2018届高考数学文二轮复习课件：2.3.1 三角函数的图象与性质 精品

1≥sin2x－π4≥－ 22，所以函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小 值为－ 22，故选 B.
[方法规律] 1.求三角函数的定义域，可用三角函数的图象或三角 函数线来求解．
2．求值域或最值，有两种类型的例题：①化一法：将函数 y＝f(x) 化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，通过求 ωx＋φ 的范围，写出函数 y ＝f(x)的值域或最值．②换元法：将 sinx 或 cosx 看成一个整体，换元 成基本初等函数来求解.
对于③，将 g(x)＝sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到的图象 对应的解析式是 y＝sin2x－π4＝sin2x－π2＝－cos2x，与 f(x)不为同一 个函数，③错误．对于④，取 α＝2π，f(x＋α)＝fx＋π2＝sin2x＋2π－π4
＝sin2x＋34π，f(x＋3α)＝fx＋3×π2 ＝sin2x＋32π－π4＝sin2x＋3π－4π
2．三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
单调性
在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k ∈Z)上单调递增；在π2 ＋2kπ，32π＋2kπ(k∈
在[－π＋2kπ，2kπ](k ∈Z)上单调递增；在 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
上单调递减
在－π2＋kπ，π2＋ kπ(k∈Z)上单调递
增
Z)上单调递减
对称性
对称中心：(kπ，0)(k ∈Z)；对称轴：x＝π2＋
kπ(k∈Z)
对称中心：π2＋kπ， 0(k∈Z)；对称轴：x
＝kπ(k∈Z)
对称中心：k2π，0 (k∈Z)
二、重要公式与结论 1．三角函数的诱导公式 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、
偶”是指“k·π2±α(k∈Z)”中 k 的奇偶性；“符号”是把任意角 α 看作 锐角时，原函数值的符号．
x＝π4对称，则 m 的最小值为( B ) π πππ
A.12 B.6 C.4 D.3
[自主解答] (1)由题图可知，函数 f(x)的最小正周期为 T＝2ωπ＝
38π－π8×4＝π，所以 ω＝2.又函数 f(x)的图象经过点8π，1， 所以 sinπ4＋φ＝1，则π4＋φ＝2kπ＋2π(k∈Z)，解得 φ＝2kπ＋π4(k∈
热点考向二 三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
则 ω[(的2典)关取例于值2]函范数围(1)是f已(x_)知_＝21_，_ωsi_>n54_0_2，．x函－数π4，f(x有)＝下si列n命 ωx题＋：4π在π2，π上单调递减， ①其表达式可写成 f(x)＝cos2x＋π4； ②直线 x＝－8π是 f(x)的图象的一条对称轴； ③f(x)的图象可由 g(x)＝sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到； ④存在 α∈(0，π)，使 f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立． 其中，真命题的序号是( C ) A．②③ B．①② C．②④ D．③④
答案：D
6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的 x 都有 fπ6＋x＝fπ6－x， 则 fπ6＝________.
解析：函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的 x 都有 fπ6＋x＝f6π－x，则 其对称轴为 x＝π6，所以 f6π＝±2.
答案：±2
热点追踪
热点考向一 三角函数的定义域、值域、最值
解：(1)f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋ 3sin2ωx
－1＝2sin2ωx－π6. 由函数 f(x)的最小正周期 T＝22ωπ ＝π，得 ω＝1.
所以 f(x)＝2sin2x－6π. 令 2kπ－2π≤2x－π6≤2kπ＋π2，其中 k∈Z，解得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3， 其中 k∈Z，
[典例 1] (1)函数 y＝tanπ2x＋3π的定义域是________．
(2)函数 f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为( B )
A．－1
B．－
2 2
C．0
2 D. 2
[自主解答] (1)函数自变量 x 应满足2πx＋π3≠kπ＋π2，k∈Z， 即 x≠2k＋13，k∈Z，∴函数的定义域是xx≠2k＋13，k∈Z. (2)因为 0≤x≤2π，所以－4π≤2x－4π≤34π，由正弦函数的图象知，
答案：2－ 2
2．(热点二、三)已知函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxcosωx－1(ω>0)， 且函数 f(x)的最小正周期为 π.
