最新高一数学课时训练-总体离散程度的估计

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高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)

9.2.4 总体离散程度的估计【学习目标】1.会求样本的标准差、方差；2.理解离散程度参数的统计含义；3.会应用相关知识解决实际统计问题．【知识梳理】一、请同学们预习课本9.2.4节（第209-213页），完成下列知识梳理。

1、预习课本中的问题3，回答下列问题（1）计算甲乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数是、、。

（2）作出两名运动员射击成绩的频率图（如下）甲的成绩比较,乙的成绩相对,即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。

可见，他们的射击成绩是存在差异的。

2、度量数据离散程度的方法-极差度量数据程度的一种方法是用极差。

极差在一定程度上刻画了数据的程度.但因为极差只使用了数据中、两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少。

3、平均距离的一种表示形式假设一组数据是x1,x2,⋯,x n，用x̅表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即|x i−x̅|(i=1,2,⋯,n)作为x i到x̅的“距离”.可以得到这组数据x1,x2,⋯,x n到x̅的“平均距离”为1 n ∑|x i−x| ni=14、方差和标准差（1）一组数据是x1,x2,⋯,x n，这组数据的方差是1 n ∑(x i−x)2ni=1，或1n∑x i2ni=1−x̅2，（你能证明两者是相等的吗？）（2）由于方差的单位是原始数据的单位的，为了使二者数据单位一致，我们取方差的算术平方根，得到这组数据的标准差√1n∑(x i−x)2ni=1，或 √1n∑x i2ni=1−x̅2，（3）总体方差S2和总体标准差S=√S2S2=1N∑(Y i−Y)2Ni=1=1N∑Y i2Ni=1−Y̅2，也可以写成加权的形式S2=1N∑f i(Y i−Y)2ki=1，（4）样本方差s2和样本标准差s=√s2s2=1n∑(y i−y)2ni=1（5）标准差刻画了数据的程度或幅度，标准差越大,数据的离散程度越;标准差越小，数据的离散程度越。

9.2.4总体离散程度的估计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计一、内容与解析（一）内容：总体离散程度的估计—方差、标准差.（二）解析：本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。

二、教学目标1 、了解“平均距离”的概念；2、理解总体方差与样本方差、总体标准差与样本标准差的概念，掌握其特点；3、会求具体问题中的“平均距离”、总体方差、样本方差、总体标准差、样本标准差；4、会根据计算的结论对实际问题进行决策.三、问题诊断分析在教学中，学生可能遇到的问题是方差计算公式的推导。

解决这一问题最关键是让学生理解“平均距离”，通过计算“平均距离”推导出数据的方差。

学生可能遇到的问题还有数据计算。

学生计算能力较差，在计算过程中是学生出错率最大的过程之一，解决这一问题需要让学生不断练习，进行一定量的练习后让学生自己总结计算方法。

四、教学重难点方差、标准差的计算及估计数据的离散程度五、教学过程设计（一）课堂导入平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法。

但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子。

（教材P211问题3）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲: 7879549107 4乙: 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?教师活动：教师引导学生计算两组数据的平均数，得出两组数据的平均数相同，引导学生如果这是一次选拔性考核，你应该如何作出选择？由此引出课题。

问题一、如何度量成绩的这种差异？师生活动：教师引导学生，理解数据的波动的判断问题1、如何定义“平均距离”？问题2、为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？问题3、标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？师生活动：教师引导学生，板书方差的计算公式，并推导出标准差的计算公式。

924总体离散程度的估计(练案)原卷版-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)

班级：姓名：日期：《9.2.4 总体离散程度的估计》练案1.已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( )A.1B. 2C. 3D.22.（多选题）已知一组数据为1，1，5，5，0，则该组数据的（）A ．众数是5B ．平均数是2C ．中位数是5D ．方差是325 3.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x 表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x ，99，91.则7个剩余分数的方差为( )A.1169B.367C.36D.677 4.如果数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则152x +，252x +，⋅⋅⋅，52n x +的平均数和方差分别为（）A ．x ，sB ．52x +，2sC ．52x +，225sD ．x ，225s5.已知一组数据1x ，2x ，…，10x 的方差是2，且()()()2221210333380x x x -+-++-=，则这组数据的平均数x =___________.6.（2021·江西新余市第一中学高二月考）已知样本910,11,x y ，，的平均数是10，方差是4，则xy =_____;7.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1，s 2，s 3，则它们的大小关系为________________(用“>”连接).8.为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s ）的数据如下：估计甲、乙两运动员的最大速度的均值和方差，并判断谁参加比赛更合适．9.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数录错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A.70，75B.70，50C.75，1.04D.65，2.3510.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________.11.我国棉花产量居世界首位，产棉省市区有22个新疆是长绒棉的主产区，新疆棉区日照充足，气候干旱，雨量稀少，属灌溉棉区，所产的新疆长绒棉因质地光亮､有弹性，绒长质优，原棉色泽好，备受消费者的青睐.某科技公司欲进一步改良优质棉品质，对甲乙两块试验田种植的两种棉花新品种的棉绒长度进行测量，分别记录抽查数据如下（单位：mm）：甲：10210199981039899；乙：110115908575115110.试从统计的角度分析说明哪个棉花新品种比较稳定.12.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用(2)中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考.13.（多选题）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差14.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20m m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.。

课时跟踪检测 (三十八) 总体离散程度的估计

课时跟踪检测（三十八）总体离散程度的估计层级(一) “四基”落实练1．数据101,98,102,100,99的标准差为( )A.2 B ．0 C ．1D ．2解析：选A ∵x ＝15(101＋98＋102＋100＋99)＝100，∴s 2＝15[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2，s ＝ 2.2．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32解析：选C 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C. 3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x －甲＝x 乙，则两个班数学成绩的方差为( )A ．3B ．2C ．2.6D ．2.5解析：选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为x －＝x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为 s 2＝2020＋30[2＋(x －甲－x －)2]＋3020＋30[3＋(x －乙－x －)2]＝2020＋30×2＋3020＋30×3＝2.6. 4．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )A.65B.65 C ．2D.2解析：选D ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∴a ＋65＝1，解得a ＝－1.则样本的方差 s 2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D.5．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A ＞x B >，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A <s B解析：选Bx A ＝16(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，x B ＝16(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝353≈11.67.s 2A ＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，s 2B ＝16⎝⎛⎭⎫15－3532＋⎝⎛⎭⎫10－3532＋⎝⎛⎭⎫252－3532＋⎝⎛⎭⎫10－3532＋⎝⎛⎭⎫252－3532＋⎝⎛⎭⎫10－3532≈3.47. 故x A ＜x B ，s A ＞s B .6．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．解析： x 2－5x ＋4＝0的两根为1,4，当a ＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a ＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a ＝1，b ＝4，s 2＝5. 答案：57．已知样本9,10,11，x ，y 的平均数是10，标准差为 2，则xy ＝________.解析：由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50，∴x ＋y ＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝( 2 )2×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.答案：968．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.6.故标准差为 2 128.6≈46.估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．层级(二) 能力提升练1．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋x n，下列结论正确的是() A．平均数是10，方差为2B．平均数是11，方差为3C．平均数是11，方差为2D．平均数是10，方差为3解析：选C若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，x n ＋a的平均数为x＋a，方差为s2，故选C.2．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为() A．15 B．16C ．17D ．18解析：选D 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.3．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数．由条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4.又x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，∴x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3. ∵s ＝14[](x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝1， ∴x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3. 由此可得4个数分别为1,1,3,3. 答案：1,1,3,34．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x 高＝3×58＋5×40＋2×383＋5＋2＝45，年龄的方差为s 2高＝13＋5＋2[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为x ＝5050＋10×38＋1050＋10×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s 2＝5050＋10[2＋(38－39.2)2]＋1050＋10·[73＋(45－39.2)2]＝20.64. 5．某校医务室抽查了高一10个同学的体重(单位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．解：(1)这10个学生体重数据的平均数为x －＝110×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，所以这10个学生体重数据的中位数为71＋722＝71.5.这10个学生体重数据的方差为s 2＝110×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11. 层级(三) 素养培优练1．(多选)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是分层随机抽样B ．这5名男生成绩的中位数小于这5名女生成绩的众数C ．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数解析：选BC 若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的众数为93，因为90<93，所以B 正确；这5名男生成绩的平均数x 1＝86＋94＋88＋92＋905＝90，这5名女生成绩的平均数x 2＝88＋93＋93＋88＋935＝91，故这5名男生成绩的方差为15×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差为15×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以C 正确，D 错误．2．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值．(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：x甲＝110×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，乙厂10个轮胎宽度的平均值：x乙＝110×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)． (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：x 1＝16×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，方差：s 21＝16×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝23，乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，平均数：x2＝16×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195方差：s22＝16×[(195－195)2－195)2]＝13.∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，∴乙厂的轮胎相对更好．。

