材料力学竞赛辅导1
力学竞赛材料力学辅导 复合梁
全国周培源大学生力学竞赛辅导材料力学李娜1、叠合梁、复合梁2、截面几何性质叠合梁是由同种材料的几根梁所组成的梁，具体变形又可分为界面自由和界面固定两种叠合方式。
界面自由：界面固定：各部分的曲率相同，中性轴不同M =Z EI M 21=ρM M 界面自由时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根梁的2倍。
相当于一个组合截面，只有一个中性轴总Z EI M =ρ1Z Z I h b I 812)2(3==总08M M =界面固定时，两根梁组成的叠合梁所承担的弯矩是单根梁的8倍，界面自由时的4倍。
212M M =+=ZEI 11ρ例题1 自由叠合梁如图，材料的弹性模量为E ，在弯矩M e 作用下，测得交界面AB 处的纵向变形后的长度差为δ，不计梁间的摩擦，求弯矩M e 。
221eM M M ==解：属于界面自由变形Z EI M 11=ρ梁在上下边缘处的应变：1max2Z eEWM E =±=σε上面梁在下边缘处的变形：212Z e EW lM l l -=-=∆ε下面梁在上边缘处的变形：Ze EW l M l l 22==∆εZe EW l M l l =∆∆=12-δlEbh M e 242δ=246)2(2211bh h b W W z z ===1122-A E A E =221I E I M +IE M =221I E I +例题2 第九届竞赛题31Z C3∆==IE w 13）交界面上的不产生相对滑动的剪力)]1F S解：（1）根据惯性矩和惯性积的定义⎰=A x dA z I 2⎰=A z dA x I 2⎰⋅=A xz zdAx I 太极图可看成由Ⅱ和Ⅲ组成，其中Ⅰ和Ⅲ面积相同。
I x （Ⅰ）= I x （Ⅲ）I z （Ⅰ）= I z （Ⅲ）I xz （Ⅰ）= I xz （Ⅲ）I x = I x （Ⅱ）+ I x （Ⅲ）= I x （Ⅱ）+ I x （Ⅰ）I z = I z （Ⅱ）+ I z （Ⅲ）= I z （Ⅱ）+ I z （Ⅰ）Ix z = I xz （Ⅱ）+ I xz （Ⅲ）= I xz （Ⅱ）+ I xz （Ⅰ）=0I x = I z由坐标转轴公式，附录A-22。
力学竞赛实验部分辅导资料
F
C
答案：（1）消扭测弯，在不受力的自由端C贴一温度补偿片，利用b片和补偿片（分别接在R1和R2的位置）可以测量弯曲应起的应变。有效性试验方法是：将外力沿BC移动仪器输出应该不变。
（2）消弯测扭，利用a片和c片（分别接在R1和R2的位置）实现半桥互补测量，可以测量扭转应起的应变。有效性试验方法是：将外力沿BC移至AB杆B端定点此时仪器输出为零。
1、圆截面折杆ABC，在AB段上交叉贴有45°电阻应变花a、b、c，如图。折杆BC作用有垂直方向的集中力F（F可以沿BC杆移动），杆AB段发生弯扭组合变形。为了分别测出杆AB段的扭转应变和弯曲应变（分别消弯侧扭和消扭测弯），指出分别消弯侧扭和消扭测弯的接桥方式并给出一种简单实验方法证明接桥正确性。
R1 R2
令，拉伸时 ?拉=?1=?3=?， 则 ?横=?2=?4=-μ?
