第32讲 相互独立的随机变量 (II)
2-2-3随机变量的独立性,条件分布
x
FX Y ( x y) pX Y ( x y) d x
x
[ p(x, y)
pY ( y)]d x.
y
FY X ( y x) pY X ( y x) d y
y
[ p(x, y)
pX (x)]d y.
备份题
例1 设
(X,Y )
~
p( x,
y)
Cy(1 0,
x),
0 x 1,0 其 它.
则称X和Y相互独立.
例1 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求与应满足的条件;
(2) 若 X 与 Y 相互独立,求 与 的值.
(2,3)
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y X
1
1
1
6
1
2
3
p• j P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3 pi• P{ X xi }
1
1
18
3
1
3
1
18
2
3
(1)由分布律的性质知
0,
0,
2
3
1,
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
3
(2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有
pij pi• p• j , (i 1,2; j 1,2,3)
xe(x y)dy xe x
0
x>0
pY ( y) 0 xe( x y)dx e y
y >0
即：
3-2相互独立的随机变量
用分布函数表示,即
设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F ( x, y) FX ( x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 . 它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
若 (X,Y)是离散型r.v ，则上述独立性的 定义等价于： 对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
被积函数为常数， 直接求面积
y
xy
x
60 40
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
0
10
15
45
x
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船 各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到 达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需 停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求 其中一艘船要等待码头空出的概率.
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机 是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号 的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干 扰. 求发生两信号互相干扰的概率.
可以证明： 如果（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , ) 则 X与Y相互独立的
充要条件是
0
随机变量独立性的概念不难推广到两个 以上r.v的情形. 最后我们给出数理统计中常用的一个结论 定理2 若（X1, …,Xm）与（Y1, …,Yn）相互 独立,则Xi （i=1,2, …,m)与Yj （j=1,2, …,n)相互 独立，且U=f(X1, …,Xm), 与V=g (Y1, …,Yn)相互独 立. 特别：对二维随机变量(X,Y)，若X与Y相互独立， 则f(X)与g(Y)也相互独立。
由于 P ( X 0,Y 0) P ( X 0) P (Y 0)
相互独立的随机变量
即 pij = pi • ⋅ p• j .
( 2 ) 设连续型随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和Y 相互独立 ⇔ f ( x, y) = f X ( x) fY ( y).
( 3) X 和 Y 相互独立 , 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立 .
当 y > b 时, f ( x , y ) = 0.
例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
的分布律. 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律 解 因为 X 与 Y 相互独立 所以 相互独立,
P{ X = xi ,Y = yj } = P{ X = xi } P{Y = yj }.
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
X 1 3
Y
2 0.18 0.42
4 0.12 0.28
二、二维随机变量的推广
1.分布函数 分布函数
n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的分布函数
F( x1, x2 ,L, xn ) = P{ X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 ,L, Xn ≤ xn },
6.重要结论 重要结论
定理 设 ( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 (Y1 ,Y2 ,L,Yn ) 相互独 立, 则X i (1,2,L, m )和Y j ( j = 1,2,L, n)相互独立 .又 若 h, g是连续函数 , 则 h( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 g (Y1 ,Y2 , L,Yn ) 相互独立 .
3.3 相互独立的随机变量
(1) f ( x, y) 0,
; 其它
(2)
f
(
x,
y)
2, 0,
0 x y,0 y 1
其它
,
问 X 和Y 是否独立?
