中科大-高级计算机图形学9-2
计算机图形学基础教程(第2版)
图书前言
本书是在2005版《计算机图形学基础教程》的基础上修订而成。 《计算机图形学基础教程》是根据作者在清华大学多年教学实践，并参考了国内外最新的相关教材和部分最 新的研究成果编写而成。第2版教材主要修订了以下内容： 1.增加了第1章的1.5节，介绍清华大学近年来的最新研究成果。 2.增加了第3章的3.9节，介绍格表示、简化与细分。 3.增加了第4章的4.1节，介绍图形绘制的基本概念和流程，提高本章整体上的可读性。 4.将第4章4.8节层次细节的内容移入第3章的3.9节，增加有关景物模拟的内容。 5.删除第5章VRML的内容，改写Open GL的内容，增加一些常见的功能，并给出更多的示例。 本教程第1版出版4年来，被国内一大批高等院校采用，相关的老师、同学及读者提出了许多宝贵的建议，在 此表示衷心感谢。徐昆、来煜坤参与了第2版教材的修订，在此也一并表示感谢。
序言
清华大学计算机系列教材已经出版发行了近30种，包括计算机专业的基础数学、专业技术基础和专业等课程 的教材，覆盖了计算机专业大学本科和研究生的主要教学内容。这是一批至今发行数量很大并赢得广大读者赞誉 的书籍，是近年来出版的大学计算机教材中影响比较大的一批精品。
本系列教材的作者都是我熟悉的教授与同事，他们长期在第一线担任相关课程的教学工作，是一批很受大学 生和研究生欢迎的任课教师。编写高质量的大学（研究生）计算机教材，不仅需要作者具备丰富的教学经验和科 研实践，还需要对相关领域科技发展前沿的正确把握和了解。正因为本系列教材的作者们具备了这些条件，才有 了这批高质量优秀教材的出版。可以说，教材是他们长期辛勤工作的结晶。本系列教材出版发行以来，从其发行 的数量、读者的反映、已经获得的许多国家级与省部级的奖励，以及在各个高等院校教学中所发挥的作用上，都 可以看出本系列教材所产生的社会影响与效益。
计算机图形学-中国科学技术大学
2011-2012年度第二学期 00106501计算机图形学童 伟 华 管理科研楼1205室E-mail: tongwh@ 中国科学技术大学 数学科学学院 /第五节 多边形网格模型2多边形网格模型 由多边形彼此相接构成的网格多边形称为网格的面，多边形的顶点也称为网格的顶点 z 一般要求两张相邻面的公共边完全相同，即不能出现某一面的一个顶点 在另一面的边中间z 图形学表示一大类实体模型的标准方法立方体 四面体 z 球面、立方体、锥面z3多边形网格的优势 容易表示z数据结构简单 容易变换 性质简单每个面只有一个法向量 z 容易确定内外侧z 容易绘制多边形填充 z 纹理映射z4OpenGL与多边形网格 还有许多其它的模型表示方法z曲面造型 多边形网格是OpenGL接受其它表示的中转站利用曲面造型，曲面需要被多边形网格逼近，OpenGL才能显示曲面 z 例如：球面z5多边形网格示例需要每个面显示成平 坦的效果，边应当显 示出来上下底应当平坦，侧 面显示不光滑利用一些显示算法可 以使侧面呈现光滑的 效果6多边形网格的类型 实体z多边形网格形成一个封闭的空间区域 不形成空间封闭区域，表示一个无限薄的曲面 表面z 两者都称为多边形网格（polygonal mesh），有时简 称为网格7网格的性质 给定一个由顶点、法向和面表组成的网格，那么它所 表示的对象是什么呢？下列是感兴趣的性质：实体：如果网格形成一个封闭的有界区域 z 连通性：如果任两个顶点间存在着由边构造的连续路径 z 简单性：表示一个实体，而且没有洞，即可以没有粘贴变形到球面 z 平面性: 如果所有面都是平面多边形 有些算法对平面多边形更有效 因此三角网格非常实用z8网格的性质（续） 凸性：网格表示凸体9性质的检测与应用 有些性质比较容易检测，即存在简单算法，而有些性 质则比较难以判断z例如判断网格是否表示实体不是一件简单的事情 用来表示对象的网格可以具有上述性质中的某几个或 全部关键在于用网格做什么 z 如果网格用来表示用某些材料构成的物理模型，那么就需要它至少是连 通和实体 z 处于艺术角度考虑，网格完全可以表示非物理的实体z10网格实例环体 具有所有的 性质 四面体 连通的实体， 但不是简单的 和凸的不可能的物体谷仓11非实体的网格表示开口盒子 瓶口 人脸12如何得到网格 存在实体的扫描z得到实体上的点，然后采用一定的算法形成网格 直接对网格进行造型是非常困难的 几何造型软件可以把曲面转化为近似的网格表示 任何表面都可以用多边形网格逼近到任意光滑精度， 这称为多边形网格的完备性13网格的表示 考虑网格v6 e1 v1 e2 e8 e7 e6 e11 e9 v8 v7 e12 v2 v5 e3 e10 v4 e4 v3 有8个节点和12边条ze55个内部多边形 z 6条内边（两个多边形共享的边） 每个顶点有一个位置vi = (xi, yi, zi)，各顶点不必共面， 但对于简单网格，同一多边形的各顶点应当共面14简单表示 用每个多边形的各顶点的几何位置定义多边形 由此可有如下的OpenGL代码glBegin(GL_POLYGON); glVertex3f(x1,y1,z1); glVertex3f(x6,y6,z6); glVertex3f(x8,y8,z8); glVertex3f(x7,y7,z7); glEnd(); 无效且无结构z考虑移动一个顶点时会导致何种复杂操作15多边形的内外面 对于OpenGL而言，{v1,v6,v8,v7}顺 序的顶点与{v6,v8,v7,v1}顺序的顶 点定义等价的多边形，但是 {v7,v8,v6,v1}则定义不同的多边形 上述两种方式定义的多边形分别 称为多边形的内与外 利用右手法则判别 OpenGL可以把多边形的内外面 用完全不同的模式处理16几何与拓朴 一般来说，在数据结构中把几何与拓朴区分开是一个 非常好的想法几何：顶点的位置 z 拓朴：顶点和边的组织 z 例如：多边形就是顶点的有序列表，其中每条边以相邻的顶点为端点， 同时最后一个顶点与第一个顶点连接 z 即使几何信息改变了，拓朴信息可以保持不变z17顶点表 