高三数学第六次月考试题及答案理科
2020届湖南省浏阳市第一中学高三上学期第六次月考数学(理)试题含答案
浏阳市一中2020届高三第六次月考试题理科数学考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+= A ．23B ．23-C ．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()8f π--=C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 23210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2B 3C ．2D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22,2)eB. (0,2]C. 222,2)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若25(ax x的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.lm QO三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BEFE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推； y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车OMNlCA 2A 1EyxFB最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
四川省绵阳市三台县芦溪中学高三数学上学期第六次月考试题 理
芦溪中学2012届高三上学期第六次月考数学理科试题班级：高2012级 班 姓名： 得分： 命题：陈新宇本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分为150分，完成时间120分钟. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P A B P A P B ++（）=（）（） 如果事件A 、B 独立，那么P A B P A P B ⋅⋅（）=（）（）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率-1k k n kn nP k C P P -（）=（） 第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．计算212sin8π-的值为A ．lB ．12CD2．已知a 、b ∈R，i 为虚数单位，若bi a ii+=+12，则a +b 的值为A ．0B ．1C ．2D ．33．设}{|01A x x =<<，}{|1B x x =<，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．)(212lim *1N n nn n ∈++∞→的结果为A ．1B ．2C ．3D ．不存在5．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ ） A. 2 B. 4 C.152D.1726．若非零向量||||=+满足与，则△ABC 的形状是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．若函数y g =（x ）与21y x =+0x ≤（）互为反函数，则函数y g x =（-）大致图象为8．已知a ，b 是非零向量，且,3a b π<>=，则向量||||a bp a b =+的模为 A．2 D ．39．已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x+y 的最大值是A.2B.5C.6D.810．已知定义在R 上的函数)(),(x g x f 分别满足：)()(,0)1()1(x g x g x f x f =-=-++，则下列函数中，一定为奇函数的是 A ．)()(x g x f y ⋅= B ．)()1(x g x f y ⋅+=C ．)()1(x g x f y ⋅-=D ．)1()(-⋅=x g x f y11．为了得到函数y ＝sin(2x －6π)的图像,可以将函数y ＝cos2x 的图像 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度12．设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8180，则在一次试验中事件A 发生的概率是A ． 56B ． 12C ． 13D ．32第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分,共16分）把答案填在题中横线上.13．已知数列{}n a 的通项公式为211n a n =-+，其前n 项的和为n S ()n N *∈，则当n S 取最大值时，n = .14．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB的长为a =___________．15．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos ．16．已知a R ∈，且2k παπ≠+，k Z ∈设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①l 的倾斜角为arctan(tan )α；②l 的方向向量与向量(cos ,sin )a αα=共线；③l与直线sin cos 0x y n αα-+=()n m ≠一定平行；④若04a π<<，则l 与y x =直线的夹角为4πα-；⑤若4k παπ≠+，k Z ∈，与l 关于直线y x =对称的直线l '与l 互相垂直．其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α），α∈(23,2ππ)．(1)若||||AC CB =，求角α的值； (2)若AC CB ⋅=－1，求a aa tan 12sin sin 22++的值.18．（本小题满分12分）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．19．（本小题满分12分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求：(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ；(Ⅱ)动点Q 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为111,,,91011且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中： （1）获赔的概率；(4分)（2）获赔金额ξ的分别列与期望．(8分)21．（本小题满分12分）已知定义在R 上的奇函数24()1x bf x ax +=+的导函数为()f x '，且()f x '在点1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间(,2)m m +上是增函数，求实数m 所有取值的集合； （3）当12,x x R ∈时，求12()()f x f x ''-的最大值．22．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足：12323(1),3n n na a a na a a n N n *+++++=∈，（1）求1a 、2a 、3a ，猜测n a 的表达式并证明；（2）求证：sin n a π≥2na ；（3）设数列1sin n n a a π+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：132n S π<<.四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期末考试数学(理)模拟试题综合练习参考答案一、选择题：1—5DCABC 6—10CDBCB 11—12CD 二、填空题： 13．5；14．0；15； 16．②④ 三、解答题：17．解：.(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC =(cos α, sin α－3).∴∣AC ∣=a a a sin 610sin )3(cos 22-=+-．∣BC ∣=a a a sin 610)3sin (cos 22-=-+．由∣AC ∣=∣BC ∣得sin α=cos α.又∵α)23,2(ππ∈，∴α=45π. (2)由AC ·BC =－1,得(cos α－3)cos α+sin α (sin α－3)=－1∵sin α+cos α=32.①又a a aaa a aa a cos sin 2cos 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++. 由①式两边平方得1+2sin αcos α=94 , ∴2sin αcos α=95-,∴95tan 12sin sin 22-=++a a a 18．解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0． （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．19．解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f 所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故 1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x20．解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=． 综上知，ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法：解法一：由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）． 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，，则1ξ有分布列故1900010009E ξ=⨯=． 同理得21900090010E ξ=⨯=，319000818.1811E ξ=⨯≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．21．解：（1）14)(2++=ax bx x f 是奇函数，易求得b =0.又)(,)1(24)1(4)(222x f ax axx ax x f 且+⋅-+='在点x =1处取得极值， 24()0. 1.().1xf x a f x x '∴===+可得故 （2）.110)(,)1()1)(1(4)(22<<-⇒>'++--='x x f x x x x f 由 )(x f ∴的单调递增区间为（－1，1）.若)(x f 在区间（m ，m +2）上是增函数，则有m =－1.即m 取值的集合为{－1}.（3）]11)1(2[4)1()1)(1(4)(22222+-+=++--='x x x x x x f ，令].1,0(,21)41(8)2(4)()(,11222∈--=-=='+=t t t t t g x f x t 则12119()[,4].()()4().222f x f x f x '''∴∈-∴-≤--=)()(21x f x f '-'∴的最大值为29.22．解：（1）.4,3,2321===a a a 猜测：.1+=n a n①当n =1时，a 1=1+1=2，猜想成立.②假设当n =k 时成立，即a k =k +1.).(2)1()1(0)2(23)1(3)1)(1()1(,1.3)1)(1(3)1(,),2(3)1)(1()1(32.3)1(323)1(321122112111111111321321321舍去时则当得两式相减k a k a k a k k a a a a k a a k a k k n a a n a a n na n a a n a n a a a a a n na a a a a a n na a a a k k k k k k k k k k n n n n n n n n nn n n n n -=+=⇒+=-⇒=+--⇒+-++=++=+--+=≥+-=-++++∴+=++++∴+=++++++++++++-----即当n =k +1时，猜想成立.故对一切1,*+=∈n a N n n 成立．（2）设)20(2sin )(ππ≤<-=x x x x f ，由.2arccos ,02cos )(ππ==-='x x x f 得由]2,0()(,cos π在知的单调性x f x y =内有且只有一个极大值点，且.0)2()0(==πf f 因此在]2,0(π内，).20(2sin ,0)(ππ≤<>>x x x x f 即22,(0,],sin.1,,sin .22nnnn n n nx n a a a a a a a πππππππ=∈∴>==∴=令又当时.2.sinnna a ≥∴π（3）).2,0(,611ππ∈∴≥++n n n n a a a a 由（2）可知.2sin11++>n n n n a a a a π.31)2121()211141313121(2)2()1(sin43sin32sin≥+-=+-+++-+->+⋅+++⋅+⋅=∴n n n n n S n πππ.31,*>∈n S N n 即对一切 同理可证).20(sin π<<<x x x.2)2121()211141313121()2()1(sin43sin32sinππππππ<+-=+-+++-+-<+⋅+++⋅+⋅=∴n n n n n S n.2,*π<∈n S N n 即对一切 .231π<<∴n S。
贵州师大附中2010届高三第六次月考数学试题(理科)答案
3cos 05B =>20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =4tan 3B =1sin 2S acB =贵州师大附中2009——2010学年第一学期期末考试高三数学 理科参考答案13、3 14、6 15、32316、a17、【解】（I ）由sin 4b A =得4sin =B a ，由320tan =B a 与4sin =B a 两式相除，有： ， 又通过 知：0tan >B ，………………….3分则由 ， ，得 则5a =．……………………….5分 （II ）由 ，得到5c =．C A =∴…………………………….7分 由2571)53(21cos 21)(cos 212cos 24cos 2222-=-⨯=-=-+=-=B C A C C …0分18、【解】（I ）证明：在PBC V 中，1,BC PC PB ===222BC PC PB \+=90PCB\?o，即PC BC^， ---------------------------1分,AB PC AB BC B^=Q I ，PC \^平面ABCD . ---------------------------4分（II ）解：设点B 到平面P AD 的距离为h ，A B B C^Q ，AC \=PC ^Q 平面ABCD ，PC AC\^，PA \=在直角梯形ABCD 中，1,1,2AB BC CD ===， AD \=在PAD V 中，AD =QPA PD ==\222A D P A P D+=， 90PAD\?o，PAD \V 的面积122P A D S A D P A=?V ----------------8分Q 三棱锥B -P AD 的体积B PADP ABDV V --=，13PAD S h \鬃V 13ABD S PC=鬃V ，-------------10分即1(11)122h创 ，解得6h =， \点B 到平面P AD 的距离为6.---------12分19、【解】（I ）)2(2,2)1(11≥=-+=--++n a a n a a n na n n n n nn a a a a s a a n n 2}{,2,2,212121==-∴+==等差所以………………………6分 （II ）121223221,2222--++++===n n n nnn n T n n a112224,21)2(221221222121--+-=+-=+-+++=n n nn nn n n T n T n n T …………………………………12分20、【解】（I ）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为1819110C C C ，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为131416C C C 1116431111098110C C C P C C C ∴==…………………………………………………………………（4分）（II ）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2则157)0(1819110161718===CC C C C C P ξ157)1(181911017181213===C C C C C C C P ξ 151)2(1819110121318===C C C C C C P ξ…………………（8分）所以ξ的分布列为：…………………………………………………………（10分）从而有53151215711570=⨯+⨯+⨯=ξE ………………………………………（12分）21、【解】（I ）()02≥-='x a x x f 在(]2,1∈x 恒成立，所以22x a ≤，2≤∴a ．又()021≤-='xa x g 在()1,0∈x 恒成立，所以 x a 2≥,2≥∴a .……………4分从而有2=a ．故()x x x f ln 22-=，()x x x g 2-=． …………………………6分 （II ）令2)()()(--=x g x f x F ，则xx x x F 1122)('+--=xx x x x x )222)(1(+++-=所以()x F 在()1,0上是减函数，在()+∞,1上是增函数，……………………………9分 从而当0>x 时,()()01min ==F x F ，所以方程2)()(+=x g x f 在()+∞,0只有一个解1=x ． ……………………12分22、【解】（I ）设C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1（a >b >0），设c >0，c 2＝a 2－b 2，由条件知a-c ＝22，ca ＝22，∴a ＝1，b ＝c ＝22，故C 的方程为：y 2＋x 212＝1 …………………………4分（II ）由AP ＝λPB 得OP －OA ＝λ（OB －OP ），（1＋λ）OP ＝OA ＋λOB ， ∴λ＋1＝4，λ＝3 ………………………………………………6分 设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ⎩⎨⎧y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*）x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ………………………………………………8分∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 ………………………………………………10分 m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1） ………………………12分．。
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题
河北省重点中学2024年高三第6次月考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ） A ．23B ．25C ．28D ．292．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．723． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．454．将函数()32cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 5．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆6．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．1210．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年云南师大附中高三(下)月考数学试卷(理科)(含答案)
2019－2020学年云南师大附中高三（下）月考数学试卷（理科）（六）一、选择题.1.（5分）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B = )A .{|01}x x <<B .{|02}x x <C .{|22}x x -<<D .{0，1}2.（5分）已知i 为虚数单位，则复数3(1)(1)(i i --= )A .2iB .2i -C .2D .2-3.（5分）已知平面向量a ，b 的夹角为30︒，||1a =，1()2a a b -=-，则||(b = )AB .2C .3D .44.（5分）已知实数x ，y 满足约束条件()1221x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则yx 的最大值为( )A .2B .32C .1D .235.（5分）在区间(0,3)上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点“发生的概率为( ) A .13B .12C .23D .16.（5分）已知3(21)()x x a -+展开式中各项系数之和为27，则其展开式中2x 项的系数为( )A .24B .18C .12D .47.（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin A =，a =，c a >，则角C 的大小为( )A .3πB .2πC .23πD .34π8.（5分）在下面四个三棱柱中，A ，B 为三棱柱的两个顶点，E ，F ，G 为所在棱的中点，则在这四个三棱柱中，直线AB 与平面EFG 不平行的是( )A .B .C .D .9.（5分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2:2(0)E y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A 21B .22C .3D .51-10.（5分）已知数列{}n a 满足：对*n N ∀∈，1log (2)n n a n +=+，设n T 为数列{}n a 的前n 项之积，则下列说法错误的是( ) A .12a a >B .17a a >C .63T =D .76T T <11.（5分）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形。
贵州师大附中2010届高三第六次月考数学(理科)试题
贵州师大附中2009—2010学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学 (理科) 2010-01-29考生注意：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；2．请将答案填(涂)在答题卡的相应位置上,在试卷上作答一律无效；3．考试时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分，共60分） 1．52i i+=A ．2i +B ．12i +C ．2i -+D ．12i -+2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ．{}01，B ．{}101-，， C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 3．()2tan cot cos x x x +=A ．tan xB ．sin xC ．cos xD ．cot x 4．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．430x y --= D ．430x y ++=5．对于不重合的两个平面βα,，给定下列条件： ①存在直线l ，使得βα⊥⊥l l ,； ②存在 平面γ，使γβγα⊥⊥,； ③α内有不共线三点到β的距离相等； ④存在异面直线βαβα//,//,//,//,,m m l l m l 使．其中可以确定βα//的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则 A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a7．已知向量a =，b是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a，则b =A ．（122） B ．（1,22C ．（13,44） D ．（1,0）8．若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A ．12B ．13C ．14D ．169．若动圆222()()1x a y b b -+-=+始终平分定圆222270x y x y +++-=的周长，则动点 P (a ,b )的轨迹曲线是 A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ，且满足)4()3()2()1(f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为A ．5种B ．9种C ．10种D ．15种11．双曲线122=-y x 的左右焦点分别是21,F F ,点()() ,3,2,1,=n y x P n n n 在其右支上，且满足2121121,F F F P F P F P n n ⊥=+，则2010x 的值是A ．B ．2009C ．D ．201012．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”． 黑“电子狗”爬行的路线是111AA A D →→，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）． 设黑“电子狗”爬完2010段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是A ． 0B ．1C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13．在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a __________．14．(4-的展开式中33x y 的系数为 ．15．一个球的球心到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB =BC =CA =3，则球的体积为 ． 16．已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,n P P P - ，设左焦点为1F ，则1111111()lim n n F A F P F P F B n-→∞++++ =．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且320tan =B a ，sin 4b A =．（I ）求B cos 和边长a ；（II ）若A B C △的面积10S =，求C 4cos 的值．18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，90,//,B C D A B C D ?o又1,2,AB BC PC PB CD AB PC =====^．（I ）求证：P C ^平面A B C D ； （II ）求点B 到平面PAD 的距离．A BD CP19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，n a n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ； （II ）设n T 为数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．20．某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目．测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．（I ）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； （II ）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望ξE ．21．已知函数()2ln f x x a x =-在区间（1，2 ]上是增函数，()g x x =-在区间（0，1）上为减函数.（I ）试求函数()(),f x g x 的解析式；（II ）当 x >0时，讨论方程()()2f x g x =+解的个数．22．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =22，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e , 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP PB λ=．（I ）求椭圆方程；（II ）若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．。
届高三理科数学六大专题训练题含详解