解 (1)
fX (x)
xe( x y)dy xex ,
0
x0
fY ( y)
xe( x y)dx e y ,
具有概率密度函数
f ( x, y) 0
其它
(1)求X,Y的边缘概率密度； y
(2)问X与Y是否相互独立？
1
解 fX ( x) f ( x, y)dy
1
1155x
22
x
ydy,
00
x
1
15 2
(x2
x4 )
0
, 其其它 0
0 x1 其它 O
1 9
a
1 9
1 3
1 18
b
1 18
1 3
a
2 9
b
1 9
Y1 X
2
pi•
1 1/3 1/6 1/2
2 2/9 1/9 1/3
3 1/9 1/18 1/6
故 (X,Y)的联合分布律和边缘分布律为
经检验，此时X与Y是相互独立的。
p•j 2/3 1/3
Ex2. 袋中之球，3黑1红2白，不放回地取3球。以 X, Y 分别表所取黑球数与红球数。试求X与Y的联合分布律， 并判断二者是否相互独立。
随机变量的相互独立性
p ij = p i • × p • j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 与 的边缘分布律分别为
X p.i -1 2/5 0 1/5 2 2/5 Y 1/2 Pj. 1/4 1 1/4 2 2/4
2 1 p11 = p12 = = p1. ⋅ p.1 = p1. ⋅ p.2 20 20 4 p13 = = p1. ⋅ p.3 20 p21 = p2. ⋅ p.1 p22 = p2. ⋅ p.2 p23 = p2. ⋅ p.3
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
y ≤ 0 或 y ≥1 时
fY ( y ) = 0
0 < y ≤ 1 时，
0
fY ( y ) = ∫ y −1 4dx = 2(1 − y )
2
所以，关于 的边缘分布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为
2(1 − y ), fY ( y ) = 0,
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 的联合分布函数为F(x,y) F(x,y)， 边缘分布函数分别为F 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y (y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 (y)，则称随机变量X 相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量， 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分 别等价于
(0 < y ≤ 1) 其它
所以
1 8(2x +1)(1− y),(− < x ≤ 0,0 < y ≤ 1 ) f X ( x) ⋅ fY ( y) = 2 0, 其它
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
F ( x , y ) F X ( x ) FY ( y ) , x,y R .
所以 X 与 Y 相互独立.
10:42:20 3
X 与 Y 相互独立. 此时，若再求两个部件的 寿命都超过100小时的概率，则
P ( X 0 . 1, Y 0 . 1 ) P ( X 0 .1) P (Y 0 .1)
X Y
其中F ( x , y ), FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X , Y )的分布函数及边缘分布 函数.
10:42:20 1
例1 一电子元件由两个部件构成，以X, Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时). 已知 (X, Y)的联合分布函数为
(1 e )(1 e ), x 0, y 0, F ( x, y) 其它. 0,
若 0，则
2 2 1 1 ( x μ1 ) ( y μ2 ) f ( x, y) exp 2 2 2σ1σ 2 σ2 2 σ1 2 2 1 ( x μ1 ) 1 ( y μ2 ) exp exp 2 2 2 σ1 2σ1 2 σ 2 2σ 2
两个离散型随机变量相互独立时，它们的 联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 .
10:42:20
6
例2 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X
P
1 0.3
3 0.7
Y
P
2 0.6
4 0.4
求随机向量( X, Y ) 的联合分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) P ( Y y j ),
=1/2.
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
相互独立的随机变量
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
3.4相互独立的随机变量
dxn dxn
f X1 , X ( x1 , x2 )
定理
f ( x1 , x2 ,
设 ( X1 , X 2 , , X m ) 和(Y1 , Y2 , , Yn ) 相互独立 则 X i (i 1, 2, , m) 和 Y j ( j 1, 2, , n) 相互独立。又若 h, g 是连续函数，则：
1 1 13 1 11 . 6 2 12 2 12
1 1 1 于是 P { X Y } ( G 的面积 ) . 12 48 8 即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差
1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
2 2
概率统计
类似的问题如：
X 0 2 3 1 1 3
Y
P
1
1 4
2
2 4
3
1 4
P
求: (X,Y) 的联合分布律. 解:
X , Y 相互独立
Pi j P( X xi ,Y y j ) P( X xi ) P(Y y j )
从而： P01 P( X 0, Y 1) P ( X 0) P (Y 1)
FX1 ( x1 ) F ( x1 , ,
, ) , )
FX1 , X 2 ( x1 , x2 ) F ( x1 , x2 ,
概率统计
对应的联合概率密度和边缘的概率密度关系为：
f X1 ( x1 )
2
f ( x1 , x2 ,
, xn )dx2dx3 , xn )dx3dx4
e
§3.4相互独立的随机变量
例5 已知 ( X, Y ) 的联合密度函数为
(1)
f1
(
x,
y)
4xy,
0,
0 x 1,0 y 1 其他
(2)
f
2
(
x,
y)
8xy,
0,
0 x y,0 y 1 其他
讨论X ,Y 是否独立？
12
解
(1) 由图知边缘密度函数为 1
f
X
(
x)
2x,
pij pi p j i 1, 2; j 1, 2,3
因此，取a = 2 , b 1 时X与Y相互独立.
