s)
)
(2s G )
(s H +
图5 给定作用时的系统结构图
图6 扰动作用时的系统结构图。