课时跟踪检测(三十九) 总体离散程度的估计

课时跟踪检测（三十九）总体离散程度的估计[文档副标题][日期]MICROSOFT[公司地址]课时跟踪检测（三十九）总体离散程度的估计A 级——学考合格性考试达标练1．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.2．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( )A ．92,2.8B ．92,2C ．93,2D ．93,2.8解析：选A 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为x ＝15×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s 2＝15×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A.65 B.65C.2 D ．2 解析：选D 由题可知样本的平均数为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D.5．北京市2017年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度解析：选B 由图可知，第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选B.6．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10，11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则t 2＝4，|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4. 答案：47．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab ＝________.解析：由题意得a ＋b ＝10×2＝20，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a －10)2＋(b －10)2最小，故a ＝b ＝10，ab ＝100.答案：1008．已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的方差s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)，则数据x 1＋2，x 2＋2，x 3＋2，x 4＋2的平均数为________．解析：设正数x 1，x 2，x 3，x 4的平均数为x ，则s 2＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋(x 4－x )2]，得s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－x 2，又已知s 2＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24－16)＝14(x 21＋x 22＋x 23＋x 24)－4，所以x 2＝4，所以x ＝2，故14[(x 1＋2)＋(x 2＋2)＋(x 3＋2)＋(x 4＋2)]＝x ＋2＝4. 答案：49．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：(1)甲、乙的平均成绩谁最好？ (2)谁的各门功课发展较平衡？解：(1)x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74， x乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，故甲的平均成绩较好．(2)s 2甲＝15×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104， s 2乙＝15×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，由s 2甲>s 2乙，知乙的各门功课发展较平衡． 10．从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？解：(1)x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)， x乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm)．所以x 甲<x 乙．即乙种玉米苗长得高． (2)s 2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2(cm 2)，s 2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝110×1 288＝128.8(cm 2)．所以s 2甲<s 2乙.即甲种玉米苗长得齐．B 级——面向全国卷高考高分练1．若一个样本量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )A.x ＝5，s 2＜2 B ．x ＝5，s 2＞2 C.x ＞5，s 2＜2D.x ＞5，s 2＞2解析：选A ∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5.由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2＜2.故选A.2．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其平均数和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( )A.x ，s 2＋1002 B ．x ＋100，s 2＋1002 C.x ，s 2D.x ＋100，s 2解析：选D 法一：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变．法二：由题意知所求平均数为110[(x 1＋100)＋(x 2＋100)＋…＋(x 10＋100)]＝110(10x ＋10×100)＝x ＋100，所求方差为110[(x 1＋100－x －100)2＋(x 2＋100－x －100)2＋…＋(x 10＋100－x －100)2]＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝s 2.故选D.3．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x甲，x 乙，标准差分别为s 甲，s 乙，则( )A.x 甲<x 乙，s 甲<s 乙 B ．x 甲<x 乙，s 甲>s 乙 C.x 甲>x 乙，s 甲<s 乙D.x 甲>x 乙，s 甲>s 乙解析：选C 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知x 甲>x 乙．图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故s 甲<s 乙．故选C.4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C 甲的平均数是4＋5＋6＋7＋85＝6，中位数是6，极差是4，方差是(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋225＝2；乙的平均数是5＋5＋5＋6＋95＝6，中位数是5，极差是4，方差是(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋325＝125，比较可得选项C 正确．故选C.5．已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差是2，则数据2x 1,2x 2,2x 3,2x 4,2x 5的标准差为________．解析：由s 2＝1n ∑i ＝1n(x i－x )2＝2，则数据2x 1,2x 2,2x 3,2x 4,2x 5的方差是8，标准差为2 2. 答案：2 26．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是________，________.解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前有75＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.答案：70507．甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩(单位：分)如图所示：(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；(2)根据(1)的结果，对两人的成绩作出评价．解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．x甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13(分),x乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13(分)，s2甲＝15×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s2乙＝15×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s2甲>s2乙，可知乙的成绩较稳定．从题图看，甲的成绩基本呈上升趋势，而乙的成绩上下波动，因此甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．C级——拓展探索性题目应用练某工厂36名工人的年龄数据如下表：(1)用随机数法抽取一个容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)用随机数法抽取容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，抽取的样本如下：44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。

总体离散程度的估计同步练习高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

试卷第1页，共4页9.2.4 总体离散程度的估计一、单选题1．一次数学考试后，某班级平均分为110分，方差为21s ．现发现有两名同学的成绩计算有误，甲同学成绩被误判为113分，实际得分为118分；乙同学成绩误判为120分，实际得分为115分．更正后重新计算，得到方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（）A ．2212s s =B ．2212s s > C ．2212s s <D ．不能确定2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．163．某班有40名学生，在某次考试中，全班的平均分为70分，最高分为100分，最低分为50分，现将全班每个学生的分数以i i y ax b =+（其中0a >）进行调整，其中i x 是第i 个学生的原始分数，i y 是第i 个学生的调整后的分数，调整后，全班最高分为100分，最低分为60分，则（） A ．调整后分数的极差和原始分数的极差相同 B ．调整后分数的中位数要高于原始分数的中位数 C ．调整后分数的标准差和原始分数的标准差相同 D ．调整后分数的众数个数要多于原始分数的众数个数4．在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：班级人数平均分数方差甲 40 70 5 乙60808则两个班所有学生的数学成绩的方差为（）． A ．6.5B ．13C ．30.8D ．31.85．一组数据6，7，8，a ，12的平均数为8，则此组数据的（） A ．众数为8 B ．极差为7 C ．中位数为8D ．方差为225试卷第2页，共4页)n x <<，现有一组新的数据则与原样本数据相比，下列新的样本数据中不变B ．中位数D ．方差场比赛中得分的茎叶图．则该运动员在这二、多选题9．某商店2021年1月至12月每月的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中正确的有（）A ．第二季度月平均利润为30万元B ．收入的中位数和众数都是50C ．下半年支出比上半年支出稳定D ．利润最高的月份是2月份和11月份10．已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（） A ．中位数B ．平均数试卷第3页，共4页C ．方差D ．第40百分位数11．已知一组数据1213,,,x x x 构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据7x ，则（） A ．平均数不变B ．中位数不变C ．方差变小D ．方差变大12．根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（） A ．平均数小于4B ．平均数小于4且极差小于或等于3C ．平均数小于4且标准差小于或等于4D ．众数等于5且极差小于或等于4三、填空题13．某班共有40名学生，其中23名男生的身高平均数为173cm ，方差为28；17名女生的身高平均数为162cm ；若全班学生的身高方差为62，则该班级女生身高的方差为________．14．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为___________.15．已知样本容量为5的样本的平均数为3，方差为185，在此基础上获得新数据9，把新数据加入原样本得到样本容量为6的新样本，则该新样本的方差为______． 16．一组数据由8个数组成，将其中一个数由4改为2，另一个数由6改为8，其余数不变，得到新的一组数据，则新的一组数的方差相比原一组数的方差的增加值为______．四、解答题17．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：组别平均数标准差第一组 90 4 第二组 806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．18．甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：甲：74 85 86 90 93乙：76 83 85 87 97现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．试卷第4页，共4页答案第5页，共1页。