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独
立性的定义等价于：对(X,Y)的所有可能取值
(xi, yj),有
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
即 pij pi p j , (i, j 1, 2 )
3
1、由随机试验的独立性直接判断两随机变 量的独立性。（若一个随机变量的取值情况与
2
x, y
P{X 2 Y 2 1} f (x, y)dxdy x2 y2 1
1 x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
作变换x r cos , y r sin , 0 2 , 0 r 1.
相互独立的随机变量
相互独立的随机变量
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念. 相互独立的概念 则称事件 事件A, 相互独立 相互独立. 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件 B相互独立 1.定义 设(X, Y ) 为二维随机变量 , 若对于所有的 x, y有 定义: 定义
P{X ≤ x, Y ≤ y} = P{X ≤ x} ⋅ P{Y ≤ y} 即 F(x, y) = FX (x) ⋅ FY (y), 则称随机变量 X和Y相互独立
e -x , x ≥ 0, f X (x) = 0, x < 0,
e -y , y ≥ 0, f Y (y) = 0, y < 0,
故 P{X + Y ≤ 1} =
由于 X 与 Y 相互独立 , 故其联合密度函数为 f(x, y) = f X (x)f Y (y).
x + y ≤1
2π 1 σ 2π 2 σ 令x = µ 1 , y = µ 2 , 则有
1 2π 1 σ 2 1-ρ σ ρ
2
=
1
-
( x−µ1 )2
2 2σ1
e
⋅
1
-
( y−µ2 )2 2σ2 2
e
.
1 2π 2 σ
=
1 2π 1 σ
⋅
所以: ρ=0. 所以 4. 一个重要定理 一个重要定理: 设(X1, X2, …, Xm)和(Y1, Y2, … Yn)相互独立 和 相互独立, 相互独立 相互独立,又若 则Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立 又若 和 相互独立 h, g是连续函数 则h(x)和g(y)相互独立 是连续函数, 相互独立. 是连续函数 和 相互独立 5. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到 n维r.v.的情况 的情况. 维 的情况
3.2随机变量的独立性
因为随机变量 X , Y 相互独立，则
f ( x, y) fX ( x) fY ( y)
电子科技大学
随机变量的独立性
Apr-20
2
a
,
0,
o x a , 0 y 2; 其他.
PX
bcosY
D
2 a
dxdy
x
a
2 SD 2b .
a
a
b x = b cosy
D 0
y
π/2
电子科技大学
度
2 0 x 1, 0 y x
f ( x, y) 0
其他
问: X、Y 是否相互独立？
y
分析 f (x, y) 在如图所 示区域内不等于 0, 在其 1
余区域均等于 0。
o
1
x
电子科技大学
因为
随机变量的独立性
Apr-20
fX (x)
f ( x, y)dy ,
-
- x
当 x≤0 或 x≥1时,
电子科技大学
随机变量的独立性
Apr-20
例3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
-
e
x
,
2
- x
问 X 与︱X︱是否相互独立.
分析 1) 直观判断X 与︱X︱是否相互独立？
2) 判定X 与︱X︱相互独立，则需验证
P{X a , X b} P{X a}P{ X b}
对所有实数对(a, b) 均成立.
