平面向量专题

任意一点,则 PA PB PC 的最小值为____________
9
AP
x AB
y AC
，则
x
y
的最大值是（
）
5
A．
4
4
B．
3
C． 17 6
5
D．
3
6. 在矩形 ABCD 中， AB 1, AD 2 ，点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若满足
AP AB AD ，则 的最大值为
A．3
B．2 2
C． 5
D．2
3
二．奔驰定理与三角形四心
7.已知 ABC 外接圆的圆心为 O ，若 AB 3, AC 5 ，则 AO BC 的值为( )
A. 7
8．已知
a
6,
b
3,
a
B.
b
2 12
，则向量
a
在
C. 8 b 方向上的投影为（
D.15
）
A． 4 B． 4
C． 2
D． 2
9．平行四边形
ABCD
中，已知
AB
4
，
AD
3 ，点
E
、
F
分别满足
C. 2 : 5
D.1: 2
例 4、 ABC 内有一点 P 满足 6PA 3PB 2PC 0 (1) 确定 P 点位置; (2) 求 SPAB : SPBC : SPCA .
解：（1） 6PA 3PB 2PC 0
A
6PA 3( AB AP) 2( AC AP) 0
P
B
D
C
5
A P BD C
注：一般地，ABC 内一点 P ,满足 k PA mPB nPC 0 ,则 k, m, n 0 ，反之亦然，且 SPAB : SPBC : SPCA k : m : n
①重心，内心尤其适用
②点 P 满足 xPA yPB z PC 0 ,点的位置与 x, y, z 的关系。
BA CA 4, BF CF 1, 则 BE CE 值为______.
7
【答案】
8
【解析】
设
DC
a,
DF
b,
BA
CA
|
AD
|2
|
BD
|2
9b
2
a
2
4
BF
CF
|
FD
|2
|
BD
|2
b
2
a
2
1
解得
2 b
5
,
2 a
13
8 8 BE CE | ED |2 | BD |2
4b
2
a
2
7
8
8
2、已知点 A，B，C 均在半径为 2 的圆上，若 AB 2 ，则 ACBC 的最大值为
A.3 2 2 B.2 2 2 C.4 D. 2
【答案】B
【解析】设 A，B，C 三点所在圆的圆心为 O，取 AB 中点 D，故
AC BC =CA CB
2 CD
1
AB
2
2 CD
1
4
因为 A，B，C 三点在圆上，所以 CD 长度最大为 r+d,其中 d 为圆心 O 到弦 AB 的距离，故
最大值为 1+
2
，所以
CD
2
1
的最大值为（1+
2)2 1 2 2
2
3、已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA (PB PC) 的最小
值是_____
即 SOBC OA SOAB OC SOAC OB 0 .
证明：只证 x, y, z 0 的情形，其它情形可类似证明．
由
xOA yOB zOC 0
得
AO
yz
(
y
OB
z
OC )
，
x yz
yz
y yz
z y
z
1
，
存
在
点
D
使得
OD
y
y
z
OB
y
z
z
OC
，且
| BD | z | DC | y
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）
2
2
A． 2 4
B． 3 2
C． 2 4
D． 3 2
4．已知 ABC 为等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的圆上，若 AP AB AC ，则
2 的最大值为（ ）
1
A．
2
B．1 3 3
5
C．
2
D． 2 3 2
5．已知 RtABC ， AB 3 ， BC 4 ， CA 5 ， P 为 ABC 外接圆上的一动点，且
1
典例分析：
1．已知 A，B，C 为直线 l 上的不同三点，O 为 l 外一点，存在实数 m, n m 0, n 0 ，使
得 OC
9mOA 4nOB 成立，则
4 m
9 n
的最小值为（
）
A．36
B．72
C．144
D．169
2．如图，点
C
是半径为
1
的扇形圆弧
AB
上一点，
OA
OB
0
，
OA
【答案】 3 2
【解析】
设 BC 的中点为 O，OC 的中点为 M,连接 OP,PM,
PA (PB
PC )
2PO PA
2|
PM
|2
1|
AO
| 2
2 | PM
|2
3
3
2
22
当且仅当 M 与 P 重合时取等号
4、已知 AB 是圆 O 的直径, AB 长为 2, C 是圆 O 上异于 A, B 的一点, P 是圆 O 所在平面上
OA
OB
AB
OB
OC
BC
OC
OA
CA
0
垂心为 O OAOB OBOC OCOA
重心为 O OA OB OC 0
内心为 O BC OA CA OB AB OC 0
内心为 O BC OA CA OB AB OC 0
4
例 1：欧拉定理与欧拉线
ABC 重心为 G ，外心为 O ，且 OA OB OC OH （1） 求证： H 为 ABC 垂心； （2） 求证： O, G, H 三点共线且 OG : GH 1: 2