高一数学(人教A版)-总体离散程度的估计(二)

5
5
知识应用（1）
考核成绩平均数为：
y y1 y2 y3 y4 y5 95 88 102 106 99 98
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考核成绩的方差为：
知识应用（1）
考核成绩平均数为：
y y1 y2 y3 y4 y5 95 88 102 106 99 98
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考核成绩的方差为：
sy a sx
知识应用（1）
思考：若把问题改为试比较s12和s22的大小（只要求写出结论）.
知识应用（2）
在实际问题中，能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差.比如要了解某中学教师工资差别，可以从学校财务处获得所有教师的年工资收入数，计算其方差即可判断.如果要了解某市中学教师年工资的差别，获得所有老师的年工资就比较困难，关于这样的问题我们又怎么解决呢？
知识应用（2）
在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
题目思考方向：若根据问题所问，可只需根据题目中所给数据使用方差公式计算s12和s22的数值进行比较即可.计算：解：设笔试成绩78，85，89，92，96分别为x1，x2 ，x3，
x4 ， x5 ，设考核成绩95，88，102，106，99分别为 y1 ， y2 ， y3， y4 ， y5，
知识应用（1）
考核：95、88、102、106、99
观察两组数据特征你有什么发现？发现举例：笔试成绩排序（由小到大）78、85、89、92、96

总体离散程度的估计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

稳定程度的是( B ) .
A. x1 ， x2 ， ⋯ ， xn 的平均数
B. x1 ， x2 ， ⋯ ， xn 的标准差
C. x1 ， x2 ， ⋯ ， xn 的最大值
D. x1 ， x2 ， ⋯ ， xn 的中位数
随堂检测
3. 已知一组数据的平均数是 2.8 ，标准差是 3.6 ，若将这组数据中的每一个数据都加
∑
N i=1
Yi − Y
2
为总体方差， S = S 2 为总体标准差.
若总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k k ≤ N 个,不妨记为 Y1 , Y2 ， ⋯ , Yk ,其
中 Yi 出现的频数为 fi i = 1,2, ⋯ , k ，则总体方差为
S2
=
1 k
∑f
N i=1 i
2
Yi − Y .
− 81.5ሻ2 + 65 − 81.5 2 + 90 − 81.5 2 + 85 − 81.5 2 ] = 75.25 ，
2
+ 85 − 81.5
2
+ 80 − 81.5
2
+ ሺ85
2
s乙
= 75.25 ≈ 8.67 （分）.(2)由于乙组的方差（标准差）小于甲组的方差（标准差），因
此乙组的成绩较稳定.从(2)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定.
标准差越小，数据的离散程度越小.
新知生成
知识点一方差、标准差(知识拓展)
1
n
2
1.方差的简化计算公式： s 2 = [ x12 + x22 + ⋯ + xn2 − nx ] ，或写成s 2 =
1
n

高中数学课时检测54用样本估计总体的离散程度含解析湘教版必修第一册

课时跟踪检测(五十四) 用样本估计总体的离散程度[A 级基础巩固]1．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 平均数和中位数都能反映一组数据的集中趋势，标准差能反映一组数据的稳定程度，最大值是极端数据．2．某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4，9.4，9.4，9.6，9.7，则该射手成绩的极差和方差分别是( )A ．0.2，0.127B ．0.3，0.016C ．9.4，0.080D ．0.3，0.216解析：选B 由题意得，该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为9.7－9.4＝0.3，平均值为15×(9.4＋9.4＋9.4＋9.6＋9.7)＝9.5，所以该射手成绩的方差s 2＝15×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016，故选B.3．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )A.65B ．65 C. 2D ．2解析：选D 由题可知样本的平均数为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.4．(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是( )A ．平均数为3，极差是3B ．中位数是3，极差是3C ．平均数为3，方差是0.8D ．中位数是3，方差是0.56 解析：选BCD 2＋3＋4＋4＝13，①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，所以极差为4－2＝2，方差为15[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即A 错误，C 正确；②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，当投中的个数为0时，极差为4，方差为15[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；当投中的个数为1时，极差为3，方差为15[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；当投中的个数为3时，极差为2，方差为15[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，即B 和D 均正确．故选B 、C 、D.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．解析：这组数据的平均数为6＋7＋8＋8＋9＋106＝8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.答案：536．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________.解析：∵x －＝5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100＝3，∴s 2＝1100(20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22) ＝160100＝85，∴s ＝2105. 答案：21057．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为________．解析：设二线城市的房价的方差为s 2，由题意可知20＝11＋3＋6[s 2＋(1.2－2.4)2]＋31＋3＋6[10＋(1.2－1.8)2]＋61＋3＋6[8＋(1.2－0.8)2]，解得s 2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52. 答案：118.528．两台机床同时生产直径(单位：cm)为10的圆形截面零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？解：(1)先计算平均直径： x －甲＝14×(10＋9.8＋10＋10.2)＝10， x －乙＝14×(10.1＋10＋9.9＋10)＝10.由于x －甲＝x －乙，因此仅由平均直径不能反映两台机床生产的零件的质量优劣． (2)再计算方差：s 2甲＝14×[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，s 2乙＝14×[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.s 2甲>s 2乙，这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．9．工厂为了解每个工人对某零件的日加工量，统计员分别从两车间抽取了甲、乙两人日加工量的两个样本．抽到甲的一个样本容量为10，样本平均数为5，方差为1；乙的一个样本容量为12，样本平均数为6，方差为2.现将这两组样本合在一起，求合在一起后的样本的平均数与方差．解：由题意知x －甲＝5，s 2甲＝1，x －乙＝6，s 2乙＝2，则合在一起后的样本容量为22，样本平均数为x －＝122×(10×5＋12×6)≈5.55，样本方差为s 2＝1022×[1＋(5－5.55)2]＋1222×[2＋(6－5.55)2]≈1.79.[B 级综合运用]10．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且 i ＝14p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2解析：选B 对于A 选项，该组数据的平均数为x A ＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，方差为s 2A ＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；对于B 选项，该组数据的平均数为x B ＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，方差为s 2B ＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；对于C 选项，该组数据的平均数为x C ＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，方差为s 2C ＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；对于D 选项，该组数据的平均数为x D ＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，方差为s 2D ＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.因此，B 选项这一组的标准差最大．故选B.11．某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本均值与样本方差分别是________、________．解析：由题意知，甲同学抽取的样本容量m ＝10，样本平均值为x －＝5，样本方差为s2＝9；乙同学抽取的样本容量n ＝8，样本平均值为y －＝6，样本方差t 2＝16.故合在一起后的样本平均值为10×5＋8×610＋8＝9818≈ 5.44.样本方差为110＋8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤（10×9＋8×16）＋10×810＋8×（5－6）2＝118×⎝⎛⎭⎪⎫218＋409≈12.36.答案：5.44 12.3612．对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得质量条形图如图所示．据此估计甲厂、乙厂、丙厂质量的标准差，分别用s 1，s 2，s 3表示，试比较s 1，s 2，s 3的大小．解：根据题意，甲厂袋装食品质量的平均数x －1＝120×(5×7＋5×8＋5×9＋5×10)＝8.5，方差s 21＝120×[5×(7－8.5)2＋5×(8－8.5)2＋5×(9－8.5)2＋5×(10－8.5)2]＝1.25，标准差s 1＝ 1.25；乙厂袋装食品质量的平均数x －2＝120×(4×7＋6×8＋6×9＋4×10)＝8.5，方差s 22＝120×[4×(7－8.5)2＋6×(8－8.5)2＋6×(9－8.5)2＋4×(10－8.5)2]＝1.05，标准差s 2＝ 1.05；丙厂袋装食品质量的平均数x －3＝120×(6×7＋4×8＋4×9＋6×10)＝8.5，方差s 23＝120×[6×(7－8.5)2＋4×(8－8.5)2＋4×(9－8.5)2＋6×(10－8.5)2]＝1.45，标准差s 3＝ 1.45.所以s 3>s 1>s 2.[C 级拓展探究]13．在分层抽样时，如果总体分为k 层，而且第j 层抽取的样本量为n j ，第j 层的样本均值为x j ，样本方差为s 2j ，j ＝1，2，…，k .记n ＝∑j ＝1kn j .求证：所有数据的样本均值和方差分别为：x －＝1n ∑j ＝1k(nj x －j )，s 2＝1n ∑j ＝1k [n j s 2j ＋n j (x －j －x －)2]．证明：。

