材料力学竞赛辅导1

N 2 N1 dQ
M dM IZ
SZ

dM
SZ
dx IZb
b

Q

y
dx

Q SZ IZ b
h
z
: 横截面上任意点处剪应力
Q ：横截面上的剪力。


IZ:整个横截面对中性轴的轴惯性矩 b: 所求点处的受剪宽度 SZ: 所求点处横线以外部分面积 对中性轴的静矩。
N1
P P a a
P b/2 b/2 P
ε = －μ ε =
ΔA = A1 － A = A ( 1+ ) ( 1+ ) － A = A ( +ε ε ε ε
Pa
)
=
E
( μ －1 )
8. 为了在图示 A 与 B 两个固定 A 点之间产生张力，人们常在这 两点之间绷上绳子，然后从中 点 C 绞紧。现设绳子的横截面 为圆形，其半径为 r ，绳子材 料的弹性模量为 E 。假定在绞 紧过程中，A 与 B 两点间的距 离 2l 保持不变，同时在绞紧前， 绳子的初始张力为零。试求为 了使 A 与 B 之间的张力达到所 必需 P 的绞紧圈数 n 。
C
l l
B
l θ= 2π
设2πrn ＜＜ l 。 P ε= Eπr 2 Δl l 1－ l ε= = l l
l θ= 2πn
A s=
C l l
θ=
mA mC mC ηmax = = = Wp1 Wp2 Wp1 (1－ α4 ) mc mA = (1－ α4 )
l1 = l2
6. 图示一均质、等厚矩形板，承受一对集中载荷 P ，材料服从 胡克定律，弹性模量 E 与泊松比μ均为已知。设板具有单位厚度， 试求板的面积 A 的改变量ΔA 。
ε
ζ P = = －bE E μP bE
1 2
b
1 2
b
b
3 4
b
5
l
B
A
a
P
=
b
b
3 4
b
5
b l B
b
2
b
3 4
b
5
+
A
1
l B
A
a P/2
a P/2
a P/2
a P/2
b
1 2
b b
3 4
b
5
b l B
b
2
b
3 4
b
5
+
A
1
l B
A
a P/2
a P/2
a P/2
a P/2
N3 =0 N1 = N5=2 N2=2 N4
N 1 = N 2 = N 3 = N 4 = N 5 = P/5 N 1 = P( 3/5 －a/5b ) N 2 = P( 2/5 －a/10b ) N 3 = P/5 N 4 = Pa /10b N 5 = P (－ 1/5 + a /5b )
∫
(2)
η =
Tρ Ip
=
32 Tρ πD 4
T1 =
∫
d/2
η 2π ρ2 dρ
0
32 T ×2π d/23 = ρ dρ πD 4 0 d 4T 2d 4 Tcr μ π p d 6L = = = 4 4 3D 4 D 3D
∫
L1
L/3
L2
5. 图示两端固定的圆截面杆，其AB 段为实心杆，BC 段为空心 杆，即圆管。两段杆材料相同。在杆的截面 B 处作用力偶矩 M ， 在线弹性条件下，当许用力偶矩［M］达到最大值时，两段长 度比 l1 / l2 = ？ A C B mC mA D M αD mA l1 mc l2 θAC = =0 － G I p1 G I p2 l1 l2 I p1 = I p2 (1－ α4 ) l2 mc mA = l1 (1－ α4 ) mA = mC = G I p1 G I p2 G I p1 (1－ α4 ) mA = mc (1－ α4 ) mC
拉/压 变形
扭转 变形 弯曲 变形
N
T Q M
变形 刚度 Nl ζ max ζ Δl = ≤ Δl ≤ 〔Δl 〕 EA
ηmax ≤η θ = Tl GIp θ max ≤［θ］ θmax ≤［θ］
强度
Ip
组合 变形
N T
Q S※ η = I zb M y ζmax ≤ ζ ζ = Iz ζmax ≤ ζ ζ
θmax ≤ θ
研究对象
理想模型 连续性 均匀性 变形体 各向同性
小 变 形
线 弹 性
外力分析
内力分析
应力
强度
胡克定律
变形
截面位移
应变
刚度
基本内容 一、内力 1、概念 2、内力分量 轴力 Q
z
y
My
Q
FR
M
C N
x
扭矩
剪力 弯矩 Mz
T
3、求内力的方法 截面法
截 取 代 平
4、拉/压
N
5、扭转
=
ζs
n
或
ζb
n
3、强度计算
N max A ≤
ζ
max
=
ζ
(1) 强度校核
(2) 许用载荷计算
ηmax
T ≤［η］ = Wp
(3) 截面尺寸设计
四、变形 1、概念 2 、应变
ε 无量纲 拉为正，压为负 rad
γ
ζ
线应变
ε=
lim Δu Δs →0 Δs
Δs +Δu
Δs
3、Hooke 定律
ζ= E ε η= Gγ
w= θ=
wmax ≤ w θmax ≤ θ
Q M ζ 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3 ζeq ≤
材料力学的基本任务
压杆稳定 超静定问题 稳定计算 支反力 Pcr ζcr
静定问题
惯性载荷
动载荷
冲击载荷 交变应力
材料力学的基本任务
内力 应力
ζ = N A
拉/压 变形
扭转 变形
N
变形 刚度 Nl ζ max ζ Δl = ≤ Δl ≤ 〔Δl 〕 EA
A
EA C a
A
GIp
N
m
B T
m
a
D N B F a a a
a
a
G EA
3. 一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横 梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力 N 及圆轴 所受的扭矩 T 。 T + 2a N = m
A
Δl CD =Δl FG = θAB a Δl CD =Δl FG =
D
L
d
(1)
μπ pd2 μπd p× d / 2 = 2 Lμ π p d 2 Tcr = dx 2 0 μ π p d 2L = 2
T D L μ π p d 2L 1 T － T1 = 2 2 ( D 4 －d 4 ) L1 = L 4 3D 2d 4 L L2 = 3D 4 T T1
T d
〔 θ max 〕
∫
l
0
T (x) dx G I p(x)
3、刚度计算
梁横截面上的正应力
N dA 0
A
外力分析
内力分析 弯矩M 胡克定律
M z y d A M
A
max
M WZ
应力
强度
d dx