所以，?总=2?+2μ力和弯矩的作用，欲消除弯矩产生的应变，只测出轴向拉力产生的应变。采用全桥的方式测量，试确定贴片方案，推导出结果并画出桥路接线图。
F
答案：按下图方式贴片和接桥。根据?总=?1-?2+?3-?4 对桥臂的弯曲应变被抵消，而拉伸应变叠加。
F F
1-材料力学竞赛辅导(2)
限 荷 载 能 量 ： 虚 功 原 理 ＊ 图 乘 法
应 力 ＊ 应 变 （ 一 般 不 单 独 考 ）
轴 向 拉 压
弯 曲
配合
强 度 与 刚 度
应 变 能 ＊ 莫 尔 定 理
冲 击 荷 载
材（ 料实 力验 学应 若力 分 干析 实） 验
+
材料力学力学竞赛
6、做题练习，保证速度，做题完整程度，包括画图。 数量适当，酌情自定。
一、基础部分
剪切及挤压的概念和实用计算。
扭矩及扭矩图，切应力互等定理，剪切胡克定律，圆轴
扭转的应力与变形，扭转强度及刚度条件。 静矩与形心，截面二次矩，平行移轴公式。 平面弯曲的内力，剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图，利
用微分关系画梁的剪力、弯矩图。 弯曲正应力及其强度条件，提高弯曲强度的措施。 挠曲轴及其近似微分方程，积分法求梁的位移，梁的刚
考试范围
一、基础部分
材料力学的任务、同相关学科的关系，变形固体的基本假 设、截面法和内力、应力、变形、应变。 轴力与轴力图，直杆横截面及斜截面的应力，圣维南原理， 应力集中的概念。 材料拉伸及压缩时的力学性能，胡克定律，弹性模量，泊 松比，应力-应变曲线。
拉压杆强度条件，安全因数及许用应力的确定。拉压杆 变形，简单拉压静不定问题。
度校核，提高梁弯曲刚度的措施。
一、基础部分
应力状态的概念，平面应力状态下应力分析的解析法及图 解法。
强度理论的概念，破坏形式的分析，四个经典强度理论。
组合变形下杆件的强度计算。
压杆稳定的概念，临界荷载的欧拉公式，临界应力，提高
压杆稳定性的措施。 疲劳破坏的概念，影响构件疲劳极限的主要因素，提高构
材料力学竞赛复习题
物理关系
(x) FN (x)
A( x)
(x, y, z) A B (x)
变形规律
(x) E (x)
物理关系
N (x) E (d x)
A( x)
dx
(d x) N (x) d x EA
l FN (x) d x l EA 拉压杆的变形
max
FN (x) A(x)
[ ]
max
拉压杆的强度条件
l [l]
拉压杆的刚度条件
4. 材料力学的主要内容
每种基本变形形式及组合变 形的六个方面的问题
材料力学的主线
(2)应力 (1)内力
(4)变形 (6)超静定
(3)强度 (5)刚度
安全性
能量法
动应力
压杆稳定
内力 应力 强度 变形 刚度 超静定
拉压 扭转 弯曲
组合 变形
训练内容
mB B M B A FS B 0
分析和讨论
q EA a
EI L
k
F
EI
EI
右边的拉杆起什么作用？
ΔL FL EA
k EA L
F EAΔL L
横梁对竖梁的失稳起什么 约束作用？
mL m 3EI 3EI
3EI
L
L
一、简化问题
一、简化问题
模型简化
数学简化
物理事实简化
对称结构简化
二、平衡与叠加
整体平衡
局部平衡
叠加原理及其应用
三、结构的失效
构件的失效 危险截面和危险点
组合结构的失效
四、变动荷载问题
变动荷载对结构强度、刚度和稳定性的最不利位置 利用极值性质确定最不利位置 临界点、临界线以及它们所界定的区域
材料力学辅导
T2 WP2
T2 D23 [1 (
d
)4 ]
100103 223 [1 (18 /
16 22)4
]
86.7Mpa
16
D2
11
故 max=86.7MPa
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴，许用剪应力
[]=30M Pa, 试校核其强度。
m
m
解：(1)求扭矩及扭矩图
A T
B
C
解: 1) 画扭矩图。
2) 计算各段剪应力: AB段：
MA f18 MB
MC
f24 f22
max 1
T1 WP1