总体离散程度的估计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+

1
的方差为
.
x (30 26 32 27 35) 30
5
1
54
2
2
2
2
2
2
s [(30 30) (26 30) (32 30) (27 30) (35 30) ]
5
5
[6]随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，
这50个学生午餐费的平均值和方差分别是( C )
第九章
统计
9.2.4 总体离散程度的估计
高一数学组
2024/6/27
复习回顾：总体集中趋势的估计
• 众
数：最高矩形的中点
• 中位数：中位数左边的直方图面积和右边的直方图面积相等
• 平均数：每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和
平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概
大
• 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；
小
标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．
• 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问
标准差
题中，一般多采用_______.
，
y
巩固：方差和标准差的意义
[1]甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表
2
2
(
x

x
)

(
x

x
)

(
x

x
)
2
n
则这组数据的方差为 s ( xi x ) 1
n i 1
n
2
2

高一数学总体离散程度的估计

济南市2020寒假延期开学网络学习资源9.2.4 总体离散程度的估计【基本知识】1.一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差和标准差数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1n ∑n i ＝1 (x i －x －)2＝1n ∑n i ＝1x 2i－x －2，标准差为1n∑n i ＝1(x i －x －)2. 2.总体方差和标准差(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，总体的平均数为Y －，则称S 2＝1N ∑N i ＝1 (Y i－Y －)2为总体方差，S ＝S 2为总体标准差. (2)总体方差的加权形式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k (k ≤N )个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数为f i (i ＝1,2，…，k )，则总体方差为S 2＝1N ∑ki ＝1f i (Y i －Y －)2. (3)总体方差的加权形式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k (k ≤N )个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频率为p i (i ＝1,2，…，k )，则总体方差为S 2＝∑k i ＝1p i (Y i －Y －)2. 3.样本方差和标准差如果一个样本中个体的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，样本平均数为y －，则称s 2＝1n∑n i ＝1 (y i －y －)2为样本方差，s ＝s 2为样本标准差. 4.标准差的意义标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. *5.分层随机抽样的方差设样本容量为n ，平均数为x －，其中两层的个体数量分别为n 1，n 2，两层的平均数分别为x －1，x －2，方差分别为s 21，s 22，则这个样本的方差为s 2＝n 1n [s 21＋(x －1－x －)2]＋n 2n[s 22＋(x －2－x －)2].【课后练习】 1.判断正误(1) 计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.( ) (2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( )2.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( )A.平均数B.中位数C.方差D.众数3、对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化4、甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：A.甲B.乙C.丙D.丁5、一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是（） A.40.6,1.1 B.48.8,4.4 C.81.2,44.4 D.78.8,75.66、在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为( ) A.3 B.2 C.2.6D.2.57、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8、已知某7个数平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则( )A.x －＝4，s 2<2B.x －＝4，sa 2>2C.x －>4，s 2<2 D.x －>4，s 2>29如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x A ＞x B ，S A ＞S BB.x A ＜x B ，S A ＞S BC.x A ＞x B ，S A ＜S BD.x A ＜x B ，S A ＜S B10、已知一组数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是________. 11、若40个数据的平方和为56，平均数为22，则这组数据的方差为________ 12、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：13、在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.【参考答案】 1、(1)√ (2)√ (3)×2、选C 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.3、选B 根据平均数和方差的公式，知平均数增加C ，方差不变4、选C 由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好.5、选A 根据平均数和方差的公式，知新数据平均数是旧数据乘以2，再减去80，结果是1.2，所以原数据平均数为40.6，新数据方差是旧数据方差的四倍，结果是4.4，所医院数据方差为1.16、选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为x －＝x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为s 2＝2020＋30[2＋(x －甲－x －)2]＋3020＋30[3＋(x －乙－x －)2]＝2020＋30×2＋3020＋30×3＝2.6. 7、由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．8、选A ∵某7个数的平均数为4，∵这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∵x －＝28＋48＝4.又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∵这8个数方差s 2＝7×2＋4－428＝74<2，故选A 9、选B 由图可知A 组的6个数为2.5,10,5,7.5，2.5，10，B 组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A ＜x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A ＞S B .10、根据公式1n ∑ni ＝1 (x i－x －)2求得方差为0.12511、根据公式1n ∑n i ＝1x 2i－x －2求得方差为0.912、∵x －甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，x －乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，∵s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 答案：2 13、(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.(2)x －甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80(分)，x －乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80(分).s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∵甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些.(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∵乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.。