(1)求 f(x)的解析式，并求出 f(x)的单调递增区间； (2)将函数 f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到函数 g(x)的图象， 求函数 g(x)的最大值及 g(x)取得最大值时 x 的取值集合．
(2)判断对称中心与对称轴：利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一 定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，
通过检验 f(x0)的值进行判断． (3)三角函数的周期的求法：①利用周期定义；②利用公式：y＝
Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为|2ωπ|，y＝tan(ωx＋φ)的最 小正周期为|ωπ |.③利用图象.
高考巡航 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期 性． 2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值， 重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
核心梳理 [知识回顾]
一、概念 1．三角函数的定义 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα＝ y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦， 三正切，四余弦．
＝sin2x＋2π＋π－π4＝sin2x＋34π，所以存在 α＝π2∈(0，π)，使 f(x＋α)
＝f(x＋3α)恒成立，④正确．故选 C.
[方法规律] 求解三角函数的性质的常用方法及技巧 (1)求单调区间的两种方法： ①代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ 为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令 ωx＋φ＝z，则 y＝Asinz(或 y ＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得． ②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
解析：因为 f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2
＋2，又其在区间－23π，θ上的最大值为 1，可知 y＝cosx 在区间 －23π，θ上单调递增，且 cosx∈－12，0，故 θ 只能取－π2.
答案：－π2
3．将函数 y＝sinx 的图象向左平移2π个单位，得到函数 y＝f(x)的 图象，则下列说法正确的是( )
D．向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的纵坐标缩小到原来的12
解析：y＝sin2x＋ 3cos2x＝2cos2x－π6，故需要把这个函数的 x 换为 x＋π4，即把这个函数的图象向左平移π4个单位长度，从而可得函 数 y＝2cos2x＋π3的图象，再把图象上各点的纵坐标缩小到原来的12， 即可得到函数 y＝cos2x＋π3的图象．
)
A.kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z)
B.kπ－π3，kπ＋6π(k∈Z)
C.kπ，kπ＋π2(k∈Z)
D.kπ－2π，kπ(k∈Z)
解析：由 f(x)≤f6π对一切 x∈R 恒成立，有 f6π＝±1，又 fπ2<f(π)， 即 sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即 2sinφ>0，又 φ∈(0,2π)，综合可得 φ＝π6，
(3)在平移变换中易忽视平移前后两个函数的名称变化，若不一 致，应先利用诱导公式化为同名函数．
[专题回访] 1．y＝tanx＋π4的定义域是________．
答案：xx≠kπ＋π4，k∈Z
2．已知函数 f(x)＝sin2x＋2cosx 在区间－23π，θ上的最大值为 1， 则 θ 的值是________．
期为 2π，排除 B；因为 fπ2＝cosπ2＝0，所以 f(x)＝cosx 不关于直线 x ＝π2对称，排除 C，故选 D.
答案：D
4．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)，其中 φ∈(0,2π)，若 f(x)≤fπ6对一
切 x∈R 恒成立，且 fπ2<f(π)，则 f(x)的单调递增区间是(
所以 f(x)＝sin2x＋6π，进而可得单调递增区间为 B. 答案：B
5．要得到函数 y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数 y＝sin2x＋ 3cos2x 的图象( )
A．向左平移π8个单位长度，再把图象上各点的纵坐标扩大到原来的 2 倍
B．向右平移π8个单位长度，再把图象上各点的纵坐标缩小到原来的12 C．向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的纵坐标扩大到原来的 2 倍
即 f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3，其中 k∈Z.
(2)g(x)＝fx＋4π＝2sin2x＋π4－6π ＝2sin2x＋π3， 则 g(x)的最大值为 2，
此时有 2sin2x＋3π＝2， 即 sin2x＋π3＝1， 即 2x＋π3＝2kπ＋π2，其中 k∈Z，解得 x＝kπ＋1π2，其中 k∈Z.
专能提升 1.(热点一)函数 f(x)＝ 2sin2x－π4＋4cos2x 的最小值为________．
解析：f(x)＝ 2sin2x－π4＋4cos2x＝sin2x－cos2x＋2(cos2x＋1)＝ sin2x＋cos2x＋2＝ 2sin2x＋π4＋2，所以函数 f(x)的最小值为 2－ 2.
2．三角函数图象的两种常见变换
3．辨明易错易混点 (1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x， y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置决定． (2)求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A 的符号，ω<0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调 区间时，不能弧度和角度混用，需加 2kπ 时，不要忘掉 k∈Z，所求区 间一般