把几何位置放在一个数组中 用各顶点构造边时，利用指向各顶点的指针 引入多边形表x1, y1, z1 v1 v6 v8 v7 v6 v5 v8 拓朴 x2, y2, z2 x3, y3, z3 x4, y4, z4 x5, y5, z5 x6, y6, z6 x7, y7, z7 x8, y8, z8 几 何P1 P2 P3 P4 P518公共边 根据顶点列表可以正确地绘制多边形，但是如果只绘 制多边形的边，那么公共边就会被画两次 可以用边表存贮网格19边表e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11 e12 v1 v6 x1, y1, z1 x2, y2, z2 x3, y3, z3 x4, y4, z4 x5, y5, z5 x6, y6, z6 x7, y7, z7 x8, y8, z8 注意：没有表示出来多边形v6 e1 v1e2 e8 e7 e6 e11 e9 v8v5e3 v4 e10 e4 v3v7 e12 v2e520立方体 为立方体旋转程序建立彩色立方体1 5 2 4 0 3 7 6定义顶点和颜色的全局数组GLdouble vertices[][3]= {{-1.0, -1.0, -1.0},{1.0,-1.0,-1.0},{1.0,1.0,-1.0}, {-1.0,1.0,-1.0},{-1.0,-1.0,1.0}, {1.0,1.0,1.0},{1.0,1.0,1.0}, {-1.0,1.0,1.0}}; GLdouble colors[][3]={{0.0,0.0,0.0},{1.0,0.0,0.0}, {1.0,1.0,0.0},{0.0,1.0,0.0},{0.0,0.0,1.0},{1.0,0.0,1.0}, {1.0,1.0,1.0},{0.0,1.0,1.0}};21根据指标列表绘制多边形 根据在数组vertices中的一组指标绘制一个四边 形，颜色对应于第一个指标void polygon(int a, int b, int c, int d) { glBegin(GL_POLYGON); glColor3dv(colors[a]); glVertex3dv(vertices[a]); glVertex3dv(vertices[b]); glVertex3dv(vertices[c]); glVertex3dv(vertices[d]); glEnd(); }22利用表面绘制立方体void colorcube() { polygon(0,3,2,1); polygon(2,3,7,6); polygon(0,4,7,3); polygon(1,2,6,5); polygon(4,5,6,7); polygon(0,1,5,4); }5 1 4 0 3 2 7 6注意顶点的顺序保证表面的法向指向正确的方向，即立方体的外侧23效率 这种方法的缺陷在于为了在应用程序中建立模型，需 要进行很多次函数调用才能绘制立方体 通过表面绘制立方体，最直接的方式需要6个glBegin和6个glEnd z 6个glColor z 24个glVertex z 如果应用纹理和光照的话还会更多z24顶点数组 OpenGL提供了一种功能，称为顶点数组（vertex arrays），利用这种功能可以存贮数组数据 支持六种类型的数组z z z z z z顶点 RGB颜色 索引颜色 法向 纹理坐标 边标志 我们将只需要RGB颜色与顶点数组25初始化 为了利用颜色与顶点数据，首先激活相应功能glEnableClientState(GL_COLOR_ARRAY); glEnableClientState(GL_VERTEX_ARRAY); 标识数组的位置glVertexPointer(3, GL_DOUBLE, 0, vertices);三维 数组存贮为双 精度数数据是连 接存放的数据所在 的数组glColorPointer(3, GL_DOUBLE, 0, colors);26根据指标对应到面 构造表面指标的数组GLubyte cubeIndices[24]={0,3,2,1,2,3,7,6, 0,4,7,3,1,2,6,5,4,5,6,7,0,1,5,4}; 每四个相邻的指标描述立方体一个表面 利用glDrawElements取代在显示回调函数中所有的 glVertex和glColor进行绘制27绘制立方体 方法一for(i=0; i<6; i++) glDrawElements(GL_POLYGON, 4, GL_UNSIGNED_BYTE, &cubeIndices[4*i]);指标数据 的开始绘制对 象类型指标的 数目指标数据 的格式 方法二glDrawElements(GL_QUADS,24, GL_UNSIGNED_BYTE, cubeIndices);只需要一次函数调用就绘制出来立方体!!!28顶点法向与面法向 在提供多边形网格的顶点及其相连信息的同时，应当 同时给出每个面的法向 在实际使用时，更有优势的方法是把法向与顶点关联 在一起，即点法向多边形的裁剪算法 z 明暗处理算法z OpenGL采用的是点法向29点法向与面法向30法向计算 顶点可以由用户输入，但是法向计算不是很直接z有时候法向可以来自于更数学的模型，例如曲面被网格逼近时，可以用 原来曲面的法向作为所需要的法向 如果需要把某一面显示为平坦的效果，那么只要得到 该面所在平面的法向就可以了 假设某面上连续三点为V1, V2, V3, 那么n = (V1 – V2) × (V3 – V2)就是所需要的法向z必要时进行单位化31简单方法的问题 如果所采用的两个向量几乎平行，会导致数值不稳定 结果 如果多边形不是完全共面，那么所采用的法向不具代 表性32Martin Newell方法 假设各顶点依次为(xi, yi, zi), i = 0, 1, …, N – 1. n = (nx, ny, nz)为所需要确定的法向，则n x = ∑ ( yi − ynext ( i ) )( zi + znext ( i ) )i =0 N −1 N −1 i =0n y = ∑ ( zi − znext ( i ) )( xi + xnext ( i ) ) nz = ∑ ( xi − xnext ( i ) )( yi + ynext ( i ) )i =0 N −133多面体 多面体是由简单表面（平面）构造的连通网格，其形 成一个有限体积的封闭实体多面体的每边都有两个面共享 z 每个顶点至少有三条边 z 两个面之间要么无交，要么只在公共边或顶点处相交z 四面体为多面体，环面为多面体当且仅当各面为平面34Euler公式 对于简单多面体： V + F – E =2顶点数：V, 面数: F, 边数: E z 例如，立方体：V=8, F=6, E=12z 如果多面体不是简单的，在面上有H个洞，通过多面 体的洞有G个，那么 V + F – E = 2 + H – 2G35Euler公式示例V = 16, F = 16, E = 32, H = 0, G=1V = 24, F = 15, E = 36, H = 3, G=136Schlegel示意图 视点位于多面体外，恰好在过某一面中心的法线上，这时形成 的中心投影就是多面体的Schlegel示意图37示例四面体谷仓谷仓视点在哪儿？38正多面体 如果多面体的所有面是全等的，而且每个都是正多边 形，那么称之为正多面体 可以证明只有五种正多面体，称为Plantonic体 由Planto （427—347BC）给出，但在此之前就发现 了十二面体玩具39正多面体40Thanks for your attention!41。
华中科技大学数字图象处理课件X页
结论：清晨的郊外
2024/7/23
数字图象处理－第1章
12
§1.1 从图象到图象工程
图像处理的方法
图像的数字化
如何由一幅模拟图像 获取一幅满足需求的 数字图像，使图像便 于计算机处理、分析
图像的变换
图像变换目的在于： 处理问题简化、有利 于特征提取、加强对 图像信息的理解。
2024/7/23
x ， y：2-D空间中坐标点的位置 λ ：光线的波长 t ：时间
如果只考虑光的能量，不考虑波长，视觉上就是黑白深浅的区别
图像表示为 f (x，y，t) 如果是静态图像，不考虑时间因素，图像表示为 f (x，y)
2-D数组
2024/7/23
数字图象处理－第1章
3
§1.1 从图象到图象工程
2024/7/23
数字图象处理－第1章
5
§1.1 从图象到图象工程
复习
[题面] 数字图象 f (x, y)中的 f ：
(A) 可对应X光的强度；
(B) 可表示XY空间中一个坐标点的位置；
(C) 可对应场景中物体的辐射度； (D) 可以表示照片的亮度。
[提示] 图象是场景的投影，f 对应场景点的某种性质。
§1.1 从图象到图象工程
图象工程三层次：
图象分析
椭圆：红色 上部：兰色 下部：绿色 中部：几何体
2024/7/23
数字图象处理－第1章
11
§1.1 从图象到图象工程
图象工程三层次：
图象理解Βιβλιοθήκη 椭圆：红色 上部：兰色 下部：绿色 中部：几何体
红色椭圆是太阳 上部兰色是天空 下部绿色是草地 中部几何体是建筑
将一幅图像划 分为互不重叠 的区域，为后 续的图像分析 做基础
中科大计算机科学导论
调制是将基带信号转换为适合在信道中传输的已调信号的过程，解 调是调制的逆过程。
网络安全与隐私保护
网络安全概念
指网络系统的硬件、软件及其系统中的数据受到保护，不因偶然的或者恶意的原因而遭到破坏、更改 、泄露，确保系统连续可靠正常地运行，网络服务不中断。
网络安全威胁
包括计算机病毒、黑客攻击、网络钓鱼、恶意软件等。
常见算法与数据结构
常见的算法包括排序算法、查找算法、图论算法等；常见的数据结 构包括数组、链表、栈、队列、树、图等。
编程实例分析
实例一
冒泡排序算法实现。冒泡排序是一种简单的排序算法，通过不断比较相邻元素并交换位置 ，将最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到序列的一端。
实例二
二叉树遍历算法实现。二叉树是一种常见的数据结构，遍历二叉树是二叉树操作的基本算 法之一。常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
隐私保护技术
包括数据加密、匿名化技术、访问控制等，旨在保护用户的个人隐私不被泄露或滥用。
06
人工智能与机器学习
人工智能概述
人工智能定义
人工智能是计算机科学的一个分支，旨在研究、开发能够模拟、延 伸和扩展人类智能的理论、方法、技术及应用系统。
人工智能发展历程
人工智能的发展经历了符号主义、连接主义和深度学习等阶段，逐 渐从单一的算法研究向多领域交叉融合的方向发展。
云计算与大数据处理
01
云计算架构
通过虚拟化技术将计算资源池化， 提供按需、易扩展的计算服务。
02
大数据处理技术
采用分布式存储和计算框架，实 现对海量数据的快速处理和分析。
03
云计算与大数据融 合
结合云计算的弹性和大数据处理 的能力，提供高效、灵活的数据 处理和分析服务。
高级计算机图形学
减色
• 光线与物体的作用 • 彩色打印 • 照片底片(negative film)
16
针孔照相机
(x, y, z)点的投影位置 xp = -d*x/z, yp = -d*y/z, zp = -d
X-射线 可见光 无线电波
λ (nm)
350
λ (nm)
780
8
几何光学与光线跟踪
构造图像的一种方法就是 从一个点光源出发，跟踪 所有的光线，确定哪些光 线进入照相机的镜头。然 而，每条光线在被吸收或 者进入无穷空间之前，有 可能与物体发生多次接触。
9
亮度图像与彩色图像
亮度图像(luminance image)
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全局与局部光照
不能对每个对象单独 计算它的颜色与阴影 有些对象被其它对象 遮住了光源 光可以在对象之间反 射 有些对象是透明的
20
光线跟踪的不足