届高三理科数学六大专题训练题含详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》一、选择题1．α为三角形的一个内角，,125tan -=α则=αcos ()A ．1312-B ．135-C ．135D ．13122．函数x y sin =和函数x y cos =都是增函数的区间是()A ．)](22,232[Z k k k ∈++ππππB．)](232,2[Z k k k ∈++ππππC ．)](22,2[Z k k k ∈+πππD ．)](2,22[Z k k k ∈++ππππ3．已知,51)25sin(=+απ那么=αcos ()A ．52-B ．51-C ．51D ．524．在图中，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A点的坐标为),54,53(且AOB ∆是正三角形．则COB ∠cos 的值为()A ．10334+B ．10334- C ．10343+D ．10343-5．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是() A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π6．下列关系式中正确的是() A ．︒<︒<︒168sin 10cos 11sin B ．︒<︒<︒10cos 11sin 168sinC ．︒<︒<︒10cos 168sin 11sinD ．︒<︒<︒11sin 10cos 168sin7．在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为b a ,.若,3sin 2b B a =则角A 等于()A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8．已知函数),,0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω则“)(x f 是奇函数”是“=ϕ2π”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题9．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，则该扇形面积是____．10．设,sin 2sin αα-=),,2(ππα∈则α2tan 的值是________. 11．在锐角ABC ∆中，,1=BC ,2A B ∠=∠则AACcos 的值等于___，AC 的取值范围为___． 12．函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为________. 三、解答题 13．已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.π(1)求ω和ϕ的值；(2)若),326(43)2(παπα<<=f 求)23cos(πα+的值．14．已知向量),21,(cos -=x a ),2cos ,sin 3(x x b =,R x ∈设函数.)(b a x f ⋅=(1)求)(x f 的最小正周期； (2)求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．15．已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且.23)125(=πf (1)求A 的值；(2)若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求).43(θπ-f16．已知函数,2cos 21cos sin 3)(x x x x f ωωω-=,0>ω,R x ∈且函数)(x f 的最小正周期为.π(1)求ω的值和函数)(x f 的单调增区间；(2)在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 又,54)32(=+πA f ,2=b ABC ∆的面积等于3，求边长a 的值． 17．已知函数⋅+=2cos 34cos 4sin 2)(xx x x f(1)求函数)(x f 的最小正周期及最值；(2)令),3()(π+=x f x g 判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由． 18．在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为.c b a 、、已知,3,==/c b a(1)求角C 的大小；(2)若,54sin =A 求ABC ∆的面积.高三数学（理科）专题训练二数列一、选择题1．数列,,11,22,5,2 的一个通项公式是()A ．33-=n a nB ．13-=n a n C ．13+=n a n D ．33+=n a n 2．已知等差数列}{n a 中，,1,16497==+a a a 则12a 的值是() A ．15B ．30C ．31D ．64 3．等比数列}{n a 中，,20,647391=+=a a a a 则11a 的值是()A ．1B ．64C ．1或64D ．1或324．ABC ∆的三边c b a ,,既成等差数列又成等比数列，则此三角形是()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 5．已知数列}{n a 满足),2(11≥-=-+n a a a n n n ,3,121==a a 记,321n n a a a a S ++++= 则下列结论正确的是()A ．2,120142014=-=S aB ．5,320142014=-=S aC ．2,320142014=-=S aD ．5,120142014=-=S a6．如果在等差数列}{n a 中，,12543=++a a a 那么=+++721a a a ()A ．14B ．21C ．28D ．357．数列}{n a 中，,,10987,654,32,14321 +++=++=+==a a a a 那么=10a ()A ．495B ．505C ．550D ．5958．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,1010=S ,7030=S 则=40S ()A ．150B ．200-C ．150或200-D ．400或50- 二、填空题9．在等差数列}{n a 中，,8,12543531=-=++a a a a a a 则通项=n a ________.10．设等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 若,336=S S 则=69S S________.11．设平面内有n 条直线),2(≥n 其中任意两条直线都相交且交点不同；若用)(n f 表示这n 条直线把平面分成的区域个数，则=)2(f ______，=)3(f ______，=)4(f ______.当4>n 时，=)(n f ________. 12．已知数列}{n a 的通项公式为*).(21log 2N n n n a n ∈++=设其前n 项和为,n S 则使5-<n S 成立的最小自然数n 是________. 三、解答题13．等差数列}{n a 的前n 项和为,23,1=a S n 公差d 为整数，且第6项为正，从第7项起变为负． (1)求d 的值；(2)求n S 的最大值；(3)当n S 是正数时，求n 的最大值．14．设d a ,1为实数，首项为、1a 公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足.01565=+S S(1)若,55=S 求6S 及;1a(2)求d 的取值范围.15．已知数列}{n a 的首项n S a a ,1=是数列}{n a 的前n 项和，且满足,0,32122=/+=-n n n n a S a n S (1)若数列}{n a 是等差数列，求a的值；(2)确定a 的取值集合M ，使M a 时，数列}{n a 是递增数列.16．已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---⊆a a a(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)是否存在等差数列},{n b 使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出n b ；若不存在，说明理由. 17．等差数列}{n a 各项均为正整数，,31=a 前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，,11=b 且,6422=S b }{n a b 是公比为64的等比数列． (1)求n a 与；n b(2)证明：⋅<+++4311121n S S S 18．已知数列},{n a n S 为其前n 项的和，,9+-=n n a n S .*N n ∈(1)证明数列}{n a 不是等比数列；(2)令,1-=n n a b 求数列}{n b 的通项公式n b ；(3)已知用数列}{n b 可以构造新数列．例如：},3{n b },12{+n b },{2nb },1{nb },2{n b },{sin n b …，请写出用数列}{n b 构造出的新数列}{n p 的通项公式，使数列}{n p 满足以下两个条件，并说明理由．①数列}{n p 为等差数列；②数列}{n p 的前n 项和有最大值．高三数学（理科）专题训练三<概率>一、选择题1．对满足B A ⊆的非空集合B A 、有下列四个命题：其中正确命题的个数为()①若任取,A x ∈则B x ∈是必然事件②若,A x ∉则B x ∈是不可能事件③若任取,B x ∈则A x ∈是随机事件④若,B x ∉则A x ∉是必然事件 A ．4B ．3C ．2D ．12．从1，2，…，9中任取两个数，其中在下列事件中，是对立事件的是()①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数②至少有一个是奇数和两个都是奇数③至少有一个是奇数和两个都是偶数④至少有一个奇数和至少有一个偶数A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 3．如图所示，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为() A ．21B ．31C ．41D ．51 4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是() A ．125B ．21C ．127D ．43 5．如图所示，圆C 内切于扇形,3,π=∠AOB AOB 若在扇形AOB内任取一点，则该点在圆C 内的概率为() A ．21B ．31C ．32D ．43 6．已知随机变量ξ服从正态分布),,0(2σN 若,023.0)2(=>ξP 则)22(≤≤-ξP 的值为()A ．．．．7．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为() A ．14-πB ．π2C ．214-πD ．218．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布)10,80(~2N ξ，则下列命题中不正确的是()A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 二、填空题9．盒子里共有大小相同的三只白球、一只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是__________． 10．在集合}10,,3,2,1,6|{ ==n n x x π中任取1个元素，所取元素恰好满足方程21cos =x 的概率是__________．11．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≤--+x x 成立的概率为______.12．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为,209则参加联欢会的教师共有____人. 13．已知,4|),{(},0,0,6|),{(≤=≥≥≤+=Ωx y x A y x y x y x 若向区域Ω上随机投一点P ，则P 落入区域A 的概率是________. 三、解答题14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是,31得到黑球或黄球的概率是,125得到黄球或绿球的概率也是,125试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？15.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是32和53.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 16.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X . 17设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 18乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，落点在D 上记1分，其它情况记0分，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（II ）两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望.高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》一、选择题1．已知ABC ∆的三个顶点为、、)7,3,4()2,3,3(-B A ),1,5,0(C 则BC 边上的中线长为() A ．5B ．4C ．3D ．22．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A ．6B ．9C ．12D ．183．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱4．已知n m 、表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是()A ．若αα//,//n m ，则n m //B ．若,,//n m m ⊥α，则α⊥nC ．若,,n m m ⊥⊥α，则α//nD ．若,,αα⊂⊥n m ，则n m ⊥ 5．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为() A ．310cm πB ．320cm πC ．3310cm πD ．3320cm π6．已知过球面上C B A ,,三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且,2===CA BC AB 则球的半径是()A ．32B ．34C ．36D ．17．用c b a ,,表示三条不同的直线，α表示平面，给出下列命题：其中正确的命题是()①若,//,//c b b a 则;//c a ②若,,c b b a ⊥⊥则;c a ⊥③若,//,//ααb a 则;//b a ④若,,αα⊥⊥b a 则.//b aA ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥的轴截面顶角的余弦值是() A ．43B ．54C ．53D ．53-二、填空题9．已知三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若,4,3==AC AB,AC AB ⊥,121=AA 则球O 的半径为_______.10．在三棱锥ABC P -中，,1====BC PC PB PA 且,2π=∠BAC 则PA 与底面ABC 所成角为______.11．在长方体1111D C B A ABCD -中，,2,31cm AA cm AD AB ===则四棱锥D D BB A 11-的体积为____cm 3． 三、解答题12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，求切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值.ABCD P -与ABCD Q -的高都是2，.4=AB(1)求证：⊥PQ 平面;ABCD (2)求四面体QAD P -的体积． 14．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，,,901CC BC AC ACB o ===∠点M 为AB 的中点，点D 在11B A 上，且.311DB D A =(1)求证：平面⊥CMD 平面;11A ABB(2)求二面角M BD C --的余弦值.中，底面ABCD 为矩形，,ABCD PA 平面⊥E 为PD 的中点． (1)证明：AEC PB 平面//；(2)设二面角C AE D --为60°，,3,1==AD AP求三棱锥ACD E -的体积.16．如图所示，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，,EB AE =点F 为CE 上的点，且⊥BF 平面.ACE (1)求证：⊥AE 平面;BCE (2)求二面角E AC B --的余弦值；(3)求点D 到平面ACE 的距离． 17．如图所示，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC . (2)若,1,1,2===PA AC AB 求二面角A PB C --的余弦值.18．如图所示，平行四边形ABCD中，.4,2,60===∠AD AB DAB 将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面⊥EDB 平面ABD. (1)求证：⊥AB 平面;EBD (2)求三棱锥ABD E -的侧面积．高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》一、选择题 1．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为,25则C 的渐近线方程为()A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±=D ．x y ±=2．已知,40πθ<<则双曲线1cos sin :22221=-θθy x C 与1sin cos :22222=-θθx y C ()A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 3．椭圆1422=+y x的两个焦点为,,21F F 过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则=||2PF ()A ．23B ．3C ．27D ．4 4．已知双曲线14222=-b y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于() A ．5B ．24C ．3D ．5 5．设1F 和2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点，若)2,0(,,21b P F F 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为() A ．23B ．2C ．25D ．36．已知双曲线1222=-y x 的焦点为,,21F F 点M 在双曲线上，且,021=⋅则点M 到x 轴的距离为() A ．34B ．35C ．332D ．37．设双曲线的左焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，右顶点为A ，如果直线FB 与BA 垂直，那么此双曲线的离心率为()A ．2B ．3C ．213+D ．215+ 8．已知F 是抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上，且位于x 轴的两侧，2=⋅（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是() A ．2B ．3C ．8217D ．10 二、填空题9．已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点，双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_________. 10．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且.21PF ⊥若21F PF ∆的面积为9，则=b _________.11．抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线13322=-y x 相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则=p _________. 12．椭圆12222=+by a x 的四个顶点为,,,,D C B A 若菱形ABCD 的内切圆恰好经过它的焦点，则此椭圆的离心率是____. 三、解答题13．如图所示，动圆)31(:2221<<=+t t y x C 与椭圆19:222=+y x C 相交于DC B A ,,,四点，点21,A A 分别为2C 的左、右顶点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积．14．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两条渐近线方程为,33x y ±=若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，顶点B 的坐标是),,0(b 连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结.1C F(1)若点C 的坐标为),31,34(且,2||2=BF 求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.16．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为,,21F F 点P 在椭圆C 上，且,211F F PF ⊥ (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．17．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，求FP OP ⋅的最大值．18．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点)0)(,0(>c c F 到直线02:=--y x l 的距离为.223设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点),(00y x P 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点P 在直线l 上移动时，求||||BF AF ⋅的最小值．高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》一、选择题1．若,)(3x x f =,6)('0=x f 则=0x () A ．2B ．2-C ．2±D ．1± 2．函数133+-=x x y 的单调递减区间是()A ．)2,1(B ．)1,1(-C ．)1,(--∞D ．),1(+∞3．与直线052=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是()A ．032=+-y xB ．032=--y x C ．012=+-y x D ．012=--y x4．已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为,21则切点的横坐标为()A ．3B ．2C ．1D ．215．曲线x y cos =与x 轴在区间]23,2[ππ-上所围成的图形的面积是()A ．1B ．2C ．3D ．46．设)(),(x g x f 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且,0)(')()()('<-x g x f x g x f 则当x a <b <时，有()A ．)()()()(b g b f x g x f >B ．)()()()(x g a f a g x f >C ．)()()()(x g b f b g x f >D ．)()()()(a g a f x g x f >7．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-内是减函数，则实数b 的取值范围是()A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞8．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为()A ．x x y 5312513-=B ．x x y 5412523-= C ．x x y -=31253D ．x x y 5112533+-=二、填空题9．若曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为,2x y =则=a ______. 10．若曲线xbax y +=2（a 、b 为常数）过点),5,2(-P 且该曲线在点P 处的切线与直线++y x 2703=平行，则=+b a ______. 11．若,)(2)(12dx x f x x f ⎰+=则=⎰dx x f )(1______.12．设,R a ∈若函数)(3R x x e y ax ∈+=有大于零的极值点，则a 的取值范围是______. 三、解答题13．设函数)0()(=/=k xe x f kx .(1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2)求函数)(x f 的单调区间．14．已知函数x=xxxf-+ln.1()1)(+(1)若,1xxf求实数ax)('2++≤ax的取值范围；(2)证明：.0f-xx)()1(≥15．设,12321ln )(+++=x x x a x f 其中,R a ∈曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值；(2)求函数)(x f 的极值．16．如图所示，已知曲线21:x y C =与曲线)1(2:22>+-=a ax x y C 交于点O 、A ，直线)10(≤<=t t x 与曲线21C C 、分别相交于点D 、B ，联结.AB DA OD 、、(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式);(t f S =(2)求函数)(t f S =在区间]1,0(上的最大值．17．某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元／平方米，底面的建造成本为160元／平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000（π为圆周率）．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.18．已知函数.)2(ln )(2x a ax x x f -+-=(1)讨论)(x f 的单调性；(2)设,0>a 证明：当ax 10<<时，);1()1(x ax a f ->+(3)若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为,0x证明：.0)('0<x f高三数学（理科）专题训练一《三角函数、三角恒等变换与解三角形》参考答案9．2cm 210．311．2,)3,2(12．1 三、解答题13．(1)因)(x f 的图象上相邻两个最高点的距离为,π所以)(x f 的最小正周期,π=T 从而.22==Tπω又因)(x f 的图象关于直线3π=x 对称，所以,,2,1,0,232 ±±=+=+⋅k k ππϕπ因≤-2π2πϕ≤得,0=k 所以⋅-=-=6322πππϕ(2)由(1)得=-⋅=)622sin(3)2(πααf ,43所以⋅=-41)6sin(πα由326παπ<<得,260ππα<-< 所以=--=-)6(sin 1)6cos(2παπα⋅=-415)41(12 因此+-==+)6sin[(sin )23cos(πααπα6sin )6cos(6cos )6sin(]6ππαππαπ-+-= 14．(1)π=T (2)21)(,1)(min max -==x f x f15．(1)==+=32sin )4125sin()125(ππππA A f ,23233sin )3sin(===-A A A πππ所以=A ,3所以).4sin(3)(π+=x x f(2))()(θθ-+f f )4sin(3)4sin(3πθπθ+-++=,23cos 6==θ所以,46cos =θ因为,0sin ),2,0(>∈θπθ则=θsin ,410)46(1cos 122=-=-θ 故=+-=-]4)43sin[(3)43(πθπθπf ⋅=⨯==-4304103sin 3)sin(3θθπ16．(1)1=ω)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ(2)13=a17．(1)因),32sin(22cos 32sin)(π+=+=x x x x f 故)(x f 的最小正周期.4212ππ==T当1)32sin(-=+πx 时，)(x f 取得最小值;2-当1)32sin(=+πx 时，)(x f 取得最大值2．(2)由(1)知⋅+=)32sin(2)(πx x f 又⋅+=)3()(πx f x g故]3)3(21sin[2)(ππ++=x x g ⋅=+=2cos 2)22sin(2xx π故).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-所以函数)(x g 是偶函数． 18．(1)由题意得，=+-+22cos 122cos 1BA ,2sin 232sin 23B A - 即=-A A 2cos 212sin 23-=--B A B B 2sin()62sin(,2cos 212sin 23π),6π 由b a =/得，,B A =/又),,0(π∈+B A 得,6262πππ=-+-B A 即,32π=+B A 所以⋅=3πC(2)由,3=c Cc A a A sin sin ,54sin ==得58=a ，由,c a <得,C A <从而,53cos =A故=+=+=C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin ,10334+ 所以ABC ∆的面积为==B ac S sin 21⋅+251838高三数学（理科）专题训练二《数列》参考答案9．133-n 10．3711．4；7；11；222++n n 12．63 三、解答题13．(1)由已知,0076⎩⎨⎧<>a a 得,06230523⎩⎨⎧<+>+d d 解得,623523-<<-d 又d 为整数，故.4-=d (2)nn n n n S n 252)4(2)1(232+-=-⨯-+=,8625)425(22+--=n当6=n 时，;78=n S 当7=n 时，.77=n S 取最大值为78. (3)令,0>n S 得,02522>+-n n 解得<<n 0*),(225N n ∈ 故n 的最大值为12. 14．(1)由题意知：.31556-=-=S S .8566-=-=S S a所以,85510511⎩⎨⎧-=+=+d a d a 解得,71=a 所以.7,316=-=a S(2)因为,01565=+S S 所以,015)156)(105(11=+++d a d a即.0110922121=+++d da a 故.8)94(221-=+d d a 所以.82≥d故d 的取值范围为22-≤d 或.22≥d15．(1)在21223-+=n n n S a n S 中分别令,2=n 3=n 及,1a a =得++=+a a a a a (,12)(2222.)(27)223232a a a a a ++=+因为,0=/n a 所以2a ,212a -=.233a a +=因为数列}{n a 是等差数列，所以+1a ,223a a =即,23)212(2a a a ++=-解得.3=a经检验3=a 时，,2)1(3,3+==n n S n a n n ,2)1(31-=-n n S n 满足.32122-+=n n n S a n S(2)由,32122-+=n n n S a n S 得,32212n n n a n S S =--即,3))((211n n n n n a n S S S S =-+--因为,0=/n a ,2≥n 所以,321n S S n n =+-①所以,)1(321+=++n S S n n ② ②－①得,361+=++n a a n n 所以=+-1n n a a ,3)1(6+-n两式相减得：).2(611≥=--+n a a n n即数列 642,,a a a 及数列 ,,,753a a a 都是公差为6的等差数列，因为,23,21232a a a a +=-=所以⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-+==.,623,3,623,1,为偶数为奇数且n a n n n a n n a a n要使数列}{n a 是递增数列，须有,21a a <且当n 为大于或等于3的奇数时,1+<n n a a且当n 为偶数时,1+<n n a a 即⎪⎩⎪⎨⎧-++<+-≥+-+<-+-<为偶数为奇数且n a n a n n n a n a n a a ,62)1(36233,62)1(3623,212 解得⋅<<41549a所以M 为),415,49(当Ma ∈时，数列}{n a 是递增数列.16．(1)12-n (2)存在17．(1)设}{n a 公差为d ，由题意易知,0>d 且∈d *,N则,)1(3d n a n -+=.2)1(3d n n n S n -+=设}{n b 公比为q ，则.1-=n n q b 由,6422=S b 可得64)6(=+d q …①又}{n a b 是公比为64的等比数列，所以6411111====---+++d a a a a a a q q qq b b n n n n n n …② 由①②，且*,N d >,0>d 可解得.2,8==d q所以,12+=n a n .*,81N n b n n ∈=- (2)由(1)知),2(22)1(3+=⨯-+=n n n n n S n .*N n ∈所以),211(21)2(11+-=+=n n n n S n 所以+-=+++)311[(2111121n S S S )]211()5131()4121(+-++-+-n n 18．(1)略(2)1)21(4-=n n b (3)=n p )1(log >a b n a高三数学（理科）专题训练三《概率》参考答案一、选择题BCBCCCAB 二、填空题9．2110．5111．3212．120人13．278三、解答题14．设得到黑球、黄球的概率分别为,y x 、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---+=+,125)311(,125y x y y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,61,41y x 故41)6141311(=---,所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别是⋅416141、、15解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题可知32)(=E P ,31)(=E P ，53)(=F P ，52)(=F P .且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15131521)(1)(=-=-=H P H P .（2）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.又因1525231)()0(=⨯===F E P X P ，1535331)()100(=⨯===F E P X P ，1545232)()120(=⨯===F E P X P ，1565332)()220(=⨯===EF P X P .11521001562201541201531001520)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .16（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=.2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=. （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,=，方差D （X ）=3××（）= 17解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =B 表示事件：甲需使用设备C 表示事件：丁需使用设备D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ 所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ （2）X 的可能取值为0，1，2，3，40(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=． 0.25=，2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==， 所以(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．18解：（I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A高三数学（理科）专题训练四《立体几何初步》参考答案9．21310．3π11．6三、解答题12．底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体的体积为：1211h R V ⋅=π632⋅⋅=π.54π=从某零件的三视图可知：该几何体为左边是一个底面半径为2cm 、高为4cm 的圆柱体，右边是一个底面半径为3cm 、高为2cm 的圆柱体．其中左边的圆柱体的体积为：所以切削掉部分的体积为：.204322ππ=-⋅⋅=V V因此切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：⋅==271054201ππV V 13．