数学建模期末考试

一、简述题1.简述数学建模的一般方法。

答：数学建模的方法一般可分为两类：一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。

一．机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。

1.比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2.代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法3.逻辑方法是数学理论研究的重要方法，对付社会学和经济学等领域的实际问题，它在对策和决策等学科中得到广泛应用。

4.常微分方程：解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬间变化率”的表达方式。

5.偏微分方程：解决应变量与以上自变量之间的变化规律。

机理分析法建模的具体步骤大致如下：1.实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数；2.建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数；3.用实际问题的实测数据等来检验该数学模型；4.符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。

二．测试分析方法：将研究对象视为一个黑箱系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。

测试分析方法也叫做系统辨识。

1.回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,……,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法：处理的动态的相关数据，又称为过程统计方法。

2.谈谈你对数学建模的认识，你认为数学建模要经过哪些关键过程。

答：数学模型是对实际问题的一种数学表达，具体一点地说它是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。

而准确的说数学模型是对于一个特定对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学结构可以是数学公式、算法、表达式、图等等。

而数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能够近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模的过程主要包括以下几个过程：1.模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种细信息。

用数学语言来描述问题。

2.模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

3.模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各种变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出估计。

5. 模型分析：对所得的结果经行数学上的分析。

6.模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

如果模型和实际比较吻合，则要对计算结果给出其实际含义、并经行解释。

如果模型与实际吻合交差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

二、模型描述右图为杂货店示意图，顾客由一入口（ENTRANCE ）进入购物区（SHOP.AREA ）选购杂货，当顾客买好货物之后，去结帐（CHECKOUT ）站队等候出纳服务。

付款之后沿出口（EXIT ）通道离开杂货店。

给出杂货店模型的非形式描述。

解：杂货店模型的非形式描述如下：实体：入口（ENTRANCE ），购物区（SHOP .AREA ），结账（CHECKOUT ），出口（EXIT ）。

描述变量：顾客入口购物区出口杂货店示意图（1）描述ENTRANCE：用HEllO表示入口处顾客的情况，其范围为{Φ，a,b,c,… }，当HELLO=Φ时，说明ENTRANCE处没有顾客；当HELLO=x时，是指顾客x在ENTRANCE。

（2）描述SHOP.AREA用SHOPPING.TIME表示购物时间，范围为，它是指顾客在SHOP.AREA 经历的时间，它是一个给定的时间变量。

用TIME.LEFT.LIST表示顾客留在购物区的时间数列，范围为（{ a,b,… }*）,(,) (,)…(,)指顾客从现在起到离开SHOP.AREA时间。

（3）描述CHECKOUT队列LINE的范围为{ a,b,… },LINE=,,…,即是队列中的第一个，是第二个，……，直到结账出去。

用SERVICE.TIME表示服务时间，它的范围为,指现在队列中第一位顾客服务所需的时间，它是一个给定的随机变量。

用SERVICE.TIME.LEFT表示留在服务的时间，其范围为, SERVICE.TIME.LEFT=σ,指顾客从现在起至离开CHECKOUT的时间σ。

BUSY（繁忙）的范围{YES（是），NO（否）}，指明CHECKOUT是否正在为顾客服务。

（4）描述EXIT用BYE.BYE（再见）描述顾客离开的情况，它的范围是{Φ，a,b,… }, BYE.BYE=Φ，即没有顾客离去，BYE.BYE=x,指顾客x正在离去。

实体相互关系仿真时标为t时，在入口处有顾客进入，有HELLO=x。

顾客立即进入购物区（HELLO成为φ），同时采样SHOPPING.TIME，时间为，将（x,）加至TIME.LEFT.LIST。

随着仿真时标的推进，（x,）将被减少直至为（x,）止。

在这点上顾客x离开SHOP.AREA,立即排在CHECKOUT.LINE（结账队列）的后面。

随着队列中前面顾客的行进，他推进到队列的前边。

当他是队列中第一个时，采样SERVICE.TIME,时间为σ，并设置SERVICE.TIME.LEFT 是σ。

顾客x 在队列的前头等候直至SERVICE.TIME.LEFT 为0，然后由EXIT 道离去，标志为BYE.BYE=x 。

三、建模题1 某厂生产甲、乙两种产品，1件甲产品用A 原料1kg ，B 原料5 kg ；1件乙产品用A 原料2 kg ，B 原料4 kg,。

现有A 原料20kg ，B 原料70 kg 。

甲乙产品每件售价分别为20元和30元。

问如何安排生产使收入最大？ 解：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润总额为s 元 则根据题目可列方程如下：22054702030x y x y sx y，作以上不等式组所表示的平面区域，作直线20300x y ，即230x y将直线230x y 向上平移到l 位置时直线经过可行区域上的占M 且与原点距离最大，s 取得最大值 所以由2205470x y x y 得57x y ，所以当生产甲产品5件，生产乙产品7件时获得的收益最大2 冬天的纷飞大雪，使公路上积起厚厚的一层雪而影响交通。

