第32讲 相互独立的随机变量 (II)

§3.4相互独立的随机变量

课

即 则称随机变量X 和Y 相互独立。

F (x , y ) = F X (x )F Y (y )

定义（随机变量的独立性）

设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。

若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }

即 若对于任意实数 x 和 y , 有

P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }

F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛

即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。 这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。 则称随机变量X 和Y 相互独立。

传课

可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。

若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }

F (x , y ) = F X (x )F Y (y )

X 和Y 相互独立当且仅当

f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )

在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。）

这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。

对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互

独立当且仅当

f (x , y ) = f X (x ) f Y (y )

此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度

X |Y f f Y ( y ) f Y ( y )

X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度

X f ( x )

Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度

例子

例5 设二维随机变量(X , Y )的联合密度为

问：X 与Y 是否相互独立？

f (x , y ) = ⎧ (1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨ ⎪⎩ 0,

其他 -1 1

-1

D 1 解 f (x , y )的非零区域为 D 。 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 需求边缘概率密度。

四川大学 徐小湛

-1 -1 百度传课 1

D 1 当 |x |>1时， f (x , y )=0

+∞ +∞ f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-∞ 0dy = 0

+∞ 4 dy 1

1+ xy f X (x ) = ⎰-∞ f (x , y )dy = ⎰-1 = 1 4 1 2 (2+0) = 1 4 1 1 ( -1 -1 = dy + ⎰ ⎰ xydy ) 奇函数 当 |x |≤1时，

-1

-1 D 1 f (x , y ) = ⎧⎪(1+ xy ) 4, x <1, y <1 ⎨⎪⎩ 0, 其他 X f (x ) = ⎧ 1 2, x ≤1 ⎨ ⎪⎩ 0, 其他

类似可得（由对称性） Y f (y ) = ⎧ 1 2, y ≤1 ⎨⎪⎩ 0, 其他

X Y 2 2 4 4

f (x ) f (y ) = 1 ⋅ 1 = 1 ≠ 1 (1+ xy ) = f (x , y ) X 与Y 不相互独立

四川大学 徐小湛 当 0<|x |<1, 0<|y |<1时，

例6 设随机变量 (X , Y ) 具有分布函数

证明 X , Y 相互独立。 -x ⎧(1-e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1

⎪ F (x , y ) = 1-e , x ≥ 0, y >1 ( > 0) ⎨ ⎩ ⎪ 0, 其他 F (x , y ) =

F X (x )F Y (y ) y →+∞

= lim F (x , y ) F X (x ) = F (x ,+∞) F Y (y ) = F (+∞, y ) x →+∞ = lim F (x , y ) 证 欲证 其中

百度传课 -x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0,

⎩ ,

x ≥ 0, y >1 其他 x →+∞ F Y (y ) = lim F (x , y ) X y →+∞ F (x ) = lim F (x , y )

⎧1- e -αx , = ⎨ 0, ⎩ x ≥ 0, y > 0 其他 ⎧y , 0 ≤ y ≤1 = ⎪ ⎩ ⎨1, y >1 ⎪0, 其他

-x ⎧(1- e -αx )y , x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1 ⎪ F (x , y ) = 1- e ⎨ ⎪ 0, ⎩

, x ≥ 0, y >1 其他 X F (x ) = ⎧1- e -αx , x ≥ 0, y > 0 ⎨ ⎩ 0,

其他 Y ⎧y , 0 ≤ y ≤ 1 ⎩ F (y ) = ⎪ , y >1 ⎨1 ⎪ 0, 其他

x ≥ 0, y >1时 F (x )F (y ) = (1- e -αx ) ⋅1 = F (x , y ) X Y

其他情况 (x <0) F X (x ) = 0 F X (x )F Y (y ) = 0 = F (x , y ) F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 处处成立 X , Y 相互独立

四川大学 徐小湛 x ≥ 0, 0 ≤ y ≤1时 F X (x )F Y (y ) = (1- e -αx ) y = F (x , y )