9.2.4总体离散程度的估计-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册

9.2.4总体离散程度的估计同步练习一．单选题1．已知样本数据3，2，1，a 的平均数为2，则样本的标准差是( )A B C ．12D ．142．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以(0)a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( ) A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x + C ．这组新数据的方差为2asD ．这组新数据的标准差为as3．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增死疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为4，中位数为3B ．乙地：总体均值为5，总体方差为12C ．丙地：中位数为3，众数为2D ．丁地：总体均值为3，总体方差大于04．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为100，数据10.1x ，20.1x ，⋯，0.1n x 的方差为( )A ．0.1B ．1C ．10D ．1005．学校组织开展劳动实践，高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院、消防队等场所劳动服务．经统计，该15名学生的劳动服务时长平均为20小时，标准差为s ．后来经核实，发现统计的甲、乙两名同学的劳动服务时长有误．甲同学的劳动服务时长实际为20小时，被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时，被误统计为23小时．更正后重新计算，得到标准差为1s ，则s 与1s 的大小关系为( ) A ．1s s =B ．1s s <C ．1s s >D ．无法判断6．一组数据由10个数组成，将其中一个数由4改为1，另一个数由6改为9，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．57．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的每日平均温度不低于22C ︒”，现有甲、乙、丙三地连续5天的每日平均温度的记录数据（记录的数据都是正整数，单位为C):︒ ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总方差为10.8．其中肯定进入夏季的地区有( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8． 2.5PM 是评估空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 月均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．某地区2020年1月至12月的 2.5PM 月均值（单位：3/)g m μ的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是( )A ．该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月B ．该地区一年中 2.5PM 月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大C ．该地区上半年中 2.5PM 月均值的平均数约为61.83D ．该地区从2月份到7月份 2.5PM 值持续增加二．多选题9．一组数据按从小到大排列为2，3，3，x ，7，10，若这组数据的平均数是中位数的54倍，则下列说法正确的是( ) A ．4x =B ．众数为3C ．中位数为4D ．方差为23310．为促进儿童全面发展和健康成长，我国于2011年颁布实施《中国儿童发展纲要(20112020-年）》．儿童文化产品和活动场所更加丰富．近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰富．如图为20112019-年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间．则下列结论中正确的是()A．2018年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长6.4%B．20112019-年少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时C．20112019-年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长D．20112019-年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最小11．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的()A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等12．在第一次全市高三年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图．已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，⋯，第八组[135，145]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是()A ．第七组的频率为0.008B ．该班级数学成绩的中位数的估计值为101分C ．该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分D ．该班级数学成绩的方差的估计值大于26 三．填空题13．已知一组数据a ，3，2-，6的中位数为4，则其总体方差为． 14．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间/分[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数4 85 2 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x = ，病人等待时间方差的估计值2s = ．15．若1a ，2a ，⋯，20a 这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则1a ，2a ，⋯，20a ，x 这21个数据的方差为．16．某班48名同学，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分，却记成了50分，乙实际得了70分，却记成了100分，更正后方差应为．四．解答题17．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（1）在答题卡上画出这些数据的频率分布直方图（要求用阴影部分显示）；（2）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？（3）估计这种产品质量指标值的平均值及中位数（其中求平均值时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求中位数精确到0.1)．18．为响应党的号召，坚决打赢脱贫攻坚战，某地区实行了帮扶单位定点帮扶扶贫村脱贫．为了解该地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如表：贫困户编号12345678910评分78738192958579846386贫困户编号11121314151617181920评分88869576977888827689贫困户编号21222324252627282930评分79837274916680837482贫困户编号31323334353637383940评分93787581847781768589现按贫困户编号从小到大的顺序分组，用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本．（Ⅰ）若在第一分段里随机抽到的第一个样本的评分数据为81，记第二和第十个样本的评分数据分别为a ，b ，请写出a ，b 的值；（Ⅱ）若10个样本的评分数据分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．请你计算所抽到的10个样本的平均数x 和方差2s ；9.2.4总体离散程度的估计同步练习答案1．解：样本数据3，2，1，a 的平均数为32124a+++=，2a ∴=，样本的方差211[1010]42S =+++=，∴，故选：A ．2．解：根据题意，一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以(0)a a >得到一组新数据，则新数据的平均数为ax ，方差为22a s ，则其标准差为as ，故选：D ．3．解：对于A ，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15，A ∴不符合该标志；对于B ，均值为5，方差为12时，假设有一个数据为16，其余数据均相等，则2211691054[(165)9(45)]131210x x s +=⨯≈=-+⨯-=>， ∴假设不成立，即所有数据不超过15，B 符合该标志；同理，对于C 、D ，都不能保证10个数据中每个数据不超过15，C ∴、D 也不符合题意．故选：B ．4．解：数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为100，∴数据10.1x ，20.1x ，⋯，0.1n x 的方差为：20.11001⨯=．故选：B ．5．解：由已知可得，两次统计的总人数没有变，故两次统计的平均数的相同的，设为x ，设劳动时间长为(115,*)i x i i N ∈，则s =1s =要比较s 与1s 的大小，只需比较22(15)(23)x x -+-与22(20)(18)x x -+-的大小即可，因为222(15)(23)754762x x x x -+-=-+，222(20)(18)724762x x x x -+-=-+，所以2222(15)(23)(20)(18)x x x x -+->-+-，故1s s >．故选：C ．6．解：一个数由4改为1，另一个数由6改为9，故该数据的平均数x 不变，设没有改变的八个数分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ，原先一组数的方差22222222222123456781[()()()()()()()()(4)(6)]10s x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-，新数据的方差22222222222123456781[()()()()()()()()(1)(9)]10s x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-，所以2222221[(1)(9)(4)(6)]10s s x x x x '-=-+----- 22221(1281181683612)310x x x x x x x x =-++-+-+--+-=，所以新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为3．故选：B ．7．解：对于①，甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26，其连续5天的日平均温度不低于22C ︒；对于②，乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19，20，27，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定；对于③，丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总方差为10.8，所以其余四天与26差值的平方和为210.85(3226)18⨯--=，若有一天温度低于22度，因为平均值为26，则必有一天高于30度，所以有22(2226)(3026)3218-+-=>，故可知其连续5天的日平均温度均不低于22．综上所述，肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故选：B ．8．解：对于A ，该地区一年中空气质量超标的月份只有6月份这1个月，选项A 正确；对于B ，该地区2月到7月的数据为55，45，56，65，68，82，53，8月到11月的数据为46，42，36，2月到7月的数据波动性大些，所以方差大，选项B 正确；对于C ，计算1~6月份的 2.5PM 月均值为1(554556688253)61.836⨯+++++≈，选项C 正确；对于D ，该地区从2月份到6月份 2.5PM 值持续增加，7月份减少，所以选项D 错误．故选：D ．9．解：一组数据按从小到大排列为2，3，3，x ，7，10，这组数据的平均数是中位数的54倍， ∴153(233710)642x x ++++++=⨯，解得5x =，故A 错误；众数为3，故B 正确；中位数为3542+=，故C 正确；平均数为：1(2335710)56+++++=，方差为：222222123[(25)(35)(35)(55)(75)(105)]63-+-+-+-+-+-=，故D 正确．故选：BCD ．10．解：2018年全国少年电视节目播出时间比上一年增长0.35%，故A 错误，少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时，故B 正确， 2014年到2015年少儿电视节目播出时间降低，故C 错误，由图可知电视动画节目播出时间的方差最小，故D 正确，故选：BD ．11．解：对于A ，第一组数据的平均数为164(31151372689)99⨯++++++++=，第二组数据的平均数为1145(122014221611151718)99⨯++++++++=，所以两组数据的平均数不相等，故选项A 错误；对于B ，第一组数据的中位数是7，第二组数据的中位数是16，所以两组数据的中位数不相等，故选项B 错误；对于C ，第一组数据的极差为13211-=，第二组数据的极差为221111-=，所以两组数据的极差相等，故选项C 正确；对于D ，第一组数据的方差为2222222221646464646464646464[(3)(11)(5)(13)(7)(2)(6)(8)(9)]9999999999⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-2222222224.11 3.89 2.11 5.890.11 5.11 1.110.89 1.89=++++++++，第二组数据的方差为2222222221145145145145145145145145145[(12)(20)(14)(22)(16)(11)(15)(17)(18)]9999999999⨯-+-+-+-+-+-+-+-+-2222222224.11 3.89 2.11 5.890.11 5.11 1.110.89 1.89=++++++++，所以两组数据的方差相等．故选：CD ．12．解：对于A ，利用频率之和为1，可得第七组的频率为1(0.0040.0120.0160.030.020.0060.004)100.08-++++++⨯=，故选项A 错误；对于B ，成绩在第一组到第八组的人数分别为2，6，8，15，10，3，4，2，所以中位数在第四组[95，105)内，设中位数为x ，则有(0.0040.0120.016)100.320.5++⨯=<，所以0.320.03(95)0.5x +⨯-=，解得101x =，所以该班级数学成绩的中位数的估计值为101分，故选项B 正确；对于C ，该班级数学成绩的平均分的估计值为：(700.04800.12900.161000.31100.21200.061300.081400.04)102⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选项C 正确；对于D ，该班级数学成绩的方差的估计值为：222221[(70102)(80102)(90102)(100102)(110102)50⨯-+-+-+-+- 222(120102)(130102)(140102)]85.44+-+-+-=，故选项D 正确．故选：BCD ．13．解：因为数据a ，3，2-，6的中位数为4，所以342a +=，故5a =，所以这组数据的平均数为1(2356)34⨯-+++=，故方差为2222119[(23)(33)(53)(63)]42⨯--+-+-+-=．故答案为：192． 14．解：根据题意计算平均数为1(2.547.5812.5517.5222.51)9.520x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 2222221[(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)1]28.520s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故答案为：9.5，28.5．15．解：1a ，2a ，3a ，20a ⋯这20个数据的平均数为x ，方差为0.21， 22222123201[()()()()]0.2120s a x a x a x a x ∴=⨯-+-+-+⋯+-= 222212320()()()() 4.2a x a x a x a x ∴-+-+-+⋯+-=∴则1a ，2a ，3a ，20a ⋯，x 这21个数据的方差为：22222123201[()()()()]21s a x a x a x a x '=⨯-+-+-+⋯+- 14.221=⨯ 0.20=．故答案是：0.20．16．解：设更正前甲，乙，丙⋯的成绩依次为1a ，2a ，⋯，48a ，则12484870a a a ++⋯+=⨯，即348501004870a a +++⋯+=⨯，2221248(70)(70)(70)4875a a a -+-+⋯+-=⨯，即22223482030(70)(70)4875a a ++-+⋯+-=⨯，更正后平均分34880707048a a x +++⋯+==，方差222223481[(8070)(7070)(70)(70)]48s a a =-+-+-+⋯+- 223481[100(70)(70)]48a a =+-+⋯+- 221[10048752030]48=⨯+⨯-- 1240048=⨯ 50=．故答案为：50．17．解：（1）由已知作出频率分布表为：质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)频数6 26 38 22 8 频率 0.06 0.26 0.38 0.22 0.08 由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：（2）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．（3）质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． [75，95)内频率为：0.060.260.32+=，∴中位数位于[95，105)内，设中位数为x ，则0.50.260.06951099.70.38x --=+⨯≈， ∴中位数为99.7． 18．解：（1）79a =，85b =．（2）928486788974837877898310x ++++++++++==，222222222221[(9283)(8483)(8683)(7883)(8983)(7483)(8383)(7883)(7783)(8983)]3310s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=。