T1 D13 [1 (
d
)4 ]
16
D1
150103 16 243 [1 (18 / 24)4 ] 80.8MPa
A
1000 B 1000 C
T/kN·m 150 100
o x
max 2
x y
主
0
1
单元体
若 max 0， min 0，则：
1 max 2 0 3 min
3
若 max 0， min 0，则： 1 max 2 min 3 0
x y
若 max 0， min 0，则： 1 0 2 max 3 min
主 单元体
0
3
1
注：需代入轴力的正负号计算应力！
变形计算：
l
Nl EA
3
作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1 f 30
2 f 20
60kN
40kN
3 f 35
30kN
50kN
1
2
3
周培源力学竞赛辅导1
作用在
相同的两个构件上，若在线性小变形条件下，有下列重要结论
Fiij Fj ji
广义力 Fi 在广义力 Fj 引起的位移上所做的功，等于广义力
Fj 在广义力 Fi 引起的位移上所做的功，若
ij ji
Fi Fj
广义力 Fj 在点 i引起的与 Fi 相对应的广义位移，在数值上等
于广义力 Fi 在点 j引起的与 Fj 相对应的广义位移
应变能增量，即
弹性体平衡 We E
• 可以是某一部分或某些部分真实位移的增量，而不是全 部真实位移的增量（见图）
• 可以是另一个与之相关系统的真实位移（见图）
注意：以上讨论的虚位移原理不涉及材料的应力应变关系
能量原理
1-5 虚位移原理的应用 例4 EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线
例5 用虚移原理导出卡式第一定理
调方程
1
E FX 1
M y l FX 1
M y dx EI y
M z l FX 1
M z dx T T dx 0
EI z
l FX1 GI p
2
E FX 2
n
E FXn
M y l FX 2
M y l FXn
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FX 2 EI z
l FX 2 GI p
.............................
M y dx M z M z dx T T dx 0
EI y
l FXn EI z
l FXn GI p
能量原理
1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用
应用卡式第二定理求解超静定问题
1
E FX 1
2019材料力学竞赛辅导(压杆)
平衡方程： FN 2 = FN 3
FN1 + 2FN 2 cos 60 − F = 0
得：
FN1 + FN 2 = F
变形协调方程： δ1 = 2δ 2
δ1
=
FN1l EA
δ2
=
FN 2l EA
FN1
=
2F 3
FN 2
=
FN 3
=
F 3
FN2
FN3
F
FN1
δ3
o δ2
δ1 o1
FN1
=
2F 3
FN 2
设三根杆都做短Δ，安装时预加轴力FN0，满足
Δ = FN 0 L EA
FN 0
=
EAΔ L
F ≤ 3π 2 EI = 0.4651σ P d 2
2 L2 n
n
Δ
存在预加轴力FN0的结构，再加载荷F，利用叠加法求解。FFN 0
强度条件：FN max
=
FN 0
+
FN1
=
EAΔ L
+
2F 3
≤ σPA
n
稳定条件：
[M
(x
)
+
d
M
(x
)]
−
M
(x
)
−
FS
(x)d
x
−
q(x
)d
x
⋅
dx 2
+
FN
(
x)
⋅
dw
=
0
dM (x) = FS (x)⋅ dx − FN (x) ⋅ dw
FN (x) = F
dM (x)
dx
=
FS
材料力学同步辅导及习题全解
材料力学同步辅导及习题全解材料力学是力学中用于研究材料行为的一门学科。
它研究材料响应外力时的变形特性和破坏行为等, 为工程设计、制造和维护提供了基础。