(1)如图所示，取AD 的中点M ，连接.,QM PM因为ABCD P -与ABCDQ -都是正四棱锥，所以,,QM AD PM AD ⊥⊥ 从而.PQM AD 平面⊥又,PQM PQ 平面⊂所以.AD PQ ⊥同理,AB PQ ⊥所以.ABCD PQ 平面⊥(2)连接OM ，则,21221PQ AB OM ===所以,90o PMQ =∠即⋅⊥MQ PM由(1)知,PM AD ⊥所以,QAD PM 平面⊥从而PM 就是四面体QAD P -的高，在直角PMO ∆中，.22222222=+=+=OM PO PM又,242242121=⋅⋅=⋅=∆QM AD S QAD故⋅=⋅⋅=⋅=∆-31622243131PM S V QAD QAD P14．(1)在ABC ∆中，,BC AC =点M 为AB 的中点，故.AB CM ⊥又因三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，故,11ABC A ABB 平面平面⊥又,ABC CM 平面⊂故11A ABB CM 平面⊥,而,CMD CM 平面⊂故11A ABB CMD 平面平面⊥ (2)以点C 为原点，分别以1,,CC CB CA 所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令,11===CC BC AC则),0,0,0(C ),0,0,1(A ),1,0,1(1A ),0,1,0(B ),1,1,0(1B故),0,1,0(=CB )1,43,41(=CD设平面CBD 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CD n CB n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=043410z y x y ⇒⎩⎨⎧=+=040z x y ,取,1-=z 则,4=x ,0=y 故)1,0,4(-=n ,而平面MBD 的法向量是),0,21,21(=CM故>=<n ,cos 1722)1,0,4()0,21,21(⨯-⋅⋅=17342 即二面角M BD C --的余弦值为⋅17342 15．(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以.//PB EO又,AEC EO 平面⊂,AEC PB 平面⊂/所以.//AEC PB 平面(2)因为,ABCD PA 平面⊥ABCD 为矩形，所以AP AD AB ,,两两垂直．如图所示，以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系,xyz A -则),21,23,0(),0,3,0(E D ⋅=)21,23,0( 设),0)(0,0,(>m m B 则),0,3,(m C ).0,3,(m =设),,(1z y x n =为平面ACE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.02123,03z y y mx 可取),3,1,3(1-=m n 又)0,0,1(2=n 为平面DAE 的法向量，由题设,21|,cos |21=><n n 即=+2433m ,21解得⋅=23m因为E 为PD 的中点，所以三棱锥ACD E -的高为⋅21所以三棱锥ACD E -的体积为：⋅=⨯⨯⨯⨯=83212332131V16．(1)因⊥BF 平面.ACE 故.AE BF ⊥又因二面角E AB D --为直二面角，且,AB CB ⊥故⊥CB 平面.ABE故.AE CB ⊥⊥AE 平面.BCE (2)以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因⊥AE 面,BCE ⊂BE 面,BCE故.BE AE ⊥则),0,0,0(A ),0,1,1(E ,2,0(C ).2),0,1,1(=AE ⋅=)2,2,0(AC设平面AEC 的法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n ,即,0220⎩⎨⎧=+=+z y y x 解得⋅⎩⎨⎧=-=xz x y令,1=x 得=n )1,1,1(-是平面AEC 的一个法向量，又平面BAC 的一个法向量为),0,0,1(=m且n m ,所成的角就是二面角E AC B --的平面角，因>=<n m ,cos ||||n m n m ⋅⋅,3331==故二面角E AC B --的余弦值为⋅33 (3)因),2,0,0(=AD 故点D 到平面ACE 的距离=d .33232||||==⋅n n 17．(1)略(2)4618．(1)证明：如图所示，在ABD ∆中，因,60,4,2o DAB AD AB =∠==故=∠⋅-+=DAB AD AB AD AB BD cos 2222,32故,222AD BD AB =+故.BD AB ⊥又因,ABD EBD 平面平面⊥,BD ABD EBD =平面平面,ABD AB 平面⊂故.EBD AB 平面⊥(2)解：由(1)知,//,AB CD BD AB ⊥故,BD CD ⊥从而.DB DE ⊥在DBE Rt ∆中， 因,2,32====AB DC DE DB 故.3221=⋅=∆DE DB s BDE又因,EBD AB 平面⊥,EBD BE 平面⊂故.BE AB ⊥因,4===AD BC BE 故.421=⋅=∆BE AB S ABE 因,BD DE ⊥平面EBD ⊥平面ABD ，故.ABD ED 平面⊥而,ABD AD 平面⊂故,AD ED ⊥故.421=⋅=∆DE AD S ADE 综上得三棱锥ABDE -的侧面积为.328+=S高三数学（理科）专题训练五《圆锥曲线方程》参考答案9．1322=-y x 10．3=b 11．612．215-三、解答题13．设),,(00y x A 则矩形ABCD 的面积||40x S =.||0y由192020=+y x 得，,912020x y -=故202020x y x =,49)29(91)91(22020---=-x x当21,292020==y x 时，,6max =S故当5=t 时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6．14．根据几何性质有.1=cab又因,33=a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧==34422b a 故双曲线的方程为.143422=-y x15．(1)由题意，),,0(),0,(2b B c F =||2BF ,222==+a c b又)31,34(C 在椭圆上，所以,1)31(2)34(222=+b 解得.1=b 所以椭圆方程为.1222=+y x(2)直线2BF 方程为,1=+byc x 与椭圆方程12222=+by a x 联立方程组，解得A 点坐标为),,2(223222c a b c a c a +-+则C 点坐标为,2(222c a c a +),223ca b + 又,c bk AB -=由AB C F ⊥1得⋅+3233c c a b ,1)(-=-cb 即,34224c c a b += 所以=-222)(c a ,3422c c a +化简得.55==ac e 16．(1)由于点P 在椭圆上，故.3,6||||221==+=a PF PF a 在21F PF Rt ∆中，.52||||||212221=-=PF PF F F 解得,5=c 从而.4222=-=c a b因此椭圆C 的方程为.14922=+y x (2)设A ，B 的坐标分别为).,(),,(22]1y x y x已知圆的方程为,5)1()2(22=-++y x 圆心).1,2(-设直线l 方程为,1)2(++=x k y代入椭圆C 的方程得273636)1836()94(2222-+++++k k x k k x k 0=由于A ，B 关于点M 对称，所以,29491822221-=++-=+k kk x x 解得98=k因此直线l 的方程为,1)2(98++=x y 即.02598=+-y x 17．由题意，),0,1(-F 设点),,(00y x P 则有,1342020=+y x 解得)41(32020x y -=因为),,1(00y x +=),,(00y x =所以200)1(y x x ++=⋅,34)41(3)1(0202000++=-++=x x x x x此二次函数对应的抛物线的对称轴为.20-=x因为,220≤≤-x 所以当20=x 时，⋅取得最大值.632422=++ 18．(1)y x 42=(2)02200=--y y x x (3)29高三数学（理科）专题训练六《导数及其应用》参考答案9．310．－311．31-12．)3,(--∞三、解答题13.(1),)1()('kx e kx x f +=,1)0('=f ,0)0(=f故曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为.x y =(2)由0)1()('=+=kx e kx x f 得).0(1=/-=k kx ①若,0>k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，②若,0<k 则当)1,(kx --∞∈时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增；当),1(+∞-∈kx 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减．14．(1)因为),0(1ln 1ln 1)('>+=-++=x xx x x x x f 所以.1ln )('+=x x x xf 由,1)('2++≤ax x x xf 得.ln x x a -≥令,ln )(x x x g -=则11)('-=xx g 当10<<x 时，;0)('>x g 当1>x 时，.0)('<x g所以1=x 是最大值点，.1)1()(max -==g x g 故,1-≥a即a 的取值范围是).,1[+∞- (2)由(1)知,1)1(ln )(-=≤-=g x x x g 故.01ln ≤+-x x当10<<x 时，x x x x x x f ln 1ln )1()(=+-+=;01ln ≤+-+x x当1≥x 时，+=+-+=x x x x x f ln 1ln )1()(.0)111(ln ln 1ln ≥-+-=+-xx x x x x x综上，.0)()1(≥-x f x15．(1)因为,12321ln )(+++=x x x a x f 故⋅+-=2321)('2x x a x f由于曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即,0)1('=f 从而,02321=+-a 解得.1-=a(2)由(1)知)0(12321ln )(>+++-=x x x x x f 令,0)('=x f 解得,11=x 312-=x （因312-=x 不在定义域内，舍去）．当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 故)(x f 在)1,0(上为减函数；当),1(+∞∈x 时，,0)('>x f 故)(x f 在,1()∞+上为增函数．故)(x f 在1=x 处取得极小值.3)1(=f16．(1)由⎩⎨⎧+-==axx y x y 222得点).,(),0,0(2a a A O又由已知得).,(),2,(22t t D at t t B +-故)(t f S =+⋅⋅-+-=⎰2221)2(t t dx ax x t)()2(2122t a t at t -⋅-+-(2).221)('22a at t t f +-=令,0)('=t f即,022122=+-a at t 解得a t )22(-=或.)22(a t +=因为,10≤<t ,1>a 所以a t )22(+=舍去．若,1)22(≥-a 即222221+=-≥a 时，对,10≤<t 有.0)('≥t f故)(t f 在区间]1,0(上单调递增，S 的最大值是⋅+-=61)1(2a a f若,1)22(<-a 即2221+<<a 时，对,)22(0a t -<<有;0)('>t f当t a <+)22(1≤时，有.0)('<t f 故)(t f 在))22(,0(a -上单调递增，在]1,)22((a +上单调递减，)(t f 的最大值是.3222))22((3a a f -=- 综上所述，=max)]([t f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<-+≥+-222132222226132a a a a a 17．(1)),4300(5)(3r r r V -=π定义域为);35,0((2))(r V 在区间)5,0(上单调递增，在区间)35,5(上单调递减；当,5=r 8=h 时，蓄水池的体积最大18．(1))(x f 的定义域为-=+∞xx f 1)('),,0(⋅-+-=-+xax x a ax )1)(12()2(2若,0≤a 则,0)('>x f 所以)(x f 在),0(+∞单调递增．若,0>a 则由0)('=x f 得,1ax =且当∈x )1,0(a时，,0)('>x f 当ax 1>时，.0)('<x f 所以)(x f 在)1,0(a单调递增，在),1(+∞a单调递减．(2)设函数),1()1()(x af x a f xg --+=则,2)1ln()1ln()(ax ax ax x g ---+=.12211)('2223x a x a a axa ax a x g -=--++=当ax 10<<时，,0)('>x g 而,0)0(=g 所以.0)(>x g故当ax 10<<时，⋅->+)1()1(x af x a f (3)由(1)可得，当0≤a 时，函数)(x f y =的图象与x 轴至多有一个交点，故,0>a 从而)(x f 的最大值为),1(a f 且.0)1(>af 不妨设,0),0,(),0,(2121x x x B x A <<则⋅<<<2110x ax 由(2)得=>-+=-)()11()2(111x f x a a f x a f ).(02x f =又,1,1221ax a x a >>-从而,212x ax ->于是⋅>+=ax x x 12210由(1)知，.0)('0<x f。
重庆市西南大学附属中学校2022届高三第六次月考数学试题及答案
西南大学附属中学校高2022届第六次月考数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）2022年2月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合2{230}A x x x =−−≤，{26}B x Z x =∈<<，则AB =（ ）A ．{25}x x <≤B ．{23}x x <≤C ．{345}，，D ．{3}2． 圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ）A B ．4C ．3D ．23． 若复数z 满足(1i)|2|2i z +=−+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4． 若2()4x a −<成立的一个充分不必要条件是1102x+≤−，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(4]−∞，B ．[14]，C ．（1，4）D ．(1]4，5． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（−∞，0）上单调递减，若3log 10a =−，12log 8b =，4512c −⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f c f b >> B ．()()()f a f b f c >> C ．()()()f b f a f c >>D ．()()()f c f a f b >>6． 已知(0)απ∈，，且2cos2cos 1αα+=，则tan α=（ ）A B ．53C D7． 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线220y px p =>（）上任意一点，且点P 在第一象限，M 是线段PF 上的点，若3PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．2B C ．12D 8． 已知函数()ln 0a f x x a x a =−>（），()e x g x x =−，若2(1e )x ∈，时，()()f x g x ≤成立，则实数a 的最大值是（ ） A ．1B ．eC ．2e 2D ．2e二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9． 下列说法正确的是（ ）A ．市教委为了解附中高中生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从我校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知我校高一、高二，高三年级学生之比为6∶5∶4，则应从高三年级中抽取20名学生B ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小C ．命题“0x ∀>，2lg(1)0x +≥”的否定是“0x ∃>，2lg(1)0x +<”D ．线性回归方程ˆˆˆyb x a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 10． 下列关于多项式5122x x ⎛⎫⎪⎝⎭−−的展开式的结论中，正确的是（ ）A ．各项系数之和为1−B ．各项系数的绝对值之和为1C ．不存在4x 项D ．常数项为4811． 正方体1111ABCD A BC D −的棱长为6，M 、N 为底面1111D C B A 内两点，11111AM AA A B A D λλ=++，[01]λ∈，，异面直线BN 与1CC 所成角为30°，则正确的是（ ）A ．CM BD ⊥B ．直线MN 与1DD 为异面直线C ．线段MN 长度最小值为D ．三棱锥1B AMN −的体积可能取值为1212． 设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数(0)T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（ ） A ．函数()x f x −=3是“类周期函数” B ．函数3()f x x =是“类周期函数”C ．如果函数c (s )o x f x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1−，那么它是周期为2的周期函数 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 已知a ，b 为单位向量，a ，b 的夹角为60°，向量c 满足0a c ⋅=，且c a b λ=+，则实数λ= ．14． 已知随机变量X 的概率分布为()12310(1)aP X n n n n ===⋅⋅⋅+（，，，，），则实数a = ． 15． 安排高三年级一、二两个班一天的数、语、外、物、体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语、数、外、物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有 种． 16． 已知实数x ，y 满足||||14x x y y +=，则|24|x y +−的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17． (10分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1221n n S S n +=+≥（），{}n b 是公差不为0的等差数列，且124b b b ，，成等比数列，2104a b a ，，成等差数列． (1) 求{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 若1221(1)(1)log n n n nn c b a ++=−+，求{}n c 的前2n 项和2n T ．18． (12分) 乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．为减轻高三学子学习压力，提高学习效率，年级打算开学后举办乒乓球比赛，规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．(1) 假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23．在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2) 假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望．19． 如图，△ABC 中，AC = 4，BC =，AC BC ⊥，点M ，N 是线段AB 上两点（包括端点），30MCN ∠=︒． (1) 当2AM =时，求△MNC 的周长；(2) 设ACM θ∠=，当△MNC 的面积为1)时，求θ的值．20． 如图，三棱柱111ABC A B C −中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥． (1) 求证: AO ⊥平面11BB C C ；(2) 设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒ ，求二面角111A B C B −−的余弦值．21． 已知椭圆2222:10x y C a b a b+=>>（）的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线:0l x y −+=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且125k k +=，求证：直线AB 过定点．22． 已知函数2()ln 22(1)0f x x ax a x a =+++≠（）．(1) 讨论函数()f x 的极值；(2) 当0a <时，证明：[()2]1a f x +≥−恒成立．高2022届第六次月考数学参考答案题号123456789101112答案D AA D CDBBBCADACDACD13．12-14．111015．540016．)44⎡-⎣17．(1)∵当2n ≥，112222n nnn S S S S +-=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得()122n n a a n +=≥由112S a ==，代入122n n S S +=+可得226,4S a ==，满足212a a =，所以{}*12,,n n n a a n N a +=∈为等比数列，∴2n n a =，不妨设等差数列{}n b 公差为d ，由条件可得22141024,2b b b b a a ==+，即()()()21111329416b d b b d b d ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，解得11,1b d ==，所以()111n b n n=+-⨯=(2)由（1）可知()()()1121111111n n n n c n n n n +++⎛⎫=-⨯=-⨯+ ⎪++⎝⎭∴21232n n T c c c c =++++ 1111111122334221n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212121nn n =-=++.18．(1)设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ，则事件A 中包含事件B 和事件C ，事件B ：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C ：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B ：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则()33328327p B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭，事件C ：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；则()()()8816272727p A P B P C =+=+=(2)X 的可能取值为1，2，3，4.()314p X ==，()13324416p X ==⨯=，()1133344464p X ==⨯⨯=，()1111444464p X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 1234p34316364164其中()3331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.即数学期望为8564.19．(1)∵4AC =，B C =，AC BC ⊥，∴30B =︒，则60A=︒，在△ACM 中，由余弦定理得：2222cos CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅1164242122=+-⨯⨯⨯=，则CM =222ACAM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒，∴tan 302MN CM =︒=，而24CN MN ==，∴△MNC 的周长为246++=+；(2)在△ACN 中，90ANC θ∠=︒-，由()sin 60sin 90CN CA θ=︒︒-得：CN =在△ACM 中，由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+，得CM =()13sin 302sin 60cosCMN S CN θθ=⋅⋅︒==+︒222，)61=得：()1sin 2602θ+︒=，又060θ︒≤≤︒，所以60260180θ︒≤+︒≤︒，则260150θ+︒=︒,所以45θ=︒.20．(1)∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥.∵1B C AB ⊥，1AB BC B =I ，∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥.∵1AC AB =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥，又11B C BC O = ，∴AO ⊥平面11BB C C .(2)法一：∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角，∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即ABO ∠，∴45ABO ∠= ，不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C 中，3BO =，11CO B O ==，在Rt ABO △中，3AO BO ==.如图，以O 为坐标原点，分别以1,,OB OB OA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)B C C A A ---，则1111(3,0,3),(3,1,0),(0,0,3)A B B C OA =-=--=.设平面111A B C 的法向量为1(,,)n x y z =，则111111·330·30n A B x z n B C x y ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，得1(1,3,1)n =- .易知平面11BB C C 的一个法向量为(0,0,3)OA =，则11135cos ,535n OA n OA n OA⋅===⨯，由图可知二面角111A B C B --为钝二面角，∴二面角111A B C B --的余弦值为55-.法二：几何法21．(1)∵等轴双曲线的离心率为2，∴椭圆的离心率22，又∵直线:20l x y -+=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，∴222|1|1b +=，即1b =，可得22222112c b e a a ==-=，即22a =，则椭圆的方程为：2212x y +=；(2)①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则点0(A x ，0)y ，0(B x ，0)y -，由125k k +=，即0000115y y x x ---+=，解得025x =-，此时直线AB 的方程为25x =-；②若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为y kx m =+，由题意可得1m ≠±，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22220y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：222(12)4220k x kmx m +++-=，()()222222168121210k m k m k m ∆=-+-=+->，且122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，由125k k +=，可得1212115y y x x --+=，即1212115kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)5x x k m x x ++-⋅=，2251km k m -=+，521k m =-，故直线AB 的方程为21()1255k y kx k x =+-=+-，即直线AB 过定点(125,)--，综上所述：直线AB 过定点(125,)--．22．(1)显然()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2()ln 22(1)f x x ax a x =+++，所以()1(21)(21)422ax x f x ax a x x++'=+++=，若0a <，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故函数()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；故()f x 在12x a =-处取得唯一的极大值，且极大值为111ln 222f a a a⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1.若0a >，则当,()0x ∈+∞时()0f x '>恒成立，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值.综上，当0a <时，()f x 的极大值为11ln 122a a⎛⎫--- ⎪⎝⎭，无极小值；当0a >时，()f x 无极值.(2)当0a <时，若证[()2]1a f x +≥-恒成立，只需证1()2f x a≤--恒成立，即证max 1()2f x a≤--，由（1）知()f x 在12x a =-处取得最大值，最大值为111ln 1222f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以即证111ln 1222a a a ⎛⎫---≤-- ⎪⎝⎭，即证11ln 1022a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.令12t a=-，因为0a <，所以0t >，则只需证明ln 10t t -+≤，令()ln 1g t t t =-+，0t >，则11()1tg t t t-'=-=，当(0,1)t ∈时，()0g t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0g t '<.故()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0g t g ≤=，故()0g t ≤，即ln 10t t -+≤.因此当0a <时，[()2]1a f x +≥-恒成立.。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}2=log 1<0A x x -，4=0+1x B xx -≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R ð（ ） A ．()1,1-B ．()2,4C ．(][]1,12,4-⋃D ．[][]1,12,4-⋃ 2．在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程213160x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB．C ．4D ．4±3．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB．C ．40mD．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃≤，00ln 1x x >-”B ．命题p ：0x ∃∈R ，02010ax ax ++≤，若命题p 是假命题，则04a <<C ．“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的充分不必要条件D ．ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件5．向量OA ，OB 满足0OA OB ⋅=，点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则2x y +的最大值为（ ）6．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()031f f -=-，则()2022f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．已知函数()()π=sin 2+>0,0<<2f x x ωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为C ．