修订版-线性代数习题三答案
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第三章 线性方程组
一、温习巩固
1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-++=--+=-++0
51050363024321
43214321x x x x x x x x x x x x
解： 化系数矩阵为行最简式
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A
因此原方程同解于⎩
⎨
⎧=+-=0234
21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。
2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+-=-+8
31110232
2421321321x x x x x x x x
解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A
因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。
3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。
解：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=-=
31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-
T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。
解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=44000
0000010110
21
301
24220
1011030330
21
301601424527121103121
301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。
二、练习提高 ⒈ 判断题
⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。 (√ ) ⑵ 设A 为n m ⨯矩阵，0=Ax 是非齐次线性方程组b Ax =的导出组，则
（a ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解。 (⨯) （b ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解。 (⨯) （c ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解。 (√ )
⑶ 设A 为n 阶矩阵，α是n 维列向量，若)(0A R A
R T
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛αα，则线性方程组 00=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛y x A T αα必有非零解。 (√ ) ⑷ 对矩阵()E A M 施行若干次初等变换，当A 变为E 时，相应的E 变为1-A 。(⨯)
⑸ 设向量组321,,ααα线性无关，1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由
321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有321,,ααα，21ββ+k 线性相关。(⨯)
⑹ 设n 维列向量组s ααα,,,21Λ线性相关，A 是n m ⨯矩阵，则s A A A ααα,,,21Λ线性相关。 (√ ) ⑺ 若向量组B 能由向量组A 线性表示，B 和A 的秩分别为B R 和A R ，则A B R R >。(⨯)
⑻ 设A 为n m ⨯矩阵，n m r A R <<=)(，则A 的1-r 阶子式不能为0。 (⨯) ⑼ 设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为4321,,,ηηηη，则
321211,,ηηηηηη+++,4321ηηηη+++仍为该齐次线性方程组的基础解系。(√ ) ⑽ 集合},0),,,({2121R x x x x x x x x V i n n ∈=⋅==ΛΛ是一个向量空间。 (⨯) ⒉ 填空题