26知识讲解_三角函数的性质及其应用_基础
三角函数的基本性质与应用
三角函数与其他数学知识的结 合应用
三角函数与微积分知识的结合应用
三角函数的导数和积 分：理解并掌握三角 函数的导数和积分形 式，以及它们在微积 分中的应用。
微分方程：了解如何 使用三角函数来解决 微分方程，例如振动 和波动问题。
傅里叶级数：理解傅 里叶级数的概念，以 及如何使用它来展开 和解决复杂的微积分 问题。
交流电：在描述交流电的电压和电流时，通常会用到三角函数来分析其 波形和特性。
电磁波：在研究电磁波的传播和辐射时，三角函数也扮演着重要的角色， 例如在分析电磁波的极化和传播方向时。
物理实验：在许多物理实验中，三角函数也经常被用来描述实验数据和 分析实验结果，例如在测量光的干涉和衍射现象时。
三角函数在数学分析中的应用
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x)的函数 偶函数：满足f(-x)=f(x)的函数 奇偶性的判断方法：代入法 奇偶性在三角函数中的应用：对称性、周期性等
振幅与相位
振幅：表示三角函数波动的幅度大小 相位：表示三角函数在时间或空间上的位置或偏移
诱导公式
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三角函数的诱导公式是三角函数性质的重要组成部分，它可以帮 助我们简化复杂的三角函数计算。
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诱导公式包括奇偶性、周期性和对称性等方面的性质，这些性质 有助于我们更好地理解和应用三角函数。
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诱导公式在不同的数学领域中都有广泛的应用，例如在解析几何、 微积分和线性代数等领域中都可以看到它的身影。
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诱导公式可以通过各种方式进行推导和证明，例如利用三角函数 的定义、性质和图像等。
傅里叶级数与复 变函数
拉普拉斯变换与 三角函数
三角函数在复平 面上的应用
三角函数与离散数学的结合应用
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中重要的一部分，它的性质和应用广泛存在于各个领域。
在本文中，我们将探讨三角函数的基本性质，并介绍一些其在实际问题中的应用。
一、正弦函数的性质和应用正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的定义域为所有实数，值域在[-1,1]之间。
正弦函数的图像呈现周期性、振荡性的特点，对于周期为2π的正弦函数，其性质如下：1. 正弦函数在区间[0,π/2]上是单调增加的，在区间[π/2, π]上是单调减少的。
这一性质在许多几何和物理问题中都有重要应用，例如计算角度大小、测量物体的高度等。
2. 正弦函数的图像关于原点对称，即sin(-x)=-sin(x)。
这个性质可以用于简化计算，并在一些对称性的问题中发挥作用。
3. 正弦函数具有偶函数性质，即sin(x)=sin(-x)。
这一性质在许多方程求解和函数性质证明中被广泛使用。
在实际应用中，正弦函数的应用非常广泛。
例如，在物理学中，正弦函数用于描述振动的变化规律；在音乐学中，正弦函数被用来分析乐音的频率和振幅；在工程学中，正弦函数被用于处理交流电信号。
二、余弦函数的性质和应用余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，它的定义域也是所有实数，值域在[-1,1]之间。
余弦函数的图像呈现周期性、振荡性的特点，对于周期为2π的余弦函数，其性质如下：1. 余弦函数在区间[0,π]上是单调减少的。
这个性质在许多几何和物理问题中具有重要意义，例如计算角度大小、测量物体的距离等。
2. 余弦函数的图像关于y轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
这个性质与正弦函数的偶函数性质类似，可以用于简化计算和问题的求解。
3. 余弦函数具有偶函数性质，即cos(x)=cos(-x)。
这一性质在解方程和证明函数性质中经常被使用。
在实际应用中，余弦函数也有广泛的应用。
例如，在几何学中，余弦函数被用来计算三角形的边长和角度；在电路分析中，余弦函数被用来描述交流电压和电流的变化规律；在天文学中，余弦函数被用来计算地球上某个点的星体高度。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中一类重要的函数，它们在数学、物理、工程等领域应用广泛。
本文将介绍三角函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期为2π的函数，定义如下：sinθ = y/r其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
正弦函数的性质有：（1）周期性：sin(θ+2π) = sinθ（2）奇偶性：sin(-θ) = -sinθ（3）微分关系：d(sinθ)/dθ = cosθ2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期为2π的函数，定义如下：cosθ = x/r其中，θ表示角度，x表示直角三角形中的邻边长度，r表示直角三角形的斜边长度。
余弦函数的性质有：（1）周期性：cos(θ+2π) = cosθ（2）奇偶性：cos(-θ) = cosθ（3）微分关系：d(cosθ)/dθ = -sinθ3. 正切函数（tan）正切函数是一个周期为π的函数，定义如下：tanθ = y/x其中，θ表示角度，y表示直角三角形中的对边长度，x表示直角三角形中的邻边长度。
正切函数的性质有：（1）周期性：tan(θ+π) = tanθ（2）奇偶性：tan(-θ) = -tanθ（3）微分关系：d(tanθ)/dθ = 1/cos²θ二、三角函数的应用1. 几何应用在几何学中，三角函数广泛应用于解决各种角度和长度相关的问题。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数来求解三角形的边长和角度，或者计算一个平面图形的面积。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用，特别是在描述波动、振动和周期性现象时。