M y IZ
E E y
变形
截面位移 转角θ bb
T
＋
＋ －
M
－
6、弯曲 Q
＋
＋ －
－
外力分析
内力分析
N
应力

N A
强度
max

N A


0


n
胡克定律 E 变形 截面位移
L L1 L
b b1 b

应变

b b
L L
刚度
L
0 b
N L EA
b1 b
变形

G

T GI
p
4、扭转
切应力互等定理
η = Tρ Ip
η
ηmax = T Wp
Ip
Wp γ= α+β
β
η
切应变
α
5、扭转变形
θ
五、刚度
θ =
Tl GIp
1、概念 2、刚度条件
l
阶梯轴
θ =
∑
T il i
GIpi
拉/压 Δl ≤ 〔Δl 〕 扭转 θ max ≤ 〔θmax 〕
l
θ
θ =
max ≤
Poisson 效应
μ：泊松比
4、拉/压变形
b l l1 纵向变形 b1
ε = －μ ε
0＜μ＜ 0.5
Δl = l 1－l
弹性常数间的关系 E G = 2 (1+μ)
横向变形 Δb= b 1－b
ε=
Δl l
ε=
Δb b
Δl =
Nl EA
阶梯杆
Δl =
∑
N li EAi
Δl =
∫
l
N(x) E A(x)
N 1+ N 2= P N 3= N 4 2 N 3 cos 45o = N 2 Δl 12 cos Δl 12 45o = Δl 4 N3 N2
45o 45o
N1 N4
① C
P/2 P/2
G
P/2 P/2 B
E N2
②E ③
45o 45o
D
④
N1 l N2 l = l － (P－2N2) = EA EA EA
G Δl 12
Δl 3 =Δl 4
N4 l = EA
Δl 4
N 1= 2 P/ 3
N 2= P/ 3
N 3 = N 4= √2 P/ 6
2 . 图示由五根等直杆与刚性梁 AB 组成的平面结构。各杆的E、A、l 与 b 均相同且已知。在刚性梁上距杆 1 为 a 处作用一铅垂载荷 P ，今欲通 过电测方法测定 P 和 a 的值。 试 （1）给出最佳贴片方案：应变片的 片数。应变片各贴在何处。 （2）给出 P 和 a 与测得的应变值 ε i 的关系式。 b
b
1 2
b
b
3 4
b
5
l
B
（1）贴二片。考虑测量灵敏度， 贴杆1，5为好。 （2） ε N1 P 1 = EA = EA ( 3/5 －a/5b ) N1 P ε 5 = EA = EA (－ 1/5 + a /5b ) 5EA P= (ε 1 + ε 5 ) 2 ε 1 + 3ε 5 a= b ε 1 +ε 5
dx
N2
六、超静定问题
1. 超静定问题的判断
超静定问题
未知力的数目 ＞
独立的平衡方程数
2. 拉压超静定问题的解法
平衡条件 物理条件 力 变形 变形协调条件 变 形 变 形
力
力
1. 图示结构，各杆的抗拉（压）刚度均为EA ，杆①、②、 ③、④长度均为 l ，在处作用力P。求各杆的轴力 N i 。
设各杆轴力为 N i
ηmax ≤η θ = Tl GIp
θ max ≤［θ］ θmax ≤［θ］
强度
T
η =
T ρ Ip
弯曲 变形
组合 变形
Q S※ Q η = I zb M y ζmax ≤ ζ M ζ = Iz ζmax ≤ ζ N T Q M ζ 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3 ζeq ≤ ζ
w= θ=
wmax ≤ w
应变
y d dx
刚度

