压电铁电05_介电常数

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如何计算Ein 0，因为球内介质不能看成是连续的， 所以计算球内各分子的偶极矩在球心处产生的电 场时，需要计入各分子的贡献。 具体做法是：先求其中一个分子（例如第i个分子） 的偶极矩在球心产生的电势，再利用电场强度与 电势之间的关系求得（Ein）i，最后对球内所有分 子（除去球心分子）求和，即可得到的Ein表达式。
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所以气体电介质以及简单立方、体心立方和面心立 方等晶体电介质的洛仑兹有效场为：
Eeff
或：
1 E P, Ein 0 3 0
2 0 Eeff E, Ein 0 3 0
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Eeff
1 E P , Ein 0 30
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Lorenz Effective Field
通常用的较多的是洛仑兹有效场（或洛仑兹内场）。 以充有电介质的平行板电容器为例，如图所示。介 质中的外电场强度为：
E (D P)
1 0
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洛仑兹有效电场模型示意图
Lorentz effective field model
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为了计算有效场，洛仑兹把介质中各分子对所考 察分子的作用划分为两部分，即近邻分子对该分 子的作用，和其它较远分子对该分子的作用。具 体做法是：在介质中，想象地挖出一个圆球，如 图所示，球心为考察分子的位置，球的半径r要求 远大于分子半径（例如大几百倍），可以将球外 的介质看成连续的； 微观无限大，宏观无限小
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其中r+与r-为第i个分子的正负电荷中心到球心的距 离。若r为第i个分子的偶极矩中心到球心的距离，l 为第i个分子正负电荷中心之间的距离，l与z平行 则从图中容易得到：
l r r 2 r r l 2
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或者： r 2 x 2 y 2 z 2 l 2 2 2 2 r x y (z ) 2 l 2 r x 2 y 2 (z ) 2 2
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从图可以看出：CCl4和CH4的介电常数与温度无关， 这表明CCl4和CH4分子没有固有偶极矩，分子具有对 称性结构。CHCl3、CH2Cl2和CH3Cl的介电常数与温度 有关，通过这些直线的斜率以及单位体积内的分子 数N，即可得分子的固有偶极矩P0；再通过这些直线 的延长线与纵坐标的交点，即可得到位移极化率 （e+i）。因为CHCl3、CH2Cl2和CH3Cl分子存在固 有偶极矩，所以这些分子具有非对称结构。
E in 0
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又如：对于同样原子组成的简立方晶体、体心立方 晶体或面心立方晶体，它们是对称性最高的晶体， 根据这些晶体的对称性，也可以得到球内各原子的 偶极矩在球心处产生的电场强度的矢量和为零。即 对于简单立方、体心立方和面心立方等晶体也有：
E in 0
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用介质极化的三种机制，讨论气体的介电常数，可 得到满意的结果。 但是在固体和液体电介质中，情况就比较复杂。因 为在固体和液体电介质中，分子之间的距离较小， 分子之间的相互作用不能忽略不计。
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偶极子阵列 Dipole array
关于Ein=? 因为球内介质不能看成是连续的，所以 计算Ein时，就需要考虑到介质的微观结构。例如气 体电介质，由于气体分子可以自由地到达容器内各 个地方，因此气体分子在容器内的分布是各向同性 的，当然在球内也是各向同性的。 根据气体分子的各向同性就可得到球内各气体分子 的偶极矩在球心处产生的电场强度的矢量和为零。 即对气体电介质有：
现在问题是如何计算Ein与Eout？
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计算Eout时，可以利用球外介质可看成连续介质的 条件，而把球外分子对球心的作用，用宏观方法处 理。就是说，将球挖空后，可把球外分子对球心的 作用，看成是空心球表面的极化电荷对球心分子的 作用。空心球表面的极化电荷在球心产生的电场 Eout的计算方法如下：
球外偶极矩产生的有效电场为：
180
dq 1 cos() sin()cos()d 2 40 r 2 0
Eout
180