例如，我们可以利用正弦函数来描述声波、光波的传播规律，或者利用余弦函数来描述振动物体的运动规律。
3. 工程应用三角函数在工程领域中的应用非常广泛。
例如，在建筑工程中，我们可以利用三角函数来计算房屋的高度、角度等信息；在电子工程中，三角函数可以用于描述电流、电压的波动过程。
知识讲解三角函数的性质及其应用基础 (1)
三角函数的性质及其应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法1.五点作图法：作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
2．图象变换法：（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x =的图象；（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到sin()y A x ϕ=+的图象；（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。
要点诠释：由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.图象的作法三角函数的性质及其应用图象的性质考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕω-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2Tπω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。
三角函数及其应用
三角函数及其应用三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在数学和物理学等学科中，三角函数被广泛应用于各种问题的求解和描述中。
本文将介绍三角函数的基本概念、性质以及其在实际应用中的重要性。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的值定义为对边与斜边的比值。
在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的对边长度为a，则正弦函数被定义为sinθ = a/h。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一种常用的三角函数，它的值定义为邻边与斜边的比值。
同样在一个直角三角形中，假设其斜边长度为h，其中一个锐角的邻边长度为b，则余弦函数被定义为cosθ = b/h。
3. 正切函数（tan）正切函数是另一个常见的三角函数，它的值定义为对边与邻边的比值。
在直角三角形中，正切函数被定义为tanθ = a/b。
这些基本的三角函数在数学中有许多重要的性质与关系，如同一锐角的正弦与余弦的平方和为1，正弦函数与余弦函数之间存在一个倒数关系等。
这些性质和关系为三角函数的应用提供了坚实的理论基础。
二、三角函数的应用1. 解决三角形问题三角函数在解决三角形相关问题中发挥着重要作用。
例如，已知一个三角形的两边长度和夹角，可以利用三角函数求解该三角形的其他边长和角度。
这在测量学、建筑学和导航等领域中是非常常见的应用。
2. 信号处理与波动模型三角函数在信号处理和波动模型中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，正弦函数可以用来描述声音的波动。
在电子通信中，可以利用三角函数描述和分析调制信号的频谱特性。
这些应用使得三角函数成为了数字信号处理和通信工程的重要基础。
3. 物理学中的运动描述在物理学中，三角函数也被广泛用于描述物体的运动。
例如，一个振动的物体可以用正弦函数来描述其位置随时间的变化。
同样地，一段直线运动可以用余弦函数来描述物体的位置随时间的变化。
这些应用使得三角函数在物理学建模和运动分析中具有重要地位。
三角函数基础知识
三角函数基础知识三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基础知识，包括正弦、余弦和正切等常用三角函数的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
对于任意实数x，其正弦值可以表示为sin(x)，即sin(x) = A/C，其中A是x点在单位圆上垂直于x轴的投影长度，C是单位圆的半径。
正弦函数有以下一些重要特点：1. 周期性：sin(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数关于原点对称，即图像关于原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，即sin(x) ≤ 1，sin(x)≥ -1。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中与正弦函数相似的一个函数。
对于任意实数x，其余弦值可以表示为cos(x)，即cos(x) = B/C，其中B是x点在单位圆上与x轴的夹角的邻边长度。
余弦函数与正弦函数有相似的性质：1. 周期性：cos(x)具有周期2π，即对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)。
2. 偶函数性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称，即图像关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域为[-1, 1]，即cos(x) ≤ 1，cos(x)≥ -1。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数，对于任意实数x，其正切值可以表示为tan(x)，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正切函数有以下一些特点：1. 周期性：tan(x)具有周期π，即对于任意实数x，有tan(x + π) = tan(x)。