光线跟踪在很上大程度上是基于物理模型 的，因此为何不应用它设计一个图形系统？ 对于由多边形和二次曲面构成的对象，应 用点光源时，它确实非常简单 原则上它可以得到全局光照效果，例如阴 影和多重反射，但是光线跟踪速度很慢， 不适用于交互系统的需要
17
虚拟照相机模型
投影线
投影平面 p的投影 投影中心
p
18
优势
把对象、观察者和光源独立开 二维图形是三维图形的一个特殊情形 可以得到简单的软件API (Application programming interface)
• 指定对象、光源、照相机、材料属性 • 由API的实现确定最终的图像图像
shsmu
院系所码 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 721 721 721 721 721 721 721 721 721 721 721 721 721 721 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 瑞金医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院 仁济医院
研究方 向代码 01 02 03 01 01 02 03 01 02 03 04 05 06 01 02 03 04 05 01 02 03 01 02 03 04 05 06 07 01 02 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 01 02 01 02 03 04 05 06 07 01 02 01
院系所名称
专业代码 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100201 100202 100203 100203 100204 100204 100204 100204 100204 100204 100204 100206 100207 100207 100207 100207 100207 100207 100207 100208 100208 100208 100208 100210 100210 100210 100210 100210 100210 100210 100210 100210 100210 100210
中科大九系介绍.
软X射线显微镜 (2002-2003) 15万
精密机械与精密仪器系
24
褚家如教授
表面活性化常温接合方法与机理研究 9 国家自然科学基金 1998.1 2002.12 智能微系统基础技术研究 200 国外杰出人才引进基金 2000.1 基于微探针阵列的超高密度信息存储技术 5 教育部留学回国人员择优支持基金 2001.1 微执行器用压电厚膜制备技术研究 4 中科院留学回国人员择优支持基金 2001.1 并行无掩模微细加工技术研究 15 中国科技大学一流大学计划重点基金 2002.1
2003年7月，参加了在意大利帕多瓦举行的第七届RoboCup世界杯小 型组比赛，从而成为我国第一支独立自行研制的、进入RoboCup世 界杯赛决赛阶段的小型机器人队，为我国争取了荣誉。（第九名）
精密机械与精密仪器系
20
科研项目
基于SMA微小型医用机器人系统研究 子母型微型医用机器人系统研究 腹腔手术用微型机器人系统的研究 高机动性越障机器人研制 具有复合移动机构的微小型机器人 仿生机器鱼研究 足球机器人 新概念智能机器人 飞行器变结构技术研究 国家自然科学基金项目 国家自然科学基金项目 国家自然科学基金项目 863自动化领域机器人主题项目 中国科学院支撑项目 985科大重点科研项目基金 985科大重点科研项目基金 985科大重点科研项目基金 中国科学院创新基金项目
精密机械与精密仪器系
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《2004中国大学评价》
测控技术与仪器:
A+ 第4名/126。
06 高校学科评估(排名)： 0804 仪器科学与技术 11名
精密机械与精密仪器系
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九系的研究方向研究方向源自1智能机械 与机器人2微纳机 电系统
中科大-高级计算机图形学8-2
•
非常有效，因为在经过所有的操作后，减少了许多不必 要的映射
13
二维纹理
纹理：以数组形式存储在处理器内存里的二维 图像，此时数组元素称为纹素(texel)
• 由应用程序生成或照片扫描输入 • 一般把纹理坐标缩放到[0,1]区间
把离散数组看成一个连续的二维矩形区域纹理 图案T(s,t)，独立变量s和t是纹理坐标
8
环境映射(反射映射)
凹凸映射
纹理映射
几何模型
纹理映射后
9
环境映射
10
凹凸映射
11
三种映射的共同点
作为片段处理的一部分，改变单个片段的 明暗值 都与存储为一维、二维或三维数字图像的 贴图有关 保持低的几何复杂性，但能产生复杂几何 的视觉效果 都可能产生走样误差
12
映射在什么地方进行？
映射技术是在绘制流水线的最后阶段实现的
伸
26
两步映射
解决映射问题的另外一种方法 首先把纹理映射到一个简单的中间曲面上 例如：映射到圆柱上
27
圆柱面映射
高为h，半径为r圆柱的参数方程是
x = r cos 2π u y = r sin 2πu , 0 ≤ u,v ≤ 1 z=hv
映射函数：
s=u t=v
从纹理坐标到圆柱面上没有变形 适合于构造与无底的圆柱面拓朴同构的曲 面上的纹理
s
18
逆映射
我们需要的是逆向操作
• •
给定一个像素，我们想知道它对应于对象上的哪个点 给定对象上的一个点，我们想知道它对应于纹理中的 哪个点
此时需要如下形式的映射
s = s(x,y,z) t = t(x,y,z)
这样的函数一般是很难求出来的
19
2012-2013-1中科大软院课表 数目
机械工业出版社
9787111239352
8
随机过程及其应用
随机过程
方兆本、缪柏其
中国科学技术大学出版社
7-312-00379-6/O.122
