高中数学第二章推理与证明章末高效整合新人教A版选修
新人教A版高中数学(选修1-2)第二章《推理与证明小结综合》word教案
第10课时 归纳推理一、知识盘点1．推理的概念：根据 得出一个新结论，这种思维方式叫做推理.推理一般有两个部分组成， .推理一般分为 与 两类. 2．合情推理：所谓的合情推理，就是 ，数学中常见的合情推理是 与 . 3．归纳推理：由某类事物的 具有某种特征，推出该事物的 都具的这种特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).简而言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理.归纳推理的一般步骤是(1) ； (2) . 二、基础训练1．已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ）A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21f x x =+2．观察一下各式：⋅⋅⋅=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112222，你得到的一般性结论是______________________________________________________.三、例题分析：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。
［变式训练］1、已知111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算: 35(2),(4)2,(8),22f f f =>> (16)3,f >7(32)2f >，推测当2n ≥时，有__________________________.例2．观察下列两式：①110tan 60tan 60tan 20tan 20tan 10tan 000000=⋅+⋅+⋅ ；②15tan 75tan 75tan 10tan 10tan 5tan 0=⋅+⋅+⋅.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论。
高中数学 第二章 推理与证明章末总结教案 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)
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第二章 推理与证明知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具.③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
●2。
类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理. 2）类比推理的思维过程是：推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明 数学归纳法●3。
演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2）主要形式是三段论式推理. 3）三段论式推理常用的格式为：M —-P （M 是P ） ① ①是大前提，它提供了一个一般性的原理；S-—M (S 是M ） ② ②是小前提，它指出了一个特殊对象；S-—P (S 是P) ③ ③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
高中数学 推理与证明章小结课件 新人教A版选修2
三段论的格式
• 大前提：M是P, • 小前提：S是M, • 结论：S是P.
用集合的观点理解“三段论”
B
A
具有性质P
具有性质P
集合A中的元素具有性质P，集合B是A 的子集，则集合B中的元素也具有性质P.
注1：演绎推理则具有证明结论，整理和构建 知识体系的作用
注2：演绎推理只要前提正确，推理的形式正 确，那么推理所得的结论就一定正确。在解题 中寻找出演绎推理的大前提是关键。
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我们，还在路上……
例4用综合法或分析法 ：证明
（1）如果 a,b0，则lgab lgalgb
2
2
（2）求证6 7 2 2 5.
课本P46A组5，B组2,3
例 5用反证法证 x1明 ，： 那 x2如 么 2x 果 10. 2
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
( a b )a n ( a n 1 b a n 2 b 2 a n 1 b b n )
例3 平面内的1条直线把平面分成两 2条相交直线把平面分4部 成分3，条相交 但不共点的直线把平分面成7部分，n条 彼此相交而无三条共的点直线，把平面
高二数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修1-2
(2) 求数列 { an} 的前 2n 项和 S2n .
2
解析：
(1)
方程
x
2
－
(3
k＋
k
2)
x＋
3
k
k
·２＝
0
的两根为
x
1＝
3
k，
x2＝
k
2
.
当 k＝1 时， x1＝ 3， x2＝ 2，∴ a1＝ 2；
∴ f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递增．
∴ f ( x) 的单调递增区间为 ( －∞， 0) 和 (0 ，＋∞ ) ．
(2) 解析： 计算得 f (4) －5f (2) · g(2) ＝ 0，f (9) － 5f (3) · g(3) ＝ 0.
由此概括出对所有不等于零的实数 x 有 f ( x2) － 5f ( x) · g( x) ＝ 0.
任取 x1，x2∈ (0 ，＋∞ ) ，设 x1<x2，
1
11
1
x31－ x－ 1 x32－x－ 2
3
3
f ( x1) － f ( x2) ＝
5
－
5
＝
11
1
( 5
x31－
x32)
1 1＋ 1 1 .
x31· x32
11
1
∵ x31－ x32<0， 1＋ 1 1 >0，
x31· x32
∴ f ( x1) －f ( x2)<0.
n
1
1
1
1
x3－ x－
201x-201x学年高中数学第二章推理与证明章末优化总结新人教A版选修
当 n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an 能被 5 整除，即 b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15， b8＝a20，…，所以 b2k＝a5k(k∈N*)． 所以 b2 012＝a5×1 006＝a5 030. ②由①可知 b2k－1＝a5k－1＝12×5k(5k－1)＝5k52k－1. (2)三角形边长―类―比→四面体各面面积，三角形的面积―类―比→四面体体积 因此 R＝S1＋S23＋VS3＋S4
[答案] (1)①5 030 ＋S4
1．有一个奇数列 1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：
第 1 组含有一个数{1}，第 2 组含两个数{3,5}，第 3 组含三个数{7,9,11}……试观察每
组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为( )
A．等于 n2
B．等于 n3
C．等于 n4
D．等于 n(n＋1)
解析：前三组数分别求和得 1,8,27，即 13,23,33，所以猜想第 n 组数的和为 n3.