2. 奇函数性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数关于原点对称，即图像关于原点对称。
3. 取值范围：正切函数的取值范围为整个实数集。
四、三角函数的应用三角函数在许多实际问题中都有广泛的应用。
三角函数的8种性质及应用专题讲解
三角函数的8种性质及应用专题讲解本文将讲解三角函数的8种性质及应用。
三角函数是数学中的重要概念，具有广泛的应用领域。
1. 正弦函数的性质及应用正弦函数是三角函数中的一种，记作sin(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正弦函数的应用包括：- 在物理学中，用于描述振动和波动现象；- 在工程学中，用于计算交流电流的变化。
2. 余弦函数的性质及应用余弦函数是三角函数中的一种，记作cos(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
余弦函数的应用包括：- 在几何学中，用于计算角度和距离；- 在工程学中，用于计算交流电压的变化。
3. 正切函数的性质及应用正切函数是三角函数中的一种，记作tan(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
正切函数的应用包括：- 在静力学中，用于计算物体的平衡条件；- 在通信工程中，用于计算信号的传输角度。
4. 余切函数的性质及应用余切函数是三角函数中的一种，记作cot(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余切函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算电流和电阻之间的关系；- 在金融学中，用于计算利率和本金的关系。
5. 正割函数的性质及应用正割函数是三角函数中的一种，记作sec(x)。
它的性质包括：周期性、偶函数和界限。
正割函数的应用包括：- 在工程学中，用于计算电路的电流和电压之间的关系；- 在测量学中，用于计算角度和边长的关系。
6. 余割函数的性质及应用余割函数是三角函数中的一种，记作csc(x)。
它的性质包括：周期性、奇函数和界限。
余割函数的应用包括：- 在物理学中，用于计算声波和光波的频率；- 在经济学中，用于计算供应和需求之间的关系。
7. 三角函数的诱导公式及应用三角函数的诱导公式是将一个三角函数表达为其他三角函数的组合形式。
利用诱导公式，可以简化三角函数的运算。
三角函数的诱导公式的应用包括：- 在数学证明中，用于简化复杂的三角函数表达式；- 在物理学和工程学中，用于计算复杂波动的特性。
三角函数的基本性质及应用
三角函数的基本性质及应用三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基本性质以及其在实际应用中的具体用途。
一、三角函数的基本性质1. 正弦函数（sine function）：正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
它是一个周期函数，周期为360度或2π弧度。
正弦函数的图像在0度、90度、180度、270度和360度处的函数值分别为0、1、0、-1和0。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数的定义域和值域同样为实数集。
它也是一个周期函数，与正弦函数的周期相同。
余弦函数的图像在0度、90度、180度、270度和360度处的函数值分别为1、0、-1、0和1。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数的定义域为实数集，但是在某些位置会出现无穷大值。
正切函数的值域为整个实数集。
它同样是一个周期函数，周期为180度或π弧度。
正切函数的图像在0度、45度、90度、135度和180度处的函数值分别为0、1、无穷大、-1和0。
二、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，利用正弦定理和余弦定理可以计算三角形的边长和角度。
在测量领域，三角函数也被用于解决各种测量问题，如测量高楼大厦的高度、距离和角度。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用也非常重要。
例如，在力学中，利用三角函数可以描述物体的运动、速度和加速度。
在波动学中，三角函数被用来表示振幅、频率和相位差等概念。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中有广泛的应用。
在建筑工程中，利用三角函数可以计算出房屋的角度和尺寸。
在电子工程中，三角函数被用于分析交流电信号的频率和相位。
总结：三角函数是数学中的重要概念，具有基本性质和广泛的应用。
正弦函数、余弦函数和正切函数作为三角函数的代表，它们在几何学、物理学和工程学中扮演着重要角色。
通过研究和应用三角函数，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
三角函数的图象、性质及应用(高中数学知识点讲解)
(5)不能认为y=tan
x在定义域上为增函数,应在区间
kπ-
π 2
,kπ
+
π 2
(k∈Z)内
为增函数.
知能拓展
考法一 关于三角函数图象的问题
例1 (1)(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<
φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈
求φ及ω,从而
得到f(x)的解析式,由f(α)=1求α,进而得cos
2α
+
5π 6
.
A = 5,
(2)①根据已知表格中的数据可得方程组
π 3
ω
+
φ
=
π 2
,
解之可得函数f(x)的
5π 6
ω
+
φ
=
3π 2
,
解析式,进而可补全表格.
②由①并结合函数图象平移可得,g(x)=5sin
2
x
+
2θ -
π 3
-2x
实质上是y=tan
x与y=
π 3
-2x的复合,应
按复合函数单调性求解.