以下是材料力学同步辅导及习题全解:一、材料力学基础理论1、定义: 材料力学是研究材料响应外力时的变形特性和破坏行为的学科。
2、弹性: 材料在短暂的外力作用下可产生变形(例如弹性变形)，材料力学研究变形的特性。
3、塑性: 如果外力超出材料的弹性极限，材料就会产生塑性变形，材料力学研究塑性变形的特性。
4、破坏: 如果塑性变形超出材料承受力的极限，材料就会损坏，材料力学研究材料的破坏行为。
二、材料力学实验1、材料: 材料力学实验需要先选择合适的材料，常用的材料有：金属、塑料、木材等。
2、设备: 实验所需的设备包括：拉力机、应力应变测试仪、标定和检查工具等。
3、数据采集: 在实验过程中，需要采集外力和变形数据，并将其用于计算应力应变关系和/或强度等力学性能。
三、材料力学计算1、数值模拟: 材料力学计算可以使用数值模拟的方法，模拟材料响应外力的变形和破坏现象。
2、强度计算: 使用经典的强度理论，可以计算真实外力下材料屈服的强度值。
3、有限元法:通过有限元法，可以计算复杂结构(如空间网格模型)多体系统的动力学变形和受力性能。
四、材料力学习题1、金属及复合材料应力 - 应变: 对于材料应力 - 应变曲线，能否求解出材料的屈服强度和塑性应变？2、有限元模拟: 有限元模拟能够模拟出材料的失效行为及其原因，材料力学中体现有限元的应用有哪些？3、复合材料: 复合材料是由不同材料组合而成，它比纯净材料更具有弹性和塑性强度，复合材料在哪些领域中有广泛应用？五、材料力学习题全解1、金属及复合材料应力 - 应变：可以通过绘制出材料应力 - 应变曲线求解出材料的屈服强度和塑性应变，即根据材料的应力 - 应变曲线，可以计算出外力施加时的屈服应力和塑性应变。
2、有限元模拟：材料力学中，有限元模拟的应用可以计算复杂结构的动力变形和受力性能，用于分析复杂结构的强度、稳定性等特性，也可以用于模拟复杂结构在外力作用下的变形和开裂现象。
11周培源力学竞赛辅导材料力学
例1. 在图示简单的杆系中, 设AB和AC分别为直径为20cm 和40cm的圆截面杆,
E = 200GPa, F = 5kN. l = 2m. 试求A点的位移.
B l
解: 取A点分析受力
Fx 0 :
F1 F2
30º A
30º
l
C
F
y
F1
30º A
30º
F2
Fx 0 : F1 sin300 F2 sin300 F
材料力学
◆材料力学与理论力学研究方法的异同
1. 理论力学的研究对象是刚体, 材料力学的研究对象是变形体. 所以, 理论力学中有 关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中. 如力和力偶的作用位置一般不能随 便移动. 分布载荷不能用合力随便代替等.
2. 刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁, 即: 已知变形体在力系 作用下处于平衡, 如果把变形体 “刚化”, 则平衡状态不变. 从道理上讲, 构件在 受力时是同时发生形变的, 所以应是对变形后的结构应用刚化原理, 从而列出静力 平衡方程. 但是如果材料是小变形的条件下(即结构的改变量相对与结构的原始尺 寸是很小的量),变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小, 则一 般就用变形前的尺寸求解平衡方程.
2
B
2
F
MPa
100
E2
E1
2019力学竞赛材料力学辅导(扭转)
解：1）轴与管间恰好接触时
σx
单向应力状态
δ
σx
=
−
F A
=
−F
πa 2
F
εr
= −μ σ x
E
=
μ⋅
F
Eπa 2
横向应变
δ
= εr
⋅a
=
μ
⋅
F
Eπa
F1
=
Eπδ a μ
2）当F > F1 后, 管壁和轴之间有压力，设为p 由于圆筒是刚性的, 则圆轴的径向和环向不再改变
由胡克定律
δ
p
σr
2） T=2Tcr /3时，实心圆轴在连接段的扭矩图
Tcr
=
πd 2upL
2
当扭矩T < Tcr ，两轴在连接段的中部不会产生相对滑