随机变量的独立性
§3.2 随机变量的独立性 一、二维随机变量的独立性
Apr-20
随机事件A 与B 相互独立，若 P(AB)=P(A)P(B)
高考数学总复习考点知识讲解与练习32 概率、随机变量及其分布
高考数学总复习考点知识讲解与练习 第32讲 概率、随机变量及其分布[考情分析]1.考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度． 考点一 古典概型 核心提炼古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A ，B ，C 三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选去第一医院工作的概率为() A.112 B.16 C.15 D.19答案D解析根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A ，甲B ，甲C ，乙A ，乙B ，乙C ，丙A ，丙B ，丙C ，9种情况，而医生甲和护士A 被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P ＝19.(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是()A.15B.110C.121D.1252 答案C解析现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410，能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121.规律方法古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．跟踪演练1(1)(2018·全国Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.112 B.114 C.115 D.118答案C解析不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率为345＝115.(2)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为()A.532B.516C.1132D.1116 答案B解析由题意可知，填写的可能结果共有如下32种： 00000,00001,00010,00011,00100,00101,00110,00111， 01000,01001,01010,01011,01100,01101,01110,01111， 10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111， 11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111， 其中满足题意的有10种：10101,10110,10111,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值P ＝1032＝516.考点二 随机变量的分布列核心提炼1．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C knp k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.考向一超几何分布例2(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．解(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C212＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C24＋2C23＋C22＝13(种)，所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝13 66 .(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，因为P(X＝0)＝C04C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C02C26＝25.所以随机变量X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×115＋1×815＋2×25＝43.跟踪演练2PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝C13C27C310＝2140.(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝C k3·C3－k7C310(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝C03C37C310＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝740，P(ξ＝3)＝C33C07C310＝1120.故ξ的分布列为考向二二项分布例3(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ，为了解免费WiFi 在A 市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：(1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取3人中“偶尔或不用免费WiFi”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由列联表可知K 2＝200×(70×40－60×30)2130×70×100×100≈2.198，因为2.198<2.706，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． (2)由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，25，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03×⎝⎛⎭⎪⎫353＝27125，P(X＝1)＝C13×25×⎝⎛⎭⎪⎫352＝54125，P(X＝2)＝C23×⎝⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P(X＝3)＝C33×⎝⎛⎭⎪⎫253＝8125.所以X的分布列为E(X)＝3×25＝65，D(X)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.规律方法随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．跟踪演练3某机器生产商对一次性购买2台机器的客户推出2种超过质保期后2年内的延保维修方案：方案一：交纳延保金6000元，在延保的2年内一共可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元；方案二：交纳延保金7740元，在延保的2年内一共可免费维修4次，超过4次每次收取维修费a元．某工厂准备一次性购买2台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后2年内维修的次数，统计得下表：以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后2年内共需维修的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？解(1)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X＝0)＝15×15＝125，P(X＝1)＝110×15×2＝125，P(X＝2)＝110×110＋15×25×2＝17100，P(X＝3)＝110×25×2＋15×310×2＝15，P(X＝4)＝25×25＋310×110×2＝1150，P(X＝5)＝25×310×2＝625，P(X＝6)＝310×310＝9100，∴X的分布列为(2)设选择方案一所需费用为Y1元，则Y1的分布列为E(Y1)＝14×6000＋15×7500＋1150×9000＋625×10500＋9100×12000＝8580.设选择方案二所需费用为Y2元，则Y2的分布列为E(Y2)＝67100×7740＋625×(7740＋a)＋9100×(7740＋2a)＝7740＋21a50.当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50>0，即0<a<2000时，选择方案二更合算，当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50＝0，即a＝2000时，选择方案一、方案二均可；当E(Y1)－E(Y2)＝840－21a50<0，即a>2000时，选择方案一更合算．专题强化练一、单项选择题1.某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i＝1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()A.23B.34C.35D.12答案A解析设事件A表示“甲、乙两人不在同一站点下车”．甲、乙两人同在站点A1下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A2下车的概率为13×13；甲、乙两人同在站点A3下车的概率为13×13.所以甲、乙两人在同一站点下车的概率为3×13×13＝13，则P(A)＝1－13＝23.2．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均值E(X)＝3，则a－b等于()A.110B．0C．－110D.15答案A解析∵离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，∴(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， 即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3， 即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b ＝110.3．