答案：B
2．如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且 SA，SB，SC 和底 面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB 面积分别为 S1， S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
专题四 反证法的应用 (1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想． (2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确， 由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为 困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
高中数学第二章推理与证明章末复习同步课件新人教A版选修1_2100
12345
答案
5.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…
＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}
中，若b9＝1，则有等b1式b2_…_b_n_＝__b_1_b_2_…__b_1_7_－__n_(_n_<_1_7_，__n_∈__N__*_) _成立.
证明
反思与感悟 根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函 数问题，再利用函数的图象与性质解决问题.
跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2. 证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b) 成立， 即需证a2－ab＋b2>ab成立. 只需证a2－2ab＋b2>0成立， 即需证(a－b)2>0成立. 而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0， 所以(a－b)2>0显然成立. 即a3＋b3>a2b＋ab2.
证明
例3 证明
类型三 反证法 已知 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，求证：f(x)＝0 没有负根. 假设x0是f(x)＝0的负根，
则 x0<0 且 x0≠－1 且 a x0 ＝－xx00－＋21， 由 0< a x0 <1，得 0<－xx00－ ＋21<1，
解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，
D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析 由已知中的式子，我们视察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
人教A版高中数学选修2-2课件第二章推理与证明章末专题整合
由归纳假设知
xk＋
2＝32＋＋4xxkk＋＋11＝
4－2＋5xk＋
1<4－2＋5
＝ 3
3；
xk＋
2－
xk＋1＝
3－
xk＋1 1＋ 2＋ xk＋ 1
xk＋
1>0，
即 xk＋1<xk＋2. 所以 2≤xk＋1<xk＋2<3，即当 n＝k＋1 时，结论成立． 由①、②知对任意的正整数 n,2≤xn<xn＋1<3.
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如图(3)，延长 AD，BC 交于点 F，连接 EF. 因为 CB＝CD，∠BCD＝120°， 所以∠CBD＝30°. 因为△ABD 为正三角形，
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因此∠AFB＝30°， 所以 AB＝12AF. 又 AB＝AD，
所以 D 为线段 AF 的中点． 连接 DM，由点 M 是线段 AE 的中点， 得 DM∥EF. 又 DM⊄平面 BEC，EF⊂平面 BEC，
【解析】 由 N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：
当 k 为偶数时，N(n，k)＝k2－1n2－k2－2n，于是 N(n,24)
＝11n2－10n，故 N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
【答案】 1 000
专题二 直接证明的常用方法 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法．综合法是利用 已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推 理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．综合 法可以形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”．分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直 到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定义、定理、公理等)为止的证明方法．分析法可以 形象地称为“逆推证法”或“执果索因法”．
高中数学 第2章 推理与证明章末归纳总结课件 新人教A版选修12
典例探究学案
第十九页，共28页。
• 归纳推理(ɡuī nà tuī lǐ)
设 f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算 f(1)、f(2)、 f(3)、…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用 n＝40 验证猜想 是否正确．
第二十页，共28页。
• [解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， • f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， • f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， • f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， • f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. • 由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)
第二十二页，共28页。
[解析] 由于本题是探索性开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．解决这道试题 要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推广到 三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易 得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
推理(tuīlǐ)与证明
第二章
第一页，共28页。
章末归纳(guīnà)总结
第二章
第二页，共28页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案
第三页，共28页。
自主预习学案
第四页，共28页。
• 1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推 理是由特殊(tèshū)到一般，由部分到整体的推 理；类比推理是由特殊(tèshū)到特殊(tèshū) 的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于 猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有 待于去证明．
高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教A版选修1-21