9
组合数学
Introductory combinatorics
Richard A. Brualdi
机械工业出版社
7-111-15915-2
数据仓库与数据挖掘/嵌入式操作系统（13-20周）
J2EE/.NET/面向对象/设备驱动程序设计/EDA（1、2、3节；2-4周，6-10周）
轻量级J2EE/SOA方法与实践/网络程序设计/WEB安全实践/敏捷开发/WinCE应用/可编程器件（1、2、3节；12-19周）
信息技术服务管理（1、2、3、4节；3周）
1、9787121112805 2、9787121110085
1，65 2，59
16
软件体系结构
Software Architecture
Mary Shaw
McGraw-Hill，清华大学出版社影印版
9787302145509
29.8
17
多媒体系统和应用
无指定教材，由教师课上提供参考资料
18
程序设计与计算机系统
2012-2013-1课程表（苏州）
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
上
午
1
英语1班/英语2班（3-4,6-19周）
实用英语1班（3-4,6-11周）
基础日语1班/基础日语2班（3-4,6-15周）
英语3班/英语4班（3-4,6-19周）
中科大科学岛计算机考数学二
中科大科学岛计算机考数学二
1。
一般的，如果函数那么，。
这就是微积分基本定理，也叫牛顿--莱布尼兹公式。
也记作：=。
2．计算下列定积分：
=。
3、由上题可以发现，定积分的值可能取。
(l)当对应的曲边梯形位于x轴上方时如下图，定积分的值取，且等于。
(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时如下图，定积分的值取，且等于。
(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时如下图，定积分的值为，且等于
4、按万有引力定律，两质点间的吸引力，k为常数，
为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功(b＞a)。
5、曲线与直线所围成的图形(阴影部分)的面积等于。
6．=。
1、计算下列定积分：
(1)
解：解：
2。
计算下列定积分:
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
1．=()
A．5 B。
4 C。
3 D。
2
2．=()
A．B。
C。
D。
3．若，且a＞1，则a的值为()
A．6 B。
4 C。
3 D。
2
4．已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为()
A．B．C．D．
8．计算下列定积分的值
(1)；
(2)；
(3)。
高级计算机图形学_更复杂的交互程序_中科大
void glutPostWindowRedisplay(int id)
• 通知标识符为id的窗口重新显示
构件(widgets)
许多窗口系统提供了一个工具包或者一组库函 数用来建立用户界面，界面中用到了一些特殊 类型的窗口，称为构件(widgets) 构件集中包含下述工具：
菜单回调函数
void glutAttachMenu(int button)
• 将当前菜单关联到鼠标按钮button上(GLUT_RIGHT_BUTTON、
GLUT_MIDDLE_BUTTON、GLUT_LEFT_BUTTON)
定义一个简单菜单
在main()中
menu_id = glutCreateMenu(mymenu); glutAddMenuEntry(“Clear Screen”, 1); glutAddMenuEntry(“Exit”, 2); glutAttachMenu(GLUT_RIGHT_BUTTON); Clear Screen Exit 当按下右按钮时， 就会出现的条目 标识符
旋转的正方形
空闲回调函数：当事件队列为空时被执行
void glutIdleFunc(void (* f)(void))
利用空闲回调函数改变theta值，使正方形绕原点旋转
• •
在main()函数里，注册空闲回调函数： glutIdleFunc(idle); 空闲回调函数的定义：
void idle() { theta += 2.0; if (theta > 360.0) theta -= 360.0; glutPostRedisplay(); // 请求重绘 }
计算机图形学-USTC
• J. D. Foley et al. Computer Graphics - Principles and Practice, 3nd Ed., 2013.(影印版: 计算机图形学 原理及实践-C语言描述(第二版), 机械工业出版社, 2002)
• D. F. Rogers. Procedural Elements for Computer Graphics, 2nd Ed., 1译9版98).(影印版: 计算机图形学的算法基础, 机械工业出版社, 2002. 有中
述的图形等等
• 构成图形的要素
– 几何要素：刻画对象的轮廓、形状的点、线、 面、体等
– 非几何要素：刻画对象的颜色、材质、纹理、 线型、线宽等
11
表示图形的方法
• 参数表示
– 由图形的形状参数(方程或分析表达式的系数， 线段的端点坐标等)+属性参数(颜色、线型等) 来表示图形
– 称为参数图或图形（graphics）
• 中译版: OpenGL编程指南 (原书第6版), 机械工业出 版社, 2008.8
• 在线OpenGL 1.1版本 http://www.glprogramming.c om/red/
5
OpenGL
• R. S. Wright, et al, OpenGL SuperBible: Comprehensive Tutorial and Reference (4th Edition), 2007.