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()A.1027B.448729C.100243D.4081 答案B解析由题图可知，A ，C 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19，连通的概率是1－19＝89.E ，F 之间连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，未连通的概率是1－49＝59，故D ，B 之间未连通的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝2581，D ，B 之间连通的概率是1－2581＝5681，故A ，B 之间连通的概率是89×5681＝448729. 4．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于() A.12B.13C.14D.25 答案B解析正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有C16·C16＝36(种)，事件A：“x＋y为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)＝C13·C1336＝14，P(A2)＝C13·C1336＝14，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝14＋14＝12.事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，所以事件AB为“x，y都为偶数且x≠y”，所以P(AB)＝C13·C13－336＝16，由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P(AB)P(A)＝13.5．(2020·山东枣庄市八中月考)某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为() A．150B．200 C．300D．400答案C解析因为P(X<90)＝P(X>120)＝1 5，P(90≤X≤120)＝1－25＝35，所以P(90≤X≤105)＝12P(90≤X≤120)＝310，所以此次数学考试成绩在90分到105分(含90分和105分)之间的人数约为1000×3 10＝300.6．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X 分，B 学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为Y 分，则D (Y )－D (X )等于() A.12512B.3512C.274D.234答案A解析设A 学生答对题的个数为m ， 则得分X ＝5m ，m ～B ⎝⎛⎭⎪⎫12，14， D (m )＝12×14×34＝94， 所以D (X )＝25×94＝2254；同理设B 学生答对题的个数为n ，则得分Y ＝5n ，n ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，D (n )＝12×13×23＝83，所以D (Y )＝83×25＝2003，所以D (Y )－D (X )＝2003－2254＝12512.二、多项选择题7．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0<p 1<p 2<12，则下列结论正确的是() A ．E (ξ1)<E (ξ2) B ．E (ξ1)>E (ξ2) C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)>D (ξ2) 答案AC解析∵E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)，∵D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， ∴D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0， 即D (ξ1)<D (ξ2)．8．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则()A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮 答案ABD解析设事件A i (i ＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，选项A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝56×35×14＝18，选项B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A 1)－P (A 1A 2)＝1－16－56×25＝12，选项C 不正确；设在此次比赛中，该软件考核了Y 轮，∴Y 的可能取值为1,2,3,4，P (Y ＝1)＝P (A 1)＝16，P (Y ＝2)＝P (A 1A 2)＝56×25＝13，P (Y ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝18，P (Y ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×35×34＝38，∴E (Y )＝1×16＋2×13＋3×18＋4×38＝6524，故选项D 正确．三、填空题9．某校高一新生健康检查的统计结果显示：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一该校高一新生，已知此人体重超重，则他血压异常的概率为________． 答案0.2解析记事件A 表示此人体重超重，事件B 表示此人血压异常，则P (A )＝0.4，P (AB )＝0.08，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.080.4＝0.2. 10．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是13，则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为________． 答案427解析因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，所以未遇到红灯的概率都是1－13＝23，所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为23×23×13＝427.11．(2020·临沂模拟)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________．答案314解析观察八卦图可知，含三根阴线的共有一卦，含三根阳线的共有一卦，含两根阳线一根阴线的共有三卦，含一根阳线两根阴线的共有三卦，所以从八卦中任取两卦有C 28＝28(种)情况．其中抽取的两卦中六根线恰有两根阳线，四根阴线的所有情况是一卦含有三根阴线，另一卦含有两根阳线一根阴线，或者两卦都含有一根阳线两根阴线，即C 13＋C 23＝6(种)情况．故所求概率为P ＝628＝314.12．(2020·浙江)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案131解析方法一1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A 24＝12(种)排列．①红球前面没有黄球，有A13＋1＝4(种)，P(ξ＝0)＝412＝13；②红球前面有1个黄球，有A12＋A12＝4(种)，P(ξ＝1)＝412＝13；③红球前面有2个黄球，有1＋A13＝4(种)，P(ξ＝2)＝412＝13.E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.方法二①第1次就取到红球：P(红)＝1 4；②第2次取到红球：P(黄，红)＝24×13＝16，P(绿，红)＝14×13＝112；③第3次取到红球：P(黄，黄，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，红)＝14×23×12＝112；④第4次取到红球：P(黄，黄，绿，红)＝24×13×12＝112，P(黄，绿，黄，红)＝24×13×12＝112，P(绿，黄，黄，红)＝14×23×12＝112.故P(ξ＝0)＝P(红)＋P(绿，红)＝14＋112＝13，P(ξ＝1)＝P(黄，红)＋P(黄，绿，红)＋P(绿，黄，红)＝16＋112＋112＝13，P(ξ＝2)＝P(黄，黄，红)＋P(黄，黄，绿，红)＋P(黄，绿，黄，红)＋P(绿，黄，黄，红)＝112＋112＋112＋112＝13.则E(ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.四、解答题13．某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．(1)求3个人来自两个不同专业的概率；(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与均值．解(1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”，事件A1表示“3个人来自于同一个专业”，事件A2表示“3个人来自于三个不同专业”，P(A1)＝C33＋C35C310＝11120，P(A2)＝C12C13C15C310＝30120＝14，∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－11120－30120＝79120.(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C03C37C310＝35120＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(X＝3)＝C33C07C310＝1120，∴X的分布列为E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.14．(2020·寿光市第二中学月考)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)，故估计50位农民的年平均收入x为17.40千元．(2)由题意知X～N(17.40,6.92)，①P(X≥μ－σ)＝0.5＋0.68272≈0.8414，所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋0.95452≈0.9773，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，则ξ～B(1000，p)，其中p＝0.9773，所以E(ξ)＝1000×0.9773＝977.3.。
相互独立的随机变量
则称随机变量
2.说明
(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P { X i , Y j } p ij , i , j 1 ,2 , .