动，扭矩是通过滑动区的摩擦力传递的
取实心轴及其固连的部分空心轴分析受力
T
T T2: 空心轴截面上的扭矩值
T1：实心轴截面上的扭矩值
L
T m T2
m
T2
L
L1
L2
m = πd 2 pμ
σθ
σr =σθ = p
p
=
1
μ
−
μ
σ
x
=
μ 1− μ
F (
πa 2
−
δE ) μa
δ
F 若此时轴上有扭矩M, 则扭矩M与 轴承受的摩擦力偶矩保持平衡
p
∫ M = 2π μpa ⋅ dθ ⋅ aL = 2πa 2 flp 0
dθ
T
F = (1 − μ )M + πδ Ea
2 lf μ
μ
=
2019力学竞赛材料力学辅导(冲击)
全国周培源大学生力学竞赛辅导材料力学
——冲击应力分析
•冲击应力分析
第三届力学竞赛题6
第四届力学竞赛题3
第五届力学竞赛题6
第七力学竞赛题4
注意在冲击过程中的能量转化
冲击物的能量（动能或势能）转化为被冲击物的变形能
第七届竞赛题4例题5-冲击
冲击称载荷作用下外伸梁
F
l a st h K d Δ++=211冲击动载荷系数：
m EI
l Fa EI Fa st 03146.03323=+=Δ静位移利用叠加法（逐段刚
化法）求：
2565.7211=Δ++=st h K d MPa W
a F K W M d d d 02.78**===σ将运动员视为弹性体，最大
动应力减少。
力学模型：
m
图示两根完全相同的悬臂梁，弯曲刚度为，在自由端两者有一间隙，今有一重物P 从高度落下，试求重物对梁的最大冲击力？假设：两梁变形均在弹性范围内，冲击物为刚体，被冲击梁质量不计，在冲击过程中，两梁共同运动。
EI Δ
h 练习题。
材料力学与电测实验测试竞赛辅导资料
2 1
du
D
2）全桥测量方案，消除F在y方向 存在加载偏差的影响 全桥联结见图 测得：
' du
R R R R R R
5 7 6 8 5
7
1
A
du
B
R5 R6
C
R8 R7
F bh E m bh E bh
解：简化为图b所示：M＝P（2b－a）
A
b 1
a
b 2 3
b
b
4
5
B
l
P
图a
1 P, FM 1 FM 5 , FM 2 FM 4 5 lM 1 2lM 2 , lM 5 2lM 4 , FM 1 2 FM 2 FNi
F1 F2 F3 F4 F5
b A 2b-a b b b
1 5 3 7 2 6 4 8 1 3 5
7
1
从而平均应变
m
4 1
du
F bh E m bh E bh
4 1
du
图示三角架的AB水平、BC铅直，a=2.5m，铰C处受水平力F作用。钢杆AC 的弹性模量 E1=200GPa，圆截面直径 D1=16mm，钢杆AC的弹性模量 E2= 210GPa，空心圆截面的外直径 D2=50mm，壁厚 δ=3mm。在两杆上分别粘 贴应变计，测得应变 εBC=-215×10-6,εAC=703×10-6。试求力F大小与铰C的 水平位移。
解：A点的相应位移（设拉力为P）
上、下表面的应变分别为
P Pl 3 1 4l 3 P( ) 3 k 3EI k Ebt Ebt3 k P Ebt3 4k l3
力学竞赛辅导材料力学
b
l 3
(第五届力学竞赛试题)
C
A
K
解:
a
K
(1) 由整体平衡及两铜片相同的弯 曲变形(不考虑轴向变化), 可推得 A、C处水平力均等于F/2. 取AB片分析受力
MA MB Fl 2
l
h
B D
F 2
FA
F
A
MA
A
又
2 EI
B 0
EI
2 F M l 2 l B 0
MB
B
F 2
MB
p r
1 r r z 0 E 1 r z 0 E
由均匀应力及平衡条件可知
1
z
例5. 一半径为a、长为 l 的弹性圆轴,其弹性模量为E, 泊松比为 , 现将轴套在 一刚性的厚管内, 轴和管之间有初始间隙, 设轴受集中力F作用, 当F = F1 时轴 与刚性壁恰好接触, 求F1 的值; 当F > F1 后, 管壁和轴之间有压力, 记f 为摩擦 系数, 这时轴能靠摩擦力来承受扭矩, 当扭矩规定为M时, 求对应的F值.
