计算传热作业1

储运与建筑工程学院能源与动力工程系
计算传热学课程大作业报告
作业题目：代数方程组的求解
学生姓名：田
学号：
专业班级：能动1
2017年9月23日
目录
一、计算题目 (3)
二、离散方程 (3)
三、程序设计 (4)
3.1 高斯赛德尔迭代法 (4)
3.2 TDMA法 (5)
四、程序及计算结果验证 (6)
五、网格独立性考核..................... 错误!未定义书签。

3.1 高斯赛德尔迭代法 (7)
3.2 TDMA法 (8)
六、结果分析与结论 (8)
3.1 高斯赛德尔迭代法 (9)
3.2 TDMA法 (10)
一、计算题目
分别用高斯赛德尔迭代和TDMA 方法求解方程
2
2dx d dx d u φφρΓ= （1）
在
Γ
u
ρ=-5，-1,0,1,5情况下的解，并表示在图中。

其中，x =0，φ=0；x =1，φ=1.
二、离散方程
采用控制容积法：
即⎰⎰Γ=e
22
w e w dx d dx
d u φφ
ρ （2）
)
)()(()2
2
(
w
W P e P E p
w p
e x x u δφφδφφφφφφρ---Γ=+-
+ （3）
假设均分网格，则有 x x x w e ∆==)()(δδ
上式则变为：
)2(2)(W P E W E u x φφφφφρ+-Γ=-∆ （4）
即11)2()2(4-+∆+Γ+∆-Γ=Γi i i u x u x φρφρφ （5）
11)421()421
(-+Γ
∆-+Γ∆-
=i i i u
x u x φρφρφ （6）
三、程序设计
3.1 高斯赛德尔迭代法
由已知公式 11)421()421(-+Γ
∆-+Γ∆-
=i i i u
x u x φρφρφ可设计高斯赛德尔迭代C 语言程序如下：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>
int main() {
double e=0,x; int i,j,b,k,d; double a[100];
scanf("%lf%d",&x,&d);
for (j=0;j<1/x;j++) {
a[j]=0; }
b=1/x; a[b]=1; while (1){
for (i=0;i<1/x -1;i++) {
a[i+1]=((2-x*d)*a[i+2]+(2+x*d)*a[i])/4; printf("i = %d\n",i); if (i==1/x -3) e=a[i+2];
} if (fabs((a[i]-e))/a[i]<0.00001) break ; }
for (k=0;k<=1/x;k++) {
printf("%lf ",a[k]); } system("pause"); return 0;
}
其中，输入项x 和d 分别代表步长和系数的值，即x δ和Γ
u
ρ的值，输出a[k]即为i
φ的值。

3.2 TDMA 法
由已知公式
11)421()421(-+Γ
∆-+Γ∆-=i i i u x u x φρφρφ （7）
目标方程
111---+=i i i i Q P φφ （8）
联立（7）、（8）方程可得：
111)2())
2(42(-+-∆+Γ+∆+Γ-Γ∆-Γ
=i i i i Q x u x u
P u x
u
ρφρρρφ （9）
则有)
2(421x u
P u x u P i i ∆+Γ-Γ∆-Γ
=-ρρρ ，1)2(-∆+Γ=i i Q x u Q ρ 利用端点条件
x =0，φ=0；x =1，φ=1
可得：
u
x u P ρρΓ∆-Γ
=421 , 0=i
Q 到此，可设计C 语言计算程序如下：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h>
int main() {
double e = 0, x; int i, j, b, k, d;
double a[100], m[100];
scanf("%lf%d", &x, &d); b = 1 / x;
a[0] = 0; a[b] = 1; m[1] = (2 - x*d) / 4;
for (i = 1; i<1 / x; i++) { m[i + 1] = (2 - x* d) / (4 - m[i] * (2 + x* d)); }
for (j = 1 / x - 1; j > 0; j --) { a[j] = m[j]*a[j + 1]; }
for (k = 0; k <= 1 / x; k++) { printf("%lf ", a[k]); }
system("pause"); return 0;
}
其中，输入项x 和d 分别代表步长和系数的值，即x δ和Γ
u
ρ的值，m[i]为i P 的值，
输出a[k]即为i φ的值。

四、程序及计算结果验证
以步长为0.1，系数为1为例，如果两种方法的程序皆能运行且两种方法的结果
接近，则可证明程序及计算结果可靠。

用高斯赛德尔迭代法设计的C 语言程序在Visual Studio 2017中的计算结果如图1所示，用TDMA 法设计的C 语言程序在Visual Studio 2017中的计算结果如图2所示。

从两个图易看出，结果相似且符合逻辑，可证明程序及计算结果可靠。

图1 高斯赛德尔迭代法输出结果 图2 TDMA 法输出结果
五、网格独立性考核
5.1高斯赛德尔迭代法：
以系数等于1的情况为例进行网格独立性考核，分别以x δ=0.05，0.02，0.1进行计算，将输出结果进行比较：
（1）当=x δ0.05时，输入0.05，1，输出如图3所示：
图三 当=x δ0.05时，输出结果
（2）当x δ=0.02时，输入0.02，1，输出如图4所示：
图4 当=xδ0.02时，输出结果
（3）当xδ=0.1时，输入0.1，1，输出如图5所示：
图5 当=xδ0.1时，输出结果
由图中可看出，在x=0.1时，三种步长的结果分别是0.061，0.060，0，061相差不大。

5.2 TDMA法
同理，以系数等于1的情况为例进行网格独立性考核，分别以xδ=0.05，0.02，0.1进行计算，将输出结果进行比较：
（1）当xδ=0.05时，输入0.05，1，输出如图6所示：
图6 当=xδ0.05时，输出结果
（2）当xδ=0.02时，输入0.02，1，输出如图7所示：
图7 当=xδ0.02时，输出结果
（3）当xδ=0.1时，输入0.1，1，输出如图8所示：
图8 当=xδ0.1时，输出结果
由图中可看出，在x=0.1时，三种步长的结果分别是0.0612，0.0612，0，0612相差不大。

六、结果分析与结论
6.1高斯赛德尔迭代法
输出结果如图9所示：
图9 高斯赛德尔迭代法输出结果
计算传热学课程大作业报告
6.2 TMDA法
输出结果如图10所示：
图10 TDMA法输出结果
由以上两图可以看出，在系数=0时，TDMA法更加精确，两图在数值上相差很小，且正负系数图形关于y=x对称。

11。