方法总结 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略
1.已知三角函数解析式求单调区间
(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合
函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx
2π ω
=4×
7π 12
-
π 3
=π,得ω=2,故f(x)=3sin(2x+φ),将
三角函数的定义与性质及应用
三角函数的定义与性质及应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义与性质以及它们在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等，在平面直角坐标系中定义如下：正弦函数：在直角三角形中，正弦函数表示斜边与对应的直角边的比值，记作sinθ，其中θ为对应的角度。
正弦函数的取值范围为[-1,1]。
余弦函数：在直角三角形中，余弦函数表示斜边与斜边所在直角边的比值，记作cosθ，其中θ为对应的角度。
余弦函数的取值范围为[-1,1]。
正切函数：在直角三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值，记作tanθ，其中θ为对应的角度。
正切函数的取值范围是整个实数集。
三角函数具有一些基本性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
3. 相关性质：正弦函数与余弦函数有如下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。
这被称为三角恒等式，它是三角函数最基本的性质之一。
二、三角函数的应用三角函数在几何学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1. 几何学应用：三角函数在几何学中经常用于解决直角三角形的问题。
通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以求解三角形的边长、角度等信息。
例如，通过已知一个角度和一个边长，可以利用正弦函数求解另一个角度或边长。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中的应用广泛，尤其是在描述周期性运动中。
例如，物体做简谐振动时，其位移随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数表示。
三角函数的性质及其在高中数学中的应用
三角函数的性质及其在高中数学中的应用三角函数是高中数学中的重要内容，它们具有独特的性质和广泛的应用。
本文将从三角函数的定义开始，探讨它们的性质，并介绍它们在高中数学中的应用。
三角函数的定义是基于单位圆上的点坐标来进行的。
我们先来看正弦函数（sin）和余弦函数（cos）。
在单位圆上，对于任意一个角度θ，可以找到一个点P(x,y)，其中x坐标为cosθ，y坐标为sinθ。
这样，我们就得到了正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数和余弦函数具有很多重要的性质。
首先是周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，也就是说，在一个周期内，函数的值会重复。
其次是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。
再次是界限性。
正弦函数和余弦函数的值都在-1和1之间，即-1≤sinθ≤1，-1≤cosθ≤1。
最后是对称性。
正弦函数和余弦函数关于y轴对称，即sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ。
接下来，我们来讨论正切函数（tan）和余切函数（cot）。
正切函数定义为tanθ=sinθ/cosθ，余切函数定义为cotθ=cosθ/sinθ。
正切函数和余切函数也具有周期性、奇偶性和界限性。
它们的周期是π，即在一个周期内，函数的值会重复。
正切函数是奇函数，余切函数是偶函数。
它们的值可以是任意实数。
三角函数在高中数学中有广泛的应用。
首先是在几何中的应用。
三角函数可以用来计算三角形的边长和角度。
例如，已知一个直角三角形的一个角度和一个边长，可以利用正弦函数、余弦函数或正切函数来计算其他边长或角度。
其次是在物理中的应用。
三角函数可以用来描述波的性质，例如声波和光波。
正弦函数和余弦函数可以表示周期性的波动，而正切函数可以表示非周期性的波动。
再次是在工程中的应用。
三角函数可以用来计算力的分解、电路中的交流电和振动系统等。
在这些应用中，三角函数可以帮助我们理解和解决实际问题。
三角函数的基本性质与应用
三角函数的基本性质与应用三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。
它们在几何和物理等领域中具有重要作用。
本文将介绍三角函数的基本性质以及它们在实际应用中的具体应用。
一、正弦函数的基本性质与应用正弦函数（sine function）是最基本的三角函数之一。
它定义为一个角的对边与斜边的比值。
正弦函数的基本性质如下：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期为2π（或360°）。
这意味着对于一个给定的角度，正弦函数的值会在每个周期内重复。
2. 奇函数性质：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，左右两侧呈现镜像关系。
正弦函数在实际应用中广泛应用，其中一些典型的应用包括：1. 音波分析：正弦函数被广泛用于声音和音乐的分析。
通过正弦函数的频率和振幅，我们可以分析和描述不同音调和音量的声音信号。
2. 振动现象：正弦函数模拟周期性振动现象。
例如，通过正弦函数的图像，我们可以了解弹簧振子、摆振等周期性振动的特点和行为。
二、余弦函数的基本性质与应用余弦函数（cosine function）是另一个基本的三角函数。
它定义为一个角的邻边与斜边的比值。
余弦函数的基本性质如下：1. 周期性：余弦函数同样是周期性函数，其周期也是2π（或360°）。
余弦函数的周期与正弦函数完全相同。
2. 偶函数性质：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称，左右两侧呈现对称关系。
余弦函数在实际应用中也具有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用：1. 电路分析：在电路分析中，余弦函数用来描述交流电的电压和电流变化。
通过余弦函数的振幅和频率，我们可以分析电路中的电压和电流随时间的变化情况。
2. 光学的干涉和衍射现象：在光学中，余弦函数被用来描述光的干涉和衍射现象。
通过余弦函数，我们可以计算不同波长的光线的叠加和干涉效应。
三、正切函数的基本性质与应用正切函数（tangent function）是三角函数中的第三个基本函数。
三角函数基础知识点