专题：平面向量 一．共线定理与等和线
1.共线定理：对于共面向量 OA,OB,OC , OC xOA yOB ，则 A 、 B 、 C 三点共线充
要条件是 x y 1． 2.等和线：对于不共线向量 OA,OB ,若 OC xOA yOB ，则
（1）点 C 在直线 AB 外侧（不含点 O 一侧）的充要条件是 x y 1． （2）点 C 在直线 AB 内侧（含点 O 一侧）的充要条件是 x y 1．
AP
5 3AB 2AC
11
5
5 11
AB 2 AC 3
1 2
3
即 D 在 BC 上且定比分为 2 ， BD 2 DC ， P 在 AD 上且定比分为 5 ， AP 5 PD
3
3
6
6
（2）易知： SPAB : SPBC : SPCA 2 : 6 : 3
点评：（1）亦可延长 AP 交 BC 于 D ，转化为
7
1．平行四边形中的极化恒等式．
平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对
角线”平方的 1 ，即 ab 1 [ AC 2 BD 2 ]
4
4
2．三角形中的极化恒等式．
在ABC 中，若 M
是线段BC
的中点，则 ABAC
AM
1
BC
2
4
1 、 . 如 图 在 三 角 形 ABC 中 ， D 是 BC 的 中 点 ， E,F 是 AD 上 的 两 个 三 等 分 点 ，
证明：（1） AH OH OA OB OC AH BC (OB OC）（ OC OB) OC 2 - OB2 0 AH BC
同理： BH AC, CH AB ，故 H 为重心。
（3） GA GB GC 0
(OA OG) (OB OG) (OC OG) 0
，
AO
y
z
OD
， |
AO |
yz
，如图 3， SOAB
z
yz
z
，同理有
x
| OD | x
SABC y z x y z x y z
SOBC | x | ， SOCA | y | ，命题得证． SABC x y z SABC | x y z |
三角形“四心”向量表示
2
2
2
外心 O OA OB OC OA OB OC
3
A．
4
2
B．
3
1
C．
3
9
D．
16
5．在
ABC
中
|AB
AC|
|AB
AC|
,
AB
3,
AC
4,
则
BC
在
CA
方向上的投影为
A．4 B．3
C．-4
D．5
7.
已知
ABC
，
AB
6
，
AC
3
，
N
是边
BC
上的点，且
BN
2NC
，
O
为
ABC
外心， AN · AO 的值为（ ）
A．8 B．10
C．18
D．9
OB
1 ，若
OC xOA yOB ，则 2x y 的最小值是（ ）
A． 5
B．1
C． 2
D． 5
3．如图，在三角形 OPQ 中， M 、 N 分别是边 OP 、 OQ 的中点，点 R 在直线 MN 上，
且 OR xOP yOQ(x, y R) ，则代数式
x2 y2 x y 1 的最小值为（
点 O 是 ABC 所在平面上且与 A, B,C 不重合的一点，若 xOA yOB zOC 0, xyz 0 ，则
SOAB | z | ， SOBC | x | ， SOCA | y | ． SABC | x y z | SABC | x y z | SABC | x y z |
6
三．基底法计算数量积
1.边长为 1 的等边三角形 ABC 中,设 BC 2 BD, CA 3CE ，则 AD BE
2．已知
H
为
ABC
的垂心，AB
4
，AC
6
，M
为边
BC
的中点，则
HM
BC
（
）
A．20
B．10
C． 20
D． 10
3．设点 G 是 ABC 的重心，且满足 2 sin B AB 3sin A GA 2 sin C GC 0 ，则 cos C =
AE
2
ED
，
DF FC ，且 AF BE 6 ，则向量 AD 在 AB 上的投影为（ ）
A．2
B． 2
3
C．
2
D． 3 2
10. 若 ABC 外 接 圆 的 圆 心 为 O ， 半 径 1 为 ， 且 2OA 3OB 4OC 0 ， 则
OC AB _____ .
11 若 ABC 外接圆的圆心为 O , AB 6, BC 7,CA 8 ,则 OA AB OB BC OCCA
6PA 3(PD DB) 2(PD DC) 0 (6PA 5PD) (3DB 2DC) 0
显然 6PA 5PD 3DB 2DC 0 （2）可延长 PA, PB, PC 至 A, B,C ，使 PA 6PA ， PB 3PB ，
PC 2PC ,从而 P 为 ABC 重心，从而有重心性质知： SPAB SPBC SPCA 然后不难求得 SPAB : SPBC : SPCA 2 : 6 : 3
OA OB OC 3OG
OH 3OG
故结论得证。
注： O,G, H →欧拉线 O G H
练习：ABC 两条高线 AD, BE 交于 H ，其外接圆心为 O ，过 O 作 OF 垂直 BC 于 F ，OH
与 AF 相交于 G ，则 OFG 与 GAH 面积之比为____。
A.1: 4
B.1: 3