• 点阵表示
– 枚举出图形中所有的点(强调图形由点构成) – 称为像素图或图像（image, 数字图像）
12
图形与图像
• 图形含有几何属性，或者说更强调场景的 几何表示，是由场景的几何模型和物理属 性共同描述
中科大数学研究生研究方向
中科大数学研究生研究方向摘要：一、引言二、中科大数学研究生研究方向概述1.基础数学2.应用数学3.计算数学4.概率论与数理统计5.统计学6.金融数学与金融工程7.数据科学与人工智能三、各研究方向简介1.基础数学1.数学分析2.高等代数3.数学建模2.应用数学1.优化理论与方法2.生物数学3.信息与控制理论3.计算数学1.数值分析2.计算机图形学3.数学软件与算法设计4.概率论与数理统计1.随机过程2.统计推断3.风险管理与风险分析5.统计学1.描述性统计2.推断性统计3.非参数统计6.金融数学与金融工程1.衍生品定价2.量化投资3.风险管理与监管7.数据科学与人工智能1.机器学习2.深度学习3.自然语言处理四、结语正文：随着科技的飞速发展，数学在各个领域的应用越来越广泛，中科大的数学研究生研究方向也因此丰富多彩。
在这里，我们将介绍中科大数学研究生的一些主要研究方向，以帮助有兴趣的同学更好地了解并选择适合自己的研究领域。
一、引言在当今时代，数学已经成为推动科技进步的重要力量。
中科大作为我国顶尖学府，其在数学研究领域具有深厚的积淀和优势。
本文将简要概述中科大数学研究生的研究方向，并分别对其进行详细介绍。
二、中科大数学研究生研究方向概述中科大数学研究生研究方向主要包括基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、统计学、金融数学与金融工程、数据科学与人工智能等。
下面我们将对这些方向进行简要概述。
1.基础数学基础数学研究包括数学分析、高等代数、数学建模等领域。
这些研究方向注重理论研究，为其他数学领域提供基础性支撑。
2.应用数学应用数学研究领域包括优化理论与方法、生物数学、信息与控制理论等。
这些方向注重数学在实际问题中的应用，以解决实际问题为己任。
3.计算数学计算数学研究主要包括数值分析、计算机图形学、数学软件与算法设计等。
这些方向关注数学与计算机科学的交叉，为各类问题提供高效的计算方法。
4.概率论与数理统计概率论与数理统计研究方向包括随机过程、统计推断、风险管理与风险分析等。
计算机图形学完整ppt课件
工业设计
利用计算机图形学进行产品设计、仿 真和可视化，提高设计效率和质量。
建筑设计
建筑师使用计算机图形学技术创建三 维模型，进行建筑设计和规划。
计算机图形学的相关学科
计算机科学
计算机图形学是计算机科学的一个重 要分支，涉及计算机算法、数据结构、 操作系统等方面的知识。
物理学
计算机图形学中的很多技术都借鉴了 物理学的原理，如光学、力学等，用 于实现逼真的渲染效果和物理模拟。
02
03
显示器
LCD、LED、OLED等，用 于呈现图形图像。
投影仪
将计算机生成的图像投影 到大屏幕上，用于会议、 教学等场合。
虚拟现实设备
如VR头盔，提供沉浸式的 3D图形体验。
图形输入设备
键盘和鼠标
最基本的图形输入设备，用于操 作图形界面和输入命令。
触摸屏
通过触摸操作输入图形指令，常 见于智能手机和平板电脑。
多边形裁剪算法
文字裁剪算法
判断一个多边形是否与另一个多边形相交， 如果相交则求出交集部分并保留。
针对文字的特殊性质，采用特殊的裁剪算法 进行处理，以保证文字的完整性和可读性。
05
光照模型与表面绘制
光照模型概述
光照模型是计算机图形学中用于模拟光线与物体表面交互的数学模型。
光照模型能够模拟光线在物体表面的反射、折射、阴影等效果，从而增强图形的真 实感。
二维纹理映射原理
根据物体表面的顶点坐标和纹理坐标，计算出每个像素点对应的纹 理坐标，从而确定像素点的颜色值。
二维纹理映射实现方法
使用OpenGL中的纹理映射函数，将纹理图像映射到物体表面。
三维纹理映射技术
三维纹理坐标
定义在三维空间中的坐标，表示纹理图像上的位置。
中科大各专业课表
中科大各专业课表中科大各专业课表一、计算机科学与技术专业课表1. 第一学年- 秋季学期- 高等数学- 线性代数- 大学物理- 大学英语- 计算机导论- 春季学期- 概率论与数理统计- 离散数学- 数据结构与算法分析- 面向对象程序设计2. 第二学年- 秋季学期- 计算机组成原理- 操作系统原理与设计- 计算机网络原理与应用 - 春季学期- 编译原理与技术基础- 数据库系统原理与应用3. 第三学年- 秋季学期- 软件工程基础与实践- 春季学期- 人工智能基础- 计算机图形学基础4. 第四学年秋季学期- 分布式系统原理与设计- 计算机安全技术5. 第五年春季学期- 毕业设计二、电子信息工程专业课表1. 第一学年秋季学期- 高等数学- 大学物理- 大学英语- 电路理论基础春季学期- 概率论与数理统计- 信号与系统分析2. 第二学年- 秋季学期- 数字电路与逻辑设计- 模拟电子技术基础- 春季学期- 电磁场与电磁波理论3. 第三学年- 秋季学期- 微机原理与接口技术- 春季学期- 通信原理与应用4. 第四学年- 秋季学期- 无线通信技术基础5. 第五年春季学期- 毕业设计三、化工专业课表1. 第一学年秋季学期- 高等数学- 大学物理- 大学英语2. 第二学年秋季学期- 物理化工基础春季学期- 有机化工基础3. 第三学年秋季学期- 化工热力基础春季学期- 化工原理与计算机模拟4. 第四学年秋季学期- 化工过程控制与仪表春季学期- 化工设备与流程设计5. 第五年春季学期- 毕业设计四、土木工程专业课表1. 第一学年秋季学期- 高等数学- 大学物理- 大学英语2. 第二学年秋季学期- 工程力学基础- 材料力学基础- 土力学基础春季学期- 结构力学基础3. 第三学年秋季学期- 钢筋混凝土结构设计基础 - 岩土工程基础4. 第四学年秋季学期- 桥梁工程基础5. 第五年春季学期- 毕业设计五、生物科学与技术专业课表1. 第一学年秋季学期- 高等数学- 大学物理- 大学英语2. 第二学年秋季学期- 生物化学基础春季学期- 细胞生物学基础3. 第三学年秋季学期- 分子生物学基础春季学期- 生物信息学基础4. 第四学年秋季学期- 生物工程原理与应用5. 第五年春季学期- 毕业设计六、总结以上是中科大各专业的课表安排。
计算机图形学基本知识PPT课件
通过仿射变换矩阵对图像进行变换，可以处理更复杂的几何变换。