X 和 Y 相互独立
xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, P{ X
即
p ij p i p j .
P { X i , Y j } p ij ,
X 和 Y 相互独立
i , j 1 ,2 , .
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }.
2 . 设连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为 f X ( x ), f Y ( y ), 则有
P { X 1 , Y 2 } P { X 1 } P { Y 2 } 0 . 3 0 . 6 0 . 18 , P { X 1 , Y 4 } P { X 1 } P { Y 4 } 0 . 3 0 . 4 0 . 12 ,
P { X 3 , Y 2 } P { X 3 } P { Y 2 } 0 . 7 0 . 6 0 . 42 , P { X 3 , Y 4 } P { X 3 } P { Y 4 } 0 . 7 0 . 4 0 . 28 .
1 3
3
1 2
1 9
1
1 3
p j P {Y y j }
2 3 2 3
18
由分布律的性质知
故 与 应满足的条件是
0, 0,
1,
: 0, 0 且
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§3.4相互独立的随机变量课即 则称随机变量X 和Y 相互独立。
F (x , y ) = F X (x )F Y (y )定义（随机变量的独立性）设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。
若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }即 若对于任意实数 x 和 y , 有P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。
这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。
则称随机变量X 和Y 相互独立。
传课可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。
若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }F (x , y ) = F X (x )F Y (y )X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。
）这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。
对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互独立当且仅当f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度X |Y f f Y ( y ) f Y ( y )X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度X f ( x )Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度例子例5 设二维随机变量(X , Y )的联合密度为问：X 与Y 是否相互独立？f (x , y ) = ⎧ (1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨ ⎪⎩ 0,其他 -1 1-1D 1 解 f (x , y )的非零区域为 D 。
f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 需求边缘概率密度。
四川大学 徐小湛-1 -1 百度传课 1D 1 当 |x |>1时， f (x , y )=0+∞ +∞ f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-∞ 0dy = 0+∞ 4 dy 11+ xy f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-1 = 1 4 1 2 (2+0) = 1 4 1 1 ( -1 -1 = dy + ⎰ ⎰ xydy ) 奇函数 当 |x |≤1时，-1-1 D 1 f (x , y ) = ⎧⎪(1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨⎪⎩ 0, 其他 X f (x ) = ⎧ 1 2, x ≤1 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他类似可得（由对称性） Y f (y ) = ⎧ 1 2, y ≤1 ⎨⎪⎩ 0, 其他X Y 2 2 4 4f (x ) f (y ) = 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 1 (1+ xy ) = f (x , y ) X 与Y 不相互独立四川大学 徐小湛 当 0<|x |<1, 0<|y |<1时，例6 设随机变量 (X , Y ) 具有分布函数证明 X , Y 相互独立。