M
M dM
b

Q

y
dx
y y1


h

N2
z
N1
dx
N2
dx


A
A d
M IZ

( M dM ) y1 IZ
A
dA
M dM IZ

A
y1d A
M dM IZ
SZ
N1
SZ
dQ d x b
M IZ S Z xb d
dx
0
桁架节点位移计算
步骤
计算各杆的轴力
① ① ② ②
计算各杆的变形
A
A
θ
A
Δl 2A
计算节点的位移
A A
ΔAx = Δl 2
ΔAy
Δl 1 Δl 2 = sin + tan θ θ
T=∑dM= ∫τ 内力分析 外力分析
ρρdA
应力

T Ip
胡克定律 G
截面位移 应变 γρ = ρ(dφ/dx) 2 d T I p dA 其中 A dx GI p d 得 代入应变公式 dx T T GI I
Baidu Nhomakorabea
A
a P
N 1 = P( 3/5 －a/5b ) N 2 = P( 2/5 －a/10b ) N 3 = P/5 N 4 = Pa /10b N 5 = P (－ 1/5 + a /5b )
3. 一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横 梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力 N 及圆轴 所受的扭矩 T 。


二、应力 1、概念 2、应力分量 3、拉/压
k
p = lim ΔF ΔA→0 ΔA
= dF dA
n ζ p η
ΔA
ζ
ζ
=
N
拉为正 , 压为负
N A
ζmax
（ =
N A
） max
等截面杆 ζmax =
N
max
A
三、强度
1、概念 失 效 ζ 断裂
ζb ζs
极限应力
屈服
许用应力 2、强度条件
材料力学
Mechanics of Materials
材 料 力 学
材料力学
强 度
静 定 静载荷 超静定
材 料 力 学
刚 度 稳定性
动载荷
杆件的变形形式 基本变形 组合变形
剪切 变形
拉/压 变形 拉/压、弯、扭组合 扭转 变形
斜 弯 曲 弯曲 变形
弯扭组合
材料力学的基本任务
内力 应力
ζ =
η = N A T ρ
Na EA
N
m
B T
θAB
θAB N
Ta = GIp
a
a
N= T=
4. 图示，为传递扭矩 T，将实心圆轴与一空心圆轴以紧配合 的方式连接在一起。设两轴间均匀分布的配合压强 p、摩擦系 数μ 、实心轴直径d、空心轴外径D 、连接段长度 L 均为已知。 两轴材料相同 。 （1） 两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值Tcr = ? （2）设初始内外轴扭矩均为零，当传递扭矩从 0 增加到 T = 2/3 Tcr 时，绘制实心内轴在连接段 L 的扭矩图。 T T
(4b－2a) P/2 = 2 ( 2b N 1 + b N 2) = 10b N 2 P N 2 = 20b (4b－2a) = N 4 P N 1 = N 5 = 10b (4b－2a)
（1）给出最佳贴片方案：应变片的 片数。应变片各贴在何处。 （2）给出 P 和 a 与测得的应变值 ε i 的关系式。