04 计算机图形学高级技术
光照模型与材质贴图
光照模型
描述物体表面如何反射光线的数 学模型，包括漫反射、镜面反射 和环境光等。
材质贴图
通过贴图技术将纹理映射到物体 表面，增强物体的真实感和细节 表现。
纹理映射
纹理映射技术
将图像或纹理图案映射到三维物体表 面，增强物体的表面细节和质感。
总结
计算机图形学在游戏设计、电影与动 画制作、虚拟现实与仿真等领域有着 广泛的应用。
计算机图形学的发展历程
起步阶段
20世纪50年代，计算机图形 学开始起步，主要应用于几 何形状的生成和简单图形的 处理。
发展阶段
20世纪80年代，随着计算机 性能的提高，计算机图形学 开始广泛应用于电影、游戏 等领域。
总结
计算机图形学利用计算机 技术生成、处理和显示图 形，实现真实世界的模拟 和再现。
计算机图形学的应用领域
游戏设计
游戏中的角色、场景和特效都需要用 到计算机图形学技术。
电影与动画制作
电影特效、角色建模和动画制作都离 不开计算机图形学。
虚拟现实与仿真
虚拟现实技术、军事仿真、工业设计 等领域都广泛应用计算机图形学。
向量图
向量图是矢量图的一种，通常用于描 述二维图形，如几何图形和图表。
图像的分辨率与质量
分辨率
分辨率是指图像中像素的数量， 通常以像素每英寸（PPI）或像素
每厘米（PPC）为单位。
质量
图像质量取决于分辨率、颜色深度 和压缩等因素。
压缩
图像压缩是一种减少图像文件大小 的方法，常见的图像压缩格式有 JPEG和PNG等。
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• • •
即两个编码中有某一位同时等于1 线段在裁剪窗口的对应边界的外侧 拒绝
应用编码
GH与IJ: 相似的编码，不全是零，但逻辑与为0
• • •
通过与窗口一条边求交缩短线段 计算新端点的编码 重新执行前述算法
效率
在绝大多数应用中，裁剪窗口相对于整个 对象数据库而言是比较小的
• 大多数线段是在窗口的一条边或多条边外面，
高级计算机图形学
中国科学技术大学计算机学院 黄章进 zhuang@
第九章
从顶点到片断
基本内容
绘制框架 裁剪
• 线段裁剪 • 多边形裁剪
光栅化
• 直线是如何绘制的 • 多边形的填充方法
隐藏面消除
第九章之第一节
框架与裁剪
基本内容
介绍基本实现策略 线段裁剪 多边形裁剪
图形处理过程
在计算出来线段所在直线与窗口各边交点对应 的α值后，我们可以通过这些参数值的顺序区分 出各种情形
各种情形
情形(a): 1 > α4 > α3 > α2 > α1 > 0
• •
交点依次在右、顶、左、底：缩短 交点依次在右、左、顶、底：抛弃
情形(b): 1 > α4 > α2 > α3 > α1 > 0
者最近的那个对象，从而基于该对象计算像素 的明暗值 for (each_pixel)
• 对于每个对象，确定它所覆盖的像素，并用对
象的状态确定像素的明暗值
• 光线跟踪框架
assign_a_color(pixel)
• 流水线方法 • 必须跟踪深度值
for (each_object) render(object)
定义编码
对于每个端点，定义一个编码b0b1b2b3
• • • •
如果y>ymax, b0 =1，否则=0 如果y<ymin, b1 =1，否则=0 如果x>xmax, b2 =1，否则=0 如果x<xmin, b3 =1，否则=0
上下右左
编码把空间分成九个区域 计算编码最多需要四次减法
应用编码
考虑图中所示的五种情形 AB: 编码(A) = 编码(B) = 0000
各种情形
Case 1: 线段的两个端点都在裁剪窗口内
•
原样绘制直线，即接受
Case 2: 两个端点都在窗口外，且在同一条直线的外侧
•
丢弃这条直线，即拒绝
各种情形
Case 3: 一个端点在内部，一个端点在外部
•
必须进行至少一次求交
Case 4: 都在外部
• •
仍可能部分在内部 必须进行至少一次求交
裁剪和隐藏面消除有许多共同点 实际上，对于裁剪与隐藏面消除，都是希 望把看不到的对象从视野中去掉 通过可以在处理过程中提早应用可见性或 者遮挡检测，从而在进入流水线体系之前 消去尽可能多的多边形
裁剪器
线段裁剪的流水线体系
对窗口一边进行裁剪时，与其它边无关
•
在流水线中要用到四个独立的裁剪器
顶
底
右
左
多边形的裁剪
并不像线段裁剪那样简单
• 裁剪一条线段最多得到一条线段 • 裁剪一个多边形可以得到多个多边形
然而，裁剪凸多边形最多得到一个多边形
划分与凸性
一种方法就是把非凸(凹)多边形用一组三角形代 替，这个过程称为划分(tessellation) 这同样也使得填充变得简单 在GLU库中有划分代码，但最好的方法就是由 用户自己进行
应用包围盒
通过直接基于包围盒 确定多边形的接受与 拒绝
拒绝
接受
需要更仔细的裁剪处理
裁剪与规范化
在三维空间中一般的 裁剪需要计算线段与 任意平面的交点 例：斜投影视图
平面与直线的交点
p(α) = (1- α) p1 + α p2 n · (p(α) – p0) = 0
n ⋅ ( p0 − p1 ) α= n ⋅ ( p2 − p1 )
裁剪
三种情形：接受、拒绝或剔除、裁剪 二维相对于裁剪窗，三维相对于裁剪体 对线段和多边形很容易进行，对于曲线和文本 很难进行
•
首先转化为线段和多边形
二维线段的裁剪
直观方法
•
计算线段与裁剪窗口边界的交点
• 低效：每次求交需要一次除法
Cohen-Sutherland算法
想法：尽可能不经过求交就消除许多情形 从确定裁剪窗口边界的四条直线开始
• 顶点表示为裁剪坐标
图元装配
变换是对顶点进行的，在进行后续操作需 要组装成几何对象，称为图元装配
• 裁剪是针对图元进行的 • 光栅器不能对顶点单独进行处理
裁剪
裁剪器确定哪些图元或图元的哪些部分会 被传送到光栅器，最终可能会显示在屏幕 上
• 只有在视景体内的对象经过光栅化后能被显示 • •
在屏幕上 部分在视景体内的图元，裁剪后生成新的图元 没被裁剪掉的顶点仍表示为四维齐次坐标，通 过透视除法转换为三维的规范化设备坐标
求交需要6次乘法运算和1次除法运算
规范化形式
投影平面 裁剪体 规范化前 规范化后 顶视图 对象 投影平面 变形后的对象 新的裁剪体
规范化过程是视图生成的一部分(在裁剪前进行)。但在 规范化后，相对于正平行六面体（长方体）进行裁剪 这时典型的求交计算只需要一次浮点减法，例如：是否 x>xmax?