()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．将()f x 图象的横坐标变为原来的()1>0t t 倍，纵坐标不变得到函数()g x ，若()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，则41<3t ≤8．若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(],e -∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，77S =，则（ ） A ．5n a n =- B ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512C ．n S 取到最大值时，5n =D ．设2nn n a b =，则数列{}n b 的最小项为164- 11．设锐角三角形ABC 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a a B b A +=，则（ ） A ．22b a ac -= B ．2B A = C ．04A π<<D．)2b ca+∈12．平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =且()a ab ⊥-，2,30c a c b <-->=︒r r r r，则下列说法正确的是（ ）A．2a b +=r r B ．a 在b 方向上的投影向量为12bC ．c的最大值是2 D ．若向量m 满足2m a ⋅=u r r，则()m m b⋅-u r u r r 的最小值为54三、填空题13．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．14．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒．记2sin18m =︒，则=______．15．已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO AB AC⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +=m 的最大值为______．16．已知函数()()()222e 1e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______．四、解答题17．已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角ABC 中，若()f AACBC =ABC 的面积． 18．设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且26S =，430S =． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()121n n n b n n a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，ABC 的面积214S a =． (1)cos B b =-，求sin sin CB的值； (2)求c bb c+的最大值．20．已知等差数列{}n b 满足32b =，251681b b b b =++，数列{}n a 的前n 项和2124n n S b +=⋅-，*n ∈N(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若226825n n kT n a n n >-+对一切*n ∈N 恒成立，求正整数k 的最小值．21．已知函数()2x x f x e ae -=+-，()2g x x =(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()()h x f x g x =-．若函数()h x 有相同零点和极值点0x ，求()h x 的最小值．22．已知函数()21e xf x x =+-．(1)求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程；(2)设函数()()()ln 1g x f x a x =-+有三个零点，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对数函数的单调性化简集合A ，根据分式不等式的解法化简集合B ，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可.【详解】不等式()2log 1<0x -可化为()22log 1<log 1x -，所以011x <-<， 所以12x <<，所以()1,2A =， 不等式40+1xx -≥可化为()()4+10x x ->或=4x ，所以14x -<?，所以(]=1,4B -，所以(][)R 12A ，，=-∞+∞ð，所以()A B ⋂=R ð(][]1,12,4-⋃， 故选：C. 2．C【分析】由已知条件结合一元二次方程根与系数的关系，利用等比数列的性质求解． 【详解】113,a a 是方程213160x x -+=的两根，11311313,16a a a a ∴+=⋅=，21131132127>0,>0,===16a a a a a a a ∴⋅⋅，又等比数列{}n a 中奇数项符号相同，可得74a =21271644a a a ⋅∴==. 故选：C ． 3．A【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=. 51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A4．D【分析】对于A ，利用含量词的命题的否定即可判断；对于B ，由p 是假命题可得p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题，分=0a 和0a ≠进行讨论即可；对于C ，利用“,a b 的夹角为钝角”的充要条件即可判断；对于D ，利用正弦定理和三角形性质即可求解.【详解】对于A ，由含量词的命题的否定知，命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃>，00ln 1x x >-”，故不正确；对于B ，因为命题p 是假命题，所以p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题， 当=0a 时，不等式为10>恒成立；当0a ≠时，需满足2>0Δ=4<0a a a -⎧⎨⎩，解得04a <<， 综上所述，a 的取值范围为{}0<4a a ≤，故不正确；对于C ，“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<且a 不平行于b ”，所以“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；对于D ，若A B >，由三角形中“大边对大角”可知，a b >，由正弦定理可知，sin sin A B >； 若sin sin A B >，由正弦定理可知，a b >，从而A B >， 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故正确， 故选：D 5．D【分析】由OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r两边平方可得,x y 的关系，设(),m x y =，()2,1n =由数量积的性质求2x y +的最大值.【详解】因为OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，两边平方可得()()()222222OC x OA xyOA OB y OB =+⋅+uuu r uu r uu r uu u r uu u r ，因为0OA OB ⋅=，所以()()()22222OC x OA y OB =+uu u r uu r uu u r ，因为点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，所以OC OA OB ==uuu r uu r uu u r，且0x ≥，0y ≥，所以221x y +=， 设(),m x y =，()2,1n =，则2m n x y ?+，又=cos ,m n m n m n m n ⋅⋅⋅≤⋅，当且仅当m ，n 同向时等号成立，所以2x y +?x y ==故选：D. 6．B【分析】由题意表示出()1(1)--=--f x f x 与()1(1)f x f x -+=+，令=1x ，=0x ，=2x ，结合题目所给条件列式求解,k m ，再由两式化简可推导出()f x 的周期为8T =，从而代入计算. 【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)--=--f x f x ①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令=1x ，由②得：()(2)20==+f f k m ，又()33=+f k m ， 所以()()032(3)1f f k m k m k -=+-+=-=-，得=1k ， 令=0x ，由①得：()()1(1)10-=--⇒-=f f f ； 令=2x ，由②得：()1(3)0-==f f ， 所以()3330f k m m =+=⇒=-. 得[]1,3x ∈时，()3f x x =-，结合①②得，()2()(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()20222528662231f f f f =⨯+==-=--=. 故选：B 7．D【分析】由图象求出()f x 的解析式，再结合三角函数的性质与图像逐项分析即得. 【详解】由图可知，1(0)sin 2f ϕ==， 又π02ϕ<<，所以π6ϕ=， 所以由五点作图法可知4ππ3π362ω⋅+=，得1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π2ππ133sin 6f ⎛⎫-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；对于B ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以B 错误；对于C ，当[]0,πx ∈，则ππ13π2,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， 由πππ2,662x ⎡+∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由π13π22π,66x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得11π,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，由题可得()πsin 26g x tx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，因为()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，所以π1sin 262tx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上有且只有三个不等实根，由[]0,πx ∈，可得πππ2,2π666tx t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，作出正弦函数的图象，由图象可知ππ5π2π2π2π666t +≤+<+，即413t ≤<，故D 正确. 故选：D. 8．C【分析】构造函数()(0)x a f x e lnx a x -=-->，将原不等式转化为求解函数()f x 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到000x a e lnx a ---…，再利用基本不等式进行求解即可．【详解】解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x …对一切正实数x 恒成立，即()0min f x …， 由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x ah x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=--…， 因为001x aex -=，即00x a lnx -=-， 所以0010x a a x +--…恒成立，即0012a x x+…，又0012x x +=…，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a …，所以1a …． 故选：C ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 9．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d 所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD 10．AD【分析】求得等差数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得116m n+的最小值判断选项B ；求得n S 取到最大值时n 的值判断选项C ；求得数列{}n b 的最小项判断选项D.【详解】由11+=37?67+=72a d a d ⎧⎪⎨⎪⎩，可得1=4=1a d -⎧⎨⎩， 则等差数列{}n a 的通项公式为5n a n =-，则选项A 判断正确； 若210m n a a a a +=+，则21012m n +=+= 则116116116125(17)(178)12121212m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⨯=++≥+= ⎪⎝⎭ （当且仅当1248,55m n ==时等号成立） 又,m n ∈Z ，则116m n +的最小值为不为2512.则选项B 判断错误； 等差数列{}n a 中，123456432101a a a a a a =>=>=>=>=>=->则等差数列{}n a 的前n 项和n S 取到最大值时，=4n 或5n =.则选项C 判断错误； 设2n n n a b =，则52n n n b -=，则111546222n n n n n n n n b b +++----=-= 则12345678b b b b b b b b >>>>>=<<则数列{}n b 的最小项为766561264b b -===-.则选项D 判断正确 故选：AD 11．ABD【分析】利用余弦定理可判断A ，利用正弦定理结合三角恒等变换可判断B ，结合条件可得角A 的范围可判断C ，利用正弦定理及三角函数的性质可判断D. 【详解】因为cos cos a a B b A +=，所以22222222a c b b c a a a b ac bc +-+-+⋅=⋅， 整理可得22=b a ac -，故A 正确；由cos cos a a B b A +=，可得sin sin cos sin cos A A B B A +=， 所以()sin sin cos sin cos sin A B A A B B A =-=-，所以A B A =-或πA B A +-=(舍去)，即2B A =，故B 正确；因为ABC △为锐角三角形，所以π0<<2π0<=2<2π0<=π3<2A B A C A -⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得ππ<<64A ，故C 错误；由题可得()sin 2sin 3sin sin sin sin A A b c B C a A Aπ+-++==， sin 2sin 2cos cos 2sin sin A A A A A A++=22cos 2cos cos2A A A =++ 24cos 2cos 1A A =+-，又ππ<<64AA所以)+b ca∈，故D 正确. 故选：ABD 12．ACD【分析】利用向量的数量积运算律和模的运算求解2a b +r r，根据投影向量定义求解a 在b 方向上的投影向量，构造如图所示的几何图形集合几何意义求c 的最小值，作出满足题意的几何图形求解()m m b ⋅-的最小值.【详解】因为1a =，2b =且()a ab ⊥-，所以()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以1a b ⋅=，1cos ,2a b a ba b⋅=，所以a ，b 的夹角为60，因为()222224423a b a ba b a b +=+=++⋅=，所以A 正确;a 在b 方向上的投影向量为1cos ,4ba ab b b ⋅=,所以B 错误;如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆中， 2,,,OA a OB b OC c ===则2,AC c a BC c b =-=-，因为30ACB ∠=，所以2,30c a c b --=︒,符合题意， 由图可知，当OC 同过两圆的圆心时c 最大，此时c 的最大值等于圆心距加半径为2， 所以C 正确;作,,OA a OB b ==如图，222222()23AB b a b a b a OB OA =-=+-⋅==-, 所以90OAB ∠=,令OM m =，由2m a ⋅=得cos 2OM AOM ∠=, 在射线OA 上取点E ，使得2OE =,过E 作直线l OA ⊥,则有点M 在直线l 上，取OB 中点C ,过C 作CD l ⊥，垂足为D , 连接,,BM CM OM ,()()()()()m m b OM BM OC CM BC CM OC CM OC CM ⋅-=⋅=+⋅+=+⋅-+2222151124CM OC CD OA AE ⎛⎫=-≥-=+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当,M D 重合时取得等号，所以()m m b ⋅-的最小值为54. 所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】结合向量间的关系作出满足题意的几何图形，利用几何意义求解相关最值问题是向量最值问题有效的手段. 13．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.14．【分析】将2sin18m =︒代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果 【详解】2sin18m =︒Q ，2sin144m -⋅︒4sin 182sin 36︒-︒===故答案为：15．32##1.5【分析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，根据向量数量积的几何定义可得22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，从而可得22bc mr =，从而可得222m b br r =⋅，又sin sin B C +=正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2cC r =，从而可得22b c r r+ 【详解】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=， ∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +=sin 2b B r =，sin 2cC r =，∴22b c r r+ ∴2322()22224b cm b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC △为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32． 故答案为：3216．4【分析】先将题给条件转化为()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，再转化为()()2+1++2=0t a t a -有二根12,t t ，且121<0,0<<et t ，进而利用根与系数关系求得3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值 【详解】()()()()()22222e 1e =e 12e e xxxx x x xf x a a x x a a ⎡⎤⎛⎫=+-++-+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又2e >0x ，则()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，令()e xx g x =，则1()e x x g x -'=， 当>1x 时()<0g x '，()g x 单调递减；当<1x 时()>0g x '，()g x 单调递增 则()g x 在=1x 时取得最大值1(1)=eg ，>0x 时()>0g x ，令e xx t =，则1e t ≤ 则()()2+1++2=0t a t a -必有二根12,t t ，且121<0,0<<et t则12121,2t t a t t a +=+=+ 则1e x x t =有一解1<0x ，2ex xt =有二解23,x x 且230<<1<x x 故()()3122223121211111e e ex x x x x x t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[][]221212=1(+)+=1(+1)++2=4t t t t a a --故答案为：417．(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，求出周期，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由()f A sin 23A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）()22sin cos cos sin sin sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭)1cos211sin2sin2sin 22223x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得出5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故函数()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()f A sin 23A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭因为02A π<<，则22333A πππ-<-<，所以233A ππ-=，可得3A π=，由余弦定理可得222232cos23BC AB AC AB AC AB π==+-⋅=+，即210AB -=，因为0AB >，解得AB = 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222cos 02AC BC AB C AC BC+-=>⋅，则角C 为锐角，所以，11sin 22ABCSAB AC A =⋅=18．(1)2n n a =；(2)1112(1)2n n T n +=-+⋅．【分析】（1）由等比数列前n 项和公式列方程组求得1,a q ，得通项公式； （2）用裂项相消法求和． （1）设{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，0q >，由题意1141+=6(1)=301a a q a q q--⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=2=2a q ⎧⎨⎩（负数舍去）．所以1222n nn a -=⨯=；（2） 由（1）11211(1)22(1)2n n n n n b n n n n +++==-+⋅⋅+⋅，所以2231111111()()[]122222322(1)2n n n T n n+=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅1112(1)2n n +=-+⋅．19．1； (2)【分析】（1）已知214S a =，由面积公式和余弦定理得π)4c b A b c +=+，由已知及正弦定理和三角恒等变换得π4A =，则有c b b c+=. （2）由π)4c b A b c +=+，结合正弦函数性质求最值..（1）ABC 的面积211sin 42S a bc A ==，有22sin a bc A =，由余弦定理，2222sin 2cos a bc A b c bc A ==+-，得2sin 2cos c bA A bc=+-，即π2sin +2cos)4c bA A A b c +==+， cosB b -cos sin A B CB =-，由[]sin sin()sin()sin coscos sin C A B A B A B A B =π-+=+=+， i n c n n cos sin sin os si A A B C B B A B B =--=sin sin 0A B B -=，ABC 中sin 0B ≠，∴cos A =(0,π)A ∈，则π4A =，∴π)4c b A b c +=+=c t b =，则有1t t+=1t ，由正弦定理，sin 1sin C cB b==. （2）由（1）有：π)4c b A b c +=+，A 为ABC 的内角，当π4A =时，c bb c +有最大值20．(1)12n n a +=，12n n b +=； (2)3【分析】（1）由等差数列的基本量法求得n b ，由1(2)n n n a S S n -=-≥求得n a ； （2）用错位相减法求得和n T ，代入不等式化简后转化为用基本不等式求函数的最值． （1）设数列{}n b 的公差为d ，则225168(22)1222325b d b b b d d d +==++-++++，12d =， 所以112(3)22n n b n +=+-⨯=， 1=1b ，224n n S +=-，311244a S ==-=，2n ≥时，211124(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，1=4a 也适用，所以12n n a +=；（2）由（1）(1)2nn n a b n =+⋅，22232(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅，231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++⋅，两式相减得2314222(1)2n n n T n +-=++++-+⋅1114(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．所以不等式226>8+25n n kT n a n n -即为26>8+25nk n n -， 又266258258n n n n n =-++-，2510n n +≥=，当且仅当5n =时等号成立， 所以26825n n n -+的最大值是63108=-，故3k ≥， 所以k 的最小值是3．21．(1)当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当>0a 时，()f x在)∞上单调递增，在(-∞上单调递减. (2)()h x 的最小值为0.【分析】（1）先函数求导，对参数进行分类讨论得出结论（2）构造函数对函数求导，利用已知条件求出参数，分析问题，将参数的值代入表达式中求出函数的最小值. （1）由()e e 2x xf x a -=+-，所以()e e x x f x a -'=-，当0a ≤ 时，()0f x '≥，此时()f x 在R 上单调递增， 当0a > 时，由()0f x '>，有x >()f x在)+∞上单调递增， 由()0f x '<，有x <()f x在(-∞上单调递减， 综上所述：当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当0a > 时，()f x在)+∞上单调递增，在(-∞上单调递减. （2）由()()()2e 2x x e a h x g x xf x ---==+-所以()e e 2x xa x x h --'=-，又函数()h x 有相同零点和极值点0x ，所以有0000200e +e 2=0e e 2=0x x x x a x a x --⎧--⎪⎨--⎪⎩，两式相加得：02002e 22x x x =++， 令()22e 22x p x x x =---，则()2e 22xp x x '=--，设()2e 22x s x x =--，则()2e 2xs x '=-，所以()s x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()00s x s ≥=， 所以()p x 单调递增，由()00p =可得00x =，=1a ，所以()22x x e x e x h -+--=，所以()2x x e x h x e ---'=，设()2x xe e x t x --=-所以()120xxx e t e '+-≥=,当且仅当=0x 时取等号. 所以()h x '在R 单调递增，又()00h '=所以当0x >时，()0'>h x ，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，()0'<h x ，所以()h x '在(,0)-∞上单调递减 所以()min 0)0(h x h == 故()h x 的最小值为0. 22．(1)=y x (2)(0,1)【分析】（1）求得(0),(0)f f '，利用导数的几何意义得出切线的方程；（2）求出()g x 的导数，通过分类讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可． （1）()21e x f x x =+-，()2e x f x '=-∴，则(0)0,(0)1f f '==，因此，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为y x =．（2）()21e ln(1),(1)x g x x a x x =+--+>-，则()(1)e 2()2e 11x xa x a g x x x ⎡⎤-++-⎣⎦'=---=++， 设h ()()(1)e 2xx a x =++-，则()(2)e 2x h x x '=+-，显然()h x '在(1,)-+∞内递增且(0)0h '=， 所以，在(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x <'单调递减， 在(0,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增， 所以()h x 有极小值(0)1h a =-，又(1)h a -=，①当1a ≥时，()0h x ≥在(1,)x ∈-+∞恒成立，即()0g x '≤，所以()g x 在区间(1,)-+∞内单调递减，最多一个零点，不符合题意； ②当01a <<时，(1)0,(0)0,(2)0h h h -><>， 所以存在12(1,0),(0,2)x x ∈-∈使得()()120h x h x ==， 则在()11,x -内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减， 在()12,x x 内，()0h x <，()0,()g x g x >'单调递增， 在()2,x +∞内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减，又()()12(0)0g x g g x <=<，则()g x 在()12,x x 上有且只有一个零点0， 又2(2)5e ln30g a =--<，则()g x 在()2,x +∞上有且只有一个零点，又4411544442e e e e 12e 11eln e 2e e 2e e 130a a a a a a ag a ----------⎛⎫⎛⎫-=-+-+--=->> ⎪⎝⎝⎭+⎪ ⎭，则()g x 在()11,x -上有且只有一个零点，所以函数()g x 恰有三个零点；③当0a ≤时，在(1,0]-内()(0)0h x h <<，又()2(2)(3)e (3)02ah a a a a a --=+->+->-，结合()h x 的单调性可知，存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x =，在()01,x -内，()0h x <，()0g x '>，()g x 单调递增， 在()0,x +∞内，()0h x >，()0g x '<，()g x 单调递减， 函数()g x 最多两个零点，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(0,1)．。
四川省内江市第六中学2020-2021学年高三10月月考数学(理)试题
20．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；
2．D
【分析】
根据复数的计算，先求 ，再平方即可得解.
【详解】
由 ，
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的计算，考查了复数的乘方运算，考查了复数运算的相关的性质，属于基础题.
3．B
【分析】
算出3名同学排成一排的排法，再计算2名男同学不相邻的排法，根据古典概型的概率计算公式可得所求的概率.
【详解】
设2名男同学为 ，一名女同学为 ，
三、解答题
17．已知等差数列 的公差 ，前3项和 ，且 ， ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设平面向量 ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 面积.
19．已知函数 （a为实常数）.
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由;
（1）求曲线 的极坐标方程及直线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 与 轴正半轴的交点，求点 到直线 的距离.