0
1 sin( ) cos( )d 2 0


0
P P 2 sin( ) cos ( )d 2 0 3 0
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作用在电介质中某分子上的有效场是两个电场的叠 加，其一为介质中的外电场；另一为其它极化分子 作用在所考虑的分子上的电场。 因为偶极矩之间的相互作用是长程力，一般电介质 的结构又比较复杂，所以要严格算出有效场是很困 难的，现有的各种计算有效场的方法都作了不同程 度的近似。
上两式简称为洛仑兹有效场表达式，从这个表达式 可以看出洛仑兹有效场Eeff 总是大于介质的外电 场E。 应该注意：不是所有的立方晶系都能得到的Ein =0 结论。例如在居里温度以上钛酸钡晶体是属于立 方晶系，但是在钛酸钡晶体中，氧离子周围并不 是立方对称性的，因而不能使用Ein =0。
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2 0
再通过气体的静态介电常数与极化强度和电场强 度之间的关系-0=P/E，即得气体的静态介电常 数为：
Байду номын сангаас
P 0 N (e i ) 3kBT
以上表达式假设材料同时存在三种极化机制。
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2 0
例子：右图给出了 某些气体有机物质 的介电常数与温度 的关系，这些结果 与上式基本符合。
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其中0-1D等于没有介质时的电场强度，即等于自 由电荷所产生的电场强度。-0-1P是由于介质极 化在介质表面感生的束缚电荷所产生的电场强度， 而介质中的电场强度E等于自由电荷所产生的电 场强度与介质表面束缚电荷所产生的电场强度之 和。
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计算Ein的示意图
设外电场的方向与晶体的z轴平行，如图所示。 第i个分子的偶极矩在球心处产生的电势为：
r r (r ) (r ) q q V q q r r r r r r (r r )
2 2
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2
设单位体积内气体分子数为N，介质的极化强度P就 是上述三种极化机制的贡献总和，即：
P P N ( e i )E 3kBT
这里假设：分子数目和离子对数目和固有偶极矩数 目相同；外加电场与没有分子所感受到得电场相同。
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球内其它分子作用在球心的电场强度的形式与上式相 同。所以将上式对球内所有分子（除去球心分子）求 和，即得球内其它分子在球心产生的电场为：
3y i z i (E in ) y (E in ) yi p 5 ri i i 3z i2 ri2 (E in ) z (E in ) zi p 5 ri i i 3x i z i (E in ) x (E in ) xi p 5 ri i i
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以相同原子组成的简单立方晶体为例，若在外电场方 向与简单立方晶体的z轴平行，利用简单立方晶体的 的对称性可以得到： 3x z 3y z

i
r
i i 5 i
2 i

i
r
2 i
i i 5 i
0
以及
1 z x y ri2 i 3 i i i
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另一方面，球的半径与整个介质比又是很小的。当想 象地挖出此球时，不会引起介质中的电场发生变化。 作出上述考虑后，作用在球心分子上的有效场就可以 认为是：介质中的电场E，外分子作用在球心分子的 电场Eout与球内其它分子作用在球心分子的电场Ein之 和，即：
E eff E E out E in
2 i
即得（Ein）x=（Ein）y=（Ein）z=0，或者Ein=0。 同样，对体心立方、面心立方等晶体，计算Ein时， 应该从上式开始。
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计算空球表面电荷在球心产生的电场示意图
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因为空心球中心的电场等于球面上的电荷在球心产 生的电场强度的矢量和。该球面的面电荷为，则 环形面积元dA=2rsin()rd上的电荷为：
dq 2r sin()d
电介质的介电常数
材料的介电常数与三种极化机制之间的
关系，有效场理论； Clausius-Mossotti关系；
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知道电介质极化的三种微观机制后，就可以对电介 质的静态介电常数提出一个微观解释。最简单的情 况是分子之间的相互作用可以忽略不计。例如，较 稀疏的气体，分子之间距离较大，因此分子之间的 相互作用可以忽略不计。在这种情况下，作用在分 子上使分子极化的电场就等于介质中的外电场E。
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每个偶极子本身产生电场，偶极子之间会相互影响
Eexternal
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有效场理论
作用在固体（或液体）某分子上的电场，除了外 电场外，还应计入其它分子的偶极矩所产生的电 场的作用。就是说作用在固体（或液体）某分子 上的电场与外电场不同，称为介质中的有效场， 或简称内场，常用记号E内或Eeff表示。 这一节主要讨论如何计算有效场，以及对材料介 电常数的影响。
Vi zi 3x i z i (E in ) xi (p 3 ) p 5 x i x i ri ri (E in ) yi (E in ) zi Vi y i Vi z i 3y i z i p 5 ri 3z i2 ri2 2z i2 ( x i2 y i2 ) p p 5 5 ri ri
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如图所示，环形面积元上的电荷在球心产生的电场 强度分布在球心的圆锥面上，它们在外电场方向上 的分量矢量和为： dq 1 cos() sin()cos()d 2 40 r 2 0
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电荷密度为： P n P cos()
注意到l<<r条件，即得：
qlz pz V 3 3 r r
其中p=ql为第i个分子的偶极 矩，若用足标i表示出第i个分 子在球心产生的电势，则为：
pzi Vi 3 ri
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pzi Vi 3 ri
利用电场与电势的关系式，即可求得球内第个分子 的偶极矩作用在球心的电场强度（Ein）i的分量为：
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若作用在介质中的外电场为E（Ex、Ey、Ez），第i 个分子的偶极矩为Pi（Pxi、Pyi、Pzi），在此情况 下，球内其它分子在球心处产生的电场为：
3x i2 ri2 3x i y i 3x i z i (E in ) x [p xi p yi 5 p zi 5 ] 5 ri ri ri i 3x i y i 3y i2 ri2 3y i z i (E in ) y [p xi 5 p yi p zi 5 ] ri ri5 ri i 3x i z i 3y i z i 3z i2 ri2 (E in ) z [p xi 5 p yi 5 p zi ] 5 ri ri ri i