高中数学第二章推理与证明本章整合新人教A版选修1-2知识网络专题探究专题一合情推理和演绎推理的应用1．合情推理的应用归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性的结论的推理方法，它在科学研究或数学学习中有着重要的作用，有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论，或预测答案、探索解题思路等；类比推理是由特殊到特殊的推理，它以比较为基础，有助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等．合情推理的结论不一定正确，有待于演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．【例1】设f(x)＝12x＋2，利用推导等差数列前n项和的方法——倒序相加法，求f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．分析：本题要求利用类比推理的方法，即与倒序相加法相类比．在等差数列求和中，我们采用倒序相加法的依据是等差数列的性质：a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝…，因而本题可以采用类比方法解决．解：由已知可得f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12＝22.设S＝f(－5)＋f(－4)＋f(－3)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)．又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－3)＋f(－4)＋f(－5)，∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝12×22＝62，∴S＝3 2.【例2】如图所示是一个有n层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，则这个点阵共有________个点．解析：设第n 层共有a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋n －＋n －2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵共有3n 2－3n ＋1个点．答案：3n 2－3n ＋1 2．演绎推理的应用演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，其在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取的．【例3】已知定义在R 上的函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (a ＜b ＜c )在x ＝1时取得极值，且y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a .(1)求证：0≤ba＜1；(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，求证：－2＜s ＜t ≤1.提示：充分利用函数与其导数之间的关系，以及二次方程根的分布情况，将条件转化为a ，b ，c 的关系来解决问题．证明：(1)由f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，得f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .又函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，故f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0. 又a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0.∵y ＝f (x )的图象上有一点处的切线的斜率为－a ， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝－a 有实数根．∴Δ＝b 2－4a (a ＋c )≥0，即b 2－4a (a －a －b )≥0， 整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋4·b a ≥0，解得b a ≥0或b a≤－4.又由a ＋b ＋c ＝0，b ＜c ，得b ＜－a －b ，∴b a ＞－12.再由a ＜b 且a ＜0，得ba ＜1.综上可得0≤b a＜1.(2)若f (x )在区间(s ，t )上为增函数，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间(s ，t )上恒非负．∵a＜0，c＞0，∴Δ＝b2－4ac＞0，故方程f′(x)＝0必有两个不相等的实数根．设为x1，x2，且x1＜x2.∵二次函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴的方程为x＝－b2a ，由(1)，得－b2a≤0，而f′(1)＝0，故x2＝1.又f′(－2)＝4a－2b＋c＝4a－2b－a－b＝3(a－b)＜0，∴x1＞－2.若f′(x)在区间(s，t)上恒非负，则有x1≤s＜t≤x2，即－2＜s＜t≤1.专题二直接证明和间接证明1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但这两种证明方法的思路截然相反．分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，在解题中综合法和分析法的联合运用，能转换解题思路，增加解题途径．【例4】试用多种方法推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.提示：这是一道三角不等式的证明题，可考虑分别使用比较法、综合法、分析法等证明方法进行证明．证法一：(作差比较法)：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α－sin α1－cos α＝sin αα－4cos2α－1－cos α＝－sin αα－21－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin α1－cos α≤0，即2sin 2α≤sin α1－cos α.证法二：(分析法)：要证明2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只要证明4sin αcos α≤sin α1－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，∴只要证明4cos α≤11－cos α.上式可变形为4≤11－cos α＋4(1－cos α)．∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α－cos α＝4，当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4≤11－cos α＋4(1－cos α)成立．∴不等式2sin 2α≤sin α1－cos α成立．证法三：(综合法)：∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0. ∴11－cos α＋4(1－cos α)≥211－cos α－cos α＝4.当且仅当11－cos α＝4(1－cos α)，即cos α＝12，α＝π3时取等号．∴4cos α≤11－cos α.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.∴4sin αcos α≤sin α1－cos α.∴2sin 2α≤sin α1－cos α.2．反证法反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题．反证法反映了“正难则反”的证明思想，它是从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论．【例5】已知a 3＋b 3＝2，求证a ＋b ≤2.分析：对于条件较少的题目，可假设结论不成立，通过假设推出矛盾，进而得出原命题成立．证法一：假设a ＋b ＞2，那么a ＞2－b ， 所以a 3＞(2－b )3＝8－12b ＋6b 2－b 3， 即a 3＋b 3＞8－12b ＋6b 2.因为a 3＋b 3＝2，所以8－12b ＋6b 2＜2，化简得b2－2b＋1＜0，即(b－1)2＜0，这与(b－1)2≥0矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.证法二：假设a＋b＞2，则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞2(a2－ab＋b2)．因为a3＋b3＝2，所以2＞2(a2－ab＋b2)，即a2－ab＋b2＜1，所以1＋ab＞a2＋b2≥2ab，从而ab＜1，所以a2＋b2＜1＋ab＜2，故(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＜2ab＋2＜4，即－2＜a＋b＜2，这与假设a＋b＞2矛盾，所以假设不成立，故当a3＋b3＝2时，a＋b≤2.。
