第二章 光纤和光缆2

模式（模间）色散
模式： 光在光纤中以一组独立的光束（光线）传播。
这些不同的光束称为模式。拥有多个模式的 光纤称为多模光纤。
光脉冲由光源发出，进入光纤，在光纤中 每个脉冲分解成由单个模式携带的一组小脉 冲。在光纤的输出端，单个的小脉冲重新结 合起来，因为小脉冲彼此重叠，接收器就看 到一个长的光脉冲。
渐变型光纤脉冲展宽（模式色散引起）
t GIF ( LN 1 2 / 8c)
N1是纤芯折射率，是变化的。 例：对于一个N1＝1.487，Δ＝1.71%的渐变型光 纤，如果链路长5km，计算由模式色散引起的脉冲 展宽和最大比特率。 解答：
t GIF 0.9ns t GIF / L 0.18ns / km
2.3光纤传输特性
光信号经光纤传输后要产生损耗和畸变 (失真)，因而输出信号和输入信号不同。 对于脉冲信号，不仅幅度要减小，而且 波形要展宽。产生信号畸变的主要原因是 光纤中存在色散。 损耗和色散是光纤最重要的传输特性。 损耗限制系统的传输距离，色散则限制系 统的传输容量。
光纤色散
著名的牛顿实验：用棱镜将太阳光分解成 不同颜色的光。这里，色散意味着不同波 长的光以不同的角度弯曲。 色散(Dispersion)是在光纤中传输的光信 号，由于不同成分的光的时间延迟不同而产 生的一种物理效应。 色散一般包括模式色散和色度色散。
Δtchrom=D(λ)LΔλ D(λ)是色度色散系数，单位ps/nm·km；L是光 纤长度，单位km；Δλ是光源光谱宽度（光源 所辐射的光的波长范围宽度），单位nm。 色度色散系数D(λ) 在零色散波长处值为 零。石英光纤的零色 散波长值在1.31μm 附近。
S0 4 D ( ) ( 0 ) 3 4
1.平面横电磁波 ( TEM波 )
“平面”表示 波 被偏振化（polarized）在一个平面 内。电场E偏振在x-z平面，E可以改变自身的大小，但不 能脱离x-z平面；磁场H在y-z平面内。可以说E是x偏振， H是y偏振。 “横”表示向量E和H与图中z轴的传播方向垂直。
2. 光纤中E(H)分布是一种近似的TEM波，近似在横 截面上，而且空间指向基本不变。 则矢量E(H)－>沿传输方向其方向不变，仅 大小变化的标量E(H)，满足标量的亥姆霍兹方程：
S0是单位为ps/(nm2·km)的零色散斜率，λ0是 零色散波长，λ是工作波长。 例：如果S0＝0.097ps/(nm2·km)，λ0＝1343nm， λ＝1300nm，这个渐变折射率光纤的色度色散是 多少？ 解答：D（λ）＝－4.38ps/(nm·km). 负号说明波长增加脉冲展宽减小，对于实际计 算，可以忽略负号。 如果使用Δλ＝50nm的LED，则 Δtchrom/L=219ps/km＝0.22ns/km
t 10lg H ( f )/dB Pi(t )≈ (t ) H1(f)＝1 0 －3
f
f3dB
t Po(t )＝ h (t ) H2( f )＝ H( f )
计算： 模式0：t0=L/v＝Ln1/C 模式C：tc=(L/sinψc)/v=Ln1.n1/n2.C ∴脉冲展宽
例：对于一个NA＝0.275，n1=1.478的阶跃型 光纤，一个光脉冲在此光纤中传输5km后光脉 冲扩展为多少？ 解答：423.8ns 因为脉冲展宽与光纤长度成正比，所以可以 单位长度脉冲展宽为单位
J 1 (U c ) 0
解得：
U c x0 0,3.832,7.016,...