一台除雪机清扫一条10km 长的公路上的积雪。

每当路面积雪平均厚度达到0.5m 时，除雪机就开始工作。

但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路上积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低，直到无法工作。

除雪机能否完成10km 路面的积雪清扫工作？降雪速度多大时除雪机无法工作？考虑以下情况和相关数据： （1）持续降雪1h 。

（2）降雪速度大小随时间变化，雪下得最大时，积雪深度的增加量是0.1m/s 。

（3）当积雪达到1.5m 时,除雪机将无法工作。

（4）在无雪的路上除雪机的行驶速度为10m/s 。

解：分析 容易看出，雪下的大小直接影响除雪机的工作程度。

为简单计，假定除雪机工作速度V 的减少与积雪厚度 成正比。

于是由假设条件（3）、（4）可得如下的公式：（3.2-1）由条件d=0m,v=10m/s d=1.5m,v=0m/s 得 ，，所以（3.2-2）由初始条件d ＝0.5m 米，可以马上求得除雪机开始清扫的速度6.7m ／s 。

下面我们根据假设除雪机开始时下雪速度是常量还是变量这两种情况来分别建立模型。

模型I假设下雪速度保持不变，记做1v （厘米/秒）。

到雪的厚度在秒内增加为10011t v t v =米，从而得到雪的总厚度为100.50d 1tv += （3.2-3） 将（3.2-3）带入（3.2-2）式得到t 秒后除雪机的除雪速度为)502(3101t v v -=（3.2-4） 当0=v 时意味着除雪机停止工作，此时有tv t 1100=（3.1-5） 另外除雪机行驶的距离⎰⎰-=-==30320)502(310211t v t dt t v vdt S （3.1-6）现在，让我们把一些具体的下雪速度代入模型，看一看除雪机的工作情况。

情形A ：假设以每秒0.1厘米的速度（即 厘米/秒）持续下了一个小时的大雪，则新增厚度为0.1×3600/100=3.6 米，再加上原来的雪深0.5 米，雪的厚度已经远远超过1.5 米。

在预测之前，，则用（3.1-5）和（3.1-6式可以算出，除雪机在清扫了16分40秒（ 秒=16分40秒）后被迫停止了工作。

再由（3.1-5式可以知道，此时除雪机已行驶了3.33千米，即除雪机在停止扫雪前已沿街道行了三分之一的路程，但没有完成整条大街（10公里）的扫雪任务。

情形B ：假设下的一场小雪，速度仅是 0.025厘米/秒，则用与情形A 相同的公式可以算出，除雪机在经过了1小时6分40秒后会停下来，此时除雪机运行的距离应为13.33公里，这比要求除雪的10公里还要长！除雪机早已完成了任务。

事实上，实际除雪的时间为33分20秒（将S=10×1000米， 代入（3.1-4）式求得），在清除完10公里长的积雪后，除雪机的速度变为3.33米/秒（将有关数据代入（3.1-4）式算得）。

模型Ⅱ除雪机刚开始工作时积雪厚度当d ＝0.5m ，由式（3.2-2）知：除雪机的初始工作速度为6.7m ／s 。

假设下雪速度不是常量，它在前30分钟稳步增加到最大值0.1厘米/秒，然后在后30分钟逐渐减少到0，如图3-1所示。

180036000.1t(s)R(t) cm/s由图可知R(t)单位是cm/s。

对下雪速度函数求积分就可得积雪厚度函数当t时，（3.1-7）即当工作进行到30分钟时，积雪厚度为1.4m当t时，（3.1-8）由此说明在雪停以前除雪机已经停止工作。

由（3.1-7）式和（3.1-8）式得，积雪的厚度函数为（3.1-9）除雪速度与积雪厚度的关系（3.1-10）将（3.1-9）式代入（3.1-10）式得令v(t)=0,由于t 时，v(t)所以解得因此除雪机在1903秒时将无法工作。

此时降雪速度为除雪机的工作距离综上所述，除雪机只能扫除8.434km 就停止工作，故不能完成10km 路面的积雪清扫工作。

四、建模与仿真题1． 慢跑者与狗：一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步，设椭圆方程为：x=10+20cost, y=20+15sint 。

突然有一只狗攻击它，这只狗从原点出发，以恒定速率ω跑向慢跑者。