当
F
aE
轴周边受径向压力
p
r r
p
当
F
aE
轴周边受径向压力
由于圆筒是刚性的, 则圆轴的径向和环向不再改变
p
由胡克定律
p
上式中
上两式联立求解:
aE F F E z 2 2 A a a a r z 1
F
A1 A2
M
E1
2 y dA A1
E2
2 y dA A2
基础力学实验竞赛辅导
一、竞赛简介
（8）关于奖励 全国赛：初赛设个人三等奖（个人特等奖、一等奖、
二等奖由决赛评定），以各校参赛人数为计算基数，由 省力学学会根据各校参赛人数按25%下达到各学校。
（d）屈服点延伸率(Ae) ：试样从屈服开始至屈服阶段
结束之间，引伸计标距的延伸与引伸计标距(Le) 之比的百分 率。
二、拉伸实验
（3）定义与术语
7) 断面收缩率(Z) 断裂后试样横截面积的最大缩减量(S0 -Su)与原
始横截面积(S0)之比的百分率。 8) 最大力 (Fm)
试样在屈服阶段之后所能抵抗的最大力。对无明显 屈服(连续屈服)的金属材料，为试验期间的最大力。 9) 应力
规定的引伸计标距百分率时的应力。 例如：Rp0.2 ，表 示规定非比例延伸率为0.2%时的应力。
二、拉伸实验
（3）定义与术语
9) 应力 试验期间任一时刻力除以试样原始横截面积(S0)之商。 （d）规定总延伸强度 (Rt)：总延 伸率 等于规定的
引伸计标距百分、竞赛简介
（3）竞赛过程 竞赛分初赛和决赛两个阶段，初赛为个人赛，决赛为团 体赛
（4）竞赛内容 实验原理、基本实验、综合实验、答辩四部分 （以材料力学课程实验为主）
一、竞赛简介
（4）竞赛内容 实验原理、基本实验、综合实验、答辩四部分 （以材料力学课程实验为主）
（5）竞赛形式 初赛与决赛均分为两个项目。 初赛：① 实验原理，闭卷笔试； ② 基本实验 决赛：① 综合实验； ② 答辩
力学竞赛辅导--材料力学35页PPT
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
Байду номын сангаас梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
力学竞赛辅导--材料力学 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
材料力学 辅导
一绪论（１）材料力学的对象：构件及其承载力（２）构件及其承载力：强度――构件抵抗破坏的能力；刚度――构件抵抗变形的能力；稳定性――构件保持原来平衡形态的能力。
（３）材料力学的任务：安全、经济（选择合适的材料、截面许可载荷）（４）变形固体及基本假设：均匀、连续、各向同行同性假设（小变形假设）（理力中一些假设不适用）小单元体性质⇔整体性质（５）弹性与塑性：去除外力，是否可以恢复（６）研究范围：弹性范围内的小变形（可按原始尺寸计算平衡问题）（７）基本方法：截面法（截、取、代、平）……内力（由外力引起。
构件内部各部分间相互作用的力）（８）应力：截面内某点的内力集度（σ、τ正交），不是平均应力应变：线应变、角应变（９）杆件（纵向》横向）的基本变形形式二 轴向拉伸与压缩（一）基本知识点轴向拉（压）的力学模型构件特征： 等截面直杆受力特征： 力作用线与轴线重合变形特征： 轴线方向伸缩（横向、纵向）1 轴向拉伸（压缩）杆横截面上的内力*内力 截面法轴力 轴力符号（拉为正） 轴力图2 轴向拉压杆横截面上的应力（距离杆端一定距离之外）：A F σN 均布、拉为正3轴向拉压杆的强度许用应力： []σA F σN ≤=max max拉压杆的强度计算4 轴向拉压杆斜截面上的应力*斜截面应力ασσα2cos = αστα2sin 21= （α从x 轴逆转至外法线为正）*轴向拉压杆内的最大、最小应力 ：)90(0︒= α45=α５轴向拉压杆的变形*轴向拉压杆的变形：纵向 l l l -=∆1EA l F l N =∆ 仍称为胡克定律（EA 拉压刚度）l ∆拉为正，压为负——弹性范围内小变形ε=σE——胡克定律 横向 b b b -=∆1 b b ∆=ε'(横向应变，负值)泊松比 εε'-=εε'=μ，Eσμ-=με-=ε'轴向拉压杆的变形能６材料在拉压时的机械性能*静拉伸试验（1）低碳钢试件的拉伸曲线分四个阶段：第 Ⅰ 阶段为弹性变形阶段。