当v=1时为
模式
J 0 (U c ) 0
解得： U c x1 2.405,5.520,8.654,... ……
截止时
模的uc值：
模式传输条件： V>Vc 可以传输； 若 ，则截止 当v＝0，µ＝1时LP01模的Vc ＝ Uc＝0 －>此模式在任何频率都可以传输 －>单模传输的条件0<V≤2.405,即
如果电磁波离开了最初的激发源（无源）， 并且传播的介质是理想、均匀、线性、各向同 性，则可由麦克斯韦方程组推导出只有E(矢量) 或只有H (矢量) 的波动方程——亥姆霍兹方程：
光波在光纤中的传播应满足这组方程。 k：相位常数 电磁波每传播单位距离产生的相位变化。 真空中： 折射率为n的介质中：
二、标量近似法
又因为： 可得：
n 2 E E 0 c n 2 H H 0 c
2 2
c为真空中的光速，ω是光纤中传播的单色光的角频率， 折射率n变化很小。
选用圆柱坐标(r, φ，z)，使z轴与光纤中心轴 线一致，将上式在圆柱坐标中展开，
得到电场的z分量Ez的波动方程为：
色度色散（Chromatic Dispersion）
在自然界中没有光源可以发射只含有一种波长 的光，任一光束都是由一组波长的光组成。 实际上，折射率与波长有关:n=n(λ)，即对于每个特 定的波长，其折射率具有不同的值，而v=c/n，所 以，不同波长的光在光纤中以不同的速度传播，即使所 有这些光束沿着同一路径传输，它们也会以不同的时间 到达接收器端，这就导致了输出光脉冲的扩展 ——色度色散。
由模式色散和色度色散造成的总脉冲展宽
2 2 t total t mod t al chrom
色度色散由两种机制组成：材料色散、波导色散
材料色散是多模光纤中色度色散的主要原因，而 波导色散在单模光纤中起主要作用。 材料色散：由于材料的色散特性所引起的脉冲展宽 SiO2的折射率对不同波长是不同的。材料色散 要依赖于n(λ)并与光源的光谱宽度成正比。 波导色散：因为传输常数与波长有关引起的。
电磁波的传播： 时变电场可以激发出时变磁场，时变磁 场又可以激发出时变电场，这个新产生的变化 电场又将激发出变化磁场，这个变化磁场又将 激发出变化电场……如此这样不断循环下去。 显然，在这种过程中电磁场可以脱离最 初的激发源，变化电场和变化磁场之间互相激 发，像波浪一样，一环一环的由近及远地传播 出去。
脉冲宽度： 在光纤中，色散（光根据其波长以不同的速度传 播）引起了脉冲展宽。脉冲展宽为脉冲功率半极 大值处全宽度/半峰值全宽度（FWHM）
脉冲越宽，单位时间间隔可以容纳的脉冲数就 越少，比特率就越小。
“色散”通常用3db光带宽或脉冲展宽表示
输入脉冲 1 1/ e 1/2 输出脉冲 2
光 纤
3.传输模式
（1）标量模： 对于弱导波光纤，其横向场的极化方向 保持不变，它的横向场是线极化波，以LP表 示Linearly Polarized mode 线性偏振模。 在这种条件下传播的模式称为标量模或 模。 （2）截止时标量模的特性 a.截止的概念 导波应限制在纤芯中，以纤芯和包层的界 面来导行，沿轴线方向传输，这时包层内 的电磁场是按指数函数迅速衰减的。
远离截至值
对于突变型光纤，模式总数M=V2/2; 对于平方律渐变型光纤，M=V2/4 例题：已知均匀光纤的折射率n1=1.50,相对 折射率差∆=0.01，芯半径a=25μm.试求： （1）LP01,LP02,LP11,LP12模的截至波长各 为多少？ （2）若λ0=1μm，计算光纤的归一化频率V 以及其中传输的模数量N各等于多少？
解得纤芯和包层的电场Ez和磁场Hz的表达式为：
A,B：待定常数，由激励条件确定 Jv（ur/a）：v阶贝塞尔函数 Kv（wr/a）: v阶修正的贝塞尔函数 特征参数 决定光纤传输模式的电磁场分布和性质 u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横向 传输常数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，称为 （纵向）传输常数。
截止波长
一个光纤，就像任何一个波导那样，当 且仅当辐射波长远比光纤直径要小时可以 支持电磁（EM）辐射——光。这也就是为 什么光纤可以传播光但不能传播无线频率 信号的原因。 光纤的截止条件确定了光纤可支持的截 止波长（频率）。
c
2an1 2 V
c. 远离截止时标量模的特性 当 ,即认为远离截止，此时，纤芯半径 相对于 相当于无限大空间，光能完全集中 在纤芯中，包层中没有能量。
对模式色散的解决方案——渐变型光纤
输入脉冲在纤芯中分成许多小部分 来传播，而每个部分由不同的模式承 载。沿着中心轴线传播的模式——最 短距离——折射率最大——最小速度； 与包层接近的模式——较长距离—— 折射率较小——较高速度。所以，输 入脉冲由各个模式所承载的部分或多 或少地同时到达接收器端，模式色散 会减少，传输率会提高。
模间色散如何影响传输率？
假设以10Mbps传送信息，即每秒中传输 10×106个脉冲，也即每个周期的持续时间为 100ns。 为简单起见，假设输入脉冲的持续时间短 得可忽略，但由于模间色散，这些脉冲会产 生扩展，假设每km产生84.76ns的扩展.