23．已知 为正数,且 ,证明:
(1) ；
(2) .ຫໍສະໝຸດ 参考答案1．A【分析】
利用集合交集的定义计算可得结果．
【详解】
集合 ，
则
故选：A
【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生计算能力，属于基础题．
重庆市西南师大附中高三数学第六次月考 理
西南师大附中高2011级第六次月考数 学 试 题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题上．3．填空题的答案和解答题的解答过程直接写在答题卡Ⅱ上． 4．考试结束，监考人将本试题和答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 正项等比数列{a n }中，3813lg lg lg 6a a a ++=，则115a a 的值为（ ）A ．100B ．10000C ．1000D ．102． 二项式9的展开式中有理项共有（ ）A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项3． 已知点P （x ，y ）在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[21]--，B ．[21]-，C ．[12]-，D ．[12]，4． 已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面αβ、，有下列命题：①若////m n n m αα⊂，，则 ②若////l m l m αβαβ⊥⊥，且，则 ③若//////m n m n ααββαβ⊂⊂，，，，则 ④若m n n m n αβαββα⊥=⊂⊥⊥，，，，则其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45． 25人排成5×5的方阵，从中选出3人，要求任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有（ ） A ．60种B ．100种C ．300种D ．600种6． 设()()f x g x 与是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若对任意[]x a b ∈，，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()()f x g x 和在[]a b ，上是“密切函数”，区间[]a b ，称为“密切区间”．若2()34()23f x x x g x x =-+=-与在[]a b ，上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ） A ．[14]，B ．[24]，C ．[34]，D ．[23]，7． 已知△ABC 中，I 为内心，AC = 2，BC = 3，AB = 4，且AI xAB yAC =+，则x + y 的值为（ ）A ．13B ．49 C ．23 D ．59 8． 在平面直角坐标系中，定义11()n n nn n n x y x n N y y x ++=-⎧∈⎨=+⎩为点()n n n P x y ，到点111()n n n P x y +++，的一个变换——“附中变换”．已知1222111(01)()()()n n n n n n P P x y P x y P x y +++，，，，，，，，是经过“附中变换”得到的一列点，设1||n n n a P P +=，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 10的值为（ ） A．31(2B．31(2C．1)D．1)9． 已知()f x 是定义在R 上的函数，(1)10f =，且对于任意x R ∈都有(20)()20f x f x +≥+，(1)()1f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则(10)g =（ ）A ．20B ．10C ．1D ．010． 抛物线24y x =的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l上的射影为'M ，则|'|||MM AB 的最大值为（ ）ABCD第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．各题答案必须填写在答题卡II 上（只填结果，不要过程）11． 为了了解某市今年准备报考体育专业的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是____________．12． 已知α为第三象限角，3cos2tan(2)54παα=-+=，则_____________．13． 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM，若侧棱SA =S —ABC的外ABC MN S接球的表面积是_____________． 14． 已知正数a 、b 、c 满足1113451a b c a b b c c a++=+++++，则的最小值是_____________． 15． ①由“若()()a b c R ab c a bc ∈=，，，则”类比“若a b c ，，为三个向量，则()()a b c a b c =”； ②设圆220x y Dx Ey F ++++=与坐标轴的4个交点分别为A (x 1，0)、B (x 2，0)、C (0，y 1)、D (0，y 2)，则12120x x y y -=；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④在实数列{}n a 中，已知a 1 = 0，21321|||1||||1||||1|n n a a a a a a -=-=-=-，，…,，则1234a a a a +++的最大值为2．上述四个推理中，得出的结论正确的是_____________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共6小题，共75分．各题解答必须答在答题卡II 上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．16． (本小题满分13分)已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++--(1) 求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2) 求函数()f x 在25[]1236ππ-，上的最大值和最小值，并指出此时相应的x 的值． 17． (本小题满分13分) 西师附中“低碳生活”研究小组同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：(1) 从A 、B 、C 三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；(2) 在B 小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ，求X 的分布列和EX ．18． (本小题满分13分) P —ABC 中，E 为BC 中点，F 为PC 的中点．(1) 求证：平面PAE ⊥平面ABC ； (2) 求二面角P —AE —F 的大小．19． (本小题满分12分) 已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-．(1) 若m = 2，求函数()g x 的单调区间；(2) 若方程||()2m f x =在[4)x ∈-+∞，恒有唯一解，求实数m 的取值范围； (3) 若对任意1(4]x ∈-∞，，均存在2[4)x ∈∞，+，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．20． (本小题满分12分) 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F （1，0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1． (1) 求曲线C 的方程；(2) 是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有0FA FB <？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21． (本小题满分12分) 若函数()f x 对任意()()()(1)2p q R f p q f p f q f ∈+==，，都有，且 ．(1) 若数列{a n }满足*()()n a f n n N =∈，求a n ；(2) 若数列{b n }满足*21318()n n n n b b b a n N ++--=∈，且b 1 = b 2 = 1，求b n ；(3) 令*12(3)2[]3520n nn n n c b n N -=++∈，，证明：122311111231112n n c c c n n c c c +----<+++<---．AB CPEF西南师大附中高2011级第六次月考数学试题参考答案（理）2011年3月一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．C 9． B 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．11．48 12．17- 13．36π 14．6+．②③④三、解答题：本题共6小题，共75分．16．解：(1) 22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++--2()cos24x x π=+-2cos2x x =-2sin(2)6x π=- ∴ 22T ππ== ·······4分 由3222()262k x k k z πππππ+≤-≤+∈，得5()36k x k k z ππππ+≤≤+∈ ∴ 单调递减区间为5[]()36k k k z ππππ++∈， ·············· 7分(2) 由 (1) 知()2sin(2)6f x x π=- ∵ 25[]1236x ππ∈-， ∴112[]639x πππ-∈-， ∴当min 2()6312x x f x πππ-=-=-=，即时，当max 2()2623x x f x πππ-===，即时， ·············· 13分 17．解：(1) 记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A1411121427()25325325315P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ···············4分 (2) 在B 小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，34163()(0123)k kC C P X k k C -===，，，， 01230.6571995285EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ·············· 13分18．法一：(1) 由题BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴ BC ⊥平面PAE ，∴ 平面PAE ⊥平面ABC ··· 5分(2) 由 (1) 知，所求二面角大小与二面角F —AE —C 大小互余．取AB 中点M ，连CM 与AE 交于O ，则O 为△ABC 的中心，取CO 的中点N ，连结FN ，则FN ⊥面ABC ，····································· 10分作NH ⊥AE 于H ，则H 为OE 中点，连结FH ，∠FHN 即为F —AE —C 的平面角．易求得11213222323FN PO ==-== ··· 9分12NH CE ==∴ tan FN FHN NH∠==·······12分 ∴ 所求角为2π-·······13分 法二：将正四面体置于正方体内，如图所示，则P （0，0，0），A （1，0，1），B （0，1，1），C （1，1，0），E （12，1，12），F （12，12，0） (1) 设平面PAE 的一个法向量为1(1)n y z =，，，则由11100110022z n PA y z n PE +=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨++==⎪⎪⎩⎩有∴ 1(101)n =-，， 同理可求平面ABC 的一个法向量为2(111)n =，， ∵ 121010n n =+-= ∴ 12n n ⊥∴ 平面PAE ⊥平面ABC ······················ 5分 (2) 设平面AEF 的一个法向量为(1)n k r =，，，则由11(1)(1)001122(1)11330(1)(1)022k r n AE n n AF k r ⎧--=⎪⎧=⎪⎪⇒=-⎨⎨=⎪⎪⎩--=⎪⎩，，，，有，，，，，， ··· 9分由 (1) 知平面PAE 的一个法向量为1(11)n =，0，-1114cos ||||112n n n n n n <>===，· 12分 ∴ 所求二面角为········ 13分法三：也可如右图建系，则)A 0，)B 0， (00)C ，，(00P ，，下略． 19．解：(1) m = 2时，2224(2)()24(2)x x x g x x x x ⎧--≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，函数()g x 的单调增区间为(1)(2)-∞+∞，，，，单调减区间为（1，2）． ······················· 2分 (2) 由||()2[4)m f x x =∈-+∞在，恒有唯一解，得||||x m m -=在[4)x ∈-+∞，恒有唯一解；当x – m = m 时，得x = 2m ，则2m = 0或2m < – 4，即m < – 2或m = 0． 综上，m 的取值范围是m < – 2或m = 0． ··············· 6分(3) 2()()()2()x m m x x m f x f x x m --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则的值域应是()g x 的值域的子集．①当48m ≤≤时，()f x 在(4]-∞，上单调递减，故4()(4)2m f x f -≥=，()g x 在[4，m ]上单调递减，[)m +∞，上单调递增，故()()28g x g m m ≥=-，所以4228m m -≥-，解得456m m ≤≤≥或．②当m > 8时，()f x 在(4]-∞，上单调递减，故4()(4)2m f x f -≥=，()g x 在[4，2m]单调递增，[2m，m ]上单调递减，[)m +∞，上单调递增，(4)624()g m g m m =->=-，故()()28g x g m m ≥=-，所以4228m m -≥-，解得456m m ≤≤≥或．③0 < m < 4时，()f x 在(]m -∞，上单调递减，[m ，4]上单调递增，故()()1f x f m ≥=．()g x 在[4)+∞，上单调递增，故()(4)82g x g m ≥=-，所以782142m m -≤≤<，即．④0m ≤时，()f x 在(]m -∞，上单调递减，[m ，4]上单调递增，故()()1f x f m ≥=．()g x 在[4)+∞，上单调递增，故7()(4)828212g x g m m m ≥=--≤≥，所以，即(舍去)．综上，m 的取值范围是7[5][6)2+∞，，． ··············· 12分20．解：(1) 设P (x ，y )是曲线C 上任意一点．那么P (x ，y )1(0)x x =>，化简得24(0)y x x =>． ···················· 2分 (2) 经过点M (m ，0) (m > 0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线l 的方程为x ty m =+，由24x ty my x=+⎧⎪⎨=⎪⎩2440y ty m --=得，216()0t m ∆=+>于是121244y y ty y m+=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ① ········· 4分 又1122(1)(1)FA x y FB x y =-=-，，，，12120(1)(1)0FA FB x x y y <⇔--+<② ········ 6分又24y x =，于是不等式②等价于22222212121212121212()1()10[()2]104444164y y y y y y y yy y y y yy +-++<⇔+-+-+< ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+<④ ······· 10分对于任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对一切t 成立等于价于261033m m m -+<-<+即由此可见，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线，都有0FA FB <，且m 的取值范围是(33-+． 12分21．解：(1) 由已知，21()(1)(1)2(1)2(2)2(1)2n n f n f n f f n f n f -=-=-=-=== ·· 2分(2) 由 (1) 知：213182n n n n b b b ++=++设212123(2)18(2)n n n n n n b k b k a k ++++-=-+-(k 为常数)，展开比较系数知120k =-则212111123(2)18(2)202020n n n n n n b b b +++++=+++ 令211231820n n n n n n d b d d d ++=+=+，则即21136(3)n n n n d d d d ++++=+，而12116105d d ==，∴ 1219{3}32n n d d d d +++=是以为首项，6为公比的等比数列∴ 119336624n n n n d d -++=⨯=⨯，即111163(6)1212n n n n d d -+-⨯=--⨯∴ 11113{6}612125n n d d --=是以为首项，– 3为公比的等比数列∴ 113(3)6(3)1255n n n n d ---=-=-∴ 6(3)125n n n d -=- ∴ 6(3)212520n n n n b -=--． ······················ 7分 (3) 由题2n n c =，∴11121211112122(2)2k k k k k k c c ++---==<--- ∴ 122311111111112222n n c c c nc c c +---+++<+++=--- 又1111211111111(1)12122(21)23222232k k k k k kkk c k n c +++--==-=-≥-=---+-，， ∴ 1223111(1)111111122(1)1111232322312n n n c c c n n n c c c +----+++≥-=-->----- ∴ 原命题得证． ························· 12分。
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为非零常数，则的图像满足（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于原点对称 D．关于直线轴对称参考答案：A2. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A. B.21C. D. 24参考答案：A4. 已知函数的图象与直线恰好有一个交点．设，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．D．参考答案：D5. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为( ) A． B． C．1 D．2参考答案：C试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴△ABC为正三角形，∴？=2×2cos60°=2∴在方向上的投影为==1，故选：C考点：平面向量数量积的含义与物理意义．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．6. 在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D7.函数图象如图，则函数的单调递增区间为（）A． B． C．D．参考答案：D8. 为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4参考答案：B由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D10. 已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是．参考答案：412. （6分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=则f（﹣log32）= ；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．参考答案：；【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解：由﹣1≤﹣log32≤1，则f（﹣log32）===，当t∈[﹣1，1]，所以f（t）=3t∈[，3]，又函数f（x）=则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣?3t，因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤﹣?3t≤1，即≤3t≤3，解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1，1]，由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，则实数t的取值范围[log3，1）；当1＜t＜3时，f（t）=﹣?t∈（0，3），由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1或0≤﹣?（﹣t）≤1，解得t∈?或1≤t≤．即有t的取值范围为（1，]．综上可得t的范围是．故答案为：，．【点评】：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13. 已知数列的最小值为。
全国高三高中数学月考试卷带答案解析
全国高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.设向量，满足，，则（）A．B．C．D．3.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （）A．尺B．尺C．尺D．尺4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为（）A．B．C．D．7.在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各结论正确的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．＜ 1053B．=1053C．= 1093D．＞10939.以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题10.设均为正数，且，，. 则（）A．B．C．D．11.已知角始边与x轴的非负半轴重合，与圆相交于点A，终边与圆相交于点B，点B在x 轴上的射影为C，的面积为，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．12.若函数，则方程的根的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题1.函数的定义域是_________________.2.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_______________.3.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.4.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.三、解答题1.在等差数列中，，⑴求数列的通项公式；⑵设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和2.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．3.已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证：.4.已知函数（1）求在区间的最小值的表达式；（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围.5.己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．6.【选修4—4：坐标系与参数方程】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.7.【选修4—5：不等式选讲】已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．全国高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数在复平面内对应的点点在第二象限，，解得，则实数的取值范围是，故选B.2.设向量，满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,所以3.在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （）A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】C【解析】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为（尺），故选C.4.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以两点连续的斜率大小，在点处的切线斜率与点的切线斜率之间，，故选B.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得，那么，故选B.6.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依据定义，就是指将除去后剩余的元素构成的集合，对于集合，求的是函数的定义域，解得，对于集合，求的是函数的值域，解得，所以，或，故选D.7.在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各结论正确的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．＜ 1053B．=1053C．= 1093D．＞1093【答案】D【解析】由题意，，根据对数性质有，，，故选D.9.以下判断正确的是（）A．函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B．命题“”的否定是“”C．“”是“函数是偶函数”的充要条件D．命题“在中，若，则”的逆命题为假命题【答案】C【解析】对于，函数为上可导函数，则是为函数极值点的必要不充分条件，如，满足，但不是函数的极值点，故错误；对于，命题“”的否定是“”，故错误；对于，若，则，，函数为偶函数,反之，若函数是偶函数，则，即，“”，是“函数是偶函数”，的充要条件，故正确；对于，在中，若“，则，” 的逆命题为“若，则”，由正弦定理可知，在中，，逆命题为真命题，故错误，故选C.10.设均为正数，且，，. 则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为所以,可得；因为所以,可得；因为所以,可得,所以，故选D.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质与对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.已知角始边与x轴的非负半轴重合，与圆相交于点A，终边与圆相交于点B，点B在x 轴上的射影为C，的面积为，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，所以，所以排除C,D．又当时，，综上可知，B选项是正确的.12.若函数，则方程的根的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递减，在区间单调递增，且，绘制函数图象如图所示，由可得或，当时，函数有两个根，当为区间上的某一个定值时，有唯一的实数根，综上可得：方程的根的个数为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、填空题1.函数的定义域是_________________.【答案】【解析】根据题意有，从而求得函数的定义域为．【考点】函数的定义域．2.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_______________.【答案】【解析】根据函数在平面直角坐标系中的部分图象，，，，，即，故答案为.3.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.4.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则 ____________.【答案】【解析】依题意得，，令，得，函数的对称中心为，则，，,故答案为.【方法点睛】本题主要考查导数的应用、函数的对称性数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键.三、解答题1.在等差数列中，，⑴求数列的通项公式；⑵设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和【答案】(1)(2) 当时，,当时，．【解析】(1)设等差数列的公差是，由已知求出首项与公差，即可求出数列的通项公式；(2)由数列是首项为，公比为的等比数列，结合(1)的结果，求出的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析：⑴设等差数列的公差是．由已知∴∴，得，∴数列的通项公式为⑵由数列是首项为，公比为的等比数列，∴∴∴∴当时，，当时，.【考点】等差等比数列.2.某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）将代入每小时的油耗＝11.5，解方程可得；（2））该汽车每小时的油耗为y＝(60≤x≤120),利用导数研究函数的单调性，即可得到该汽车每小时油耗的最小值. 试题解析：（1）由题意，当x＝120时，＝11.5，∴k＝100.（2）该汽车每小时的油耗为y L，则y＝(60≤x≤120)．求导知，函数在区间上单调递增答：升．3.已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证：.【答案】（1）所求单调递增区间为（2）【解析】（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得，再利用三角函数的单调性，解不等式即可得函数的单调递增区间；（2）由得，由平面向量数量积公式可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得结果.试题解析：（1）由得，故所求单调递增区间为（2）由得，，即，，又中，，【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式以及余弦定理、平面向量数量积公式，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.4.已知函数（1）求在区间的最小值的表达式；（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）的取值范围是【解析】（1）讨论三种情况:,结合二次函数的图象与性质，分别求出在区间的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得，只需存在，使得，从而可得在时有解，求出的最小值，即可得结果.试题解析：（1）当时，当时，当时，（2）函数的定义域为，令，则令，则或，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以对任意的，有，由条件知存在，使，所以即存在，使得分离参数即得到在时有解，由于（）为减函数，故其最小值为，从而所以实数的取值范围是5.己知函数，．（I）求函数上零点的个数；（II ）设，若函数在上是增函数．求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）零点个数为 （II ）的取值范围是【解析】（1）先求得，时，恒成立，可证明时，，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数,求导，得，当时，恒成立，当时，，∴ ， ∴在上恒成立，故在上单调递减．又，，曲线在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，∃唯一的∈（1，2），使，所以，函数在上零点的个数为1．（II ）由（Ⅰ）知：当时，＞0，当时，＜0．∴当时，=求导，得由于函数在上是增函数，故在，上恒成立.①当时，≥0在上恒成立，即在上恒成立， 记，，则，， 所以，在上单调递减，在上单调递增，∴min=极小值=，故“在上恒成立”，只需 ，即．②当时，， 当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数在上是增函数．故实数的取值范围是．6.【选修4—4：坐标系与参数方程】 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程； （Ⅱ）设直线与C 的交点为，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（Ⅰ）得参数方程为（ 为参数） （II ）【解析】（1）根据变换得，再利用三角换元得（2）先求出直角坐标方程：由直线方程与椭圆方程解得交点坐标P 1（2，0），P 2（0，1），得中点坐标，利用点斜式得直线方程，最后根据得极坐标方程试题解析：（I ）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为C 上点（x ，y ）， 依题意得：圆的参数方程为（t 为参数）所以C 的参数方程为（t 为参数）．（II ）由解得或所以P 1（2，0），P 2（0，1），则线段P 1P 2的中点坐标为，所求直线的斜率k ＝，于是所求直线方程为，并整理得化为极坐标方程，，即.【考点】椭圆参数方程，极坐标与之间坐标互化7.【选修4—5：不等式选讲】 已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．【答案】（Ⅰ） （II ）证明见解析 【解析】(1)由的解析式得到解析式,解不等式求出的范围,对比已知解集,得出的值；(2)由基本不等式得到证明.试题解析：（1）因为，所以等价于， 由有解，得，且其解集为，又的解集为，故．（2）由（1）知，，，，由基本不等式得：． 【考点】1.绝对值不等式的解法；2.基本不等式的应用.。
2022-2023学年湖南省长沙市第一中学高三下学期2月月考(六)数学试卷含逐题详解