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T
＋
＋ －
M
－
6、弯曲 Q
＋
＋ －
－
外力分析
内力分析
N
应力
N A
强度
max
N A
0
n
胡克定律 E 变形 截面位移
L L1 L
b b1 b
应变
b b
L L
刚度
L
0 b
N L EA
b1 b
=
ζs
n
或
ζb
n
3、强度计算
N max A ≤
ζ
max
=
ζ
(1) 强度校核
(2) 许用载荷计算
ηmax
T ≤［η］ = Wp
(3) 截面尺寸设计
四、变形 1、概念 2 、应变
ε 无量纲 拉为正，压为负 rad
γ
ζ
线应变
ε=
lim Δu Δs →0 Δs
Δs +Δu
Δs
3、Hooke 定律
ζ= E ε η= Gγ
〔 θ max 〕
∫
l
0
T (x) dx G I p(x)
3、刚度计算
梁横截面上的正应力
N dA 0
A
外力分析
内力分析 弯矩M 胡克定律
M z y d A M
A
max
M WZ
应力
强度
d dx
M y IZ
E E y
变形
截面位移 转角θ bb
应变
y d dx
刚度
M
M dM
b
Q
y
dx
y y1
h
N2
z
N1
dx
N2
dx
A
A d
M IZ
( M dM ) y1 IZ
A
dA
M dM IZ
A
y1d A
M dM IZ
SZ
N1
SZ
dQ d x b
M IZ S Z xb d
C
l l
B
l θ= 2π
设2πrn ＜＜ l 。 P ε= Eπr 2 Δl l 1－ l ε= = l l
l θ= 2πn
A s=
C l l
θ=
mA mC mC ηmax = = = Wp1 Wp2 Wp1 (1－ α4 ) mc mA = (1－ α4 )
l1 = l2
6. 图示一均质、等厚矩形板，承受一对集中载荷 P ，材料服从 胡克定律，弹性模量 E 与泊松比μ均为已知。设板具有单位厚度， 试求板的面积 A 的改变量ΔA 。
ε
ζ P = = －bE E μP bE
ηmax ≤η θ = Tl GIp
θ max ≤［θ］ θmax ≤［θ］
强度
T
η =
T ρ Ip
弯曲 变形
组合 变形
Q S※ Q η = I zb M y ζmax ≤ ζ M ζ = Iz ζmax ≤ ζ N T Q M ζ 1 ≥ ζ 2 ≥ ζ 3 ζeq ≤ ζ
w= θ=
wmax ≤ w
材料力学
Mechanics of Materials
材 料 力 学
材料力学
强 度
静 定 静载荷 超静定
材 料 力 学
刚 度 稳定性
动载荷
杆件的变形形式 基本变形 组合变形
剪切 变形
拉/压 变形 拉/压、弯、扭组合 扭转 变形
斜 弯 曲 弯曲 变形
弯扭组合
材料力学的基本任务
内力 应力
ζ =
η = N A T ρ
拉/压 变形
扭转 变形 弯曲 变形
N
T Q M
变形 刚度 Nl ζ max ζ Δl = ≤ Δl ≤ 〔Δl 〕 EA
ηmax ≤η θ = Tl GIp θ max ≤［θ］ θmax ≤［θ］
强度
Ip
组合 变形
N T
Q S※ η = I zb M y ζmax ≤ ζ ζ = Iz ζmax ≤ ζ ζ
D
L
d
(1)
μπ pd2 μπd p× d / 2 = 2 Lμ π p d 2 Tcr = dx 2 0 μ π p d 2L = 2
T D L μ π p d 2L 1 T － T1 = 2 2 ( D 4 －d 4 ) L1 = L 4 3D 2d 4 L L2 = 3D 4 T T1
T d
P P a a
P b/2 b/2 P
ε = －μ ε =
ΔA = A1 － A = A ( 1+ ) ( 1+ ) － A = A ( +ε ε ε ε
Pa
)
=
E
( μ －1 )
8. 为了在图示 A 与 B 两个固定 A 点之间产生张力，人们常在这 两点之间绷上绳子，然后从中 点 C 绞紧。现设绳子的横截面 为圆形，其半径为 r ，绳子材 料的弹性模量为 E 。假定在绞 紧过程中，A 与 B 两点间的距 离 2l 保持不变，同时在绞紧前， 绳子的初始张力为零。试求为 了使 A 与 B 之间的张力达到所 必需 P 的绞紧圈数 n 。
