2020-2021备战中考数学圆的综合综合经典题及答案

2020-2021备战中考数学圆的综合综合经典题及答案

一、圆的综合

1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．

（1）求证：AE=BE；

（2）求证：FE是⊙O的切线；

（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：

∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，∴AE=BE．

（2）证明：连接OE，如图2所示：

∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．

（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．

设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．

∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．

点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：∠G=∠CEF；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3

4

，3，求EM的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253

.

【解析】

试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»

AD AC

=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明

△AHC∽△MEO，可得AH HC

EM OE

=，由此即可解决问题；

试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»

AD AC

=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH

HC

=

3

4

，∵AH=33，∴HC=43，在Rt△HOC中，

∵OC=r，OH=r﹣33，HC=43，∴222

(33)(43)

r r

-+=，∴r=253

，

∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴AH HC

EM OE

=，

∴3343

253

6

=

，∴EM=

253

．

点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

3．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．

（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；

（2）如图②，若BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，

∴OF ⊥AD ，且132OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3． 在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =12，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴¶

3031802

AE ππ⋅⨯==．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

4．如图，AB ，BC 分别是⊙O 的直径和弦，点D 为»BC

上一点，弦DE 交⊙O 于点E ，交AB 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的切线交ED 的延长线于H ，且HC=HG ，连接BH ，交⊙O 于点M ，连接MD ，ME ．

求证：

（1）DE ⊥AB ；

（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH ．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

分析：（1）连接OC ，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；

（2）连接BE ，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME ，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB 即可．

详解：证明：（1）连接OC ，

∵HC=HG ，

∴∠HCG=∠HGC ；

∵HC 切⊙O 于C 点，

∴∠OCB+∠HCG=90°；

∵OB=OC ，

∴∠OCB=∠OBC ，