三角函数基础知识点三角函数是数学中的一个重要分支，它研究了三角形的角和边之间的关系。
它在解决几何问题、物理问题、工程问题等方面有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数的基础知识点，包括三角函数的定义、性质、基本关系、常用公式等。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数sin、余弦函数cos和正切函数tan。
这些函数将一个角映射为一个比值，该比值与三角形的边的长度有关。
1. 正弦函数sin:正弦函数是一个周期函数，定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinA = a/c。
2. 余弦函数cos:余弦函数也是一个周期函数，定义为一个角的邻边与斜边的比值，即cosA = b/c。
3. 正切函数tan:正切函数也是一个周期函数，定义为一个角的对边与邻边的比值，即tanA = a/b。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数是周期函数，周期为360度或2π弧度。
即sin(x + 360n) = sin(x)、cos(x + 360n) = cos(x)、tan(x + 180n) = tan(x)。
2.奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
3.交替性：正弦函数和余弦函数在一些点上交替变换，即sin(x + π) = -sin(x)、cos(x + π) = -cos(x)。
正切函数在一些点上没有定义，即tan(x + π) = tan(x)。
三、三角函数的基本关系1.三角函数之间的关系：sin²A + cos²A = 1，这是三角恒等式之一，可以利用勾股定理推导出来。
2.三角函数的互换关系：sin(x) = cos(90° - x)cos(x) = sin(90° - x)tan(x) = 1/tan(90° - x)3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))四、常用三角函数公式1.加法公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) 2.减法公式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) 3.和差与倍角公式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan²(x))以上是三角函数基础知识的介绍，了解这些知识点对于理解三角函数的性质和应用是非常重要的。
三角函数的性质与应用解析几何与三角关系的掌握
三角函数的性质与应用解析几何与三角关系的掌握三角函数的性质与应用解析几何与三角关系的掌握三角函数是解析几何和三角关系中的重要概念，它们具有许多性质和应用。
本文将围绕着三角函数的性质以及在解析几何与三角关系中的应用展开讨论。
一、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 函数值范围：正弦函数和余弦函数的值域都在[-1, 1]之间，而正切函数的值域是整个实数集。
4. 基本关系：正弦函数和余弦函数之间存在基本关系sin²(x) +cos²(x) = 1，这一关系也被称为三角恒等式。
5. 单调性：正弦函数在[0, π]区间上是递增函数，在[π, 2π]区间上是递减函数；余弦函数在[0, π/2]区间上是递减函数，在[π/2, 3π/2]区间上是递增函数。
二、解析几何与三角关系的应用1. 直角三角形中的应用：通过利用正弦函数、余弦函数和正切函数，可以解决直角三角形中的问题，如计算边长和角度，求解高度等。
2. 角的平分线问题：在平面几何中，通过三角函数的应用可以求解角的平分线问题，即给定一个角，如何找到它的平分线方程。
3. 三角方程的求解：三角函数可以用于求解包含三角函数的方程，如sin(x) = 0和cos(x) = 1等。
通过利用三角函数的性质和恒等式，可以解得方程的根。
4. 解析几何中的曲线图像：三角函数在解析几何中的曲线图像具有重要应用，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过对三角函数的图像进行分析，可以得到曲线的周期、振幅、最值等信息。
5. 三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有广泛的应用，如分析周期性运动、波动现象等。
通过利用三角函数的性质，可以描述和解决许多物理问题。
总结：三角函数作为解析几何和三角关系中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
三角函数的基本性质与像知识点总结
三角函数的基本性质与像知识点总结三角函数是数学中的重要概念，在几何图形、物理问题等领域都有广泛应用。
本文将对三角函数的基本性质和像知识点进行总结和归纳。
一、正弦函数与余弦函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。
即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
3. 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
函数图像在y轴上下波动，最大值为1，最小值为-1。
4. 单调性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。
在0到2π（或0°到360°）的区间内，正弦函数在0到π（或0°到180°）单调递增，余弦函数在0到π/2（或0°到90°）单调递减。
二、正切函数与余切函数的基本性质1. 周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π（或180°）。
即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
这意味着函数图像关于原点对称。
3. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为实数集，但由于存在奇点，即函数在某些角度上无定义，因此需注意避开这些奇点。
值域为全体实数。
4. 单调性：正切函数和余切函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。
在0到π/2（或0°到90°）的区间内，正切函数和余切函数均单调递增。
三、三角函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式：sin(x+π)=-sin(x)，sin(x+2π) = sin(x)。
2. 余弦函数的诱导公式：cos(x+π)=-cos(x)，cos(x+2π) = cos(x)。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用引言：三角函数是数学中一个重要的分支，它研究角度和三角形之间的关系，具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的性质以及其在实际问题中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的一种，它定义为一个角的对边与斜边之比。