-x ⎧(1-e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1⎪ F (x , y ) = 1-e , x ≥ 0, y >1 ( > 0) ⎨ ⎩ ⎪ 0, 其他 F (x , y ) =F X (x )F Y (y ) y →+∞= lim F (x , y ) F X (x ) = F (x ,+∞) F Y (y ) = F (+∞, y ) x →+∞ = lim F (x , y ) 证 欲证 其中百度传课 -x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0,⎩ ,x ≥ 0, y >1 其他 x →+∞ F Y (y ) = lim F (x , y ) X y →+∞ F (x ) = lim F (x , y )⎧1- e -αx , = ⎨ 0, ⎩ x ≥ 0, y > 0 其他 ⎧y , 0 ≤ y ≤1 = ⎪ ⎩ ⎨1, y >1 ⎪0, 其他-x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0, ⎩, x ≥ 0, y >1 其他 X F (x ) = ⎧1- e -αx , x ≥ 0, y > 0 ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧y , 0 ≤ y ≤ 1 ⎩ F (y ) = ⎪ , y >1 ⎨1 ⎪ 0, 其他x ≥ 0, y >1时 F (x )F (y ) = (1- e -αx ) ⋅1 = F (x , y ) X Y其他情况 (x <0) F X (x ) = 0 F X (x )F Y (y ) = 0 = F (x , y ) F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 处处成立 X , Y 相互独立四川大学 徐小湛 x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1时 F X (x )F Y (y ) = (1- e -αx ) y = F (x , y )例7 设X 与Y 相互独立，X ~U (a , b ) (0≤a <b )，Y ~ e (λ)， 求: (1) f (x , y ); (2) P {Y ≤X }。
解 X ⎧ 1 f (x ) = ⎪b -a, a ≤ x ≤ b ⎨ ⎪⎩ 0,其他 均匀分布 ⎧ y > 0 f Y (y ) = ⎨ ⎩ 0, y ≤ 0 指数分布百度传课求: (1) f (x , y ) X ⎧ 1 (b -a ), a ≤ x ≤ b f (x ) = ⎨ ⎩ 0,其他 Y ⎧ y > 0 f (y ) = 0, y ≤ 0 ⎨ ⎩ b a D ⎧ f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) (1) 四川大学 徐小湛 f (x , y ) = ⎪ b -a, 0 ≤ a ≤ x ≤ b , y > 0 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他f (x , y )的非零区域为 D 。
求(2) P{Y≤X}baD⎧e-λyf (x, y) =⎪b -a, 0 ≤a ≤x ≤b, y >0⎨y≤x⎪⎩0, 其他P{Y ≤X} = f (x, y)dxdyy =xG(2)百度传课例8 设X与Y相互独立，且都服从正态分布：解X ~ N(μ,σ2 ) Y ~ N(μ,σ2 )1 12 2求(X, Y)的联合概率密度f(x, y)。
(-∞<x <+∞)(-∞<y <+∞) fX(x) =Yf ( y)=X与 Y相互独立结论：二维正态随机变量(X, Y)中的X 和Y 相互独立的充分必要条件是参数（相关系数） 0例9 甲到达学校的时间均匀分布在8~12 时，乙到达学校的时间均匀分布在7~9时。
设两人到达学校的时间相互独立，求他们 到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时) 的概率。
X f (x ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 Y ⎧1 4, 8< x <12 ⎧1 2, 7 < y <9 f (y ) = ⎨ ⎩ 0, 其他 解 设X 和Y 分别是甲和乙到达学校的时间， 则 X ~U (8,12), Y ~U (7,9)，它们的概率密度分别是X ⎧1 4, 8< x <12 f (x )= ⎨ 0, 其他0, Y f (y ) = ⎨ ⎩ ⎩⎧1 2, 7 <y <9 其他 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) = ⎨⎧1 8, 8< x <12, 7 < y ≤9⎩ 0, 其他8129 7D因为X 和Y 相互独立，(X , Y )的概率密度四川大学 徐小湛 D ={(x , y )| 8< x <12, 7 < y ≤9}的面积是 8即(X , Y )服从D 上的均匀分布⎧1 8, 8< x <12, 7< y ≤9 f (x , y ) =⎨ 0, ⎩其他 9 D求他们到达学校的时间相差不到5分钟(1/12小时百)的概率 。
12P { X -Y ≤ 1} 8 12 S 是G 的面积12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}所求概率 四川大学徐小湛7 12x -y ≤1 G 88 = ⎰ f (x , y )dxdy = 1dxdy = 1 S ⎰百度传课 12 12y = x + 1 , x = 8 ⇒ y = 8+ 1⇒ B8 12D12G ={(x , y )| x - y ≤ 1,8< x <12,7 < y <9}1 12 12 y = x - 1 , y = 9 ⇒ x = 9 + 1⇒ A 1 1 四12大学 徐小湛12 y = x - , x = 8 ⇒ y = 8- ⇒ A 212 9 1 71 1 12 12y = x + , y = 9 ⇒ x = 9 - ⇒ B 12 y = x +1 1A 2B1B 2G A x - y ≤ 1 - 1 ≤ y - x ≤ 1 x - 1 ≤ y ≤ x +1 12 12 12 12 12 y = x - 11B 2 (8,8+12)97D1 12 A (9 + 1 ,9) 1 A 2 (8,8-12), 112 B (9 - 1 ,9) 1 A 2 B 1B 2 G AG 的面积S =ΔA 1CA 2的面积- ΔB 1CB 2的面积2 12 12 2 6 6 C = 1[(1+ 1 )2 - (1- 1 )2 ] = 1 (2⋅ 1) = 1 12 G 88 48 P { X -Y ≤ 1 }= 1dxdy = 1 S = 1 四川大学 徐小湛812一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位: 千小时)。