向量法证明线面平行及垂直问题教案

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龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段

一、授课目的与考点分析：向量法证明线面平行及垂直

掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用向量法求空间距离．

二、授课内容及过程：

考点1.利用空间向量证明空间垂直问题

例1:已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12

AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.证明：CM ⊥SN ；

证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空

间直角坐标系如图，则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,

12），N （12,0,0），S （1,12,0）111(1,1,),(,,0)222

CM SN =-=--, 因为110022

CM SN ∙=-++=， 所以CM ⊥SN . 【点评】对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通

过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直.

例2:在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，CF =AB =2CE , 1::AB AD AA = 1:2:4.证明AF ⊥平面1A ED

解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得

(0,2,0)D ,(1,2,1)F , 1(0,0,4)A ,31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ⎛

⎫=-- ⎪⎝⎭,11,,02ED ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ⋂=

所以AF ⊥平面1A ED

【点评】对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法

向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量

法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可.

例3：在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，

//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.

求证：平面EFG ⊥平面PDC .

解析：以A 为原点，向量DA ,AB ,AM 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，如

图建立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C (－2,2,0),D(－2,0,0),P(－2,0,2), M(0,0,1),则E(0,1,12

),G(－1,1,1),F(－2,1,1)， ∴EG =(-1,0,12

),GF =(－1,0,0),设平面EFG 的法向量m =（x ，y ，z ），则 EG ∙m =12x z -+

=0且GF ∙m =x -=0，取y =1，则x =z =0，∴m =（0，1,0）, 易证面PDC 的法向量为DA =(2,0,0), ∵DA ∙m =200100⨯+⨯+⨯=0,

∴m ⊥DA , ∴平面EFG ⊥平面PDC

【点评】对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.

考点2.利用空间向量处理空间平行关系

例4:在正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱1DD 的中点。在棱11C D 上是否存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ?证明你的结论。

解析：以A 为坐标原点，如图建立坐标系，设正方形的棱长为2，则

B(2,0,0),E(0,2,1),1A (0,0,2),1B (2,0,2)，∴BE =(－2,2,1),1BA =（－2，0，2），

设面1BEA 的法向量为m =（x ，y ，z ），则

BE ∙m =22x y z -++=0且1BA ∙m =22x z +=0，取x =1，则z =－1，y =32

， ∴m =（1，32

，－1）,假设在棱11C D 上存在一点F ，使1B F ∥平面1A BE ， 设F(0x ，2，2)（0≤0x ≤2）,则BF =（02x -，2，2）， 则BF ∙m =031(2)2(1)22

x ⨯-+

⨯+-⨯=0， 解得0x =1， ∴当F 为11C D 中点时，1B F ∥平面1A BE .

【点评】对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围. 例5在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，在底面ABC 中ABC ∠=090,D 是BC 上一点，且1A B ∥面1AC D ，1D 为11B C 的中点，求证：面11A BD ∥面1AC D .

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