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已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a>1)，求证：函数 f(x) 在(－1，＋∞)上为增函数．
[思维点击]
证明：对于任意 x1，x2∈I，且 x1<x2，
若 f(x1)<f(x2)，
则 y＝f(x)在 I 上是增函数．
(大前提)
设 x1，x2 是(－1，＋∞)上的任意两数，且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝ax1＋xx11－＋21－ax2－xx22－＋21
【点拨】 数学中考查演绎推理的试题的比例比较大，即 有选择、填空，也有解答、证明，立体几何是考查演绎推理的 最好素材．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论的推理，是一种由一般到特殊的推理．数学中的证明 主要是通过演绎推理进行的，演绎推理的一般模式是“三段 论”，包括：大前提、小前提和结论．在演绎推理中，只要前 提和推理形式正确，则结论必定是正确的．
二、直接证明和间接证明 1．直接证明包括综合法和分析法 (1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推 证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A 为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是 “∵，∴”或“⇒”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分 条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知， 由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、 公理、公式、法则等)，用分析法证明命题的逻辑关系是： B⇐B1⇐B2⇐…⇐A ， 它 的 常 见 书 面 表 达 是 “ 要 证 … 只 需 …” 或 “⇐”．
＝ax1－ax2＋xx11－＋21－xx22－＋21＝ax1－ax2＋x13＋x11－xx2＋2 1，
∵a>1，且 x1<x2，∴ax1<ax2，x1－x2<0.
又∵x1>－1，x2>－1，∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
(小前提)
∴函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[思维点击] an＝n＋112 ―→ a1，a2，a3 ―→ f1，f2，f3 ―归―纳―猜―想→ fn的值
因为 an＝n＋112， f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an) 所以 f(1)＝1－a1＝1－14＝34， f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·1－19 ＝34×89＝23＝46， f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3) ＝f(2)·1－116＝23×1156＝58， 由此猜想：f(n)＝2nn＋＋21.
热点考点例析
合情推理的应用
【点拨】 对合情推理的认识 合情推理包括归纳推理和类比推理．归纳推理是由部分特 殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法．它在数学研究或 数学学习中具有十分重要的意义，通过归纳推理可以发现新知 识，探索新结论，探索解题思路，预测答案等． 类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法，它以比较为基 础，类比法有助于启迪思维，触类旁通，拓宽知识面，发现命 题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思路时， 类比法往往能指明前进的方向．”
两条直线平行，
大前提
直线AB，DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，
小前提(已证)
则AB∥DC.
结论
同理有：BC∥AD.
特别提醒：(1)归纳推理是由部分到整体，个体到一般的推 理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2)进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱比，要 对两类对象的共同特点进行对比．
已知数列{an}的通项公式 an＝n＋112(n∈N*)，f(n) ＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值， 推测出 f(n)的值．
1．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝ 1,2,3，…)，则第n－2个图形中共有________个顶点．
解析： 设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2 ＝4＋4×4，…，
an＝n＋n·n， an－2＝(n－2)2＋n－2＝n2－3n＋2. 答案： n2－3n＋2
演绎推理的应用
2．间接证明主要是反证法 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫作反证法，反证法是间接证明的一种方法． 反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出 结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而 从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
(结论)
2．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD， 求证：四边形ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推 理．
证明： (1)连结 AC. (2)三角形“边边边”定理是：有三 边对应相等的两个三角形全等，大前提 △ABC 和△CDA 的三边对应相等， 小前提 则这两个三角形全等．结论
符号表示为：
ABBC＝＝CDDA⇒△ABC CA＝AC
≌△CDA.
(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，
大前提
△ABC和△CDA全等，
小前提
则它们的对应角相等．
结论
用符号表示，就是△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4
且∠B＝∠D.
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这
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一、合情推理和演绎推理 1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事 实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提 出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别 到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一 般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥 作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理 的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合 情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．