第二章-渗流数学模型

K v P

不考虑流体及岩石弹性，则： 2P 2P 2P 2 2 0 2 x y z 或：
2 P 0
拉普拉斯 方程
单相不可压缩流体按达西定律稳定渗流的渗流基本微分
方程。
进一步说明的两个问题
不同渗流方式下单相液体渗流基本微分方程的具体形式
稳定渗流
单向流
d P 0 2 dx d 2 P 1 dP 0 2 dr r dr d 2 P 2 dP 0 2 dr r dr
m ( x, y )
2 P d (P / x) r 2 x dr x x d 2 P d ( x / r ) dP x [ ] 2 r dr dr dr r x 2 d 2 P y 2 dP 2 3 2 r dr r dr 同理：
2 P y 2 d 2 P x 2 dP 2 3 2 2 y r dr r dr
§2.1 概 述
﹡质量守恒定律是自然界的一般规律，因此基本渗流微分 方程的建立必须以表示物质守恒的连续性方程为基础；
﹡在 渗流过程中，有时伴随发生一些物理化学现象，如能 量传递、弥散、双重孔隙介质中的窜流等，此时还应建立描述 这种特殊现象的特征方程。 运动方程
基本渗流 微分方程
流体和岩石的状态方程 连续性方程 特征方程
或：

y

z
( ) t
( ) div ( v ) t
为微可压缩液体在微可压缩地层中满足达西线性渗流定 律的连续性方程。
的物理含义：质量流速为 v 的 点，单位体积 M div ( v )
在单位时间内向包围曲面外流出的流体质量，反映该点源的 强度。 div ( v ) 0 有源场（正、负）
变化较小，看成常数
P

0e
C L ( P P0 )
104 (1 / MPa)
按麦克劳林级数展开，取前两项
1 2 1 3 x e 1 x x x 2! 3!
0 [1 CL ( P P0 )]
§2.2 渗流基本微分方程的建立
2.岩石的状态方程 ( )
0 C f ( P P0 )
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( ) x y z t
( ) div ( v ) t
§2.2 渗流基本微分方程的建立
四、渗流基本微分方程（数学模型）
将运动方程、状态方程代入连续性方程。
§2.2 渗流基本微分方程的建立
一、运动方程
K v gradP

z
vz
或写为：
v
vx
K P vx x K P vy y K P vz z
M
vy o
y
x
§2.2 渗流基本微分方程的建立
二、状态方程
状态方程：描述液体、气体、岩石的状态参数随压力变 化规律的数学方程。
● ● ●由质量守恒定律建立连续性方程
微元体内流体质量
dxdydz
由质量守恒得：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( ) [ ]dxdydzdt dxdydzdt x y z t
简化: ( vx ) ( v y ) ( vz )
x
● ●方程右端：
0 [1 CL ( P P0 )]
代入
( ) ( ) t t t
0 C f ( P P0 )
P P {[0 C f ( P P0 )]CL 0 [ 0 CL 0 ( P P0 )]C f } t t
P (C f 0CL ) 0 t
CL C f
P Ct 0 t
相对较小， 可忽略不计。
C f 0CL 称为综合压缩系数，表示单位体积岩
石在降低单位压力时，由于孔隙收缩
和液体膨胀所排挤出来的液体体积。
● ● ●方程左端等于方程右端：
2P 2P 2P P 0 ( 2 2 2 ) Ct 0 x y z t K
油气层渗流力学
第二章 油气渗流的数学模型
§2.1 概 述
●基本概念、基本规律 ——第一章 ●工程问题→物理过程→数学模型 ——第二章
●具体应用
——第三章、第四章、第五章、第六章……
主要内容
§2.1 建立数学模型的基本原则 §2.2 运动方程 §2.3 状态方程 §2.4 连续性方程 §2.5 渗流基本微分方程的建立
(t 0)
内边界条件
q r rw 2Kh
r re
定解条件
P r
0 (t 0)
外边界条件
例： 对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：
●适用条件：
★单相微可压缩液体；
★地层岩石均质微可压缩
★线性渗流规律
★弹性不稳定渗流
★等温渗流过程
建立数学模型的基本原则——§ 2.1 基本方程——§ 2.2、 2.3、 2.4
1.液体的状态方程 ( )
1 VL CL VL P
流体质量 M VL
1 dVL CL VL dP
取全微分 整理
dM dVL VL d 0
dVL d VL
1 d CL dP
分离变量积分
1 CL dP d P0 0
三、连续性方程（质量守恒方程）
在渗流力学中，质量守恒定律可描述为：在地层中任取一 微小单元体，在微元体内若没有源和汇存在，那么包含在微元 体封闭表面内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入 质量与流出质量之差，用质量守恒定律建立起来的方程称为质 量守恒方程（或连续性方程）。 ﹡微分法：无穷小微元体分析法。
x
方向
dt 时间内，从左侧面流入微元体的质量流量为：
( vx ) dx [ vx ]dydzdt x 2 dt 时间内，从右侧面流出微元体的质量流量为： ( vx ) dx [ vx ]dydzdt x 2 则微元体在 dt 时间内，沿 x 方向流入流出的质量流量差为： ( vx ) dxdydzdt x 同理： ( v y ) dxdydzdt 方向 y
渗流基本微分方程。
式中
2 为拉普拉斯算子（算符）。
2 2 2 2 2 2 x y z 2 为哈密尔顿算子（算符）。 i j k x y z
( ) v t ( v ) 0
div ( v ) 0
无源场
不可压缩液体在刚性介质中渗流的连续性方程为：
div (v ) 0
K v gradP