课时作业4：9.2.4　总体离散程度的估计

9.2.4 总体离散程度的估计1．已知一组数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析数据3,5,7,4,6的平均数x ＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，方差s 2＝15×[(3－5)2＋(5－5)2＋(7－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2]＝2，所以标准差为2，故选B.2．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ．57.2,3.6 B ．57.2,56.4 C ．62.8,63.6 D ．62.8,3.6答案 D解析每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．3．样本中共有5个个体，其值分别为a ,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( ) A.65 B.65C ．2 D. 2 答案 D解析 ∵样本a ,0,1,2,3的平均数为1， ∴a ＋65＝1，解得a ＝－1. 则样本的方差s 2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，标准差为 2.故选D.4．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：班级人数平均数方差甲 20 x 甲 2 乙30x 乙3其中x 甲＝x 乙，则两个班数学成绩的方差为( )A ．3B ．2C ．2.6D ．2.5 答案 C解析由题意可知两个班的数学成绩平均数为x ＝x 甲＝x 乙，则两个班数学成绩的方差为 s 2＝2020＋30×[2＋(x 甲－x )2]＋3020＋30×[3＋(x 乙－x )2] ＝2020＋30×2＋3020＋30×3＝2.6. 5．(多选)下列说法正确的是( )A ．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案 ACD解析平均数不大于最大值，不小于最小值，B 项错误，其余全对． 6．样本101,98,102,100,99的标准差为________．答案2解析样本平均数x ＝100，方差为s 2＝2， ∴标准差s ＝ 2.7．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x ,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．答案 5743解析 ∵－1,0,4，x ,7,14的中位数为5， ∴4＋x2＝5，∴x ＝6. ∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋146＝5，这组数据的方差是16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝743.8．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x ＝________，病人等待时间方差的估计值s 2＝________. 答案 9.5 28.5解析 x ＝120×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s 2＝120×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5. 9．甲、乙两名学生在5次英语测试中的成绩统计如下：甲：74 85 86 90 93 乙：76 83 85 87 97现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适？请说明理由．解 x 甲＝74＋85＋86＋90＋935＝85.6；x 乙＝76＋83＋85＋87＋975＝85.6.s 2甲＝15×[(74－85.6)2＋(85－85.6)2＋(86－85.6)2＋(90－85.6)2＋(93－85.6)2]＝15×209.2＝41.84；s 2乙＝15×[(76－85.6)2＋(83－85.6)2＋(85－85.6)2＋(87－85.6)2＋(97－85.6)2]＝15×231.2＝46.24.因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲的水平更稳定，所以派甲参赛更合适．10．某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．解根据题意，全班平均成绩为 x ＝90×2040＋80×2040＝85，第一组的平均数为x 1＝90，方差为s 21＝16. 第二组的平均数为x 2＝80，方差为s 22＝36.则该班学生的方差为s 2＝2040×[s 21＋(x 1－x )2]＋2040×[s 22＋(x 2－x )2] ＝12×[16＋(90－85)2]＋12×[36＋(80－85)2]＝51. ∴s ＝51.综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和51.11．(多选)在一次歌手大赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，则( ) A ．所剩数据的平均值是9.4 B ．所剩数据的平均值是9.5 C ．所剩数据的方差是0.016 D ．所剩数据的方差是0.04 答案 BC 解析 x ＝9.4×3＋9.6＋9.75＝9.5，s 2＝15×[(9.4－9.5)2×3＋(9.6－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝15×(0.12×4＋0.22)＝0.016.12．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A >x B ，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A <s B答案 B解析由题图知，A 组的6个数分别为 2.5,10,5,7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝254，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝353.显然x A <x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B .13．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( ) A.x ＝5，s 2<2 B.x ＝5，s 2>2 C.x >5，s 2<2 D.x >5，s 2>2答案 A解析 ∵18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴x ＝5. 由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强， ∴s 2<2.14．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为x ＝3小时，方差为s 2＝1.966，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为x 1＝2.7，x 2＝3.1，x3＝3.3，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s 21＝1，s 22＝2，则高三学生每天读书时间的方差s 23＝________. 答案 3解析由题意可得，1.966＝8002 000×[1＋(2.7－3)2]＋6002 000×[2＋(3.1－3)2]＋6002 000×[s 23＋(3.3－3)2]，解得s 23＝3.15．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b ,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab ＝________. 答案 100解析由题意得a ＋b ＝10×2＝20，x ＝110×(2＋3＋3＋…＋21)＝10，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a －10)2＋(b －10)2最小，故a ＝b ＝10，ab ＝100.16．已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右，下表是在甲、乙两地六个时刻测得的温度，你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋？解 ①x 甲＝16×(－5＋7＋15＋14－4－3)＝4(℃)，x 乙＝16(1＋4＋10＋7＋2＋0)＝4(℃)．②标准差： s 甲＝16×[(－5－4)2＋…＋(－4－4)2＋(－3－4)2]≈8.4， s 乙＝16×[(1－4)2＋…＋(2－4)2＋(0－4)2]≈3.5，显然两地的平均温度相等，乙地温度的标准差较小，说明乙地温度波动较小．因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋．。