裁剪与可见性
计算机图形系统可看作一个黑盒子
• 输入：程序中定义的顶点和状态量--几何对象 • •
、属性和照相机设置 输出：帧缓冲区里的彩色像素阵列 内部：变换、裁剪、明暗处理、隐藏面消除和 光栅化
• 对每个几何对象进行处理 • 给颜色缓冲区的每个像素赋颜色值
基本算法
考虑绘制由不透明对象构成的场景的两种 方法
• 对于每个像素，确定投影到这个像素的离观察
工作在对象坐标系
几何处理
几何处理的对象是顶点，目标是确定显示 在屏幕上的几何对象，并确定这些对象顶 点的明暗值或颜色值
• 投影 • 图元装配 • 裁剪 • 明暗处理
投影
第一步：利用模型-视图变换把几何对象 从对象坐标系变换到照相机坐标系或视点 坐标系 第二步：利用投影变换把顶点变换到规范 化视景体
•
AB为可接受线段
应用编码
CD: 编码(C) = 0000 编码(D) = 0010 ≠ 0000
• • •
计算交点 在编码(D)中的1确定线段与哪条边相交 如果有一条从点A出发的线段，另一端点的编码中有两 个1，那么可能需要进行两次求交
应用编码
EF: 编码(E) 与编码(F) 的逻辑与= 0010 ≠ 0
算法类型
前述两种方法分别称为面向图像 (imageoriented)的方法和面向对象(objectoriented)的方法
• 也分别称为先排序(sort-first)与后排序(sort-last)
方法
• 基于隐藏面消除发生的地方
面向对象方法
裁剪
投影
光栅化
帧缓冲区
面向对象方法优缺点
优点：处理速度快，运行成本低 缺点：
• 过去需要占用大量内存，每个对象单独处理的 •
代价较大。由于低价大容量内存，以及专用硬 件芯片的出现，已不再是问题 不能得到大多数全局效果，例如涉及多个对象 的复杂光照
• 隐藏面消除例外
面向图像方法优缺点
优点：
• 任何时刻只需有限的显示内存，且可以按显示 • •
器的刷新速度和次序生成像素 利用相邻像素间的连贯性可设计增量式算法 适合处理全局效果
明暗处理
为每个顶点赋颜色值
• 由当前绘制颜色决定 • 开启光照时，根据改进的Phong模型计算得到
光栅化
光栅化或扫描转换：从裁剪后的对象生成片段 （准像素）
• 对于线段，确定哪些像素可用来近似表示顶点间的 • •
线段 对于多边形，确定哪些像素位于多边形顶点定义的 二维区域的内部 片段的颜色取决于系统颜色状态值或由光照模型计 算的顶点明暗值插值得到
输入：由规范化设备坐标表示的顶点 输出：由三维窗口坐标表示的片段
片段处理
最简单的情形下，片段的颜色由光栅器赋值， 并且该值就是片段所对应的帧缓冲区中像素的 颜色值 纹理贴图 融合：半透明效果，反走样 隐藏面消除：确定可见对象的片段值
• 可见对象指位于视景体内，且没有被其他更靠近照
相机的不透明对象所遮挡的对象
效率的考虑
交点的表示 α = (ymax – y1)/(y2 – y1)
• 需要浮点除法 • 尽可能地避免交点计算
交点方程的重写：α (y2 – y1) = α Δy = (ymax – y1) = Δymax
• 所需要的测试可以对Δymax和Δy以及其它类似项 •
进行 只有当需要对直线进行缩短时才计算交点
从而可以基于编码把它们丢弃
当线段需要用多步进行缩短时，代码要被 重复执行，这时效率不高 求交时采用直线的斜截式表示：y=mx+h
三维空间中的 Cohen-Sutherland算法
利用6位进行编码 必要时，相对于平面裁剪线段
Liang-Barsky裁剪算法
考虑线段的参数化表示
•
p(α) = (1 – α)p1 + α p2, 0 ≤ α ≤1
缺点：
• 需要复杂的几何对象的数据结构
• 必须确定哪些图元影响哪些像素 • 绘制过程中需要随时访问所有的几何数据
四个主要任务
建模 几何处理
• •
建模
投影、图元装配、裁剪、明暗处理
光栅化 片段处理
纹理映射、融合、隐藏面消除、反走样
几何处理 光栅化 片段处理 帧缓冲区
建模
建模器可以认为是一个黑盒子
• 输出几何对象的顶点数据集