正弦函数的性质包括周期性、奇偶性和界值等。
周期性是指正弦函数的值在一定范围内重复出现，奇偶性则决定了正弦函数的对称性，界值则是指正弦函数的取值范围。
2. 余弦函数余弦函数是正弦函数的补函数，它定义为一个角的邻边与斜边之比。
余弦函数与正弦函数具有相似的性质，包括周期性、奇偶性和界值等。
不同的是，余弦函数的取值范围与正弦函数相反。
3. 正切函数正切函数是角的正弦值与余弦值之比，它定义了一个角的斜边与邻边之比。
正切函数的性质包括周期性、奇偶性和界值等。
正切函数在数学和物理中有广泛的应用，如在三角恒等式的证明中常常使用到。
4. 反三角函数反三角函数是三角函数的逆运算，它可以将一个三角函数值转化为对应的角度值。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反三角函数的性质包括定义域、值域和导数等。
二、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用，如计算三角形的边长和角度、解决三角形的面积和高度等。
三角函数的性质可以帮助我们推导出一些几何定理，如正弦定理、余弦定理和正切定理等。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用，如在力学中的运动学和动力学中。
三角函数可以描述物体的运动轨迹、速度和加速度等。
在波动学中，三角函数可以描述波的传播和干涉现象。
3. 工程应用三角函数在工程学中也有广泛的应用，如在建筑设计中的测量和布局、电路中的交流电压和电流计算等。
三角函数可以帮助工程师解决一些实际问题，如测量高楼的高度、计算电路中的功率和电阻等。
4. 统计应用三角函数在统计学中也有一定的应用，如在数据处理和分析中的周期性和波动性等。
三角函数可以帮助统计学家分析和预测一些周期性现象，如股市的涨跌和季节性的销售变化等。
三角函数的性质与应用
三角函数的性质与应用三角函数是数学中非常重要的概念之一，它们在几何、物理和工程学等领域有着广泛的应用。
本文将讨论三角函数的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、正弦函数的性质正弦函数是三角函数中最基本的一个，它的定义域是实数集，值域是闭区间[-1, 1]。
正弦函数的周期是2π，并且具有以下性质：1. 奇函数性质：正弦函数关于原点对称，即sin(-x) = -sin(x)。
2. 周期性质：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数在每个周期内的取值是相同的。
3. 交错性质：在[0, π]区间内，正弦函数是递增函数；在[π, 2π]区间内，正弦函数是递减函数。
4. 正交性质：正弦函数的图像在[0, π/2]区间上与[π/2, π]、[π, 3π/2]、[3π/2, 2π]等其他区间上的正弦函数图像关于x轴对称。
二、余弦函数的性质余弦函数是另一个基本的三角函数，它的定义域是实数集，值域是闭区间[-1, 1]。
余弦函数的周期也是2π，并且具有以下性质：1. 偶函数性质：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x) = cos(x)。
2. 周期性质：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数在每个周期内的取值是相同的。
3. 交错性质：在[0, π/2]区间内，余弦函数是递减函数；在[π/2, π]区间内，余弦函数是递增函数。
4. 正交性质：余弦函数的图像在[0, 2π]区间上关于y轴对称。
三、正切函数的性质正切函数是三角函数中最常见的一个，它的定义域是实数集，值域是整个实数集。
正切函数的周期是π，并且具有以下性质：1. 奇函数性质：正切函数关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。
2. 周期性质：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数在每个周期内的取值是相同的。
3. 奇点性质：正切函数在π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π处取无穷大或无穷小值，这些点称为正切函数的奇点。
三角函数的基本概念与性质知识点总结
三角函数的基本概念与性质知识点总结一、基本概念三角函数是三角学中的重要概念，由于其广泛的应用领域和强大的计算能力，在数学和物理等学科中具有重要地位。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，其定义可以通过单位圆上的点坐标来理解。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
在单位圆上，将角度θ的终边与圆周的交点的纵坐标即为θ的正弦值。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
在单位圆上，将角度θ的终边与圆周的交点的横坐标即为θ的余弦值。
3. 正切函数（tan）正切函数是一个周期函数，定义域为全体实数，值域为(-∞, +∞)。
在单位圆上，将角度θ的终边与单位圆的交点的纵坐标除以横坐标即为θ的正切值。
二、基本性质三角函数具有一些基本性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
1. 周期性正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期函数，其周期分别为2π。
也就是说，三角函数在一个周期内的函数值是相同的。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
即在坐标系中，正弦函数的图像关于原点对称，余弦函数的图像关于y轴对称，正切函数的图像关于原点对称。
3. 互补关系正弦函数与余弦函数具有互补关系。
即对于任意角度θ，sin(90° - θ) = cosθ。
4. 和差化积正弦函数和余弦函数可以通过和差化积公式相互转化，即sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ。
这个公式在解决三角函数的复合角问题时非常有用。
5. 三角恒等式三角恒等式是三角函数的重要性质，其中最基本的恒等式为sin²θ + cos²θ = 1。
其他常用的三角恒等式包括二倍角公式、半角公式、余弦定理等，这些公式能够大大简化三角函数的运算。
三角函数的基本性质与应用
三角函数的基本性质与应用三角函数是数学中的重要概念，在几何学、物理学、工程学等领域广泛应用。