二、应力 1、概念 2、应力分量 3、拉/压
k
p = lim ΔF ΔA→0 ΔA
= dF dA
n ζ p η
ΔA
ζ
ζ
=
N
拉为正 , 压为负
N A
ζmax
（ =
N A
） max
等截面杆 ζmax =
N
max
A
三、强度
1、概念 失 效 ζ 断裂
ζb ζs
极限应力
屈服
许用应力 2、强度条件
b
1 2
b
b
3 4
b
5
l
B
（1）贴二片。考虑测量灵敏度， 贴杆1，5为好。 （2） ε N1 P 1 = EA = EA ( 3/5 －a/5b ) N1 P ε 5 = EA = EA (－ 1/5 + a /5b ) 5EA P= (ε 1 + ε 5 ) 2 ε 1 + 3ε 5 a= b ε 1 +ε 5
A
EA C a
A
GIp
N
m
B T
m
a
D N B F a a a
a
a
G EA
3. 一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横 梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力 N 及圆轴 所受的扭矩 T 。 T + 2a N = m
A
Δl CD =Δl FG = θAB a Δl CD =Δl FG =
∫
(2)
η =
Tρ Ip
=
32 Tρ πD 4
T1 =
∫
d/2
η 2π ρ2 dρ
0
32 T ×2π d/23 = ρ dρ πD 4 0 d 4T 2d 4 Tcr μ π p d 6L = = = 4 4 3D 4 D 3D
∫
L1
L/3
L2
5. 图示两端固定的圆截面杆，其AB 段为实心杆，BC 段为空心 杆，即圆管。两段杆材料相同。在杆的截面 B 处作用力偶矩 M ， 在线弹性条件下，当许用力偶矩［M］达到最大值时，两段长 度比 l1 / l2 = ？ A C B mC mA D M αD mA l1 mc l2 θAC = =0 － G I p1 G I p2 l1 l2 I p1 = I p2 (1－ α4 ) l2 mc mA = l1 (1－ α4 ) mA = mC = G I p1 G I p2 G I p1 (1－ α4 ) mA = mc (1－ α4 ) mC
A
a P
N 1 = P( 3/5 －a/5b ) N 2 = P( 2/5 －a/10b ) N 3 = P/5 N 4 = Pa /10b N 5 = P (－ 1/5 + a /5b )
3. 一结构如图示，圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横 梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力 N 及圆轴 所受的扭矩 T 。
(4b－2a) P/2 = 2 ( 2b N 1 + b N 2) = 10b N 2 P N 2 = 20b (4b－2a) = N 4 P N 1 = N 5 = 10b (4b－2a)
（1）给出最佳贴片方案：应变片的 片数。应变片各贴在何处。 （2）给出 P 和 a 与测得的应变值 ε i 的关系式。
1 2
b
1 2
b
b
3 4
b
5
l
B
A
a
P
=
b
b
3 4
b
5
b l B
b
2
b
3 4
b
5
+
A
1
l B
A
a P/2
a P/2
a P/2
a P/2
b
1 2
b b
3 4
b
5
b l B
b
2
b
3 4
b
5
+
A
1
l B
A
a P/2
a P/2
a P/2
a P/2
N3 =0 N1 = N5=2 N2=2 N4
N 1 = N 2 = N 3 = N 4 = N 5 = P/5 N 1 = P( 3/5 －a/5b ) N 2 = P( 2/5 －a/10b ) N 3 = P/5 N 4 = Pa /10b N 5 = P (－ 1/5 + a /5b )