0 eC
L ( PP ) 0
K P vx x K P vy y K P vz z
0 [1 CL ( P P0 )]
§2.1 概 述
●渗流力学研究主要解决两类基本问题：
★单相渗流问题中，弄清流域内压力和流速的分布及变化；
★在多相渗流过程中和非等温渗流过程中，弄清流域内饱和
度和温度的分布及变化。 因变量： P、 v、 s、 T 自变量： ( x, y, z, t )
§2.1 概 述
●油气渗流数学模型：用数学语言综合表达油气渗流过
2
弹性不稳定渗流
2 P 1 P 2 x t
2 P 1 P 1 P 2 r r r t 2 P 2 P 1 P 2 r r r t
平面径向流
球面径向流
▲坐标变换
y
r x y
2 2 2
P dP r x dP x dr x r dr
●方程左端：
( v x ) K P C L ( P P0 ) [ 0e ( )] x x x P e C L ( P P0 ) e C L ( P P0 ) [ ] K C L ( P P0 ) P x x CL 0 [e ] x x 1 C L ( P P0 ) [ ] 2 K P x CL 0 2 x P x
r x2 y2
r

( r , )
x
d (x / r) d ( r 2 y2 / r) dr dr d ( 1 y2 / r 2 ) dr 2 y 2 r x
2P 2P 1 d dP 2 P 2 P d 2 P 1 dP 2 (r ) 2 2 或 2 2 x y r dr dr x y dr r dr
§2.6 定解条件
主要内容
重点——几种典型渗流数学模型的适用条
件和基本结构
难点—— 渗流基本微分方程的建立
例： 对于封闭弹性不稳定渗流，其数学模型为：
2 P 1 P 1 P 2 dr r dr t
渗流微分方程
P t 0 Pi
P r r
(rw r re ) 初始条件
2 P 1 P 1 P 2 dr r dr t
P t 0 Pi
P r r rw r P (t 0) r re 0 r
(rw r re ) 初始条件 q (t 0) 内边界条件 2Kh
外边界条件
渗流微分方程—— § 2.5 定解条件—— § 2.6
整理得：
或：
2 P 2 P 2 P 1 P 2 2 2 x y z t
1 P P t
2
K 称为导压系数，物理意义为单位时间内压力传 Ct
播的地层面积，表明地层压力波传导的速度。 单位为 m 2 / s 或 cm 2 / s 。 单相微可压缩流体在微可压缩地层中按达西定律渗流的
程中全部力学现象和物理化学现象的内在联系和运动规律的方 程式（或方程组）。 完 整 的 数 学 模 型 渗流综合微分方程（渗流基本微分方程） 边界条件 定解条件 初始条件
§2.2 渗流基本微分方程的建立
假设条件
●单相微可压缩液体； ●液体渗流符合线性渗流规律； ●地层岩石均质微可压缩；
●地层中为等温渗流过程。
●积分法：矢量场方法。
微分法
在地层中取一微小的平行六面体单元如图：
z
dz
( vx ) dx vx x 2
MБайду номын сангаас
M 点质量流速： v 分速度分别为： v x v y vz
M
M
( vx ) dx vx x 2
dy
dx
o
y
x
●同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差
§2.1 概 述
●油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的
流体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象 的内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几 方面的因素： ﹡ 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； ﹡ 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所 以需要建立流体和岩石的状态方程；
1 V f Cf V f P 1 dV p Cf V f dP
Vp
为孔隙体积
V f V p
Pf
P P
P'

Vp V
d Cf dP
积分

开采前

'
开采后
( P0 , 0 ) ( P, )
0 C f ( P P0 )
§2.2 渗流基本微分方程的建立
同理：
( v y ) y
2P 0 2 y K
( vz ) K 2P 0 2 z z
则方程左端为：
( v x ) ( v y ) ( v z ) div ( v ) x y z 2P 2P 2P 0 ( 2 2 2 ) x y z K
z
y
方向
( vz ) dxdydzdt z
dt 时间内，纯流入微元体的流体质量为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydzdt x y z
● ●微元体封闭表面内的液体质量变化
dt 时间内，微元体中流体质量增加量为：
( ) dxdydzdt t