本文将主要介绍三角函数的基本性质和应用，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、三角函数的定义和基本性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，即sinθ=opposite/hypotenuse。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，即cosθ=adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
4. 余切函数（cot）：在直角三角形中，余切函数定义为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
5. 修正正弦函数（csc）：修正正弦函数定义为斜边与对边的比值的倒数，即cscθ=hypotenuse/opposite。
6. 修正余弦函数（sec）：修正余弦函数定义为斜边与邻边的比值的倒数，即secθ=hypotenuse/adjacent。
7. 修正正切函数（cotan）：修正正切函数定义为邻边与对边的比值的倒数，即cotanθ=adjacent/opposite。
三角函数有周期性，即在一个周期内，函数值会不断重复，周期的长度是2π（弧度制）或360°（角度制）。
二、三角函数的应用1. 几何学应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，利用正弦定理和余弦定理可以求解三角形的边长和角度。
三角函数还可以用于求解图像之间的夹角，比如计算两条直线的夹角。
2. 物理学应用三角函数在物理学中有很多应用，尤其是在描述振动、波动和周期性运动方面。
例如，正弦函数可以用来描述周期性的振动或波动。
利用三角函数的周期性，可以计算波长、频率以及相位差等物理量。
3. 工程学应用三角函数在工程学中也有广泛应用。
例如，三角函数可以用于描述交流电压和电流的周期性变化。
三角函数基本知识点
三角函数基本知识点三角函数是中学数学中的一个重要概念，是研究角和角度的函数关系的数学工具。
它是高中数学的基础，也是理工科学习的重要基础知识点。
本文将重点介绍三角函数的基本概念、性质和应用。
一、三角函数的基本概念1.角度和弧度制度量：角度是研究角的大小的度量单位，以°表示；弧度是角的大小的度量单位，以弧长与半径相等的单位弧长表示。
2. 基本三角函数：常用的三角函数有正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ，它们分别表示角θ的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的定义可以通过单位圆在平面直角坐标系中的投影来理解。
3. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π，即sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ；正切函数的最小正周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
二、三角函数的性质1. 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ)=cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。
2.三角函数的正负关系：在单位圆上，正弦函数在0到π/2之间为正，余弦函数在0到π之间为正，正切函数在0到π/2之间为正。
3. 三角函数的周期关系：对于正弦函数和余弦函数，sin(θ+2kπ)=sinθ，cos(θ+2kπ)=cosθ，其中k为整数；对于正切函数，tan(θ+πk)=tanθ，其中k为整数。
4.三角函数的互等关系：通过对三角函数的定义进行代数运算，可以得到一些重要的三角函数互等关系，如正切函数与正弦函数、余弦函数的关系等。
三、三角函数的应用1.三角函数在几何图形中的应用：三角函数在三角形的边与角、面积和高、周长和半周长等方面有广泛应用，如利用正弦定理和余弦定理求解三角形的边长和角度。
2.三角函数在物理学中的应用：三角函数在物理学中有许多应用，如在匀速圆周运动中，利用正弦函数和余弦函数可以描述物体的位置、速度和加速度等随时间变化的关系。
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三角函数的性质及其应用 编稿：李霞 审稿：孙永钊【考纲要求】1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响.2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法1.五点作图法：作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
2．图象变换法：（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变），得到sin y A x =的图象；（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到sin()y A x ϕ=+的图象；（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。
要点诠释：由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，2T πω=叫做周期，12f T ωπ==叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕω-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2Tπω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T πω=3. 奇偶性:2k πϕπ=+时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.4．单调性:单调增区间:[ωϕππωϕππ-+--22,22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[ωϕππωϕππ-+-+232,22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(ωϕπ-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=ωϕππ-+2k ，k Z ∈6．最值: 当22x k πωϕπ+=+即22k x ππϕω+-=时，y 取最大值A当22x k πωϕπ+=-即22k x ππϕω--=时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).要点诠释：①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。