高中数学第九章统计课时作业42 总体离散程的估计课件 a必修第二册a高一第二册数学课件

课时作业42 总体离散程度(chéngdù)的估计
第一页，共三十页。
时间：45 分钟 ——基础巩固类—— 一、选择题 1．(多选)“微信运动”是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况(步数里程)的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据 2018 年 1 月至 2018 年 11 月期间每月跑步的里程(单位：十公里)的数据绘制了下面的折线图．根据该折线图，
下列结论正确的是( BCD )
第二页，共三十页。
A．月跑步的里程逐月增加 B．月跑步里程最大值出现在 10 月 C．月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D．1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳
第三页，共三十页。
解析：由题图可知：月跑步里程不是逐月递增的，故选项 A 错误；月跑步里程最大值出现在 10 月，故选项 B 正确；月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数，故选项 C 正确；1 月至 5 月的月跑步平均里程相对 6 月至 11 月，波动性更小、变化比较平稳，故选项 D 正确，故选 BCD.
第五页，共三十页。
解析：由题意可得 x 1＝7＋7＋85＋8＋10＝8，
x 2＝8＋9＋95＋9＋10＝9，
s21＝7－82＋7－82＋8－582＋8－82＋10－82＝65，
s
2 2
＝
8－92＋9－92＋9－92＋9－92＋10－92 5
＝
2 5
.
故
x
1< x 2，s21>s22.故选 D.
第六页，共三十页。
解：平均数 x ＝92＋77＋75＋90＋63＋ 1084＋99＋60＋79＋85＝80.4,10 名学生按成绩自低到高排列为：60,63,75,77,79,84,85,90,92,99，则中位数为 m＝79＋2 84＝81.5，

9.2.4总体离散程度的估计(第2课时)-2023-2024高一下数学人教A版(2019)必修第二册

(3)1 + , 2 + ,⋅⋅⋅, + .
解：(2)平均数为 ′ =
(1 +)+(2 +)⋅⋅⋅+( +)

=
(1 +2 +⋅⋅⋅+ )+

= ǉ + .
方差为 ′2
[(1 + ) − (ǉ + )]2 + [(2 + ) − (ǉ + )]2 +⋅⋅⋅ +[( + ) − (ǉ + )]2
(1)1 , 2 ,⋅⋅⋅, ；
(2)1 + , 2 + ,⋅⋅⋅, + ；

(3)1 + , 2 + ,⋅⋅⋅, + .
解：(1)平均数为 ′
1 + 2 +⋅⋅⋅ +
(1 + 2 +⋅⋅⋅ + )
=
=
= .ǉ
(3)标准差的平方 2 称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量
效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差；
(4)标准差的单位与样本数据一致．
练习巩固
[练习3]若X1，X2，X3，…，X20这20个数据的平均数为X，方差为0.2，
X1，X2，X3，…，X20，X这21个数据的方差为_________.
课堂小结
1.用定义计算样本方差和样本标准差
2分层抽样总样本方差的计算
3. 标准差与方差的特征：
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大，数据的离散程度越大 ;

总体离散程度的估计课时作业-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

试卷第1页，共4页 9.2.4总体离散程度的估计课时作业 1．下列各组数中方差最小的是（） A ．1，2，3，4，5 B ．2，2，2，4，5 C ．3，3，3，3，3 D ．2，3，2，3，22．甲、乙、丙、丁四人参加第十四届全运会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差见下表甲乙丙丁平均成绩x /环 9.0 8.9 8.6 9.0方差2s 2.8 2.9 2.8 3.5如果从这四人中选择一人参加第十四届全运会射击项目比赛，那么最佳人选是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( )A ．1B ．2C ．3D ．24．某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：21、22、23、25、28、29、30、30；乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述合理的是（）A ．甲队员每场比赛得分的平均值大B ．乙队员每场比赛得分的平均值大C ．甲队员比赛成绩比较稳定D ．乙队员比赛成绩比较稳定5．为了评估某种工艺制作零件的效果，随机选出n 件产品，这n 件产品的尺寸（单位：cm ）分别为12,,,n x x x ，求得方差为2σ，如果再生产n 件产品，尺寸都相应扩大为原来的两倍，则这批新产品的方差为（）A ．2σB ．24σC ．22σD ．22σ6．数据123,,,...,n a a a a 的方差为2σ，则数据1232,2,2,...,2n a a a a 的方差为（）A ．22σ B ．2σ C ．22σ D ．24σ7．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s ，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s 1，则s 与s 1的大小关系为（）A．甲城市有3个月的月平均气温低于0℃试卷第3页，共4页 A ．甲、乙两车间这一天生产零件个数的平均数相同B ．甲车间这一天生产零件个数的波动比乙车间大C ．乙车间优秀的人数多于甲车间优秀的人数（这一天生产零件个数150≥个为优秀）D ．甲车间这一天生产零件个数的众数小于乙车间零件个数的众数11．已知一组数据123424,24,24,24x x x x ++++，的平均数和方差均为4，则12341,1,1,1x x x x ++++的方差为______________．12．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31人数 1 1 2 1 3 4 1 12该公司雇员年薪的标准差约为_____万元.13．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4．则命中环数的标准差为___________．14．在某城市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91，89，91，96，94，95，94.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___.四、解答题15．从甲、乙两个工人做出的同一种零件中，各抽出4个，量得它们的直径（单位：mm ）如下：甲生产零件的尺寸：9.98，10.00，10.02，10.00；乙生产零件的尺寸：10.00，9.97，10.03，10.00．求出它们的方差，并说明在使用零件的尺寸符合规定方面谁做得较好．16．在全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩：甲：9.4 8.7 7.5 8.4 10.1 10.5 10.7 7.2 7.8 10.8乙：9.1 8.7 7.1 9.8 9.7 8.5 10.1 9.2 10.1 9.1；(1)用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人的成绩；(2)分别计算两个样本的平均数x 和标准差s ，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定，并简述茎叶图的优点．。

