26知识讲解_三角函数的性质及其应用_基础

三角函数的性质及其应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊

【考纲要求】

1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.

2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法

1.五点作图法：

作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π

、π、32

π、

2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2．图象变换法：

（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到

sin()y A x ϕ=+的图象；

（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω

1

倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.

（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释：

由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位

变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.

考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式

sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T π

ω

=

叫做周期，

12f T ω

π

=

=

叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式

求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕ

ω

-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2T

π

ω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ. 要点诠释：

若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质

1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T π

ω

=

3. 奇偶性:2

k π

ϕπ=+

时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.

4．单调性:单调增区间:[

ω

ϕ

π

πω

ϕπ

π-+--

22,

22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[

ω

ϕπ

πω

ϕπ

π-+-+

232,

22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(

ωϕ

π-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=

ω

ϕ

π

π-+

2

k ，k Z ∈

6．最值: 当22

x k π

ωϕπ+=+

即22

k x π

πϕ

ω

+

-=

时，y 取最大值A

当22

x k π

ωϕπ+=-

即22

k x π

πϕ

ω

-

-=

时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).

要点诠释：

①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；

②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过

整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。 【典型例题】

类型一、求函数sin()y A x ωϕ=+(0A ≠,0ω>)的单调区间

例1（2015 四川摸底）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）

A ．2[,],63k k k Z π

πππ+

+

∈ B ．[,],36k k k Z ππ

ππ-+∈

C ．4[2,2],33k k k Z ππππ++∈

D ．5[2,2],1212

k k k Z ππ

ππ-+∈

【思路点拨】由已知得到周期，然后根据周期求出ω，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性得出

结论．

【解析】因为()3sin cos 2sin()6

f x x x x π

ωωω=+=+的最小值为-2，可知2y =-与()f x 的两个相邻

公共点之间的距离就是一个周期，于是2T ππω=

=,即ω=2，所以()2sin(2)6

f x x π

=+。令32[2,2],,622x k k k Z πππππ+∈++∈解得2[,],,63

x k k k Z ππ

ππ∈++∈故选A 。

【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可先通过恒等变形转化为sin()+y A x B ωϕ=+或

cos()+y A x B ωϕ=+的形式，再进行三角函数的单调性的求解.

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调递增区间. （1）cos(2)3y x π

=-，

（2）|sin()|4y x π

=-+，（3）)tan(33

y x π=-. 【解析】

（1）∵cos(2)3

y x π

=-

，∴递增区间为：27[

,]36

x k k ππ

ππ∈++(k Z ∈)； （2）画出|sin()|4

y x π

=-+

的图象：

可知增区间为3[

,

]44

x k k π

π

ππ∈++(k Z ∈)；

（3）函数在区间5[,]183183

k k x ππππ

∈-+

+(k Z ∈)上是增函数. 【变式2】利用单调性比较3cos 2，1sin 10

，7

cos 4-的大小：

【解析】 ∵33cos

sin()222π=-，77cos 44sin()2π

--=，且74130221022

πππ->>>->