【典型例题】类型一、求函数sin()y A x ωϕ=+(0A ≠,0ω>)的单调区间例1（2015 四川摸底）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与直线2y =-的两个相邻公共点之间的距离等于π，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．2[,],63k k k Z ππππ++∈ B ．[,],36k k k Z ππππ-+∈C ．4[2,2],33k k k Z ππππ++∈D ．5[2,2],1212k k k Z ππππ-+∈【思路点拨】由已知得到周期，然后根据周期求出ω，可得函数的解析式；再利用正弦函数的单调性得出结论．【解析】因为()3sin cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+的最小值为-2，可知2y =-与()f x 的两个相邻公共点之间的距离就是一个周期，于是2T ππω==,即ω=2，所以()2sin(2)6f x x π=+。
令32[2,2],,622x k k k Z πππππ+∈++∈解得2[,],,63x k k k Z ππππ∈++∈故选A 。
【总结升华】对于较为复杂的三角函数，可先通过恒等变形转化为sin()+y A x B ωϕ=+或cos()+y A x B ωϕ=+的形式，再进行三角函数的单调性的求解.举一反三：【变式1】求下列函数的单调递增区间. （1）cos(2)3y x π=-，（2）|sin()|4y x π=-+，（3）)tan(33y x π=-. 【解析】（1）∵cos(2)3y x π=-，∴递增区间为：27[,]36x k k ππππ∈++(k Z ∈)； （2）画出|sin()|4y x π=-+的图象：可知增区间为3[,]44x k k ππππ∈++(k Z ∈)；（3）函数在区间5[,]183183k k x ππππ∈-++(k Z ∈)上是增函数. 【变式2】利用单调性比较3cos 2，1sin 10，7cos 4-的大小：【解析】 ∵33cossin()222π=-，77cos 44sin()2π--=，且74130221022πππ->>>->∴7cos413sincos 102>-> 类型二、三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其变换例2．已知函数x x y 2cos 32sin +=（1）用五点法作出它的图象；（2）指出这个函数的振幅、周期、频率、初相和单调区间；（3）说明该函数的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到？ 【思路点拨】化简2sin(2)3y x π=+，令320,,,,2322x πππππ+=，分别求出对应的x 值，再描点作图，注意图象变换的时候每一个变换总是对字母x 而言的. 【解析】（1）)32sin(2)3sin 2cos 3cos 2(sin 2)2cos 232sin 21(2π+=π⋅+π⋅=+=x x x x x y . 23x π+ 02ππ 32π2π x 6π-12π 3π 712π56πy0 2 0 2- 0（2）如图可知，此函数的振幅是2，周期为π，频率为π1，初相为3π. 单调增区间为]12,125[π+ππ-πk k k ∈Z ， 单调减区间为]127,12[π+ππ+πk k k ∈Z.（3）法一：sin y x=π3−−−−−−−−−−−→图象向左平移个单位纵坐标不变sin()3y x π=+−−−−−−−−−−−−−→横坐标缩短为原来的0.5倍纵坐标不变sin(2)3y x π=+−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变2sin(2)3y x π=+ 法二：sin y x =−−−−−−−−−−−−−→横坐标缩短为原来的0.5倍纵坐标不变sin 2y x =π6−−−−−−−−−−−→图象向左平移个单位纵坐标不变sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变2sin(2)3y x π=+【总结升华】①五点法作sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的简图时，五点取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π、π、32π、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图； ②由sin y x =的图象变换出sin()y A x ωϕ=+的图象一般先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少；③此处的难点是函数图象的平移，可以选择画出图象后观察；也可以直接由函数式子利用特殊位置点（如：首点、波峰、波谷等）的坐标判定，但其前提是两个函数的名称以及x 的系数是相同的.举一反三：【变式1】（2015 漳州一模）为得到函数的图象，只需将函数y =sin2x 的图象（ ） A ．向左平移个长度单位 B ． 向右平移个长度单位 C ．向左平移个长度单位D ． 向右平移个长度单位【答案】A 【解析】∵，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A ．【变式2】试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ 2−−−−−−−−−−−−→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变 1sin()33y x π=+π3−−−−−−−−−−−→图象向右平移个单位纵坐标不变1sin 3y x =3−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =. 方法二：1sin(2)33y x π=+π6−−−−−−−−−−−→图象向右平移个单位纵坐标不变1sin 23y x = 2−−−−−−−−−−−−→横坐标扩大为原来的倍纵坐标不变1sin 3y x =3−−−−−−−−−−−−→纵坐标扩大到原来的倍横坐标不变sin y x =.【变式3】若函数sin y x =的图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的13，再将图象沿x 轴向右平移3π个单位，则新图象对应的函数式是( ) A ．sin3y x =- B ．1πsin 33y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．πsin 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．πsin 39y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】A【变式4】画出函数3sin(2)4y x π=-在区间[0]π，上的图象.【解析】由3sin(2)4y x π=-知道：x 0 8π38π 58π 78π π y22-－1 0 1 022- 故函数在区间[0]π，上的图象：例3. 如图，它是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)A ωϕπ>><的图象，由图中条件，写出该函数的解析式。