长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,14.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.B.2- C.3- D.-5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.16.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π7.已知圆O 的半径为1，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅ 的最小值是（）A.18-B.116-C.116D.188.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为4C.若0OA OB ⋅=，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b，则双曲线C 的离心率为__________．16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．22.已知函数()1e ln axf x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x 的最小值为a ，求a 的最大值．长沙市一中2023届高三月考试卷（六）数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}32,Z M x x n n ==-∈，{}2,1,0,1,2N =--，则M N ⋂=（）A.{}2,1- B.{}1,2- C.{}1,1- D.{}2,0,2-【答案】A【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】{}}{32,Z ...,5,2,1,4,7,M x x n n ==-∈=-- ,所以{}2,1M N =- .故选：A.2.已知复数z 满足()1i 1i z -=+，i 为虚数单位，则z =（）A.iB.2222+ C.11i 22+ D.1i+【答案】B【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的1i 22(1i)=1i1i (1i)(1i)z ++==---+，即可求解.【详解】1i 1122(1i)2(1i)22===i 1i 1i 1i (1i)(1i)222z +++===+----+，故选：B3.已知()30A -,，()3,0B ，()0,3C ，一束光线从点()1,0F -出发经AC 反射后，再经BC 上点D 反射，落到点()1,0E 上．则点D 的坐标为（）A.15,22⎛⎫⎪⎝⎭B.33,22⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,2 D.()2,1【答案】C【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知GH 方程，由GH 与BC 的交点可得D ，求坐标即可.【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出,F E 关于,AC BC 的对称点,G H ,连接GH ，交BC 于D ，则D 点即为所求，如图，因为AC 所在直线方程为3y x =+，(1,0)F -，设()G x y ,，则132211y x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，解得3,2x y =-=，即(3,2)G -，由BC 所在直线方程为3y x =-+，(1,0)E ，同理可得(3,2)H ，所以直线GH 方程为2y =，由32y x y =-+⎧⎨=⎩解得(1,2)D ，故选：C 4.若ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.3B.2- C.3- D.3-【答案】C【分析】利用三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为ππ,24α⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以tan 1α<-，由23π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，得21cos sin 22αα+=-，即222cos 2sin cos 1cos sin 2ααααα+=-+，所以212tan 11tan 2αα+=-+，即2tan 4tan 30αα++=，解得tan 3α=-或tan 1α=-(舍).故选：C.5.据一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，求得经验回归方程为 1.20.4y x =+，且3x =．现发现这组样本数据中有两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l 的斜率为1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y 的估计值增加速度变快B.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点()3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+D.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.1【答案】C【分析】根据直线l 的斜率大小判断A ；求出y 判断B ；再求出经验回归方程判断C ；计算残差判断D 作答.【详解】对于A ，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l 的斜率变小，则y 的估计值增加速度变慢，A 错误；对于B ，由 1.20.4y x =+及3x =得：4y =，因为去除的两个样本点()1.2,0.5和()4.8,7.5，并且1.2 4.80.57.53,422++==，因此去除两个样本点后，样本的中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B 错误；对于C ，设去除后重新求得的经验回归直线l 的方程为 ˆ1.1y x a=+，由选项B 知，ˆ4 1.13a =⨯+，解得ˆ0.7a =，所以重新求得的回归方程为 1.10.7y x =+，C 正确；对于D ，由选项C 知， 1.10.7y x =+，当2x =时， 1.120.7 2.9y =⨯+=，则2.7 2.90.2-=-，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点()2,2.7的残差为0.2-，D 错误.故选：C6.在四面体PABC 中，PA AB ⊥，PA AC ⊥，120BAC ∠=︒，2AB AC AP ===，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【分析】由线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABC ，设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，D 为PA 的中点，可得四边形ODAG 为平行四边形，所以1OG =，在ABC 中，由余弦定理及正弦定理可求AG ，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为PA AB ⊥，PA AC ⊥，,,AB AC A AB AC =⊂ 平面ABC ,所以PA ⊥平面ABC .设底面ABC 的外心为G ，外接球的球心为O ，则OG ⊥平面ABC ，所以//PA OG .设D 为PA 的中点，因为OP OA =，所以DO PA ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ,所以PA ⊥AG ，所以//OD AG .因此四边形ODAG 为平行四边形，所以112OG AD PA ===.因为120BAC ∠=︒，2AB AC ==，所以BC=,由正弦定理，得24232AG AG==⇒=.所以该外接球的半径R满足()()2225R OG AG=+=,故该外接球的表面积为24π20πS R==.故选:D.7.已知圆O的半径为1，A为圆内一点，12OA=，B，C为圆O上任意两点，则AC BC⋅的最小值是（）A.18- B.116- C.116 D.18【答案】A【详解】首先设OA与BC所成角为θ，根据题意得到()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，再根据221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-求解即可.【点睛】如图所示：设OA与BC所成角为θ，因为()1cos cos2AC BC OC OA BC OC BC OA BC BC BCO BCθ⋅=-⋅=⋅-⋅=∠-，因为112cos2BCBCO BCOC∠==，所以211cos22AC BC BC BCθ⋅=-因为221111cos2222BC BC BC BCθ-≥-，当0θ= 时，等号成立.因为02BC≤≤，所以当12BC=时，21122BC BC-取得最小值为18-，所以当12BC = 时，AC BC ⋅ 取得最小值为18-.故选：A8.设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，若对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，则实数m 的最大值为（）A.133B.174C.92D.143【答案】B【分析】由()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，求出()2f x x x =-，再根据()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，作出函数()g x 的图象即可求解.【详解】因为()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，所以()()()()()22f x x f x x f x x f x x⎧-+-=--⎪⎨-+=-⎪⎩，解得()2f x x x =-，由()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，所以()()()2121g x g x f x =-=-，同理：当()2,3x ∈时，()()()()214242gx g x g x f x =-=-=-，以此类推，可以得到()g x 的图象如下：由此可得，当()4,5x ∈时，()()164g x f x =-，由()3g x ≤，得()()16453x x --≤，解得174x ≤或194x ≥，又因为对任意的[]0,x m ∈，()3g x ≤恒成立，所以1704m <≤，所以实数m 的最大值为174.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.ω的取值范围是913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点C.()f x 的最小正周期可能是4π5D.()f x 在区间π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD【分析】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，再根据函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，可得5ππ7ππ242ω≤+<，可求出ω的取值范围判断A ，再利用三角函数的性质可依次判断BCD ．【详解】由[]0,πx ∈，得πππ,π444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴，所以5ππ7ππ242ω≤+<，解得91344ω≤<，故A 正确；对于B ，(0,π)x ∈ ，∴πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∴π5π7ππ,422ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当π5π,3π42x ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当π7π3π,42x ω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故B 错误；对于C ，周期2πT ω=，由91344ω≤<，则414139ω<≤，∴8π8π139T <≤，又84ππ58π,139⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()f x 的最小正周期可能是4π5，故C 正确；对于D ， π0,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππππ,44154x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，又91344ω≤<，∴ππ2π7ππ,0,1545152ω⎡⎫⎛⎫+∈⊆⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，所以()f x 在区间π0,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上一定单调递增，故D 正确．故选：ACD.10.已知抛物线C ：22x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是C 上异于点O 的两点，O 为坐标原点，则（）A.l 的方程为12x =-B.若32AF =，则AOF 的面积为24C.若0OA OB ⋅= ，则9OA OB ⋅≥D.若120AFB ∠=︒，过AB 的中点D 作DE l ⊥于点E ，则ABDE 【答案】BD【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到1A y =，进而求出A x =到AOF 的面积，B 正确；由0OA OB ⋅= 得到4A B x x =-，4A B y y =，表达出()2222232A B A B OA OB x y y x ⋅=++，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设,AF a BF b ==，由焦半径公式得到2a b DE +=，结合余弦定理，基本不等式得到AB DE 的最小值.【详解】22x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y =-，故A 错误；由焦半径公式可知：1322A AF y =+=，解得1A y =，故222A A x y ==，故A x =所以AOF 的面积为11122224A OF x ⋅=⨯=，B 正确；若0OA OB ⋅= ，则0A B A B x x y y +=，即22104A B A B x x x x +=，解得：4A B x x =-，则4A B y y =，故()()()2222222223232A A B B AB A B OA OB x y x y x y y x ⋅=++=++≥+32264A B A B x x y y =+⋅=，故8OA OB ⋅≥，当且仅当A B A B x y y x =时，等号成立，C 错误；过点A 作1AA ⊥l 于点1A ，过点B 作1BB ⊥l 于点1B ，设,AF a BF b ==，所以2a b DE +=，因为()2222222cos AB a b ab AFB a b ab a b ab=+-∠=++=+-()()22223342a b a b a b DE ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，所以AB ≥，AB DE .故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，顶点1,,B C A 到α的距离分别为1,2,3，则（）A.BD 平面αB.平面1A AC ⊥平面αC.直线1AB 与α所成角比直线1AA 与α所成角大D.【答案】ABD【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解判断即可.【详解】解：设,AC BD 的交点为O ，显然O 是AC 、BD 的中点，因为平面ABCD A α= ，C 到平面α的距离为2，所以O 到平面α的距离为1，又B 到平面α的距离为1，所以//BO 平面α，即//BD 平面α，即A 正确；设平面ABCD l α= ，所以//BD l ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因此有l ⊥平面1A AC ，而l ⊂α，所以平面1A AC ⊥平面α，因此选项B 正确；设1B 到平面α的距离为d ，因为平面11AA B B A α= ，11AA B B 是正方形，点1A ，B 到α的距离分别为3，1，所以有31422d d +=⇒=，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a，设直线1AB 与α所成角为β，所以1422sin AB a β===，设直线1AA 与α所成角为γ，所以133sin AA aγ==，因为3>sin sin βγβγ<⇒<，因此选项C 不正确；因为平面1A AC ⊥平面α，平面1A AC ⋂平面A α=，所以1,C A 在平面α的射影,E F 与A 共线，显然1112,3,,,CE A F AC AA a AA AC ====⊥，如图所示：由11ECA CAE CAE A AF ECA A AF ∠+∠=∠+∠⇒∠=∠，111cos ,sin A F CE ECA A AF AC AA ∠=∠=，由2212249cos sin 112ECA A AF a a a∠+∠=⇒+=⇒=，因此选项D 正确，故选：ABD 12.已知a ，b 为正实数，且26ab a b ++=，则（）A.ab 的最大值为2B.2a b +的最小值为5C.1211a b +++的最小值为98D.()0,3a b -∈【答案】AC【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于A ：因为26ab a b ++=，所以62ab a b ab =++≥+，当且仅当2a b =时取等号，令0t =>，则有260t +-≤，解得t -≤≤，又因为0t =>，所以0t <≤，即0<≤ab 的最大值为2，故A 选项正确；对于B ：因为26ab a b ++=，所以()221162222224a b ab a b ab a b a b +=++=⨯++≤+，当且仅当2a b =时取等号，令20t a b =+>，则有28480t t +-≥，解得4t ≥或t 12≤-（舍去），即24a b +≥，所以2a b +的最小值为4，故B 选项错误；对于C ：因为26ab a b ++=，所以12111888b b a ++==++，所以81221119888111a b b b +++≥=+++=++，当且仅当2118b b +=+，即3b =时等式成立，所以1211a b +++的最小值为98，故C 选项正确；对于D ：当14a =，225b =时，()4.150,3a b -=∉，所以D 选项错误；故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设直线10x y ++=是曲线ln y a x =-的一条切线，则=a _________．【答案】2-【分析】设切点为()00,x y ，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.【详解】设切点为()00,x y ，1y x '=-，则0011x x y x ==-=-'，所以01x =，所以切点为()1,a ，又切线为10x y ++=，所以110a ++=，解得2a =-.故答案为：2-.14.楼道里有8盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，则关灯方案有_________种．【答案】20【分析】根据题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，由组合公式计算即可求解.【详解】依题意，原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯，则有36C 20=种方案.故答案为：20.15.过双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ．且点A ，B 位于x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB 的内切圆的半径为23b ，则双曲线C 的离心率为__________．【答案】【分析】作出图象，设OAB 的内切圆的圆心为M ，易知M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，则有四边形MTAN 为正方形，则2||||3b NA MN ==，2||3b ON a =-，由tan MNb AOF ON a ∠==，可得2a b =，由斜率公式即可得答案.【详解】解：如图所示：设A 在第一象限，由题意可知22bc AF d b a b ===+，其中d 为点(c,0)F 到渐近线b y x a =的距离，||OF c =，所以2222||||||OA OF AF c b a =-=-，设OAB 的内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上，过M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，又因为FA OA ⊥于A ，所以四边形MTAN 为正方形，所以2||||3b NA MN ==，所以2||||||3b ON OA NA a =-=-，又因为2||3tan 2||3b MN b AOF b ON a a ∠===-，所以2233a b a =-，2a b =，所以22225c a b b =+=，所以5c b =，所以5522c b e a b ===.故答案为：52.16.小说《三体》中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形．这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着．有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合()()(){}22,cos sin 4,0P x y x y θθθπ=-++=≤≤．由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”．则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_________．【答案】16π33+【分析】根据图形与()()(){}22,cos sin 4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤，建立直角坐标系，画出图形，求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：在方程()()22cos sin 4x y θθ-+-=，0πθ≤≤中，令0x =，则有222cos 2sin sin 4y y θθθ+-+=，所以12sin y yθ=-，其中0πθ≤≤，所以[]sin 0,1θ∈，所以[]12sin 0,2y y θ=-∈，解得3,13,3y ⎡⎤⎤∈-⎣⎦⎦ ，所以(3A ，()0,3E ，()0,1G -，(0,3D ，令0θ=，则有()2214x y -+=，所以()1,0C ，()3,0N ，令πθ=，则有()2214x y ++=，所以()1,0B -，()3,0M -.由()3,0M -，()3,0N ，()0,3E 易得 MEN与线段MN 组成的图形为229x y +=的上半圆，由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由229x y +=的上半圆减去()2214x y -+=上半圆与()2214x y ++=上半圆相交的部分形成，即 BAC与线段BC 组成的面积，设为S 水滴上部.由(A ，()1,0B -，()1,0C 三点易得ABC 为边长为2的等边三角形，所以212ππ263ABC AnC S S =⨯⨯-=- 弓形所以4π23ABC AnC S S S =+=弓形水滴上部，设第一、二象限的阴影面积为1S ，则19π9π4π19π2236S S =-=-++水滴上部.由()1,0B -，()1,0C ，()0,1G -易得 BGC与线段BC 组成的图形为221x y +=的下半圆，设在第三象限中的阴影面积为2S ，则有2π4MOD MpD S S S =+-弓形，由图知11333222MOD S MO OD =⨯⨯=⨯=11222MBD S MB OD =⨯⨯=⨯⨯ ，2π3MBD ∠=，所以214ππ233MBD MpD S S =⨯⨯-=- 弓形，所以2π4ππ13π4234122MOD MpD S S S =+-=-=+ 弓形，所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：1219π13π316π2261223S S S ⎛=+=+⨯+=+ ⎝⎭故答案为：16π3+.【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，已知1n a +是4与n S 的等比中项．（1）求{}n a 的通项分式；（2）证明：2222123111154n a a a a +++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【分析】(1)由等比中项得()214n n a S +=，进而由递推式计算出11a =，并得到12n n a a --=，得数列{}n a 是等差数列，进而可求解；(2)由()22111114121n a n n n ⎛⎫=<- ⎪-⎝⎭-，从第二项开始放缩即可证明.【小问1详解】∵1n a +是4与n S 的等比中项，∴()214n n a S +=①．当1n =时，()2111144a S a +==，∴11a =．当2n ≥时，()21114n n a S --+=②，由①-②得，()()()22111144n n n n n a a S S a --+-+=-=，∴()()1120n n n n a a a a ----+=，∵0n a >，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为l ，公差为2的等差数列，∴{}n a 的通项公式21n a n =-．【小问2详解】由（1）得2111a =，当2n ≥时，()22221111111441444121n a n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪-+--⎝⎭-，∴22222221232311111111n na a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111115151114122314444n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C的对边，且cos sin a C C b c +=+．（1）求A ；（2）已知ABC 的面积为334，设M 为BC的中点，且AM =，BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．【答案】（1）π3A =（2）5AN =【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；（2）根据题意，可得()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意知ABC 中，cos sin a C C b c +=+，由正弦定理边角关系得：则sin cos sin A C A C ()sin sin sin sin sin cos cos sin sin B C A C C A C A C C =+=++=++，sin cos sin sin A C A C C =+，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠cos 1A A -=，∴π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ=66A -，即π3A =．【小问2详解】如下图所示，在ABC 中，AM 为中线，∴2AM AB AC =+，∴()22222242AM AB AC AB AB AC AC c b bc =+=+⋅+=++ ，∴2212b c bc ++=．∵334ABC S =△，∴1sin 244bc A ==，3bc =，∴b c +==，∵ABC ABN ACN S S S =+△△△，∴()331π15sin 4264b c AN AN =+=，∴355AN =．19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01p p <<，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为ξ，请判断是否存在唯一的p 值0p ，使得() 1.5E ξ=？并说明理由．【答案】（1）甲被录用的概率为2332p p -，乙被录用的概率为2333p p -（2）不存在；理由见解析【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析ξ的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.【小问1详解】由题意，设甲答对题目的个数为X ，得()~3,X B p ，则甲被录用的概率为()2232313C 132P p p p p p =-+=-，乙被录用的概率为()222332C 133P p p p p =-=-．【小问2详解】ξ的可能取值为0，1，2，则()()()12011P P P ξ==--，()()()1212111P P P P P ξ==-+-，()122P PP ξ==，∴()()()()()121212*********E P P P P P P PPξ=⨯--+⨯-+-+⨯⎡⎤⎣⎦23232312323365 1.5P P p p p p p p =+=-+-=-=，32101230p p ∴-+=，设()()321101230f p p p p +=<<-，则()23024f p p p '=-．∴当405p <<时，()f p 单调递减，当415p <<时，()f p 单调递增，又()03f =，()11f =，4110525f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以不存在p 的值0p ，使得()00f p =.20.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）6π【分析】(1)分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，证明出PC PD =，可得PAD PBC ≌△△，由此可证得结论成立；(2)先根据条件推出PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，设PEF α∠=，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求出直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值的最大值，求出对应的角的值，即可求解.【小问1详解】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥．∵四边形ABCD 为正方形，则AB CD ∥且AB CD =，∴CD PE ⊥．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF AD ∥，∴EFCD ⊥，∵EF PE E ⋂=，∴CD ⊥平面PEF ．∵PF ⊂平面PEF ，∴CD PF ⊥．在PCD 中，∵F 为CD 的中点，CD PF ⊥，∴PC PD =．又∵PA PB =，AD BC =，∴PAD PBC ≌△△，从而可得PAD PBC ∠=∠．【小问2详解】由（1）可知PE AB ⊥，EF AB ⊥，∴PEF ∠为二面角P AB C --的平面角，且223PE PA AE =-=，以点E 为坐标原点，EB ，EF 所在直线分别为x ，y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设PEF α∠=，其中0απ<<，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，()0,2,0F，(),P αα，()AP αα= ，()2,0,0DC =uuu r，()FP αα=- ．设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00n DC n FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即202)0x y z αα=⎧⎪⎨-⋅=⎪⎩，取y α=，则2z α=-，0x =，∴(),2n αα=- ，cos ,n AP n AP n AP ⋅<>==⋅=令(77t α-=∈-+，则cos α=，则cos ,2n AP <>= ，当且仅当1t =时，即当3cos 2α=时，即当6πα=时，等号成立．所以当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，二面角P AB C --为6π．21.已知()1,0F -，D 是圆C ：()22116x y -+=上的任意一点，线段DF 的垂直平分线交DC 于点P ．（1）求动点P 的轨迹Γ的方程：（2）过点(),0M t 的直线l 与曲线Γ相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线AB '交x 轴于点N ，证明：OM ON ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由中垂线性质，可知42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，得动点P 的轨迹以C ，F 为焦点的椭圆；（2）将直线l 与曲线Γ方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点N 坐标，后可得答案.【小问1详解】圆C ：()22116x y -+=，圆心为()1,0，半径为4，因为线段DF 的垂直平分线交DC 于P 点，所以PD PF =，所以42PC PF PC PD DC FC +=+==>=，所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以C ，F 为焦点的椭圆，则242a a =⇒=，221c c =⇒=，2223b a c =-=.故轨迹方程为：22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l 的方程为()0x my t m =+≠，将其与Γ方程联立：22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223463120m y mty t +++-=.方程判别式()2248430m t +->，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-，由韦达定理有122634mt y y m -+=+，212231234t y y m -=+，则直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令()1212211212N 121212202my y t y y x y x y y y y x m t y y y y y y +++=⇒===⋅++++2312426t m t mt t -=⋅+=-，则40,N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得()400,，,OM t ON t ⎛⎫== ⎪⎝⎭.∴44OM ON t t⋅=⋅= ．即OM ON ⋅ 为定值4．22.已知函数()1e ln ax f x x x-=+，a ∈R ．（1）当1a =时，求函数()f x x -的最小值；（2）若函数()f x x的最小值为a ，求a 的最大值．【答案】（1）0（2）1【分析】（1）当1a =时，令()()F x f x x =-，求得()()()121e x x x x F x --=-'，根据()F x '在不同区间的符号判断()F x 的单调性，由单调性即可求出()()F x f x x =-的最小值；（2）将()≥f x a x 等价变换为()0f x ax -≥，借助第（1）问中判断()()()121e x x x x F x --=-'的符号时构造的()1e x g x x -=-在1x =时取最小值，取()ln g ax x -，将问题转化为ln 1ax x -=有解问题即可.【小问1详解】当1a =时，令()()1e ln x x x F xf x x x-+=--=，()0,x ∈∞，则()()()()()11112221e e 11e e 11x x x x x x x x x x x xF x x x ------+-'==-⋅-+-=，令()1e x g x x -=-，x ∈R ，则()1e 1x g x -'=-，易知()g x '在R 上单调递增，且()10g '=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1上单调递减，且()()110e x g x x g -=->=，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在区间()1,+∞上单调递增，且()()110ex g x x g -=->=，∴当()0,1x ∈时，()()()121e 0x x x F x x --'=-<，()F x 在区间()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()()121e 0x x x F x x --'=->，()F x 在区间()1,+∞上单调递增，当1x =时，()F x 取得极小值，也是最小值，()()11min e 1ln1101F x F -==+-=，∴当1a =时，函数()f x x -的最小值为0.【小问2详解】由已知，()f x 的定义域为()0,∞+，若函数()f x x 的最小值为a ，则有()≥f x a x，∴()f x ax ≥，()0f x ax -≥，令()()h x f x ax =-，即()()1e ln ax x ax h x x ax xf -+=--=的最小值为0，由第（1）问知，当且仅当1x =时，()1e xg x x -=-取最小值()10g =，∴当且仅当ln 1ax x -=时，()ln g ax x -取得最小值0，又∵()()()l 1l 1n 1n n e e ln l ln ln e e ax ax ax x x g ax x ax x x ax x ax h x x-----=--=+-=-=，∴只需令ln 1ax x -=有解，即ln 1x a x +=有解，令()ln 1x H x x +=，()0,x ∈+∞，则()()221ln 1ln x x x x H x x x ⋅-+'==-，当()0,1x ∈时，()2ln 0x H x x'=->，()H x 在区间()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()2ln 0x H x x '=-<，()H x 在区间()1,+∞上单调递减，∴()()ln 111x a H x H x+==≤=，综上所述，若函数()f xx的最小值为a，则a的最大值为1.【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中直接求导分析()()1e lnaxx axh x x axxf-+=--=的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的()1e xg x x-=-，使()()lng ax x h x-=，以达到简化运算的目的.。
解析2022届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考(六)数学试卷及答案
