第七章 弯曲变形分析

EIv ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件： x 0时，v 0
x l时，v 0
得： C ql 3 , D 0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q (6lx2 4x3 l 3 )
q
24EI
v
qx
A (2lx2 x3 l 3 )
x θA
θB
B
x
24EI
第七章 弯曲变形 静不定梁
§7-1 概 述 一、工程实践中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大， 即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机 器正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 走困难，出现爬坡现象。
x22
q 6
(
x2
a)3
C2
EIv2
qa 6
x23
q 24 (x2
a)4
C2 x2
D2
由连续条件：x1 x2 a时, v1 v2 , v1 v2 得C1 C2
D1 D2
由边界条件：x1 0时, v1 0 得 D1 0
由对称条件：x2 2a时, v2 0
得
C2
11 qa 3 6
19qa 4 vmax v2 x2 2a 8EI
0 x1 a a x2 2a 0 x1 a a x2 2a
§7-3 用叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下, 载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引 起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个 载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分 别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。
d2v EI M (x)
dx 2
二、用积分法求梁的变形
EIv M(x)
EIv M(x) dx C
EIv M(x) dx dx Cx D
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
约束对位移的影响 没有约束无法确定位移
约束对位移的影响 连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
约束对位移的影响 连续光滑曲线；固定端对位移的限制
(x2
a)2
EIv1 qax1
(0 x1 a) (a x2 2a)
q EIv2
y
qax2
q 2 (x2
a)2
A
C
D
E
B
x
qa x1
qa
x2
a
a
a
a
EIv1
qa 2
x12
C1
EIv1
qa 6
x13
C1 x1
D1
EIv1 qax1
EIv2
qax2
q 2
( x2
a)2
EIv2
qa 2
max
B
Pl 2 2 EI
v max
vB
Pl 3 3EI
P
θBB x
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定θmax和 vmax。
y
P
A
B
C
x
l
l
2
2
解：AC段：M(x) P x
2
EIv P x
y
2
A
EIv P x2 C
x
4
l
EIv P x3 Cx D
A
EIv P x2 Pl x C 2
x
l
EIv P x3 Pl x2 Cx D
6
2
由边界条件：x 0时，v 0, v 0
得： C D 0
P
Bx
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
y
2 EI
A
Px2 v (x 3l)
6EI
x
l
最大转角和最大挠度分别为：
v 光滑连续条件：
c
vc
P
c
c
C
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简 支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线 方程，并确定θmax和vmax。
y
q
x
l
解：M(x) ql x q x2
y
22
q
EIv ql x q x2 22
A
B
x
EIv ql x2 q x3 C
x
l
46
2
12
P
C l 2
B
x
由边界条件： x 0时，v 0 由对称条件： x l 时，v 0
2
得： D 0 得：C Pl 2
16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
P (4x2 l2 )
16EI
A
v Px (4x2 3l2 ) 48EI
x l
2
最大转角和最大挠度分别为：
P
C l 2
挠曲线
2.挠度和转角
y
挠度v：横截面形心处的铅垂位移。
转角θ：横截面绕中性轴转过的角度。
规定：向上的挠度为正，(Y轴正向) 逆时针的转角为正，(逆时针) 与坐标系相关。
v
x
x
挠曲线方程： v f (x)
df
转角方程： tan f (x) dx
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、梁的挠曲线近似微分方程式
但在另外一些情况下，有时却要求构件具 有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的
变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
P
P
2
2
P
二、弯曲变形的基本概念
1.挠曲线：梁在弯曲变形后的曲线。
在平面弯曲中，梁的轴线将变成XY平面内的一条 曲线，如图所示。在平面假设条件下，挠曲线一 条光滑连续的弹性曲线。
l
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
v max
v
x l 2
5ql 4 384 EI
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬 臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方 程，并确定θmax和vmax。
y
P
A l
Bx
解：M(x) P(l x) y
EIv P x P l
曲线 y f (x)的曲率为
y K
(1 y 2 ) 3/2
1 M 梁纯弯曲时中性层的曲率：
EI z
1
v (1 v 2 ) 3/2
v
M v 或 EIv M EI z
y M0
M v 0 M
y M0
M v 0 M
x
x
EIv M
梁的挠曲线近似微分方程:
EIv M (x) 或:
B
x
max
A
B
Pl 2 16EI
v max
v
x l 2
Pl 3 48EI
讨论：
c 0
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。
y
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1(x1) qax1
M2 (x2
)
qax2
q 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
1
qa 6EI
(11a 2
3x12 )
2
q 6EI
[ 3ax2 2
(x2
a)3
11a 3
v1
qa 6EI
(11a 2 x1
x13 )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v2
q 24 EI
[ 4ax2 3
(x2
a)4
44a 3x2 ]
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
1
x1 0
11qa 3 6EI