传输2km以后，脉冲变得很宽，彼此重叠。 例：对于上面的光纤，如果传输长度为1km，求 出最大比特率。 解答：1.直到脉冲重叠前，我们可以区分它们 2．设△t为单个脉冲宽度，最大比特率为1/△t ∴1/(84.76×10-9s)=11.8Mbps 若要在相邻的脉冲存在时间隙（time gap）以 确保脉冲的独立性，如取25％的周期长度，可 得最大脉冲宽度84.76×1.25=105.95ns， 则 1/105.95ns=9.44Mbps. 可见，模式色散严重限制了光纤链路的传输率。
同理可得磁场分量Hz的波动方程。
Ez(r, φ, z)＝Ez(r)Ez(φ)Ez(z) 设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β（纵向电 磁场分布和传输性质）， 则Ez(z)＝exp(-jβz)； 由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数 设Ez(φ)＝exp(jvφ)（v为整数）； 代入Ez的波动方程，可得
由全反射条件：
当 时，θ1对应于临界角；若θ1小于临 界角 ，则向包层辐射——导波截止。
b.截止时特征方程
如果导波截止时，径向归一化相位常数和归一 化截止频率分别用 和 表示。 如何求uc ？ 利用截止时的特征方程：
根值用 表示，不同的 对应场的不同分 布状况，即不同的 模式 当v＝0时为 模式
求解Ez：
代入到Ez的波动方程，可得：
(贝塞尔方程)
为求解该贝塞尔方程，引入无量纲参数（针对突变型多 模光纤和常规单模光纤）： （1）导波的径向归一化相位常数u （纤芯中，导波沿径向场的分布规律）
（2）导波的径向归一化衰减常数w （包层中，场的衰减规律）
（3）光纤的归一化频率V （决定光纤中模式数量的重要参数）
将这些参数代入到贝塞尔方程，可得：
d 2 E z (r ) 1 dE z (r ) u 2 v 2 E z ( r ) 0 (0 r a ) 2 2 2 dr r dr r a d 2 E z (r ) 1 dE z (r ) w2 v 2 E z (r ) 0 (r a) 2 2 2 dr r dr r a
2.2.2 光纤传输的波动理论
一、波动方程
分析电磁场的分布，可以准确获得光纤的 传输特性。 光波－>电磁波－>宏观电磁现象遵循的 基本规律是麦克斯韦方程组（电磁场的基本方 程）->光波在光纤中的传输服从该方程组。 该方程组中含有E：电场强度矢量，H：磁 场强度矢量，B:磁感应强度矢量，D:电位移矢 量，J：电流密度矢量，q：自由电荷电量
对于1km的光纤，最大比特率
1 / t 5.5Gbps
对模式色散问题更好的解决方案 ——单模光纤
模式色散的根本原因是存在许多传送同一 个光脉冲的模式＝>把纤芯中的光束限制 为仅有一个模式——单模光纤。 实现：
V 2a

2 nΒιβλιοθήκη Baidu2 n2
上式表明模式的数量取决于纤芯半径a和折射率 n1,n2之间的差值，故可减小纤芯半径和相对折 射率。 单模条件：V≤2.405 单模光纤可以对模式色散问题提供最好的解决 方案，但由于保证准确的纤芯尺寸很难 （4µm～11µm），所以生产费用高且难以维护。 单模光纤在长距离通信中有着广泛的应用。