2022届重庆市巴蜀中学校高三上学期适应性月考（六）数学试题一、单选题1．已知集合(){}2lg A x y x x ==-，{}124xB x =≤≤，则A B ⋃=（ ）A ．(]1,2B ．RC ．()(],01,2-∞⋃D ．(],2-∞答案：B求函数的定义域求得集合A ，解指数不等式求得集合B ，然后求得A B .()210x x x x -=->，解得0x <或1x >.所以()(),01,A =-∞⋃+∞.02222x ≤≤，解得02x ≤≤，所以[]0,2B =， 所以A B =R . 故选：B 2．已知复数26i1iz +=-，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C利用复数除法运算求得z ，然后求得z .()()()()()()()()26i 1i 26i 1i 13i 1i 24i1i 1i 2z ++++===++=-+-+，z 故选：C3．良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间()~8,1X N ，则每天的睡眠时间为5~6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）（附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈A ．163B ．51C ．26D ．20答案：C由正态分布可知8μ=，1σ=，可确定()()5632P X P X μσμσ<<=-<<-，再结合正态分布曲线的对称性计算可求对应概率，结合频数=总数⨯频率即可求解. 解：由题意，()8,1X N ，则8μ=，1σ=，所以()()5632P X P X μσμσ<<=-<<-()133(22)2P X P X μσμσμσμσ⎡⎤=-<<+--<<+⎣⎦ ()10.99730.95450.02142≈⨯-=，12000.021425.6826⨯=≈， 则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为26． 故选：C.4．已知()0,απ∈，且1sin 23α=，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．B ．CD 答案：D先由1sin 23α=，得12sin cos 3αα=，再利用2(sin cos )12sin cos αααα+=+，结合正弦的和角公式可求得答案.解：由1sin 23α=，得12sin cos 3αα=，则24(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=，又()0,απ∈，2sin cos >0αα，所以sin >0cos >0αα，，所以sin cos 0αα+>，则sin cos αα+=又sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos )44ππαααα+=+==故选：D.5．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）A ．90B ．-90C ．180D ．-180答案：C由已知可知项数n =10，再表示通项并令其中x 的指数为零，求得指定项的系数即可.解：因为22n x ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n =10，即2102x ⎫⎪⎭，则通项为()10510211021022rrrr r rr T x x C C --+⎛⎫=⋅⋅=-⋅ ⎪⎝⎭-， 令105022r r -=⇒=，则()223102180T C =-=. 故选：C.6．已知0x >，0y >，设命题p ：224x y +≥，命题q ：1xy ≥，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B取特值，1,23x y ==，满足224x y +≥，不满足1xy ≥；运用基本不等式得2+12x y xy ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即+2x y ≥，由指数函数的单调性得+2224x y ≥=，运用基本不等式和充分必要条件的定义 判断可得选项.解：当1,23x y ==时，123224+≥满足224x y +≥，但122133xy =⨯=<，不满足1xy ≥，所以p 不是q 的充分条件；当1xy ≥，0x >，0y >时，2+12x y xy ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即+2x y ≥，当且仅当x y =时取等号，所以+2224x y ≥=，即224x y⋅≥，又22+24222x y xy⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号，解得224x y +≥，所以p 是q 的必要条件， 因此，p 是q 的必要不充分条件. 故选：B.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)2C ．D ．()2,3答案：A由题意问题转化为双曲线22221x y a b -=的渐近线与双曲线22221x y b a -=有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围. 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，12122||PF PF b F F -=<,∴点P 在双曲线22221x y b a-=上， 双曲线22221x y b a -=的渐近线方程为a y x b =±，因为b y x a =±与双曲线22221x y b a-=相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需b aa b<，即22a b >，则222a c a >-，解得1ca<<，故该双曲线离心率的取值范围是， 故选：A关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与22221x y b a-=有交点，再根据双曲线渐近线判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判断直线与双曲线的交点个数问题.8．已知122a -=，4log 20b =，3log 12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．b a c << D ．a b c <<答案：D利用指数函数与对数函数的单调性，分别得出a b c ，，的大致范围，再取中间值54，比较,b c 大小即可得出结果.1244332(0,1)log 201log 5log 1211lo ,41,g a b c -==+=+==>=>, ,a a b c ∴<<，4554443355log 4log 5,log 3log 444=>=< 则435log 5log 44<< ∴b c <.综上a b c << 故选：D 二、多选题9．成立时间少于10年.估值超过10亿美元且未上市的企业，称为独角兽企业.2021年中国新经济独角兽企业分布较广泛､覆盖居民生活的各个方面.如图为2021年中国新经济独角兽企业TOP 200的行业分布图，中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业数量共同占比达到69%.下列说法正确的是（ ）A ．随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注B ．这12个行业TOP200榜单中独角兽企业数量的中位数是17C ．中国新经济独角兽企业TOP200榜单中，京､沪､粤三地的企业超过130家D ．2021年中国新经济独角兽企业TOP200榜单中汽车交通､企业服务､文化娱乐的企业数量共同占比超过40% 答案：ABC结合图表对选项进行分析，由此确定正确选项.A 选项，由图可知，汽车交通行业独角兽企业TOP200榜单中数量最多，是由A 选项正确.B 选项，数据为8,8,12,13,16,17,17,18,18,19,25,29，中位数为1717172+=，B 选项正确. C 选项，20069%138130⨯=>，所以C 选项正确. D 选项，汽车交通､企业服务､文化娱乐占比292519100%36.5%40%200++⨯=<，D 选项错误.故选：ABC10．若函数()()231cos sin 222f x x x ππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法正确的是（ ） A ．最大值为1B ．最小正周期为πC ．()14f x f x π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭D ．函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增答案：BC 化简可得()212242f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质即可依次判断. ()211cos2121sin sin 2sin 22222242x f x x x x x π-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 212，故A 错误；()f x 的最小正周期为22ππ=，故B 正确；()1122442424f x x f x x ππππ⎛⎫++-=-⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣ ⎝⎭⎦11221242242x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确； 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，32,444x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性可得()f x 有增有减，故D 错误.故选：BC.11．已知异面直线m ，n 相互垂直，点A ，B 分别是m ，n 上的点，且直线AB 与m ，n 均垂直，动点C ，D 分别位于直线m ，n 上，直线CD 与直线AB 所成角为45°，2AB =，则下列说法正确的是（ ）A ．CD =B ．若连接点A ，B ，C ，D 构成三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -的体积最大值为43C ．点M 为线段CD 的中点，则点M 的轨迹为圆D ．若连接点A ，B ，C ，D 构成三棱锥A BCD -，则其外接球的表面积为8π 答案：ACD构造一长方体，在长方体中根据题意进行分析可得出答案.如图所示，构造一长方体，过D 作//DQ AB ，因为直线CD 与直线AB 所成角为45︒，所以45QDC ∠=︒，由DQ QC ⊥且||||2DQ AB ==，所以2QC =，||CD =A 正确；设||,||BD x AC y ==，则111123323A BCD C ABD ABD V V S AC x y xy --⎛⎫==⋅=⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，又222222||||||4CD BD BC x y =+=++=，则224x y +=，因为222x y xy +，所以2xy ，当且仅当x y ==所以1233A BCD V xy -=，故B 错误； 取AB 中点为T ，QC 的中点为H ，连接,,MT MH AH ，易证//MH AT 且MH AT =，所以四边形MHAT 为平行四边形，所以112MT AH CQ ===，故M 在以T 为圆心，1为半径的圆上，故C 正确；由C 可知，平行四边形MHAT 的四边长为1，故可得四边形MHAT 为正方形，MT AB ⊥，则==MA MB MC MD ==，三棱锥A BCD -的外接球球心为M ，所以外接球的表面积为8π，故D 正确. 故选：ACD.12．已知正项数列{}n a 满足14a =，()*12ln 1N n n a a n +=-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．{}ln n a 是等比数列B ．对任意的*n ∈N ，11ln ln 2n n a a +≥C ．1n a >对任意*n ∈N 都成立D ．12394e a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅答案：BCD根据所给数列性质利用2213(ln )ln ln a a a ≠⋅判断A ，由函数不等式1ln ,x x -≥推导出11ln ln 2n n a a +≥可判断B, 利用B 中结论递推可判断C ，由对数运算及数列求和后放缩可判断D. 由321212311314,ln ,ln 02222a a e a a a ---=====>，显然2213(ln )ln ln a a a ≠⋅，则{}ln n a 不是等比数列，A ；由1ln ,x x -≥当且仅当1x =时等号成立，由{}n a 为正项数列，得12ln 1ln n n n a a a +=-≥，故11ln ln 2n n a a +≥，故B 正确；由B 知1111211l 11()ln ()ln 42n 42n n n n n a a a -⎛⎫⎪--⎝⎭≥=⇒≥>，故C 正确；1212391238981111ln()ln ln ln 1()()()ln 4(2)ln 42ln 222a a a a a a a a ⎡⎤=++++>++++=-⎢⎥⎣⎦则88111211224123944444>4e a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅>=⋅⋅⨯>⨯，故D 正确.故选：BCD 三、双空题13．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为2，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为___________；用过,,A B C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为___________.答案： 62-223π-根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，设该球与勒洛四面体的一个切点E ，连接BE ，则,,B O E 三点共线，且O 为该球球心，也是正四面体ABCD 的中心，再求正四面体的外接球半径即可得以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径，再结合勒洛四面体的构成可知过A B C ，，三点的截面面积为3个半径为2，圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为2的正三角形的面积，再计算即可得答案.解：根据题意，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切， 如图1，其中点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球球心，所以，由正四面体的性质可知该该球球心O 为正四面体ABCD 的中心，半经为OE ， 连接BE ，则,,B O E 三点共线，此时2BE =，BO 为正四面体的外接球的半径， 由于正四面体ABCD 的棱长为22所以正四面体ABCD 2一半， 所以6BO =所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径62OE =. 根据勒洛四面体的构成可知，过A B C ，，三点的截面面积为3个半径为2，圆心角为60的扇形的面积减去两个边长为2的正三角形的面积， 所以所得截面的面积为223π-故答案为：62223π-四、填空题14．已知向量()1,2a =-，()3,1b =，则a 在b 方向上的投影为___________. 10根据投影的定义直接求解即可. 由题a 在b 方向上的投影为2213211031a b b⨯+-⨯==+⋅1015．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 点作垂直于x 轴的直线l 交抛物线于点A （点A在第一象限），坐标原点O 关于点F 的对称点为B ，若AOB 的面积为8，则抛物线方程为___________. 答案：28y x =利用抛物线的几何性质，用p 表示三角形的面积，即可求抛物线方程. 由条件可知，AF p =，OB p =， 所以2182AOBSp ==，解得：4p =， 则抛物线方程为28y x =. 故答案为：28y x =16．已知函数()f x 是定义在()()00,-∞+∞，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()21120f x x f -+-<的解集为___________. 答案：()(),11,3-∞-构造函数()()()0f x F x x x=≠，分析()F x 的奇偶性、单调性，由此化简不等式()()()21120f x x f -+-<并求得不等式的解集. 函数()f x 是定义在()()00,-∞+∞，的奇函数，构造函数()()()0f x F x x x =≠，()()()()f x f x F x F x x x--===-， 所以()F x 为偶函数，当0x >时，()()()''20xf x f x F x x-=<，()F x 递减， 当0x <时，()F x 递增.()()()21120f x x f -+-<，()()()2112f x x f -<-， 当10x ->，即1x <时，()()1212f x f x -<-，()()12F x F -<， 121x x ->⇒<-.当10x -<，即1x >时，()()()()()12,12212f x f F x F F x->->=--，21013x x -<-<⇒<<.综上所述，不等式()()()21120f x x f -+-<的解集为()(),11,3-∞-.故答案为：()(),11,3-∞-五、解答题17．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a 是2a 和22S 的等差中项，且3322S a =-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足221log n n b a -=，且{}n b 的前n 项和为n T ，求使得2022n n S T >-成立的n 的最小值. 答案：(1)2n n a =，n N +∈ (2)min 10n =(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式； （2）由等差和等比数列的前n 项和，转化不等式为12220240n n ++->， (1)22322S a a +=，3322S a =-∵0n a >，∴2322q q +=，()21112a q a q +=-∴2q ，12a =.∴2n n a =，n N +∈(2)221log 21n n b a n -==-()21212n n n T n +-==()12122212n n n S +⨯-==--.20220n n S T +->，12220240n n ++->，数列{}122n n ++为单调递增， 当9n =时，12211052024n n ++=<. 当10n =时，12221482024n n ++=>. ∴min 10n =.18．在①sin 224sin C C C =②cos 2a b c A =+，③sin sin sin sin C B A B a b c--=+，这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知___________. (1)求角C 的大小；(2)若8a b +=，求ABC 的外接圆面积的最小值.（注：若选择了二个或三个条件作答，按所作答的第-一个条件的作答内容给分） 答案：(1)3π (2)163π（1）选①，利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得C 的大小.选②，利用余弦定理化简已知条件，从而求得C 的大小.选③，利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，，从而求得C 的大小. （2）利用基本不等式求得c 的最小值，结合正弦定理求得ABC 的外接圆半径的最小值，进而求得ABC 的外接圆面积的最小值(1)选①，sin 224sin C C C =)22sin cos 12sin 4sin C C C C -=22sin cos 4sin C C C C +=， 由于C 是三角形的内角，所以sin 0C >，所以cos 2C C =，sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,C π∈，所以3C π=.选②cos 2a b c A =+，由余弦定理得222222,22a b c a b c a b c ab bc +-=+⋅+-=，()2221cos ,0,,223a b c C C C ab ππ+-==∈=.选③，sin sin sin sin C B A Ba b c --=+，由正弦定理得222,,c b a b c b a ab a c b --=-=-+ ()2221cos ,0,,223a b c C C C ab ππ+-==∈=.(2)2sin cR C =.8a b +=，1cos 2C =. ()()2221cos 643c a b ab C ab =+-+=-，82a b ab +=≥，16ab ≤，216c ≥，min 4c =，min 43R =， ()2min min163SR ππ==圆外接. 19．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为ξ.求ξ的分布列与期望. 答案：(1)332(2)分布列答案见解析，数学期望52（1）根据题意小球需要向右1次向左5次，根据n 次独立重复事件的概率公式求解即可； （2）计算出一次试验中掉入偶数槽的概率，问题转化为ξ服从二项分布问题，由二项分布求解即可. (1)设这个小球掉入2号球槽为事件A . 掉入2号球槽，需要向右1次向左5次, 所以1156113()()().2232P A C ==所以这个小球掉入2号球槽的概率为332. (2)小球掉入偶数号球槽的概率为5113331655661111111()()()()()()2222222P C C C =++=,由题意知1~5,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，且ξ的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,由()5512k P k C ξ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，0,1,2,3,4,5k =，可得分布列为：15()522E ξ∴=⨯= 20．如图，在空间四边形ABCD 中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB =，4=AD ，45BAC ∠=︒，30DAC ∠=︒.(1)求证：AC BD ⊥；(2)已知BC 与平面ABD 所成角的正弦值为15，求二面角A BD C --的余弦值.答案：(1)证明见解析 (2)31010(1) 过D 在平面ACD 内作DO AC ⊥的延长线于O ，连接OB ，根据勾股定理可得AO BO ⊥，由线面垂直判定定理可得AC ⊥面BOD ，即可得线线垂直；（2）先证明OA , OB , OD 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角及二面角即可得解. (1)过D 在平面ACD 内作DO AC ⊥的延长线于O ，连接OB ，如图，则Rt DAO 中, 4,30AD DAC ︒=∠= 则2DO =，3AO =在ABO 中，由余弦定理可知2222cos 12BO AO AB AO AB BAC =+-⋅∠=, 即3BO =222BO AO AB +=, 即有AO BO ⊥，又因为,DO AC BO DO O ⊥⋂=, 所以AC ⊥面BOD ，则AC BD ⊥. (2)因为平面ACD ⊥平面ABC ,平面ACD ∩平面ABC =AC ，DO ⊥AC ， 则DO ⊥平面ABC ，所以BO ⊥DO ，又有BO ⊥AC ，DO ⊥AC ，则有OA , OB , OD 两两垂直. 以O 为原点，OA 、OB ､OD 分别为x ，y ，z 轴，建系，设()0AC a a =≠，则(),0,0C a，()B，()A ，()0,0,2D ，则(23,23,0),(0,23,2),(,BA BD BC a =-=-=-， 设111(,,)z m x y =，222(,,)x n y z =分别为面ABD ，面CBD 的法向量， 则由1111230,2320,m BA x m BD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取m →=， 所以BC 与平面ABD 所成角α的正弦为|||1sin 5||||5BC m a BC m ⋅-===⋅⋅α，解得a =a =舍)，由222230,220,n BC x n BD z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,令21y =，可得(2,1,3)n =，则6cos ,||||5m n m n m n ⋅==⋅⋅故二面角A BD C --21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =()0,1P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点50,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点A ，B ，记PA ,PB 的斜率分别为1k ､2k .①求12k k ⋅的值；②设点(),0M m ，若点M 到直线PA ,PB 的距离相等，求m 的值. 答案：(1)2214x y +=(2)①1；②1m =或1m =-（1）利用离心率和椭圆过点()0,1P 两个已知条件联立方程组求解；（2）设直线l 的方程为53y kx =-，联立椭圆的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出121k k ⋅=；由点M 到直线PA ,PB 的距离相等，代入点到直线的距离公式即可求解. (1)由c e a ==2234c a =，即22234a b a -=，由椭圆过点()0,1P 得1b =， 解得24a =，21b =， 故椭圆的方程为2214x y +=.(2)①设直线l 的方程为53y kx =-，且点A ,B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ,()22225406431403914y kx k x kx x y ⎧=-⎪⎪⇒+-+=⎨⎪+=⎪⎩, ()2222160064576256441409999k k k k -∆=-⨯⨯+=>⇒>.()12240341k x x k +=+，()12264941x x k =+，则1111y k x -=，2221y k x -=，()()1212121212881133kx kx y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⋅== ()212121286439k k x x x x x x ++=- 1=②PA ：11y k x =+，PB ：21y k x =+=，即()()22221210m k k --=，12k k ≠，210m ∴-=，即1m =或1m =-.22．已知函数()e xf x ax =-，()a ∈R .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)讨论函数()()2cos F x f x x x =--的零点个数.答案：(1)答案见解析 (2)答案见解析（1）首先求函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）首先由二阶导数判断一阶导数的单调性，()01F a '=-，分1a ≤和1a >两种情况讨论函数的零点个数. (1)()x f x e a '=-，则fx 在R 上单调递增.①当0a ≤时，0fx恒成立，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()0ln f x x a '=⇒=. 当ln x a <时，0fx ，当ln x a >时，0f x .∴()f x 在(),ln a -∞上单减，在()ln ,a +∞上单增. (2)先证当3x >时，22x e x >令2()2()4,()4x x x h x e x h x e x h x e '''=-∴=-=-当3x >时，()0()(3)0()(3)0h x h x h h x h ''''∴>⇒>>⇒>>，即得22x e x > ()2cos x F x e ax x x =---，()00F =()2sin x F x e x x a +'=--，()01001F a a '=-+-=-()cos 2x F x e x ''=+-，()00F ''=()sin x F x e x '''=-当0x <时，()0F x ''<；当0x >时，()1sin 0F x x '''>-≥，()()00F x F ''''>= 则()F x '在(),0-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)F x F ''≥.①当1a ≤时，()010F a '=-≥，()()00F x F ''≥≥恒成立()F x 在R 上单调递增，而()0000cos010010F e =---=---=.∴()F x 有一个零点.②当1a >时，1(1)021022a a F a +-+⎛⎫'->-⋅--= ⎪⎝⎭， 因为当3x >时，22x e x >，所以2222(2)(2)a e a a +>+>+()22222(2)1(2)2(2)110a F a e a a a a a a a +'+>-⋅+-->+-⋅+--=+->，(0)10F a '=-<.在(),0-∞及()0,+∞上存在11(,0)2a x +∈-，2(0,2)x a ∈+使()()120F x F x ''==. ∴当()()12,,x x x ∈-∞+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增. 当()12,x x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减 而()()100F x F >=，()()200F x F <=当0x <时，()211(1)(2)F x x x x x <--+=--+，取31min{1,2}x x =--，则()30F x < 当0x >时，因为当3x >时，22x e x >，所以322(3)a e a +>+()32223(3)(3)cos 2(3)29103100a F a e a a a x a a a a ++=-+-+->+---=+>∴()0F x =在()1,x -∞，()2x +∞上各有一个零点. 而0x =也有()0F x =，故()F x 有3个零点.综上，当1a ≤时，()F x 有1个零点为0x =，当1a >时，()F x 有3个零点.。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考(六)数学(理)试题及答案
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考（六）数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|＝4，则|z|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．23．已知a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)，则λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．函数y ＝xlnx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12，现有以下四个命题：①S 19＝0；②S 10＝S 9；③若d ＞0，则S n 有最大值；④若d ＞0，则S n 有最小值． 则关于这四个命题，正确的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③．6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．237．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b B ．若a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β8．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当x ＝20时，y ＝﹣3.7C ．m ＝4D ．该回归直线必过点（9，4） 9．cos10°sin10°−4cos10°＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．设a =log 23，b =log 45，c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞＞a11．在数列{a n }中，a 1＝a ，a n +1＝2a n ﹣1，若a n 为递增数列，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞312．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，使sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1，1+√2)B ．（1，2]C ．(1+√2，+∞)D ．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ．14．点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）上的任意﹣一点，AB 为圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的任意一条直径，若PA →⋅PB →的最大值为15，则a ＝ ．15．在（x +y +z ）6的展开式中，所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为 ． 16．函数f （x ）=1sinx+8cosx(0＜x ＜π2)的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）求b+c a的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°． （1）求证：A 1C ⊥B 1D 1； （2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且该双曲线过点（2，2）． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围..21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ， （i ）求a 1，a 2，a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P （1，3），求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6|（x ∈R ），记f （x ）的最小值为c ． （1）求c 的值；（2）若实数a 、b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝c ，求a 2a+1+b 2b+1的最小值．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．【详解详析】∵集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．2．【详解详析】设z 对应的点为（x ，y ），则x 24+y 23=1，所以 |z|最小值=√3． 故选：C ．3．【详解详析】∵a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)， ∴a →与b →的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0， 即λ＞−12且λ≠2．∴λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B ．4．【详解详析】当x →0+时，lnx →﹣∞，∴xlnx ＜0，排除A 、B 选项， 当x →+∞时，xlnx →+∞，排除C 选项， 故选：D ．5．【详解详析】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12， 则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12＝0，整理得5a 10＝0， 所以a 10＝0， 所以A ：S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10＝0．B ：由S 10＝S 9；整理得a 10＝0，C ：若d ＞0，则S n 有=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以S n 有最小值． 故；①②④正确． 故选：B ．6．【详解详析】∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n=A44=24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A44−A22A22=20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P=mn =2024=56．故选：A．7．【详解详析】对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．【详解详析】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为y=−0.7x+10.3，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：x=14(6+8+10+12)=9．可得y=−0.7×9+10.3=4．即14(6+m+3+2)=4，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．9．【详解详析】原式=cos10°−2sin20°sin10°=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=√3sin10°sin10°=√3．故选：C．10．【详解详析】log23＞log2232＞log2√5=log45，∴a＞32＞b，又log45＜log4443=43＜212＜32，∴a＞c＞b．故选：A．11．【详解详析】∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴a n+1−1a n−1=2，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴a n−1=(a−1)2n−1，∴a n =(a −1)2n−1+1， 又∵{a n }为递增数列，∴a n+1−a n =(a −1)2n −(a −1)2n−1=12(a −1)2n ＞0， ∴a ﹣1＞0，∴a ＞1， 故选：B ．12．【详解详析】设P 在右支上，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ﹣n ＝2a ， 又因为sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2=c a =m n ，可得c−a a=m−n n，所以2a n =c−a a，所以n =2a 2c−a ＞c ﹣a ，即c 2﹣2ac ﹣a 2＜0，即e 2﹣2e ﹣1＜0，解得1−√2＜e ＜1+√2， 由于e ＞1，所以可得1＜e ＜1+√2， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】由约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得B （3，4）．化目标函数z ＝x ﹣2y 为y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过B （3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【详解详析】圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1， AB 为圆M 的直径，可得MB →=−MA →， 椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则PA →⋅PB →=（PM →+MA →）•（PM →+MB →）＝（PM →+MA →）•（PM →−MA →）＝|PM →|2﹣|MA →|2＝|PM →|2﹣1，又P 为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得|PM →|2﹣|MA →|2≤（a +c ）2﹣1＝15，当P 为椭圆的左顶点（﹣a ，0），上式取得等号， 则a +c ＝4，又c ＝1，可得a ＝3． 故答案为：3．15．【详解详析】（x +y +z ）6表示6个因式（x +y +z ）的乘积，其中有3个因式都取x ，得C 63⋅x 3，另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项． 而（y +z ）3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为C 63•23＝160，故答案为：160． 16．