高中数学课时作业五十五用样本估计总体的离散程度湘教版必修第一册

课时作业(五十五) 用样本估计总体的离散程度[练基础]1．一组数据的方差一定是( )A．正数 B．负数C．任意实数 D．非负数2．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )A．第一组 B．第二组C．第三组 D．第四组3．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90，90，93，94，93，则该学生在这五次月考中数学成绩的平均数和方差分别为( )A．92，2.8 B．92，2C．93，2 D．93，2.84．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则( )A．x A＞x B，s A＞s B B．x A＜x B，s A＞s BC．x A＞x B，s A＜s B D．x A＜x B，s A＜s B5．下列各组数中方差最小的是( )A．1，2，3，4，5 B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3 D．2，3，2，3，26．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A．55.2，3.6 B．55.2，56.4C．64.8，63.6 D．64.8，3.67．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一组数据的s2＝________.8．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．9．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．10．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67；乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？[提能力]11．一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A．40.6，1.1 B．48.8，4.4C．81.2，44.4 D．78.8，75.612．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则以下选项判断不正确的有( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差13．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差为________．14．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，给出下列四个判断，①甲同学：平均数为2，众数为1；②乙同学：平均数为2，方差小于1；③丙同学：中位数为2，众数为2；④丁同学：众数为2，方差大于1.可推断出一定是尖子生的是________．15．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)填写下表：(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差分析离散程度；②结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中9环及以上的次数看谁的成绩好些；④从折线图上看两人射靶命中环数及走势分析谁更有潜力．[培优生]16．把某校三年级一班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：求全班学生的平均成绩和标准差．课时作业(五十五) 用样本估计总体的离散程度1．解析：方差可为0和正数．故选D. 答案：D2．解析：方法一第一组中，样本数据都为5，标准差为0；第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为63；第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为253；第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．方法二从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．故选D.答案：D3．解析：该学生在这五次月考中数学成绩的平均数为x ＝15×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s 2＝15×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.答案：A4．解析：由题图知，A 组的6个数分别为2.5，10，5，7.5，2.5，10；B 组的6个数分别为15，10，12.5，10，12.5，10，显然x A <x B .又由图形可知，B 组数据的分布比A 组的均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以s A >s B .故选B.答案：B5．解析：对于选项A ：平均数为15()1＋2＋3＋4＋5＝3，方差为s 2＝15[()1－32＋()2－32＋()3－32＋()4－32＋()5－32]＝2；对于选项B ：平均数为15()2＋2＋2＋4＋5＝3，方差为s 2＝15[()2－32＋()2－32＋()2－32＋()4－32＋()5－32]＝1.6；对于选项C ：平均数为15()3＋3＋3＋3＋3＝3，方差为s 2＝15[()3－32＋()3－32＋()3－32＋()3－32＋()3－32]＝0；对于选项D ：平均数为15()2＋3＋2＋3＋2＝2.4；方差为s 2＝15[()2－2.42＋()3－2.42＋()2－2.42＋()3－2.42＋()2－2.42]＝0.24；因为0<0.24<1.6<2，所以选项C 中的数据方差最小，故选C. 答案：C6．解析：每一个数据都加上60时，平均数也增加60，而方差不变，故选D. 答案：D7．解析：由题意知x 甲＝15(6＋7＋7＋8＋7)＝7，x 乙＝15(6＋7＋6＋7＋9)＝7，s 2甲＝15[(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝25，s 2乙＝15[(6－7)2＋…＋(9－7)2]＝65.∵25＜65，∴较小的一个s 2＝25. 答案：258．解析：由题意可得：x ＋y ＝20，()x －102＋()y －102＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则2t 2＝8，解得t ＝±2，∴||x －y ＝2||t ＝4. 答案：49．解析：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x 高＝3×58＋5×40＋2×383＋5＋2＝45(岁)，年龄的方差为s 2高＝110×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为x ＝5050＋10×38＋1050＋10×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s 2＝5050＋10×[2＋(38－39.2)2]＋1050＋10×[73＋(45－39.2)2]＝20.64.10．解析：甲的平均成绩和方差：x 甲＝18×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.乙的平均成绩和方差：x 乙＝18×(1.60＋1.73＋… ＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．11．解析：方法一设原来的数据为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据为2x 1－80，2x 2－80，2x 3－80，…，2x n －80，所以2x 1－80＋2x 2－80＋…＋2x n －80n＝1.2，所以2（x 1＋x 2＋…＋x n ）－80n n ＝1.2，即x 1＋x 2＋…＋x n n＝40.6.1n[(2x 1－80－1.2)2＋(2x 2－80－1.2)2＋…＋(2x n －80－1.2)2]＝4.4，即1n [(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝4.4，则1n[(x 1－40.6)2＋(x 2－40.6)2＋…＋(x n －40.6)2]＝14n [(2x 1－81.2)2＋(2x 2－81.2)2＋…＋(2x n －81.2)2]＝14×4.4＝1.1. 方法二设原数据的平均数为x ，方差为s 2，则数据中的每一个数都乘2，再都减80，得一组新数据后，新数据的平均数为2x －80，方差为22s 2，由题意得2x －80＝1.2，22s 2＝4.4，解得x ＝40.6，s 2＝1.1.故选A. 答案：A12．解析：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选ABD.答案：ABD13．解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别为2，2，2，2，5，5，8，8，8，8.∵x ＝5，∴s 2＝110[(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(2－5)2＋(5－5)2＋(5－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2＋(8－5)2]＝110×8×9＝365，∴s ＝655.答案：65514．解析：甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除甲；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x 1，x 2，x 3，则方差s 2＝13[]()x 1－22＋()x 2－22＋()x 3－22<1，则()x 1－22＋()x 2－22＋()x 3－22<3，所以x 1，x 2，x 3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2，2，6不符合题意．答案：乙15．解析：(1)乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以x 乙＝110×()2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是7＋82＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s 甲 <s 乙，说明甲离散程度小，而乙离散程度大． ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．16．解析：设第一组20名学生的成绩为x i (i ＝1，2，…，20)，第二组20名学生的成绩为y i (i ＝1，2，…，20)，依题意有x ＝120(x 1＋x 2＋…＋x 20)＝90，y ＝120(y 1＋y 2＋…＋y 20)＝80，故全班平均成绩为140(x 1＋x 2＋…＋x 20＋y 1＋y 2＋…＋y 20) ＝140(90×20＋80×20)＝85；又设第一组学生成绩的标准差为s 1，第二组学生成绩的标准差为s 2，则s 21 ＝120(x 21 ＋x 22 ＋…＋x 220 －20x 2)，s 22 ＝120(y 21 ＋y 22 ＋…＋y 220 －20y 2)(此处，x ＝90，y ＝80)，又设全班40名学生的标准差为s ，平均成绩为z (z ＝85)，故有s 2＝140(x 21 ＋x 22 ＋…＋x 220 ＋y 21 ＋y 22 ＋…＋y 220 －40z 2)＝140(20s 21 ＋20x 2＋20s 22 ＋20y 2－40z 2)＝12(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. 即s ＝51.所以全班学生的平均成绩为85分，标准差为51.。