【详解详析】f′(x)=−cosx sin 2x+8sinx cos 2x=8sin 3x−cos 3x (sinxcosx)2=(2sinx−cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)(sinxcosx)2，由f ′（x ）＝0可得cos x ＝2sin x 即tan x =12， 又因为0＜x ＜12π，根据导数与单调性的关系可知，当tan x =12时，函数取得最小值，此时sin x =5cos x =5，故f （x ）min ＝5√5．故答案为：5√5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解详析】（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． 由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ． 化为b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3． （2）∵A =π3， ∴a 2＝b 2+c 2﹣bc ≥(b+c)22−（b+c 2）2=(b+c)24，∴（b+c a）2≤4，∴b+c a≤2，可得b+c a的最大值为2，又b +c ＞a ， ∴b+c a的取值范围为（1，2]．18．【详解详析】（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2， ∴AD 1＝AB 1＝2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ， ∵∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°．∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C ．（2）解：在△AB 1D 1中，AO =√2，A 1O =√2，AA 1＝2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2． （3）解：由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，√2），B 1（0，√2，0），C 1（−√2，0，0）， AB 1→=（0，√2，−√2），AC 1→=（−√2，0，−√2），设平面AB 1C 1的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AB 1→=√2y −√2z =0m →⋅AC 1→=−√2x −√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，﹣1，﹣1）， 平面AB 1D 1的法向量n →=（1，0，0）， 设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33， ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为√33．19．【详解详析】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝λ，（λ≠0）， 点（2，2）代入得：λ＝12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝12， 即x 23−y 212=1，（2）∵F 1，F 2是双曲线x 23−y 212=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，则OP =∥12F 1Q ，由角的平分线定理可得：|AQ |＝|AF 2|，∴|F 1Q |＝|AF 1|﹣|AQ |＝|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|OP |＝a =√3，由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 为圆心，√3为半径的圆，所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2＝3．20．【详解详析】（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−ax x，（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，（ii ）当a ＞0时，由f ′（x ）＞0可得，0＜x ＜1a ，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0可得，x ＞1a ，此时函数单调递减，（2）当x ≥1时，g （x ）＝（x +1）（lnx ﹣ax +a ）﹣lnx ＝xlnx ﹣ax 2+a ，g ′（x ）＝lnx +1﹣2ax ， 令h （x ）＝lnx +1﹣2ax ，则h ′（x ）=1x −2a ，（i ）当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0， 即g ′（x ）》0，故g （x ）在[1，+∞）上单调递增，g （x ）≥g （1）＝0，不合题意；（ii ）当0＜a ＜12时，h （x ）在[1，12a ]上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0，此时g （x ）在[1，12a ]上单调递增，所以g （12a ）＞g （1）＝0，不合题意；（iii ）当a ≥12时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以h （x ）≤h （1）＝1﹣2a ＜0，故g ′（x ）≤0， 所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0恒成立． 21．【详解详析】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2， P （ξ＝0）=23×23×23=827，P （ξ＝1）=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627，P （ξ＝2）=13×1×13=19， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P827162719∴E （ξ）=0×827+1×1627+2×19=2227． （2）（i ）由题意可知，a 1=0，a 2=13，a n =13(1−a n−1)，n ≥2，∴a n −14=−13（a n−1−14），（n ≥2）， ∴a n −14=（a 1−14）×（−13）n ﹣1， ∴a n =14−14×(−13)n−1．11 （ii ）由（i ）可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1−14）÷3=14，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是14． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为 {x =1+t y =3+2t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程y ＝2x +1，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ，即8ρ2sin 2θ+ρ2＝9，∴x 2+y 2+8y 2＝9，∴曲线C 的直角坐标方程为x 29+y 2＝1；（2）直线的参数方程改写为 {x =1+√55t y =3+2√55t（t 为参数）， 代入x 29+y 2＝1，375t 2√5t +73＝0，t 1+t 2=−√5375，t 1t 2=73375， 1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2t 1t 2|=√5×73=22√573． ∴当直线l 与曲线C 相交时，1|PA|+1|PB|=22√573． [选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6＝|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f （x ）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f （x ）min ＝f （3）＝2，∴c ＝2．（2）∵a +b ＝2，∴a 2a+1+b 2b+1=14[（a +1）+（b +1）]（a 2a+1+b 2b+1）； =14[a 2+b 2+(b+1)a 2a+1+(a+1)b 2b+1]≥14（a 2+b 2+2ab ）=14（a +b ）2＝1；当且仅当{a +b =2(b+1)a 2a+1=(a+1)b 2b+1，即{a =1b =1时，有最小值1．。
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六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合=⋂-==<--=P M x y y P x x x M 那么},1|{},032|{2（ ）A ．（0，3）B ．)3,0[C ．)3,1[D ．),1[+∞-2．设函数⎩⎨⎧≥-<=)0(12)0(||lg )(x x x x f x，若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是（ ）A.),1()1,(+∞--∞YB. ),0()1,(+∞--∞YC. )1,0()0,1(Y -D. ),0()0,1(+∞-Y3．直线022:2)2(:22=--++-=y x y x C x k y l 与圆相切，则直线l 的一个方向量=（ ）A ．（2，－2）B ．（1，1）C ．（－3，2）D ．（1，21） 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2233cy x bx =++的单调递增区间为（ ） A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞5．在AC AB S AC AB ABC ABC ⋅===∆∆则已知中,3,1||,4||,的值为（ ）A ．—2B ．2C ．4±D ．2±6．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则3223log log t y x =-有（ ）A ．最大值23 B ．最大值1 C ．最小值23 D ．最小值17．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC AC AB 设MAB MAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 （ ）ACBD8．已知)4()5(),1()2)(1(:*,,35-⨯-=-+++=∈∈-M n x x x x M N n R x n x 例如定义ΛΛx COS M x f x 20062005)(,60)3(73⋅=-=-⨯-则函数 （ ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数、又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则(sin )(cos ).f f θθ>②在ABC ∆中，A B >是cos cos A B <的充要条件. ③若,,a b c r r r为非零向量，且a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r .④要得到函数sin2x y =的图像，只需将函数sin()24x y π=-的图像向右平移2π个单位.其中真命题的个数有（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．410.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++=（ ） A ．53B ．35 C ．53-D ．35-12．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且||||21PF e PF =则e 的值为 （ ）A ．22 B ．32-C ．33 D ．22-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上13、若命题04,:2>++∈∀c cx x R x p 对为真命题，则实数c 的取值范围是 . 14．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为15. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．16.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(,)x y 值依次记为11(,)x y 、22(,)x y 、…、(,)n n x y 、…．（1）若程序运行中输出的一个数组是(,8)t -，则t = （2）程序结束时，共输出(,)x y 的组数为 ．三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ．（I ）求函数)(x f 的解析式和最小正周期；(II) 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的最大值和最小值．18.已知函数f (x )=264xx -+,g (x )=x 2－3ax +2a 2(a ＜0)，若不存在．．．实数x 使得f (x )＞1和g (x )＜0同时成立，试求a 的范围.19.已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=r 的直线与圆，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=u u u u r u u u r求的值.20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且有n n S n 211212+=，数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b)(*N n ∈，且113=b ，前9项和为153.（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足. （1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)0,174(-，且以)1,0(=为方向向量的直线上一动点，满足+=（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22．(本小题满分14分) 设函数2132()x f x x eax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅲ)设322()3g x x x =-,比较()f x 与()g x 的大小.六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．．B 2． B. 3． A 4． D 5． D 6． B7． A8． B 9、A10. D11． C12． C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上 13、()1,0(,)4-∞⋃+∞14．6π+15. 432 16.．81，1004三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（I ）∵a (cos ,2cos )x x =, b ()(2cos ,sin )x x π=-,∴()f x =a ·b +122cos 2cos sin()1x x x π=+-+- ------------------------------2分1cos sin 22cos 1+++=x x x - -------------------------------------------4分22sin 2cos ++=x x --------------------------------------------------------6分2)42sin(2++=πx ． ------------------------------------------------------7分∴函数()f x 的最小正周期ππ==22T ． -----------------------------8分 (II) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ， ∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． ---------------------------------------------------------------------9分∴时即当8,242πππ==+x x ，()2f x 有最大值 -------------------10分时即当2,4542πππ==+x x ，()f x 有最小值1． ------------------------12分18.解:由f (x )＞1，得264x x -+＞1,化简整理得)2)(3()1)(2(+-+-x x x x ＜0.解得－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.即f (x )＞1的解集为A ={x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}. 由g (x )＜0得x 2－3ax +2a 2＜0,即(x －a )(x －2a )＜0(a ＜0). 则g (x )＜0的解集为B ={x |2a ＜x ＜a ,a ＜0}.根据题意，有A ∩B =∅.因此，a ≤－2或－1≤2a ＜0.故a 的范围是{a |a ≤－2或－21≤a ＜0}.19.解：（1）(1,),l a k =rQ 直线过点(0,1)且方向向量 1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得4433k -<<……………………5分 1122(2)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………11分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+u u u u r u u u r 4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………12分20.（本小题满分12分） 解：（1）因为n n S n 211212+=；故 当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式； 所以5+=n a n ；又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差3371123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； …………5分 （2）由（1）知：)12)(12(1)12)(112(3+-=--=n n b a c n n n而)121121(21)12)(12(1)12)(112(3+--=+-=--=n n n n b a c n n n ；所以：n n c c c T +++=Λ21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 12)1211(21+=+-=n nn ；又因为0)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ；所以}{n T 是单调递增，故31)(1min ==T T n ； 由题意可知5731k >；得：19<k ，所以k 的最大正整数为18； …………12分 21. （本小题满分12分） 解：（1）设M (x ，y )是所求曲线上的任意一点，P （x 1，y 1）是方程x 2 +y 2 =4的圆上的任意一点，则).,0(1y P '则有：44,2,222211111=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x y y x x y y y x x 代入即得， 轨迹C 的方程为.1422=+y x （1）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，N 点所在直线方程为.0174=+x 由.0444)4()2(14222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得 由△= .34,0)44)(4(4162224≤∴≥-+-k k k k 即.332332≤≤-k (4)1(4,4422212221k k x x k k x x +-=+-=+ ,+=Θ即OB AN =，∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2212212=++++k x x k x x k ，于是有0441622=+-k k 得.21±=k … 设17444),,(2221000-=+-=+=+=k k x x x y x N 得由，即点N 在直线174-=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(21+±=x y22(本小题满分14分)【解:】(Ⅰ)因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++,又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==,因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-.（Ⅱ）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =． 因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)U 时,()0f x '<; 当(2,0)(1,)x ∈-+∞U 时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减.故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. 故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=.所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞U ,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >, 因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=, 所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-,则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1]x ∈-∞时,()0h x '≤,所以()h x 在(,1]x ∈-∞上单调递减.故(,1]x ∈-∞时,()(1)0h x h ≥=; 因为[1,)x ∈+∞时,()0h x '≥,所以()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增. 故[1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h ≥=.所以对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x ≥,又20x ≥,因此()()0f x g x -≥, 故对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()()f x g x ≥.六安中学第六次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合=⋂-==<--=P M x y y P x x x M 那么},1|{},032|{2（．B ）A ．（0，3）B ．)3,0[C ．)3,1[D ．),1[+∞-2．设函数⎩⎨⎧≥-<=)0(12)0(||lg )(x x x x f x，若0)(0>x f ，则0x 的取值范围是（B. ）A.),1()1,(+∞--∞YB. ),0()1,(+∞--∞YC. )1,0()0,1(Y -D. ),0()0,1(+∞-Y3．直线022:2)2(:22=--++-=y x y x C x k y l 与圆相切，则直线l 的一个方向量=（ A ）A ．（2，－2）B ．（1，1）C ．（－3，2）D ．（1，21） 4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2233cy x bx =++的单调递增区间为（ D ） A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞5．在S ABC ABC ⋅===∆∆则已知中,3,1||,4||,的值为（ D ）A ．—2B ．2C ．4±D ．2±6．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则3223log log t y x =-有（B ）A ．最大值23 B ．最大值1 C ．最小值23 D ．最小值1 7．设M 是ABC ∆内任一点，且,30,320=∠=•BAC 设MABMAC MBC ∆∆∆,,的面积分别为z y x ,,，且21=z ，则在平面直角中坐标系中，以,x y 为坐标的点),(y x 的轨迹图形是 （A ）8．已知)4()5(),1()2)(1(:*,,35-⨯-=-+++=∈∈-M n x x x x M N n R x n x 例如定义ΛΛx COS M x f x 20062005)(,60)3(73⋅=-=-⨯-则函数 （ B ）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数、又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则(sin )(cos ).f f θθ>②在ABC ∆中，A B >是cos cos A B <的充要条件. ③若,,a b c r r r为非零向量，且a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r .④要得到函数sin2x y =的图像，只需将函数sin()24x y π=-的图像向右平移2π个单位.其中真命题的个数有（A ）A ．1B ．2C ． 3D ．410.若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（D ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398a a =-，则12341111a a a a +++=（ C ）A ．53B ．35C ．53-D ．35-12．已知F 1、F 2为椭圆E 的左右两个焦点，抛物线C 以F 1为顶点，F 2为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率为e ，且||||21PF e PF =则e 的值为（C ）ACBDA ．22 B ．32-C ．33 D ．22-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上13、若命题04,:2>++∈∀c cx x R x p 对为真命题，则实数c 的取值范围是 .()1,0(,)4-∞⋃+∞ 14．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为 36π+15. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有 种（用数字作答）．43216.已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(,)x y 值依次记为11(,)x y 、22(,)x y 、…、(,)n n x y 、…．（1）若程序运行中输出的一个数组是(,8)t -，则t = ； （2）程序结束时，共输出(,)x y 的组数为 ．81，1004三．解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ．（I ）求函数)(x f 的解析式和最小正周期；(II) 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的最大值和最小值． 17．（本小题满分12分）解：（I ）∵a (cos ,2cos )x x =, b ()(2cos ,sin )x x π=-,∴()f x =a ·b +122cos 2cos sin()1x x x π=+-+- ------------------------------2分1cos sin 22cos 1+++=x x x - -------------------------------------------4分22sin 2cos ++=x x --------------------------------------------------------6分2)42sin(2++=πx ． ------------------------------------------------------7分∴函数()f x 的最小正周期ππ==22T ． -----------------------------8分 (II) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ， ∴52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． ---------------------------------------------------------------------9分∴时即当8,242πππ==+x x ，()2f x 有最大值 -------------------10分时即当2,4542πππ==+x x ，()f x 有最小值1． ------------------------12分 18.已知函数f (x )=264xx -+,g (x )=x 2－3ax +2a 2(a ＜0)，若不存在．．．实数x 使得f (x )＞1和g (x )＜0同时成立，试求a 的范围.18.解:由f (x )＞1，得264x x -+＞1,化简整理得)2)(3()1)(2(+-+-x x x x ＜0.解得－2＜x ＜－1或2＜x ＜3.即f (x )＞1的解集为A ={x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}. 由g (x )＜0得x 2－3ax +2a 2＜0,即(x －a )(x －2a )＜0(a ＜0). 则g (x )＜0的解集为B ={x |2a ＜x ＜a ,a ＜0}.根据题意，有A ∩B =∅.因此，a ≤－2或－1≤2a ＜0.故a 的范围是{a |a ≤－2或－21≤a ＜0}.19.已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=r 的直线与圆，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=u u u u r u u u r求的值.19.解：（1）(1,),l a k =rQ 直线过点(0,1)且方向向量 1l y kx ∴=+直线的方程为……………………2分1,<得4433k -<<……………………5分 1122(2)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0……………………11分212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=……………………12 2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+u u u u r u u u r 4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时……………………12分20.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且有n n S n 211212+=，数列}{n b 满足0212=+-++n n n b b b)(*N n ∈，且113=b ，前9项和为153.（2）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.解：（1）因为n n S n 211212+=；故当2≥n 时；51+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，611==S a ；满足上式； 所以5+=n a n ；又因为0212=+-++n n n b b b ，所以数列}{n b 为等差数列； 由1532)(9739=+=b b S ，113=b ，故237=b ；所以公差3371123=--=d ； 所以：23)3(3+=-+=n d n b b n ； …………5分 （2）由（1）知：)12)(12(1)12)(112(3+-=--=n n b a c n n n而)121121(21)12)(12(1)12)(112(3+--=+-=--=n n n n b a c n n n ；所以：n n c c c T +++=Λ21)]121121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 12)1211(21+=+-=n nn ； 又因为0)12)(32(1123211>++=+-++=-+n n n n n n T T n n ；所以}{n T 是单调递增，故31)(1min ==T T n ； 由题意可知5731k >；得：19<k ，所以k 的最大正整数为18； …………12分 21. （本小题满分12分）在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足. （1）求线段PP ′中点M 的轨迹C 的方程；（2）过点Q (－2,0)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设N 是过点)0,174(-，且以)1,0(=a 为方向向量的直线上一动点，满足+=（O 为坐标原点），问是否存在这样的直线l ，使得四边形OANB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）设M (x ，y )是所求曲线上的任意一点，P （x 1，y 1）是方程x 2 +y 2 =4的圆上的任意一点，则).,0(1y P '则有：44,2,222211111=+⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==y x y y x x y y y x x 代入即得， 轨迹C 的方程为.1422=+y x （1）当直线l 的斜率不存在时，与椭圆无交点.所以设直线l 的方程为y = k (x +2)，与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，N 点所在直线方程为.0174=+x 由.0444)4()2(14222222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得 由△= .34,0)44)(4(4162224≤∴≥-+-k k k k 即.332332≤≤-k (4)1(4,4422212221k k x x k k x x +-=+-=+,+=Θ即=，∴四边形OANB 为平行四边形 假设存在矩形OANB ，则0=⋅OB OA ，即02121=+y y x x ， 即04)(2)1(2212212=++++k x x k x x k ，于是有0441622=+-k k 得.21±=k … 设17444),,(2221000-=+-=+=+=k k x x x OB OA ON y x N 得由，即点N 在直线174-=x 上. ∴存在直线l 使四边形OANB 为矩形，直线l 的方程为).2(21+±=x y 22．(本小题满分14分) 设函数2132()x f x x eax bx -=++,已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.(Ⅰ)求a 和b 的值;(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性; (Ⅲ)设322()3g x x x =-,比较()f x 与()g x 的大小.22(本小题满分14分)【解:】(Ⅰ)因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++,又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==,因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-.（Ⅱ）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =． 因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)U 时,()0f x '<; 当(2,0)(1,)x ∈-+∞U 时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减.故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增. 故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=.所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞U ,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >, 因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=, 所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =【注:】按以下做法不扣分(以下是高考命题人给的原解)这种解法不太严谨,但也被大部分人所接受（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--, 故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-,则1()e 1x h x -'=-. 令()0h x '=,得1x =,因为(,1]x ∈-∞时,()0h x '≤,所以()h x 在(,1]x ∈-∞上单调递减.故(,1]x ∈-∞时,()(1)0h x h ≥=; 因为[1,)x ∈+∞时,()0h x '≥,所以()h x 在[1,)x ∈+∞上单调递增. 故[1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h ≥=.所以对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x ≥,又20x ≥,因此()()0f x g x -≥, 故对任意(,)x ∈-∞+∞,恒有()()f x g x ≥.。